北师大版初中九年级数学上册第2章5节一元二次方程的根与系数的关系1教案WORD
北师大版九年级上册数学 2.5 一元二次方程的根与系数的关系教案1
*2.5 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点) 2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点) 一、情景导入解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x 2－2x ＝0； (2)x 2＋3x －4＝0； (3)x 2－5x ＋6＝0.二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根与系数的关系利用根与系数的关系，求方程3x 2＋6x －1＝0的两根之和、两根之积．解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得．解：这里a ＝3，b ＝6，c ＝－1.Δ＝b 2－4ac ＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0，∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－13.方法总结：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值 设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x 1＋2)(x 2＋2)； (2)x 2x 1＋x 1x 2. 解析：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体代入求解即可．解：根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－32.(1)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－32＋2×(－2)＋4＝－32；(2)x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 12x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（－2）2－2×（－32）－32＝－143.方法总结：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体代入求解即可．【类型二】已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根已知方程5x＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值．解析：由方程5x2＋kx－6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值．解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35.又∵x1＋2＝－k5，∴－35＋2＝－k5，∴k＝－7.方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．【类型三】判别式及根与系数关系的综合应用已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，求m的值．解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由1α＋1β＝－1建立方程，求解m的值．解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2.又∵1α＋1β＝α＋βαβ＝－（2m＋3）m2＝－1，化简整理，得m2－2m－3＝0.解得m＝3或m＝－1.当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0，此时Δ＝12－4＜0，方程无解，∴m＝－1应舍去．当m＝3时，方程为x2＋9x＋9＝0，此时Δ＝92－4×9＞0，方程有两个不相等的实数根．综上所述，m＝3.易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略．三、板书设计一元二次方程的根与系数的关系错误!让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.。
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2.5 一元二次方程的根与系数的关系一、学生知识状况分析“一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。
基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
二、教学任务分析本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。
根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。
这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。
同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。
为此，确定本节课的教学目标为：1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。
2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。
3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。
4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。
三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：探究新知；第四环节：尝试发展；第五环节：拓展创新；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。
第一环节：复习回顾内容：1、一元二次方程的一般形式？ ax2+bx+c=0 (a≠0)（板书）2、一元二次方程有实数根的条件是什么？(△=b2-4ac≥0)3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？4、一元二次方程的求根公式是什么？目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。
九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系教案新版北师大版
5 一元二次方程的根与系数的关系1．理解和掌握根与系数的关系，会利用根与系数的关系解决有关问题．2．在探究一元二次方程的根与系数的关系的过程中，培养学生的观察、思考、归纳概括能力．3．通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．重点理解和掌握一元二次方程的根与系数的关系． 难点一元二次方程的根与系数关系的理解及应用．一、复习导入1．请说出解一元二次方程的四种解法(直接开方法、配方法、公式法、因式分解法)． 2．解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，你发现每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？(1)x 2－2x ＝0；(2)x 2＋3x －4＝0；(3)x 2－5x ＋6＝0.方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2学生独立完成，教师巡视指导． 二、探究新知1．探究一元二次方程的根与系数的关系 课件出示：121212方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2 x 2＋4x －4＝0 x 2－2x －5＝0 6x 2＋x －2＝0 2x 2－5x ＋1＝0教师：观察表中x 1＋x 2与x 1·x 2的值，它们与一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？师生共同总结规律，教师板书．(学生的语言表达可能不是很到位，教师可以进行适当地引导和点拨，但不能代替学生表达)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a .2．证明一元二次方程的根与系数的关系教师：刚才列举了部分方程发现两根之和、两根之积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程的根与系数都有这样的关系呢？学生先独立解决，再分组交流讨论发表看法． (教师板书) 证明：∵当Δ≥0时，由求根公式得 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，∴x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac －b －b 2－4ac 2a ＝－ba ，x 1·x 2＝（－b ）2－（b 2－4ac ）4a 2＝4ac 4a 2＝ca. 三、举例分析例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：(1)x 2－7x ＋1＝0；(2)x 2＋14x －21＝0；(3)2x 2＋x －3＝0；(4)x 2－nx ＋n －5＝0.解：(1)x 1＋x 2＝7，x 1·x 2＝1. (2)x 1＋x 2＝－14，x 1·x 2＝－21. (3)x 1＋x 2＝－12，x 1·x 2＝－32.(4)x 1＋x 2＝n ，x 1·x 2＝n －5.例2 已知关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值．解法一：因为关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，所以有⎩⎪⎨⎪⎧02－p×0＋q ＝0，（－3）2－p×（－3）＋q ＝0. 解这个方程组得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝0. 所以p ＝－3，q ＝0.解法二：由x 1＋x 2＝p ，x 1·x 2＝q ，方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，可得 0＋(－3)＝p ， 0×(－3)＝q.即得p ＝－3，q ＝0. 四、练习巩固教材第50页“随堂练习”第1～3题． 五、小结1．通过这节课的学习，你有什么收获？ 2．一元二次方程的根与系数有什么关系？ 六、课外作业教材第51页习题2.8第1～4题．观察、归纳、证明是研究事物的科学方法．本节课在研究方程的根与系数的关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的方程，由此猜想一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系，最后对此猜想的正确性作出证明．这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值. 经历了本节课的教学，学生对一元二次方程的根与系数的关系的应用能基本掌握，但在寻求转化为两根之和与两根之积的过程中不要操之过急，例2可以在练习一定的习题后再给出来．在学法上采取自我探究和小组合作交流的学习方式，培养学生独立思考的能力以及与他人交流的意识，并应该坚持下去．。
北师大版九年级数学上册2.5：一元二次方程的根与系数的关系(教案)
2.设计更具挑战性的练习题，帮助学生逐步提高解题能力，特别是在应用韦达定理方面的能力。
3.注重培养学生的独立思考能力，鼓励他们在课堂上提问，勇于表达自己的观点。
4.定期对学生的学习情况进行评估，了解他们在哪些方面存在困难，以便进行有针对性的辅导。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。一元二次方程的根与系数关系是通过韦达定理来描述的，它揭示了方程的两个根与系数之间的数学规律。这个定理不仅在数学理论中占有重要地位，而且在解决实际问题中也具有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设有一个实际问题：一个长方形的长比宽多2米，面积比宽多4平方米，我们需要求出长和宽的具体数值。通过建立一元二次方程并运用韦达定理，我们可以轻松解决这个问题。
3.通过具体例题，让学生掌握运用韦达定理解决实际问题；
九年级数学上册 2.5 一元二次方程根与系数的关系教案 (新版)北师大版
课题：2.5一元二次方法根与系数的关系教学目标：1．了解一元二次方程的根与系数的关系并会简单应用．2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力.教学重点与难点：重点：根与系数的关系的推导、运用.难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系．课前准备：多媒体课件．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：回答下列问题．1．一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程有实数根的条件是什么？2．一元二次方程的求根公式是什么？处理方式：学生思考代表回答，教师强调并引导：通过一元二次方程的求根公式我们发现“一元二次方程的根可以由它的二次项系数a 、一次项系数b 、常数项c 来确定，求根公式反映了根与系数的一种关系”．除此之外，一元二次方程的根与系数之间还存在什么样的关系呢？这节课我们共同探究2.5一元二次方法根与系数的关系．教师板书课题．设计意图：通过复习公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫，同时又自然的引出本节课的课题．二、探究学习，感悟新知活动内容1：我们已经学过用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程方法，你能用合适的方法解下列方程吗？（多媒体出示）1.用合适的方法解下列方程，并填表()()22212+1=0210(3)2310x x x x x ---=-+=2.方程(1)的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少?两根之和、两根之积与它的二次项系数、一次项系数、常数项之间有什么关系？方程(2)和 方程(3)呢？3. 对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？举例验证你的猜想．处理方式：留3分钟的时间先让学生独立解方程，三个学生板书解方程的过程并填表，教师巡视指导．填表后让学生思考问题2，找到方程（1）的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少，然后观察表格，发现12x x + 与它的二次项系数和一次项系数有关系；12.x x 与它的二次项系数和常数项有关系．有什么关系？方程（1）和方程（2）不是太明显，分析方程（3）的二次项系数、一次项系数、常数项得出两根之和与它的二次项系数和一次项系数的关系，两根之积与它的二次项系数和常数项的关系．然后教师引导学生举例验证自己的猜想；学生感受对于任何一个一元二次方程这种关系都成立．设计意图：复习巩固了解一元二次方程的方法，并感受可以根据方程的特点选择适当的方法．这一过程注重引导学生分析这三个方程的二次项系数、一次项系数、常数项和两根之和、两根之积的关系。
2019秋北师版九数上第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系教案1
2.5 一元二次方程的根与系数的关系教学目标： 知识技能目标1.能说出根与系数的关系；2.会利用根与系数的关系解有关的问题. 过程性目标在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中，通过尝试与交流，开拓思路，体会应用自己探索成果的喜悦.情感态度目标1.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯；2.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神. 重点和难点：重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系； 难点：对根与系数这一性质进行应用. 教学过程： 一、创设情境1．请说出解一元二次方程的四种解法.2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x 2－2x ＝0；(2)x 2＋3x －4＝0；(3)x 2－5x ＋6＝0.方程 1x2x21x x +21x x •让学生先解出方程的正确答案，再观察两解的和、积与原方程中的系数的关系，并加以证明.方程1x2x21x x +21x x •x 2－2x ＝0 0 2 2 0 x 2＋3x －4＝0 1-4-3-4x 2－5x ＋6＝02 3 5 6可以得到；两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于常数项.一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0（p ，q 为已知常数，p 2－4q 一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0（p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0），试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1•x 2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致.（此探索过程让学生分组进行交流、协作完成） 探索过程qqp p q p p x x pqp p q p p x x qp p x q p p x q p p a ac b b x q p ac b q c p b a q px x =---•-+-=•-=---+-+-=+---=-+-=-±-=-±-=≥-=-====++24242424242424240441022212221222122222，，，结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一致的.三、实践应用例 1 已知关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值.解法一：因为关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，所以有．q p q p q p q p 03030)3()3(00022=-=⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+-⨯--=+⨯-，所以解这个方程组得解法二：由q x x p x x =•-=+2121，，方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，可得．q p q p 03)3(0)3(0=-==-⨯，即得＝－－＋例2 写出下列方程的两根和与两根积：05)4(032)3(02114)2(017)1(2222=-+-=-+=-+=+-n nx x x x x x x x5)4(2321)3(2114)2(17)1(2121212121212121-=•=+=•-=+=•-=+=•=+n x x n x x x x x x x x x x x x x x ，－，－，，解课堂练习1.写出下列方程的两根和与两根积：3)4(0532)3(04411)2(025)1(2222=-+-=-+=-+=+-m mx x x x x x x x2.已知关于x 的方程x 2－6x ＋p 2－2p ＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p 的值. 四、交流反思1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤：观察——归纳——猜想——证明；2.通过本节课探索出一元二次方程的根与系数的关系. 五、检测反馈1.已知关于x 的方程x 2－2x ＋m 2+m －2＝0的一个根是2，求方程的另一个根和m 的值. 2.写出下列方程的两根和与两根积：3)4(0152)3(0)2(047)1(2222=+-=+-=-+=+-m x x x x n mx x x x3.已知关于x 的方程2x 2－mx －m 2＝0有一个根是1，求m 的值. 六、布置作业 习题2.8。
北师大版数学九年级上册 2 5 一元二次方程的根与系数的关系 教案
《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计【教学目标】1、知识目标 ：掌握一元二次方程的根与系数的关系 2、能力目标：通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，提高学生推理论证的能力。
3、情感目标：在探究中得出结论，获取成功的体验，激发学习热情，建立自信心。
激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。
【教学重点和难点】1.教学重点：一元二次方程根与系数的关系和应用。
2.教学难点：对根与系数的关系的理解和推导。
【教学过程】（一 ）新知提问 教学内容： 已知21,x x ,满足12,72121==+x x x x 则在不解方程的前提下你能判断以21,x x 为根的一元二次方程是 哪一个? 说说你的理由127:,0127:0127:,0127:2222=+-=--=-+=++x x D x x C x x B x x A教师活动：提出问题，激发学生的好奇心和解决困难的斗志 学生活动：极思考回答，进入学习状态。
设计意图：通过学生回答加强其对一元二次方程一的解法的掌握，并认识到用所学知识在该题的情景下无法解决这个问题，从而点燃其对学习新知的热情。
（二）回顾整理教学内容：提问1：一元二次方程的一般形式是什么。
提问2：一元二次方程的根的情况是如何确定的。
提问3：一元二次方程求根公式。
教师活动：提出问题，让学生进一步明确根与系数的概念，为后面的研究作铺垫。
学生活动：极思考回答，进入学习状态。
设计意图：通过学生回答加强一元二次方程一般形式的记忆强化，使学生明确方程的系数决定根的值，引出根与系数之间还有其它联系方式吗？然后顺理成章进入“一元二次方程的根与系数之间的关系”的探究学习。
（三）探索新知问题1：（填表，观察，猜想）你发现了什么结论问题2： 你是如何证明你的发现呢？ ①用语言叙述发现的规律；② 02=++c bx ax 的两根21,x x 用式子表示你发现的规律： .推断证明02=++c bx ax (a ≠0)的两根为21,x x 则:a b x x -=+21 ，a cx x =21教师活动：引导学生观察、分析、归纳；启发学生，求根公式是具有一般性的，利用求根公式进行证明。
北师大版-数学-九年级上册-2.5 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计
一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积.2、能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根，能灵活解决一些简单的有关一元二次方程的问题.3、经过小组讨论和从特殊到一般的数学认知过程的体会.4、利用韦达定理渗透爱国主义精神，激发学生发现问题，提高学生解决问题的能力.教学重点：一元二次方程根与系数的关系 教学难点：一元二次方程根与系数的关系的论证 教学过程：问题引入由求根公式可知，一元二次方程的根由系数a 、b 、c 确定，换句话就是说根与系数有关系，今天我们将进一步来学习并发现一元二次方程的根与系数到底还有没有其他关系.解出下列各方程的两根1x 和2x ，并计算21x x +和21x x ⋅的值.2【答案】2知识新授谁能发现两根和、两根积与系数的关系？若0(02≠=++a c bx ax ，)042≥-ac b则a b x x -=+21，a cx x =21证明： 当△＞0时，由求根根式得：a acb b x 2421-+-=， a acb b x 2422---=∴a ba acb b ac b b x x -=----+-=+2442221 a caac a ac b b x x ==---=⋅222221444)4()( 小试牛刀：写出方程2760x x ++=和22320x x --=的两根和与两根积 解：设方程2760x x ++=的两根为1x ，2x 则127x x +=-126x x ⋅=设方程22320x x --=的两根为1x ，2x 则1232x x +=121x x ⋅=-巩固练习求出下列各方程的两根和与两根积1）0272=--x x 2）02=++q px x 3）01352=-+x x 4）0432=+x x【答案】 1）7 -2 2）-pq3）35-15-4）43-反思小结今天我们学习了一元二次方程根与系数的关系，刚才通过填空题我们小结了一下，知道这两个关系我们可以用来求两根和、两根积巩固作业习题.。
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2.5 一元二次方程的根与
系数的关系
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)
2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点)
一、情景导入 解下列方程，将得到的解填入下面的表
格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？ (1)x 2－2x ＝0；
(2)x 2＋3x －4＝0； (3)x 2－5x ＋6＝0.
二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根与系数的关系
利用根与系数的关系，求方程3x 2
＋6x －1＝0的两根之和、两根之积．
解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得．
解：这里a ＝3
，b ＝6，c ＝－1.
Δ＝b 2－4ac ＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x 1，x 2，
那么x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－1
3.
方法总结：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝
－b a ，x 1x 2＝c a
. 探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用
【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值
设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的
两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x 1＋2)(x 2＋2)； (2)x 2x 1＋x 1
x 2.
解析：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当变
形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体代入求解即可．
解：根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝
－2，x 1x 2＝－3
2.
(1)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－32＋2×(－2)＋4
＝－3
2；
(2)x 2x 1＋x 1
x 2＝x 22＋x 12x 1x 2＝
（x 1＋x 2）2
－2x 1x 2
x 1x 2＝
（－2）2－2×（－3
2）
－3
2
＝－143
.
方法总结：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体代入求解即可．
【类型二】 已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根
已知方程5x ＋kx －6＝0的一个
根为2，求它的另一个根及k 的值．
解析：由方程5x 2＋kx －6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出
方程另一个根，然后根据两根之和求出k 的值．
解：设方程的另一个根是x 1，则2x 1＝－65
， ∴x 1＝－35.又∵x 1＋2＝－k
5，
∴－35＋2＝－k
5
，∴k ＝－7.
方法总结：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2
－4ac ≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．
【类型三】 判别式及根与系数关系的
综合应用
已知α、β是关于x 的一元二次方
程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1＋1
＝－1，求m 的值．
解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由1α＋1
β＝－1建立方程，求解m 的值．
解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，
∴α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2.
又∵1α＋1β＝α＋βαβ＝－（2m ＋3）m 2＝－1，
化简整理，得m 2－2m －3＝0. 解得m ＝3或m ＝－1.
当m ＝－1时，方程为x 2＋x ＋1＝0， 此时Δ＝12－4＜0，方程无解， ∴m ＝－1应舍去．
当m ＝3时，方程为x 2＋9x ＋9＝0， 此时Δ＝92－4×9＞0，
方程有两个不相等的实数根． 综上所述，m ＝3.
易错提醒：本题由根与系数的关系求出
字母m 的值，但一定要代入判别式验算，字母m 的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略．
三、板书设计 一元二次方程的根与系数的关系错误!
让学生经历探索，尝试发现韦达定理，
感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考
的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.。