高考数学(文科)二轮专题配套ppt课件：专题3(第2讲)三角变换与解三角形
高考数学(文)二轮专师复习课件2.2三角变换与解三角形
考点一三角变换与求值［冲关锦囊］1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(l) sin(ad^)=sinacos 〃土cosasin".(2) cos(a±f)=cosacos^+sinasin^.tana+tan^=tan(a±0)( 1 +tanatan^)(3)tan(a±^)= 1 +tanatan^*、 sin2ot 1—⑷甌一l+cos2< sin2a * (3)tan2«=2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (l)sin2a=2sinacosa.2tana1 —tan 2a*3.三角函数恒等变换的基本策略(1)常值代换.特别是T的代换，如l=cos2^+sin2^=tan450 等.(2)项的分拆与角的配凑•如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x配凑角：a=(a +旳一伤〃=弓^+cos2x)+cos2x= 1 +cos2x；2十(3)降次与升次，即半角公式降次与倍角公式升次•(4)化弦沏)法.将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切).(5)引入辅助角.osin0+0cos0=£+Psin(0+0),这里辅助角p 所在的象限由b的符号确定，卩的值由⑶10=0确定.2 ) 5 ［考题剖析］【例1】（2013•广东卷）已知函数幷）=边cos}—令XER.的值; 兀(1)來 3(2)若COS0=；, 6E y, 2兀，求#0—52 )解析：(l)£]#cos . ..一3mi3 12丿(3TI(2)Tcos0=” 9&[亍2珂，I ------- r 4sin0=-*l—cos 0=—§，( \ ( \■. 71 r- . 71：•\/ 0-： =\5cos 3-7 =^2 u丿■ /71cos0cos¥+sin0sin¥ = 一gTt7解析:• • 2兀. 1(1) .卩=10兀=一，..(0—7.' 丿 co 5(2) 由⑴得兀0=2cos $+£ ,\ .711 2 •・- 4• •snia=§，cosa=§・:丁 5/_乎 =2cos#=月，・：cos#=召，sin#=j|. .J |5兀 ,7[ 6• /5a 十可=2cos (Z +Q =—2sina=—§・3丿 y3 5? 5"/. cos(a +#)=cosacos#—sinasin^=^Xpy—^|.考点二利用正、余弦定理解三角形［冲关锦囊］1.解三角形的一般方法是(1)已知两角和一边，如已知A、〃和c,由A+B+C=兀求C,由正弦定理求a、b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知0、b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A + B + C=7l求另1角.(3)已知两边和其中一边的对角，如已知0和A,应先用正弦定理求由A+B+C=TI求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a、b、c,可应用余弦定理求A、B、C.2.求角的大小一定要有两个条件才能完成：①角的范围;②角的某一三角函数值.3.面积公式：(1)S=^X 底X 咼.(2)5=2^sinC=尹csinA=尹csinB.(3)S=^(R为外接圆的半径).(4)Sp(o+0+c)•论为内切圆的半径)［考题剖析］【例2】(2013-1庆卷)在△仙C中，内角A, B, C的对边分别为°, b, c,且a2=b2+c2+\［3bc.⑴求A;(2)设°=筋，S为MBC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值.解析:丄人升、rra/A b^+c—a —占be J3(1)由余弦定理得cosA=—庞一=2bc =_*5兀又因0＜人＜兀，所以(2)由⑴得sinA=*,又由正弦定理及0=审得r 1, . . 1・osinC=3sinBsiiiC，asinBS分inAp•而因此，5+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(5-C). 所以，当B=C,即B=^2^=[2时,S+3cosBcosC 取最大值3.［对点训练］2. (2013-湖北卷)在MBC中，角A, B, C对应的边分别是a, b, c,已知cos2A—3cos(B+C)=1.⑴求角A的大小；(2)若△ABC的面积S=5书，b-5,求sin^sinC的值.3書： (l s COS2A —3COS(B+OUL 壶 2COS2A+3COSA —2H09君(2C0SA —1 )(COSA +2H 0 7 COSAH+渕 COSAH ——2(n{>a)y因涉OAAAm淳丘AJL.(2)由S=*0csinA=》?cX ：= :bc=5迟,得bc=20, 又b=5,知c=4.由余弦定理得a2=b2+c2—2bccosA=25+16—20=21f 故a=y]21.又由正弦定理得• » •门b e be . 220 3 5sinBsinC=-sinA--sinA=7sin-A=^X?=-考点三解三角形与实际应用问题［冲关锦囊］应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步⑴分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解岀的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.［考题剖析］【例3】 处下山至C 处有两种路径，一种是从A 沿直线步行到&另一种是先从人沿索道乘缆车到氏然后从B 沿直线步行到C.（2013•江苏卷）如图，游客从某旅游景区的景点人现有甲、乙两位游客从人处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min,在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到在B处停留lmin后，再从〃匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速n 度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量，cosA=厉,cosC 3_5，⑴求索道的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析:12⑴在厶ABC中，因为cosA=yj,3 5 4cosC=§,所以sinA=jj, sinC=§・从而sin5=sin[7i—(A+C)]=sin(A+C) =siiiAcosC+cosAsinC=^X 中+X *碁由正弦定理就=而’ 得人B=#£xsinC二罟°X*=1 040(m).65所以索道仙的长为1 040 m.(2)假设乙出发/分钟后，甲、乙两游客距离为d,此时，甲行走了(100+50/)m,乙距离力处130/m,所以由余弦定理得10d2— (100 + 50/)2 + (130/)2 — 2 X 130(X(100 + 50/) X —= 200(37/-70 汁50),因0W'W罟，即0WfW8,35故当尸币(min)时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理釜=爲/AAC 1 260 5 得 BC=^XsinA=-^-Xjj=500(m).65乙从〃岀发时，甲已走T 50X(2+8 + l)=550(m), 还需走710 m 才能到达C.范围内.设乙步行的速度为v m/min, 由题意得一3W500 710v 50解得 1250 7F 14,所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在 1 250 625肓，14(单位:m/min)［对点训练］3.如图，A, B是海面上位于东西方向相距5(3+问海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°, B点北偏西60。
高三数学二轮专题复习课件：三角变换与解三角形共58页
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
高三数学二轮专题复习课件：三角变 换与解三角形
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
高考数学(文)二轮专题课件：2.2三角变换与解三角形
15
A＝____8 ______．
栏
目
解析： 由余弦定理 得：c2＝ a2＋ b2－ 2abcos C＝5－
链 接
2×2×41＝4，故 c＝2；因为 cos A＝42＋×42－×12＝78，所以 sin A
＝
1－cos2 A＝
15 8
主干考 点梳理
3．(2014·江西卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对
主干考 点梳理
4．已知
α 为第二象限角，sin
α＝3，则
5
sin 2α＝(
A
)
栏
目
A．－2254
B．－2152
12 C.25
24 D.25
链 接
栏 目 链 接
高考热
点突破 突破点1 两角和与差的三角函数的应用
例 1 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴
为始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别与单位圆相交
于
A，B
两点，已知
A，B
两点的横坐标分别为
102，2
5
5 .
栏目链接栏目链接
(1)求 tan(α＋β)的值；
(2)求 α＋2β 的值．
高考热 点突破
解析： 由已知条件及三角函数的定义知：
cos α＝ 102，cos β＝2 5 5，又∵α，β为锐角，
栏 目
链
tan(α±β)＝ tan α±tan β
接
_____________1_∓_t_a_n__α__·__t_a_n__β____________________________
_________________α，β，α±β≠kπ＋π2 ，k∈Z.
高考数学文科二轮专题突破课件：专题三 三角函数 3.2
2
+2-2
A=
2
5
=
- 5
5
=- .
5
,得
sin
a=2b.
-8-
高频考点
考情分析
命题热点一
命题热点二
命题热点三
(2)由(1),可得 sin
命题热点四
2 5
A= ,
5
代入 asin A=4bsin B,得 sin B=
由(1)知,A 为钝角,
sin
4
=
2 5
角.
3.已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求
B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有
多种情况.
4.已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C(或先用余弦定理求出
最大边所对的角,再用正弦定理及三角形内角和定理求另外两个内
角).
高频考点
考情分析
命题热点一
3.2
三角变换与解三角形
考情分析
试题统计
(2014 全国Ⅰ,文 16)
(2014 全国Ⅱ,文 14)
(2014 全国Ⅱ,文 17)
(2015 全国Ⅱ,文 17)
(2016 全国Ⅱ,文 11)
(2016 全国Ⅲ,文 6)
(2017 全国Ⅰ,文 11)
(2017 全国Ⅱ,文 16)
(2017 全国Ⅲ,文 6)
B=sin
A,即
sin(B+C)=sin
(2)在△ABC 中,A= ,a= 3c,则 =
.
2
3
为直角三角形.
sin2π 1
sin
高三文科数学二轮专题复习：解三角形的综合问题共37页PPT
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
高三文科数学二轮专题复习：解三角形 的综合问题
56、死去何所道，托体同山阿。 57ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
高考数学二轮复习课件专题三三角变换与解三角形
=
15 4
3.故选
A.
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
高频考点•探究突破
-15-
解三角形 【例 3】(2019 广东揭阳一模)在△ABC 中,AC=4 2,∠C=π,点 D 在
6
BC 上,cos∠ADC=-13. (1)求AD的长. (2)若△ABD的面积为2 2 ,求AB的长. 分析推理(1)先根据同角三角函数关系得sin∠ADC,再根据正弦定
=-
1100,故选
C.
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
高频考点•探究突破
-10-
(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,
由 则题∠B意A知C=∠αB+Aπ4D. =π4.设∠DAC=α, ∵BC=3AD,BD=AD,
∴DC=2AD,AC= 5AD.
∴sin α= 2 = 2 5,cos α= 1 = 5.
高频考点•探究突破
-6-
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
即时巩固1(1)已知sin θ+cos θ=2sin α,sin 2θ=2sin2β,则( C )
A.cos β=2cos α B.cos2β=2cos2α
C.cos 2β=2cos 2α D.cos 2β=-2cos 2α
(2)(2019
π
4.已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C(或先用余弦定理求出 最大边所对的角,再用正弦定理及三角形内角和定理求另外两个内 角).
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
高频考点•探究突破
-13-
即时巩固 2(1)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若△ABC 的
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求角的范围尽量缩小，避免产生增解.
变式训练1
)求函数f(x)的最小正周期和最大值； π 解 f(x)＝cos(2x＋ )＋sin2x 3
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
tan α± tan β (3)tan(α± β)＝ . 1∓ tan αtan β
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
答案 C
π π (2)(2014· 课标全国Ⅰ)设 α∈(0， )，β∈(0， )，且 tan α 2 2 1＋sin β ＝ ，则( cos β π A.3α－β＝ 2 π C.3α＋β＝ 2 ) π B.2α－β＝ 2 π D.2α＋β＝ 2
思维启迪 先对已知式子进行变形,
得三角函数值的式子，再
π π 1－cos 2x 1 3 ＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋ ＝ － sin 2x. 3 3 2 2 2 1＋ 3 2π 所以 f(x)的最小正周期为 T＝ ＝π， 最大值为 . 2 2
θ cos 2θ (2)若 θ 是第二象限角， 且 f( )＝0， 求 2 1＋cos 2θ－sin 2θ 的值.
专题三 三角函数与平面向量
第 2讲
三角变换与解三角形
主干知识梳理
热点分类突破
真题与押题
1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使
用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.
考 2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角 情 解 形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合 读
进行综合考查．
主干知识梳理
2 2 2
a2＋b2－c2＝2abcos C.
6．面积公式 1 1 1 S△ABC＝ bcsin A＝ acsin B＝ absin C. 2 2 2 7．解三角形
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理
求解，解的情况可能不唯一．
(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．
2
cos θ＋sin θcos θ－sin θ cos θ＋sin θ ＝ ＝ 2cos θ 2cos θcos θ－sin θ
6 3 － ＋ 6－ 3 2－ 2 3 3 ＝ ＝ ＝ . 4 6 2 6 2×－ 3
热点二
解三角形
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， cos B 2a b b，c，满足a＝2sin A， ＋ ＋ ＝0. cos C c c (1)求边c的大小； 例2
利用范围探求角的关系.
1＋sin β sin α 1＋sin β 解析 由 tan α＝ 得 ＝ ， cos β cos α cos β
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
π ∴sin(α－β)＝cos α＝sin( －α). 2 π π ∵α∈(0， )，β∈(0， )， 2 2 π π π π ∴α－β∈(－ ， )， －α∈(0， )， 2 2 2 2
π π ∴由 sin(α－β)＝sin( －α)，得 α－β＝ －α， 2 2 π ∴2α－β＝ . 2
答案
B
(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、 正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记 和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现 题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用
利用和角公式化简已 2 知式子，和cos(α＋ π)进 3 行比较.
π 4 3 π 解析 ∵sin(α＋ )＋sin α＝－ ，－ <α<0， 3 5 2
3 3 4 3 ∴ sin α＋ cos α＝－ ， 2 2 5
3 1 4 ∴ sin α＋ cos α＝－ ， 2 2 5 2π 2π 2π ∴cos(α＋ )＝cos αcos －sin αsin 3 3 3 1 3 4 ＝－ cos α－ sin α＝ . 2 2 5
(4)已知三边，利用余弦定理求解．
热点分类突破
热点一 热点二 三角变换 解三角形
热点三
正、余弦定理的实际应用
热点一
三角变换
π 4 3 π 例 1 (1)已知 sin(α＋ )＋ sin α＝－ ，－ <α <0 ， 3 5 2 2π 则 cos(α＋ )等于( ) 思维启迪 3 4 A.－ 5 4 C. 5 3 B.－ 5 3 D. 5
解 θ 因为 f( )＝0， 2
1 3 3 所以 － sin θ＝0，即 sin θ＝ ， 2 2 3
又θ是第二象限角，
6 所以 cos θ＝－ 1－sin θ＝－ . 3 2 2 cos θ － sin θ cos 2θ 所以 ＝ 1＋cos 2θ－sin 2θ 2cos2θ－2sin θcos θ
5．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C. 2 2 2 2 2 2 b ＋c －a a ＋c －b 推论：cos A＝ ，cos B＝ ， 2bc 2ac
a ＋b －c cos C＝ . 2ab 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，
2tan α (3)tan 2α＝ 2 . 1－tan α
3．三角恒等式的证明方法
(1) 从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁
为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明．
4．正弦定理 a b c ＝ ＝ ＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． sin A sin B sin C 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. a b c sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ . 2R 2R 2R a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.