学而思思维训练教程之几何(二) 曲线图形
学而思十二级奥数体系
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行程问题：
多人行程二次相遇多次相遇火车过桥流水行船环形跑道简单的相遇
基本行程问题钟面行程走走停停接送问题发出问题电梯行程猎狗追兔平均速度
数论问题：
数的整除约数倍数余数问题质数合数奇偶分析
中国剩余定理位置原理完全平方数整数拆分进位置
几何问题：
巧求周长几何的五大模型勾股定理与弦图圆与扇形立体图形的表面积体积
立体图形染色计数其它直线型几何问题格点与面积
计数问题：
加法原理乘法原理排列组合枚举法标数法捆绑法插板法排除法对应法树形图法归纳法整体法递推法容斥原理几何图形计数
应用题：
分数百分数应用题工程问题鸡兔同笼问题盈亏问题年龄问题植树问题牛吃草问题经济利润问题浓度问题比例问题还原问题列方程解应用题
计数问题：
数学计算公式繁分数的计算分数裂项与整数裂项换元法凑整找规律
比较与估算循环小数化分数拆分通项归纳定义新运算
奥数杂题：
逻辑推理数阵图与数字谜抽屉原理操作与策略不定方程最值问题
染色问题。
学而思一年级暑假班第2讲知识点总结+每周一练
例 3：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
上图中，平行的有（
（6）
（7）
），垂直的有（ ）
解析： 我们按顺序来看： 第一幅图两条直线永远丌会相遇，是平行关系。 第二幅图两条直线相遇，是相交关系。 第三幅图，两条直线丌仅交于一点，还有一个直角符号，是垂直关系。 第四幅图有的同学可能会觉得是平行关系，但注意这里面丌是直线是曲线，
上有五个点，我们可以给他们标好号码，A，B，C，D，E 从一个点出发可以不
其它四个点连出四条线段，分别是 AB，AC，AD，AE。
B 可以连 C，D 和·E 两个点。
A
C 可以连 E 和 D。
D 可以连 E。
E
E 无需再连接其他点。
B
D
C
所以一共有 4+3+2+1=10 条。
3、〔分析与解答〕： 我们按顺序来看： 图 1 的两条线没有碰在一起，而且他们都是线段丌能无限延伸，所以丌能碰
3、下图中，能相交的有（
）
1
2
3
答案解析
1、〔分析与解答〕：
1 有两个端点为线段。 2 有两个端点为线段。 3 有一个端点为射线。 4 没有端点可以无限延伸为直线。 5 是折线。 6 是折线。 7 是曲线。 8 有一个端点为射线。 直线有 4，射线有 2，8，线段有 1,2
2、〔分析与解答〕： 我们的线段有两个端点，所以在图上的每两点之间都可以连出一条线段。图
条，一共 5 条线段。 最后一幅图同样可以按照一圈的顺序数，一共九条线段。
例 2： 下面的哪个图形中有角？请你找一找。
学而思数学思维训练1-6年级
学而思数学思维训练1-6年级前言数学作为一门重要的学科，对孩子的思维能力和逻辑思维能力的培养有着重要的作用。
学而思数学思维训练是一套适用于1-6年级学生的数学思维训练课程，旨在帮助孩子们建立起扎实的数学基础，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
1年级数学思维训练在1年级数学思维训练中，学生将通过一系列有趣且生动的活动，发展他们的数学思维能力。
课程主要包括以下几个方面的内容：基本数学概念的学习在1年级数学思维训练中，学生将学习基本的数学概念，如数字和数量的概念，以及简单的加法和减法运算。
通过与小朋友们一起探索和实践，学生将深入理解这些概念，并学会将它们应用于日常生活中。
数学问题的解决学生将通过一系列有趣的问题和活动，培养他们的问题解决能力。
课程中的问题将涉及不同的数学概念，学生需要灵活运用这些概念来解决问题。
通过解决问题的过程，学生将培养他们的逻辑思维能力和数学思维能力。
数学游戏和挑战为了增加学习的趣味性，1年级数学思维训练还将包括一些数学游戏和挑战。
这些游戏和挑战将帮助学生巩固已学的数学概念，并进一步培养他们的数学思维能力和问题解决能力。
2年级数学思维训练2年级数学思维训练旨在进一步巩固和扩展学生的数学知识，并培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
课程主要包括以下几个方面的内容：数字和数量的探索在2年级数学思维训练中，学生将进一步理解数字和数量的概念，并学习更复杂的加法和减法运算。
通过与小伙伴们一起参与各种数学活动，学生将进一步巩固他们的数学知识，并提高他们的数学思维能力。
有序排列和模式的发现学生将学习有序排列和模式的概念，并通过一系列具体的例子来加深理解。
学生将学会观察、分析和总结模式，并运用它们来解决问题。
空间和几何的探索在2年级数学思维训练中，学生将开始学习空间和几何的知识。
他们将学习二维和三维的几何形状，并了解它们的特性和性质。
通过与实际物体的接触和模型的操作，学生将深入理解这些几何概念。
学而思-五年制10级思维训练体系(7级上)四年级解题能力超常班-第2讲
1．角度的概念和基本计算。
2．多边形内角和公式。
3．能使用内角和公式进行相关的计算。
知识要点一点(O)和从这一点(O)出发的两条射线(OA和OB)所组成的图形叫做角。
公共端点O叫做角的顶点，射线OA、OB称为角的边，角通常用符号“∠”来表示。
如图所示的角用∠AOB或∠BOA表示，注意顶点字母O要写在中间，或者在不引起混乱的前提下，仅用射线顶点的字母表示，即图中的角也可以用∠O表示。
角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。
1度可以简写成1°。
一个圆周被分成360等份，每一份所对的角是1°。
一条射线绕它的端点旋转一周，所成的角叫做周角。
1周角＝360°。
一条射线绕它的端点旋转半周，所成的角叫做平角。
1平角＝180°。
一条射线绕它的端点旋转14周，所成的角叫做直角。
1直角＝90°。
小于直角的角叫做锐角。
大于直角而小于平角的角叫做钝角。
快乐健身【预习】填空：①90°的角叫( )角；②直角的一半是( )；③平角是( )；④2个平角是( )；⑤周角是( )。
【预习】(2010年5月3日第三届“学而思·乐加乐”杯综合素质测评四年级B 卷第3题)15∶15的时候，钟面上时针和分针的夹角大小为______。
(填“0°”、“大于0°且小于90°”、“90°”、“大于90°且小于180°”或“180°”)角(2010年4月11日第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试第10题)有下列说法：⑴一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角。
⑵一个钝角减去一个锐角，得到的角不可能还是钝角。
⑶三角形的三个内角中至多有一个钝角。
⑷三角形的三个内角中至少有两个锐角。
⑸三角形的三个内角可以都是锐角。
⑹直角三角形中可能有钝角。
⑺25°的角用10倍的放大镜看就变成了250°。
学而思思维训练教程之几何(三) 立体图形
16.如下图，一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块。那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米？
8.如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？
9.现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽各为1cm，高为2cm的长方体，三个长宽各为1cm，高为3cm的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。
17.下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同，棱长为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
18.（2006年香港数学奥林匹克竞赛）如下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。
审题要点：大正方形减去右边图形就是我们要求的体积。
3.一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm。把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm。酒瓶的容积是多少？
4.如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，对角线AC，BD相交0.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？
10.（2004，第二届走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛）将NNN（N是正整数）正方体的一些面涂上颜色以后，再将它切割成111的小正方体。已知至少有一面涂色的小正方体恰好占总数的52%，N是多少？
第一节 多姿多彩的图形-学而思培优
第一节多姿多彩的图形一、课标导航二、核心纲要l .几何图形(1)几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．(2)立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．(3)平面图形：有些几何图形（如线段、角、正方形等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．(4)从不同方向看立体图形：从正面、左面、上面三个不同方向看几何图形，往往会得到不同形状的平面图形．(5)展开图：将立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．2.点、线、面、体(1)点、线、面、体的概念①几何体也简称为体，如长方体、正方体等．②包围着体的是面，面有平面和曲面两种．③面与面相交的地方形成线，线有直线和曲线两种．④线与线相交形成点．(2)点动成线、线动成面、面动成体．3.几何图形都是由点、线、面、体构成的，点是构成图形的基本元素.4.基本图形5. 欧拉公式简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 之间的关系为：.2=-+E F v 6.正方体的11种展开图 (1)“1-4-1"型(2)“2—3—1”型(3)“3—3”型 (4)“2—2—2”型本节重点讲解：三个图形（平面图形、立体图形、展开图），四个概念（点、线、面、体），七种常见几何体，一个公式（欧拉公式）．三、全能突破基础演练1．图4-1-1所示的直角梯形绕直线L旋转一周，得到的立体图形是( )2．以下图形中，不是平面图形的是( )A．线段 B．角 C．圆锥 D．圆3．圆柱的侧面展开图形是( )A．圆 B．长方形 C梯形 D．扇形4．一个全透明的玻璃正方体，上面嵌有一根黑色的金属丝，如图4-1-2所示，从上面看时金属丝的形状是( )5．一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是图4-1-3中( )A.图(a)、图(b) B．图(a)、图(c) C．图(b)、图(c) D.只有图(a)6．如图4-1-4所示，这个几何体的名称是；它由个面组成；它有一个顶点；经过每个顶点有条边．7.18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图4-1-5中几种简单多面体模型，解答下列问题：你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是(2)-个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是能 力 提 升8．将“创建文明城市”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的平面展开图如图4-1-6所示，那么在这个正方体中，和“创”相对的字是( )A ．文B ．明C ．城D ．市9．如图4-1-7所示是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是( ) A ．①⑤ B②④ C ．③⑤ D ．②⑤图4-1-610.图4-1-8所示是一个正方体的平面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式b ca-的值等于( ) 43.-A 6.-B 43.C 6.D11．将一正方体纸盒沿图4-1-9所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为( )12．图4-1-10所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是( )13．图4-1-11所示是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下列六种图中的．（填写字母）14．图4-1-12所示的七个平面图形中，有圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥的表面展开图，请你把立体图形与它的表面展开图用线连接．15．图4 -1-13是由几个小立方块堆放在一起后从上面看得到的平面图形，请画出从几何体的正面、左面看的示意图．16.用平面去截一个正方体，最多有几种不同边数的截面？17．(1)写出下列各数的相反数：3，8，-10;(2)图4-1-14(a)是一个正方体盒子的展开图，请把上面各数与它们的相反数分别填入六个小正方形，使折成的正方体相对面上的两个数互为相反数；(3)图4-1-14(b)是一个正方体盒子的展开图，请在其余的三个空格内填入适当的数，使折成的正方体相对面上的两个数互为相反数；(4)图4-1-14(c)是一个正方体盒子的展开图；正方体相对面上的两个数互为相反数；写出图中x，y，z的值．18.如图4-1-15(a)所示，大正方体上截去一个小正方体后，可得到图4-1-15 (b)的几何体．(l)设原大正方体的表面积为S，图4-1-15(b)中几何体的表面积为/S那么/S与S的大小关系是( ) .sSC<. D．不确定B=sS.ssA>(2)小明说：“设图4-1-15(a)中大正方体各棱的长度之和为C，图4-1-15 (b)中几何体各棱的长度之和为,/c那么/c比c正好多出大正方体3条棱的长度”，若设大正方体的棱长为1，小正方体的棱长为x，请问x为何值时，小明的说法才正确？(3)如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图4-1-15(c)是图4-1-15 (b),中几何体的表面展开图吗？如有错误，请在图4-1-15 (c)中修正．19.现有图4-1-16所示的废铁皮，准备用它来加工一些棱长为10cm的无盖正方体铁盒，问怎样下料（画线），才能使得加工的盒子数最多？最多几个？中考链接20．（2011．徐州）以下各图均有彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是( )21．(2010．北京)美术课上，老师要求同学们将如图4-1-17所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是( )22．(2010．宁夏)用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方形巅峰突破23.图4-1-18(a)是图4-1-18(b)中立方体的平面展开图，左右两图中的箭头位置和方向是一致的，那么图4-1-18(a)中的线段AB 与图4-1-18(b)中对应的线段是( ) e A . h B . k C . d D .24.设5cm×4cmX 3cm 长方体的一个表面展开图的周长为ncm ，则n 的最小值是25.用橡皮泥做一个棱长为4cm 的正方体． (1)如图4-1-19(a)所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为lcm 的正方形通孔，打孔后的泥块的表面积为 ,2cm(2)如果在第(1)题打孔后，再在正面中心位置处(按图4-1-19 (b)中的虚线）从前到后打一个边长为lcm 的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为 ,2cm(3)如果把第(2)题中从前到后所打的正方形通孔扩成一个长xcm 、宽lcm 的长方形通孔，能不能使所得橡皮泥块的表面积为？2130cm 如果能，请求出x ；如果不能，请说明理由，。
学而思 小升初专项训练_几何篇(2)
名校真题测试卷3 （几何篇二）时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________1 （05年101中学考题）求下图中阴影部分的面积：2 （06年清华附中考题）从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是_________平方厘米.3 （06年三帆中学考试题）有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是______平方米.4 （06年西城八中考题）右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_______厘米.（ ＝3.14）5 (05年首师附中考题)一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？【附答案】1 【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
所以阴影面积：π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
2 【解】最大正方体的边长为6，这样剩下表面积就是少了两个面积为6×6的，所以现在的面积为(8×7+8×6+7×6) ×2-6×6×2=220.3 【解】原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），一共切了2＋3＋4＝9（次），每切一次增加2个面：2平方米。
所以表面积： 6＋2×9＝24（平方米）．4 【解】可见大圆的半径是小圆的3倍，所以半径为3，那么阴影部分的周长就等于7的小圆的周长加上1个大圆的周长，即7×π×2+π×6=20π。
学而思几何模型(word版)
中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交ABCD E ABC DEFEDCBA【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连GABCDEFABCD E【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC ＝60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB ＝10，BF ＝4，求GE 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GE 、GC 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．图3图2图1ACDEFGDEFGCDEGABBFCBA【解答】（1）延长EG 交CD 于点H易证明△CHG ≌△CEG ，则GE ＝3√3FA（2）延长CG 交AB 于点I ，易证明△BCE ≌△FIE ，则△CEI 是等边三角形，GE ＝3GC ，且GE ⊥GCA F（3）EJ【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF .（1）求证：CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG 、EG ，求证：DG ⊥EG .GFE DCB A【解答】（1）证明△ABE ≌△ADF 即可；（2）延长DG 与AB 相交于点H ，连接HE ，证明△HBE ≌△EFD 即可 为什么是证明△BCE ≌△FIE 你理解吗？你能写出解题思路和过程吗？类似的为什么要延长CG 呢，可以延长EG吗？E【例3】如图，在凹四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，BA 交EF 延长线于G 点，CD 交EF 于H 点，求证：∠BGE ＝∠CHE .H GF EDCBA【解答】取BD 中点可证，如图所示：JA BCDE F GH为什么为什么为什么？可以取AC 中点吗？角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交边CD 于F 点，交AD 边于H ，延长BA 到G 点，使AG ＝CF ，连接GF .若BC ＝7，DF ＝3，EH ＝3AE ，则GF 的长为_______.HGFEDCBA【解答】延长FE 、AB 交于点I ，易得CE ＝CF ，BA ＝BE ，设CE ＝x ，则BA ＝CD ＝3＋x ，BE ＝7－x ， 3＋x ＝7－x ，x ＝2，AB ＝BE ＝5，AE ＝√10，作AJ ⊥BC ，连接AC ，求得GF ＝AC ＝3√2JIAB CDEFGH【条件】OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD【结论】△OAC ≌△OBD ，∠AEB ＝∠AOB ＝∠COD （即都是旋转角）；OE 平分∠AEDDC EBAOOABEC D 导角核心图形：八字形CBAO【例5】（2014重庆市A 卷）如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且2DE CE ，连接BE ．过点C 作CF ⊥BE ，垂足是F ，连接OF ，则OF 的长为________．FABCOE DDE CBA【例6】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连接BE ，AG ⊥BE于F ，交BC 于点G ，求∠DFG ．GFE DCBA【答案】45°ABC一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 交EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH ．若BH ＝8，则FG ＝_____________．HGDE CBAF【答案】ABE DG邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180° 【结论】AC 平分∠BCDEBA【模型2】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90° 【结论】① ∠ACB ＝∠ACD ＝45°； ② BC ＋CDABCECB______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【例8】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝5，G 为CD 中点，DE ＝DG ，FG ⊥BE 于F ，则DF 为_____.F ABCEDGG DE【例9】如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 至点M ，使BM ＝1，连接AM ，过点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，O 是对角线AC 、BD 的交点，连结ON ，则ON 的长为__________.OMN DCBA【例10】如图，正方形ABCD 的面积为64，△BCE 是等边三角形，F 是CE 的中点，AE 、BF 交于点G ，则DG 的长为___________.GFEABCD【答案】4EC半角模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠EAF ＝12∠BAD ， 点E 在直线BC 上，点F 在直线CD 上 【结论】BE 、DF 、EF 满足截长补短关系FEDCBA【模型2】【条件】如图，在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N ．【结论】①BE ＋DF ＝EF ； ② ABE ADF AEF S S S ∆∆∆+=；③AH ＝AB ；④2ECF C AB ∆=；⑤BM 2＋DN 2＝MN 2；⑥△ANM ∽△DNF ∽△BEM ∽△AEF ∽△BNA ∽△DAM （由AO ：AH ＝AO ：AB ＝1可得到△ANM 和△AEF 相似比为1⑦AMN MNFE S S ∆=四边形；⑧△AOM ∽△ADF ；△AON ∽△ABE ；⑨△AEN 为等腰直角三角形，∠AEN ＝45°，△AFM 为等腰直角三角形，∠AFM ＝45°；⑩A 、M 、F 、D 四点共圆，A 、B 、E 、N 四点共圆，M 、N 、F 、C 、E 五点共圆．H NM FEDCBA【模型2变形】【结论】BE ＋EF ＝DFFEDCB A【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】DF ＋EF ＝BEAB C DEF【例11】如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，射线EF 与线段AB 相交于点G ，与射线CA 相交于点Q .若AQ ＝12，BP ＝3，则PG ＝__________.Q PGD FECBA【解答】连接AE ，题目中有一线三等角模型和半角模型 设AC ＝x ，由△BPC ∽△CEQ 得BP CE ＝BE CQ ， 3/（22x ）＝22x /（x ＋12），解得x ＝12 设PG ＝y ，由AG 2＋BP 2＝PG 2得32＋(12－3－x )2＝x 2，解得x ＝5【例12】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 在AB 、AD 上，且AE ＝DF ．连接BF 与DE 交于点HGFED CB A【解答】34一线三等角模型【条件】∠EDF ＝∠B ＝∠C ，且DE ＝DF 【结论】△BDE ≌△CFDFEDCBA【例13】如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 边上的点，EB ＝3，GC ＝4，连接EF 、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为__________.GA B CDEF【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFH ≌△FGI 则BC ＝BF ＋CF ＝HF －BH ＋FI －CI ＝GI －BH ＋HE －CI ＝733IH F ED C B A G弦图模型【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段 【结论】新构成了同心的正方形LK JIHGFECDB AHG FEDCBA【例14】如图，点E 为正方形ABCD 边AB 上一点，点F 在DE 的延长线上，AF ＝AB ，AC 与FD 交于点G ，∠F AB 的平分线交FG 于点H ，过点D 作HA 的垂线交HA 的延长线于点I .若AH ＝3AI ，FH ＝22，则DG ＝__________．I H AGFEDCB【解答】1742I【例15】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AC 中点，连接BE ，作AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ．FE CGDBA【解答】过点C 作CH ⊥AC 交AG 的延长线于点H ，易证BC最短路径模型【两点之间线段最短】 1、将军饮马2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】【例16】如图，矩形ABCD 是一个长为1000米，宽为600米的货场，A 、D 是入口，现拟在货场内建一个收费站P ，在铁路线BC 段上建一个发货站台H ，设铺设公路AP 、DP 以及PH 之长度和为l ，求l 的最小值．【解答】3500600 ，点线为最短．QbA P【例17】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值为______________________．D【解答】如图，取AB 中点P ，连接PH 、PD ，易证PH ≥PD -PH 即DH ≥15-．【例18】如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝24，E 是线段AB 的中点，F 是线段BC 上的动点，△BEF 沿直线EF 翻折到△EF B '，连接B D '，B D '最短为________________．【解答】4E【例19】如图1，□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝AD ，EG ⊥AB 于G ，延长GE 、DC 交于点F ，连接AF ． （1）若BE ＝2EC ，AB ＝13，求AD 的长； （2）求证：EG ＝BG ＋FC ；（3）如图2，若AF ＝25，EF ＝2，点M 是线段AG 上一动点，连接ME ，将△GME 沿ME 翻折到△ME G '，连接G D '，试求当G D '取得最小值时GM 的长．图1 图2 备用图【解答】 （1）3（2）如图所示（3）当DG ′最小时D 、E 、G '三点共线解得43173-=+'=MN N G GM 课后练习题【练习1】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，∠AEB ＝90°，AC 、BD 交于O ．已H知AE、BE的长分别为3、5，求三角形OBE的面积．【解答】25【练习2】问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN21∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°，点M，N分别在DA，CD延长线，若∠MBN＝12∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎么样的关量关系？写出你的猜想，并给予证明。
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几何（二）曲线图形
1 图是由正方形和半圆形组成的图形。
其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点。
已知正方形的边长为10，那么阴影部分面积是多少？（π取3.14。
）
2.如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？
3.求右图中阴影部分的面积。
（ 取3）
审题要点：△ABC可以看出为等腰直角三角形。
4.如图，已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形，圆O的半径为15厘米，∠AOB=∠COD=∠EOF=90°。
求阴影部分的面积。
审题要点：题中每一条阴影部分面积可以看做是两个大小弓
形的面积之差。
5 如图，ABCD是一个长为4，宽为3。
对角线长为5的正方形，它绕C 点按顺时针方向旋转900，分别求出四边扫过图形的面积。
（π取3）
6.求圆中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比。
7.如图，半圆半径=40CM，BM=CN=DP=22，每个阴影部分的弧长为半圆
，求阴影部分面积？（π=3）
弧长的1
3
8.如图，哨所门前的两个正三角形哨台拴了两条狼狗，拴狼狗的铁链子长为10米，每个哨台的面积为42.5平方米现在要绿化哨所所在地（哨所面积忽略不计，把其看做一点，在其周围20米范围内铺上草地）为了防止狼狗践踏，则绿化的实际面积为多大合适？（ =3）
9.如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈
滚动一周，回到起始位置。
问：这枚硬币自身转动了多少圈？
审题要点：注意硬币滚动时圆心的轨迹。
10.如图，四边形ABCD是平行四边形，8
=，30
DAB
∠=︒，高
AB cm
AD cm
=，10
CH=4cm,BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径，阴影部分面积是多少平方厘米？
11.下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点；请计算图中两个阴影图形的面积比。
12.（2004第二届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛3），如图，在平行四边形ABCD中，已知三角形ABP、BPC的面积分别是73、100，求三角形BPD的面积。
P
B A
D C 100
73
13.下图中除大圆外，所有的弧线都是半圆，且:::1:2:3:4AB BC CD DE ，图中有上、下两块阴影区域，如果上面的阴影区域面积为100平方厘米，那么下面的阴影域面积为________平方厘米。
14.如图，∠1=15°，圆的周长为62.8厘米，平行四边形的面积为100平方厘米。
求阴影部分面积？
15.五环图由内径为4cm，外径为5cm的5
个圆环组成，其中阴影部分的
面积都相等。
已知5个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米。
求每个阴影部分的面积。
16.（04年华罗庚金杯数学邀请赛）如右图，一个半径为1厘米的小圆盘沿着一个半径为4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（ 取3）
17.有一个边长分别为4cm 的等边三角形木块。
现将三角板沿水平线翻滚，如下图，那么从B 点开始到结束所经过的总长度为多少？
B C A
C A
18. 如下图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，∠ABC=60︒，此时BC长5厘米。
以点B为中心，将△ABC顺时针旋转120︒，点A，C 分别到达点E，D的位置。
求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积。
（π取3）
19.如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米。
圆紧贴直线从一端滚动到另一端（没有离开也没有滑动）。
在圆周上设一个定点P，点P从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到直线，而在圆滚动的全部过
程中点P是不接触直线的。
那么，圆的半径是多少厘米？（设圆周率为3.14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位。
如有多种答案请全部写出）。