江南中学初中数学竞赛题20124
2012年全国初中数学竞赛试题及答案(正题、副题)2012年全国初中数学竞赛试题及答案(正题、副题)
2012年全国初中数学竞赛试题（正题）题号一二三总分1～56～101112 1314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．（第1（甲）题）（A）2c-a（B）2a-2b（C）-a（D）a1（乙）．如果，那么的值为（）．（A）（B）（C）2 （D）2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1 （B）（C）（D）3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（）．（第3（乙）题）（A）（B）4 （C）（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A）5 （B）6 （C）7 （D）85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．（A）（B）（C）（D）5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.（第6（甲）题）6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为．7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .（第7（甲）题）（第7（乙）题）7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于．8（甲）．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么的值为．8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 .9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为.风味试卷试题根据语境9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是.D10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为.的小伙子化学教案他离开公司后化学教案会去哪（第10（甲）题）10（乙．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．11（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy中，AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．CD与y轴交于点E，且S△COE = S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.（第11（乙）题）12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．（第12（甲）题）12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD = 2BD.（第12（乙）题）13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案一、选择题1（甲）．C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以．1（乙）．B解：．2（甲）．D解：由题设知，，，所以.解方程组得所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙）．B解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.因为均为整数，所以有解得以上共计9对.3（甲）．D解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为，中位数为，于是.3（乙）．B解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.（第3（乙）题）由于AC = BC，CD = CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，所以△BCD≌△ACE，BD = AE.又因为，所以.在Rt△中，于是DE=，所以CD = DE = 4.4（甲）．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得消去x得(2y－7)n = y+4，2n =.因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即. 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意．5（甲）．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．5（乙）．C解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，解得，．二、填空题6（甲）．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.由已知得27x－26≤487，81x－80＞487.解得7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是7＜x≤19．6（乙）．7解：由已知可得．7（甲）．8解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以，由此得所以.（第7（甲）题）在Rt△ABF中，因为，所以，于是.由题设可知△ADE≌△BAF，所以，.于是，，.又，所以.因为，所以.7（乙）．解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以，．（第7（乙）题）所以.8（甲）．解：根据题意，关于x的方程有=k2－4≥0，由此得 (k－3)2≤0．又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.故==．8（乙）．1610解：因为==.当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是0时，不能被5整除.所以符合题设要求的所有的个数为．9（甲）．8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0≤b≤43.又，所以. 于是0≤≤43，87≤≤130，由此得，或.当时，；当时，，，不合题设.故．9（乙）．≤1解：由题设得所以，即.整理得，由二次函数的图象及其性质，得.又因为≤1，所以≤1.10（甲）．解：如图，连接AC，BD，OD.（第10（甲）题）由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD,所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此.因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，于是. 因此.由△∽△，知．因为，所以，BA=AD，故.10（乙）. 12解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25．（Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．（Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．（Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．三、解答题11（甲）．解：因为当时，恒有，所以，即，所以．…………（5分）当时，≤；当时，≤，即≤，且≤，解得≤．…………（10分）设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得．因为，所以，解得，或．因此．…………（20分）11（乙）．解：因为sin∠ABC=，，所以AB = 10．由勾股定理，得BO=.（第11（乙）题）易知△ABO≌△ACO，因此CO = BO = 6.于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.设点D的坐标为（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB. 所以，，解得n=－4.因此D为AB的中点，点D的坐标为（3，－4）.…………（10分）因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△A BC的重心，所以点E的坐标为.设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点E的坐标代入，解得a =.故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为.…………（20分）12（甲）．证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形．（第12（甲）题）…………（5分）设与交于点，连接OM，则．又因为，所以．…………（15分）又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以△BOC∽△．…………（20分）12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知（第12（乙）题）所以CI = CD．同理，CI = CB.故点C是△IBD的外心.连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI.故OI是△IBD外接圆的切线.…………（10分）（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F.由，知OC⊥BD.因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE，所以BF = AE.又因为I是△ABD的内心，所以AB+AD－BD = 2AE = BD.故AB+AD = 2BD．…………（20分）13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）.因为(a+b)2－4ab = (a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.…………（5分）因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n(m为素数)，所以2a－m+2n m 2，2a－m－2n1.解得a，.于是= a－m.…………（10分）又a≥2012，即≥2012.又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.当时，，，.因此，a的最小值为2025.…………（20分）13（乙）．解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个．（1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于；…………（5分）（2）若，且≥13，由，可得，即≤11．当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于，．…………（10分）（3）若，且≤≤．当时，设另一个角等于．存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角．由≤可得；由≥8可得，且．…………（15分）（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于．综上，当时，的最大值为12；当≥13时，的最大值为11；当≤≤时，的最大值为；当3≤≤7时，的最大值为．…………（20分）14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以≥1，≥2，…，≥2012．于是≤．…………（10分）当时，令，则.…………（15分）当时，其中≤≤，令，则．综上，满足条件的所有正整数n为．…………（20分）14（乙）．解：当时，把分成如下两个数组：和．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．所以，≥．…………（10分）下面证明当时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组. 同理可设在第一组，在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．综上，满足题设条件．所以，的最小值为．…………（20分）2012年全国初中数学竞赛试题（副题）题号一二三总分1～56～101112 1314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（）．（A）10000 （B）10020 （C）10120 （D）102002. 如图，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（）．（A）11 （B）12 （C）13 （D）14（第2题）3．如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44. 若函数y=（k2－1）x2－（k+1）x+1（k为参数）的图象与x轴没有公共点，则k的取值范围是（）．（A）k＞，或k＜－1 （B）－1＜k＜，且k≠1（C）k＞，或k≤－1 （D）k≥，或k≤－15. △ABC中，，分别为上的点，平分，BM=CM，为上一点，且，则与的大小关系为（）．（A）（B）（C）（D）无法确定二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上，；X，Y，Z三点在BD上，且，则△PZX的面积为．（第6题）7．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车．8. 设a n=（n为正整数），则a1+a2+…+a2012的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜”）9．红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法．10. △ABC中，已知，且b=4，则a+c= .②将醚层依次用饱和亚硫酸三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知c≤b≤a，且，求的最小值．12. 求关于a，b，c，d的方程组的所有正整数解.13. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O．P，Q分别是AD，BC上的点，且，．求证：OP＝OQ．（第13题）14.（1）已知三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的值.（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数满足首尾两项的积等于中间项的平方？（3）设为非零实数，若将一列数中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值.2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案一、选择题1．D解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是．2. B解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.3．B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又2≥，所以，当时，解得；当时，解得．4. C解：当函数为二次函数时，有k2－1≠0，=(k+1)2－4(k2－1)＜0.解得k＞，或k＜－1．当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1.5. B（第5题）解：如图，设，作BKCE，则，于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有，即平分.二、填空题6. 30（第6题）解：如图，连接PD，则．7．180解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知，．消去z，得．设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即，解得．8．＜解：由a n==，得a1+a2+…+a2012==＜1.9．25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即，（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到．此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有9×3－2 = 25种放法．10. 6（第10题）解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.由切线长定理得AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即tan.同理，tan，tan.代入已知等式，得.因此a+c=.三、解答题11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程的两个根.故≥0，≥0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故≥30，当时，等号成立．12. 解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因为abc≠0，所以，.不妨设a≤b≤c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而，a=2，或3.若a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.从而，b=3，4，5. 相应地，可得c=15，(舍去)，5.当a=2，b=3，c=15时，d=90；当a=2，b=5，c=5时，d=50.若a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而，b=2（舍去），3.当b=3时，c=(舍去).因此，所有正整数解为(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).13. 证明：延长DA至，使得，则，于是△DPC∽△，故，所以PO∥．（第13题）又因为△DPO ∽△，所以．同理可得，而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．14.解：（1）由题设可得，或，或.由，解得；由，解得；由，解得.所以满足题设要求的实数.（2）不存在.由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中间项的平方，则有，解得，这与矛盾.故不存在这样的数列.（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.如果删去的是，得到的一列数为，那么，开得.所以符合题设要求的的值为1，或.41。
浙江省宁波市北仑区江南中学2022届九年级数学下学期竞赛试题 浙教版
浙江省宁波市北仑区江南中学2022届九年级数学下学期竞赛试题浙教版一、选择题每小题7分，共42分1 设z y x ++=+++6323，且、、= A3／4 B5／6 C7／12 D13／182 某次数学测验共有20道题评分标准规定:每答对一题得5分，不答得0分，答错得-2分已知这次测验中小强与小刚的累计得分相等，分数是质数则小强与小刚答题的情况是 A 两人答对的题数一样多 B 两人答对的题数相差2C 两人答对的题数相差4D 以上三种情况都有可能3 能判定四边形ABCD 是菱形的条件是A 对角线AC 平分对角线BD ，且AC⊥BDB 对角线AC 平分对角线BD ，且∠A=∠CC 对角线AC 平分对角线BD ，且平分∠A、∠CD 对角线AC 平分∠A、∠C，且∠A=∠C4 已知抛物线=a 2bca>0与直线=-14k 2取任何实数,此抛物线与直线都只有一个公共点那么,抛物线的解析式是A=2 B=2-2 C=2-21 D=22-425 如图，在△ABC 中，∠B 为直角，∠A 的平分线为AD ，边BC 上的中线为E ，且点D 、E 顺次分BC 成三段的比为1∶2∶∠BAC=A12/13 B4 3 /9 C2 6/5 D 432+ 6 已知在平面直角坐标系O 中，直线=23-4与轴正半轴、轴正半轴分别交于点A 、B ，000 km000 km2-1=0的两个根为α、β则αββα33+的值为 10 如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图O 是其秒针的转动中心，M 是秒针的另一端，OM=10 cm ，上爬行，蚂蚁三．解答题1118分某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1 520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现:该产品的销售单价定在100元到00元之间较为合理当销售单价定为100元时，年销售量为20万件;当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少万件;当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，元，年销售量为万件，年获利为w万元1直接写出与之间的函数关系式2求第一年的年获利w与之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损若赢利，最大利润是多少若亏损，最少亏损是多少3该公司希望到第二年底，两年的总赢利不低于1 842万元，请你确定此时销售单价的范围在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元13 16分实数、、、w满足≥≥≥w≥0，且5436w=w的最大值和最小值参考答案1 A两边平方得3 36=2xy2yz2xz根据有理数、、的对称性,可考虑方程组=3,2xy= ,2yz=3,2xz= 6解得=1,=1／2,=3／2此时,=3/42 D根据题意，依次枚举答对20道题、19道题、……的各种可能发现:1小强与小刚可能都答对17题、答错1题、未答其余2题同得83分;2小刚与小强可能同得53分，不过一人答对13题、答错6题、1题未答，另一人答对11题、答错1题、其余各题未答;3小刚与小强也可能同得23分，其中一人答对9题，其余各题答错，另一人答对5题、答错1题、其余各题未答3 D如图4，AC平分BD，AC⊥BD，AC也平分∠A和∠C，故可排除选项A、C而选项B的条件只能推出四边形ABCD是平行四边形，故排除选项B4 C由=a2bc,=-1-2/4得a2b-c2/4=0①由题设知,方程①有两个相等的实根,则Δ=b-2-4a c2/4=0,即 1-a2-22abb2-4ac=0因为为任意实数,所以,抛物线的解析式为=2-215 C设BD=，AB=，则DE=2，EC=3由BD/DC=AB/AC ，得AC=2BC 2=AC 2，即262=52所以，2=22/3，in∠BAC=6/5=2 6/5 6 C 设点2k 44k)-(3-02k 42⨯⨯⨯221 km1 km 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+k ky kx k ky kx 5000300030005000两式相加得=3 750 m 9 -7令A=αββα33+，B=ββαα33+=α2β2 由已知有αβ=-1，αβ=-1故B=αβ2-2αβ=12=3①AB==α3β31/α1/β=-4②由式①、②得A=-4-3=-710 20π如图，以点O 为圆心、10 cm 为半径作⊙⊥于点N ，过O 作的垂线交⊙O 于点Q 1、∥OQ 1，∠M=∠MOQ1 又因OM=OQ 1，MN=O 252101252252252252101252101a =-78; 若200<≤300时，w ma <-80故投资的第一年公司是亏损的，最少亏损为78万元3依题意可知，第二年w 与之间的函数关系式为w=-25228-40， 100≤≤200; w= -10132-40， 200<≤300 当两年总利润刚好为1 842万元时，依题意得-25228-40-78=1 842， 100≤≤200或 -11032-40-78=1 842，200<≤300解得1=190，2=200故当190≤≤200时，总利润不低于1 842万元 由=-25228100≤≤200可知，当销售单价定为190元时，销售量最大12 1由二次函数过点1，1得m=n 2/2注意到m-n4= n 2/2-n4=21 n 2-2n-8= 21 n-4n2， 所以，in=2 2图像与坐标轴有三个不同的交点，可设交点坐标为A 1，0、B 2，0、C0，-n 2又12=-n 2，若n=0，则与三个交点不符，故12=-n 2<0所以，1、2分在原点左右两侧 又|12|=n 2×1，所以，存在点P 00，1使得|OA|·|OB|=|OP 0|·|OC| 故A 、B 、C 、P0四点共圆，即这些圆必过定点P 00，113 设=wa ，=wab ，=wab 、b 、c≥0，且w=4w3a2bc 故100=5wabc4wab3wa6w=18w12a9b5c=44w3a2bc2wbc ≥4w。
2012年下学期八年级数学竞赛试题.doc
2012年下学期八年级数学竞赛试题 姓名____________ 班级__________一、 选择题（每小题3分，共30分）1、函数y=121--x ，自变量x 的取值范围是（ ）A.x ＞1B.x ≠1C.x ≥1且x ≠5D.x ＞1且x ≠52、关于函数y= －x －5的图像，有如下说法：①.图像过点(0，－5) ， ②图像与x 轴的交点是（－5，0）， ③ 由图象可知y 随x 的增大而增大 ， ④图像不经过第一象限 ， ⑤图像是与y= -x+2平行的直线 ，其中正确说法有（ ）A ．5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个3、已知x1＋y 1=3，则y xy x y xy x +-++33的值等于 （ ） A 、5 B 、10 C 、15 D 、204、已知整数a 、b 满足ab=12,则a ＋b 结果的可能值的个数是（ ）A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个5、一次函数y=kx-b 和正比例函数y=kbx 在同一坐标系内的大致图像不可能．．．的是（ ）6、形如d c b a 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为d cb a ＝ad －bc ，依此法则计算4132-的结果为（ ）A ．11B ．－11C ．5D ．－27、由4个2组成的数中，最大的一个数是 （ ）A 、2222B 、2222C 、2222D 、22228、的值( )（A ）在1到2之间（B ）在2到3之间（C ）在3到4之间（D ）在4到5之间9、已知⊿ABC 中AB=10,BC=15,CA=20,O 是⊿ABC 内角平分线的交点,则⊿ABO,⊿BCO,⊿CAO 的面积比是 ( )A 、1:1:1;B 、1：2:3;C.2:3:4; D.3:4:5 10、对于任意x 的允许取值范围，p=∣1-2x ∣＋∣1-3x ∣＋∣1-4x ∣＋∣1-5x ∣＋∣1-6x ∣＋∣1-7x ∣＋∣1-8x ∣＋∣1-9x ∣＋∣1-10x ∣是一个定值，则这个定值是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5二、填空题（每小题3分，共30分）11、等腰三角形一腰的高等于腰的一半，则顶角是______________度。
2012年全国初中数学竞赛试题(含答案)
中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）．（A ）2c a （B ）2a 2b （C ） a （D ）a2．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．（A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）3．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）144．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p（第1题图）二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .7．如图，正方形ABCD的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .8．如果关于x 的方程x 2+kx+43k 2－3k+92= 0的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x的值为 ．9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 .10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD = DC. 分别延长BA ，CD ，交点为E. 作BF ⊥EC ，并与EC 的延长线交于点F. 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围．（第7题图）（第10题图）12．如图，⊙O 的直径为AB ，⊙O 1过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点，OC 与⊙O 1交于点D ，且OD CD >．点E 在OD 上，且DC DE =，BE 的延长线与⊙O1交于点F ，求证：△BOC ∽△1DO F ．13．已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时，求a 的最小值.14．求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，， ，，满足122012x x x <<<，且122012122012n x x x +++=.（第12题图）中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．C解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >，所以 22||()||()()()a a b c a b c a a b c a b c -++-++=-+++--+a =-．2．D解：由题设知，2(3)a -=⋅-，(3)(2)b -⋅-=，所以263a b ==，.解方程组236y x y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得32x y =-⎧⎨=-⎩，； 32.x y =⎧⎨=⎩，所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.3．D解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为 (1)(1)44224a a b a b++++++=， 于是 4423421444a b a b ++++-=.4．D解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩，， 消去x 得 (2y －7)n = y+4，2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数，所以2y －7的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．5．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以01239891036363636p p p p ====，，，，因此3p 最大．二、填空题6．7＜x ≤19解：前四次操作的结果分别为3x －2，3(3x －2)－2 = 9x －8，3(9x －8)－2 = 27x －26，3(27x －26)－2 = 81x －80.由已知得 27x －26≤487， 81x －80＞487.解得 7＜x ≤19.容易验证，当7＜x ≤19时，32x -≤487 98x -≤487，故x 的取值范围是 7＜x ≤19．7．8解：连接DF ，记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ，所以21AD AN DN BF NF BN ===， 由此得2AN NF =，所以23AN AF =.在Rt △ABF 中，因为2AB a BF a ==，，所以225AF AB BF a =+=，于是 25cos 5AB BAF AF ∠==. 由题设可知△ADE ≌△BAF ，所以 AED AFB ∠=∠，0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=.（第7题）于是 25cos 5AM AE BAF a =⋅∠=， 245315MN AN AM AF AM a =-=-=，415MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ∆=⋅⋅=，所以2481515MND AFD S S a ∆∆==. 因为15a =，所以8MND S ∆=. 8．32-解：根据题意，关于x 的方程有∆=k 2－4239(3)42k k -+≥0，由此得 (k －3)2≤0．又(k －3)2≥0，所以(k －3)2=0，从而k=3. 此时方程为x 2+3x+49=0，解得x 1=x 2=32-.故2012220111x x =21x =23-． 9．8解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知23130a b +=，由此得0≤b ≤43. 又 (1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是0≤130(1)(2)b m m =-++≤43，87≤(1)(2)m m ++≤130，由此得 8m =，或9m =.当8m =时，405b a ==，；当9m =时，2035b a ==，，5522a b a +>=，不合题设. 故8m =．（第10题）10．223 解：如图，连接AC ，BD ，OD.由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD,所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ，因此BC BACF AD=. 因为OD 是⊙O 的半径，AD = CD ，所以OD 垂直平分AC ，OD ∥BC ， 于是2DE OEDC OB==. 因此 223DE CD AD CE AD ===，.由△AED ∽△CEB ，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，， 所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，BA=22AD ，故 AD CF BC BA =⋅=32222BC =. 三、解答题11．解： 因为当13x -<<时，恒有0y <，所以23420m m ∆=+-+>（）（），即210m +>（），所以1m ≠-． ………（5分） 当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0，且 233(3)2m m ++++≤0，解得m ≤5-． ………（10分）设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-，所以 121239210x x m x x m ++=-<-+， 解得12m <-，或2m >-．因此12m <-． …………（20分） 12． 证明：连接BD ，因为OB 为1O 的直径，所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =，所以△CBE 是等腰三角形．…………（5分）设BC 与1O 交于点M ，连接OM ，则90OMB ∠=︒．又因为OC OB =，所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．…………（15分）又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ，等腰△1DO F 的顶角，所以△BOC ∽△1DO F ． …………（20分）13．解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）. 因为 (a+b)2－4ab = (a －b)2， 所以 (2a －m)2－4n 2= m 2，(2a －m+2n)(2a －m －2n) = m 2. ………（5分）因为2a －m+2n 与2a －m －2n 都是正整数，且2a －m+2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，所以 2a －m+2n =m 2，2a －m －2n =1.解得 a =2(1)4m +，n =214m -.于是 b = a －m =214m -（）. …………（10分）又a ≥2012，即2(1)4m +≥2012.（第12题）又因为m 是素数，解得m ≥89. 此时，a ≥41)(892+=2025.当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =.因此，a 的最小值为2025. …………（20分） 14．解：由于122012x x x ，， ，都是正整数，且122012x x x <<<，所以1x ≥1，2x ≥2，…，2012x ≥2012．于是 122012122012n x x x =+++≤1220122012122012+++=．…………（10分） 当1n =时，令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯，， ，，则1220121220121x x x +++=.…………（15分） 当1n k =+时，其中1≤k ≤2011，令 1212k x x x k ===，， ，，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,，，则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅-1k n =+=． 综上，满足条件的所有正整数n 为122012， ， ， ． …………（20分）。
宁波市江南中学2012年2月七年级数学选拔赛试卷(含答案)
江南中学七年级数学竞赛试题2012.2 (满分：100分)班级 _____________ 姓名 得分一、填空题（每小题3分，共75分）1、已知代数式3x y +的值是5，则代数式261x y ++的值是2、⊿ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶4，则⊿ABC 是3、已知()2230x y -++=，则xy =___ ___.4、,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，则()()23a b cd +=__________.5、在－0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最小，则被替换的字是6、把14个棱长为2的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立方 体，然后将露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积为 7、(－0.125)2011× (－8)2012的值为8、已知线段AC 和BC 在同一直线上，如果cm AC 6.5=，cm BC 4.2=， 则线段AC 和BC 的中点之间的距离是9、如果a 名同学在b 小时内共搬运c 块砖，那么c 名同还以同样速度搬运b 块砖所需的小时数是10、如图，∠AOB 是直角，i OP （i ＝1,2，3，4,5，6）是射线，则图中共有锐角11、已知x －y=4，|x|+|y|=8，那么x+y 的值是12、某商品的原价为a 元，提价10%后发现销售量锐减，欲恢复原价出售，则应约降价 13、李明、张斌、王大三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中有一个当了记者。
一次有人问起他们的职业，李明说：“我是记者。
”张斌说：“我不是记者。
”王大说：“李明说了假话。
” 如果他们三人的话中只有一句是真的， 那么________是记者。
14、用一个最多能称16千克的弹簧称，称重时发现，弹簧的长度（厘米）与物体的千克（千克）之间有一定的关系，根据下表考虑：在弹簧称称重范围内，弹簧最长为 厘米。
O ABP PPP PP15、一件任务，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成，则两人合作需要__ __天完成。
江南中学校2014年秋九年级12月段考 数学试卷
江南中学校2014年秋九年级12月段考数学试卷（总分： 120分 时间： 120分钟 ）温馨提示：本试卷非答题卷，请将试题的答案写在答题卷的相应位置，否则不得分；考试结束后，试卷由考生妥善保管，答题卷交监考老师，供老师评分。
一、选择题（每小题2分 共20分）1. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 一元二次方程0)1(=-x x 的解是（ ）A.0=xB.1=xC. 0=x 或1=xD. 0=x 或1-=x 3．对于二次函数3)5(312+--=x y 的性质分析，下列说法错误的是（ ） A ．该函数的开口向下 B ．该函数的对称轴是直线x=5 C.当x=5时，y 有最大值是3 D ．当5≥x 时，y 随x 的增大而增大 4. 已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.195. 若直线y=mx+n 经过第一、三、四象限，则抛物线y=（x+m ）2+n 的顶点必在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.下列命题正确的是（ ）A ．相等的圆心角所对的弦相等B ．等弦所对的弧相等C ．等弧所对的弦相等D ．垂直于弦的直线平分弦7. 如图，已知CD 为⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50°，第8题B AODC 则∠C 的度数是（ ） A ．25°B ．40°C ．30°D ．50°8．二次函数y =x 2 - a x -b 的图象如图所示。
当y ＜0时，自变量x 的取值范围是( )A.－1＜x ＜3B.x ＜－1C.x ＞3D.x ＜－3或x ＞39. 某超市一月份的营业额为20万元,已知第一季度的总营业额．．．．共100万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A.20(1+x)2=100 B.20+20×2x=100 C.20+20×3x=100 D.20[1+(1+x)+(1+x)2]=10010. 已知一元二次方程 的两个实数根 满足x 1＋x 2＝4和x 1•x 2＝3，那么二次函数 的图象可能是( )A. B. C. D二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 方程22(1)1x x +=+的根是________________．12. 已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则 222n mn m ++=____ ． 13. 已知抛物线的顶点坐标为（2，4），它与x 轴交于A 、B 两点，已知A 点坐标为 （－2，0），则B 点坐标为_______ ．14．如图，在⊙O 中，直径AB 和弦CD 的长分别为10 cm 和8 cm ， 则A 、B 两点到直线CD 的距离之和是_____ .15. 如图，正方形ABCD 边长为2，E 为CD 的中点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°得△ABF ，连接EF ，则EF 的长等于 ．16. 如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线y=x 2+k 与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是 _________ ．C bxax y ++=202=++Cbx ax 21,x x17. 如图，在△ABC 中，以BC 为直径的圆分别交边AC 、AB 于D 、E 两点，连接 BD 、DE ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论: ①BD ⊥AC ②AD=DE ③BC=2AD ④∠AED=∠ACB 其中正确的是 _________ （写出所有正确结论的序号）． 18. 如图,所示，AB 是⊙O 直径，C ，D ，E 都是⊙O 上的点，则∠1+∠2=______． 19. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若∠ACD=60°， ∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB= .20．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0； ②4a +c ＜2b ； ③3b +2c ＜0；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠﹣1），其中正确结论的编号______ ．第 15题AD C OBE江南中学校2014年秋九年级12月段考数学答题卷（总分： 120分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 四 五 总分 得分一、选择题（每小题2分 共20分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10选项二、填空题（每小题3分，共30分）11. ．12. ．13. ． 14.________ . 15. ．16. ． 17. ．18. ．19. ; ． 20. ． 三、解方程：21.（每小题6分，共12分）（1）03322=--x x （2）； 15)3)(1(=++x x考号最后两位数四、解答题（每小题8分，共24分）22、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，求AC的长。
江南中学初中数学竞赛题20124
江南中学初中数学竞赛题2012.4班级 ___________ 姓名________________ 成绩____________一、选择题(每小题7分，共42分)1. 设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz=( ).(A)3／4 (B)5／6 (C)7／12 (D)13／182. 某次数学测验共有20道题.评分标准规定:每答对一题得5分，不答得0分，答错得-2分.已知这次测验中小强与小刚的累计得分相等，分数是质数.则小强与小刚答题的情况是( ).(A)两人答对的题数一样多 (B)两人答对的题数相差2(C)两人答对的题数相差4 (D)以上三种情况都有可能3. 能判定四边形ABCD 是菱形的条件是( ).(A)对角线AC 平分对角线BD ，且AC ⊥BD(B)对角线AC 平分对角线BD ，且∠A=∠C(C)对角线AC 平分对角线BD ，且平分∠A 、∠C(D)对角线AC 平分∠A 、∠C ，且∠A=∠C4. 已知抛物线y=a x 2+bx+c(a>0)与直线y=k(x-1)-4k 2.无论k 取任何实数,此抛物线与直线都只有一个公共点.那么,抛物线的解析式是( ).(A)y=x 2 (B)y=x 2-2x (C)y=x 2-2x+1 (D)y=2x 2-4x+25. 如图，在△ABC 中，∠B 为直角，∠A 的平分线为AD ，边BC 上的中线为E ，且点D 、E 顺次分BC 成三段的比为1∶2∶3.则sin ∠BAC=( ).(A)12/13 (B)4 3 /9 (C)2 6/5 (D)432+ 6. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y=2kx+3-4k 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B ，P 是线段AB 上一点，PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N.则矩形OMPN 面积的最大值至少为( ).(A)3 (B)4 (C)6 (D)8二、填空题(每小题7分，共28分)7. 正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE=3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE+PC 的值最小.则PB= .8. .一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5 000 km 后报废;若安装在后轮，则行驶3 000 km 后报废.如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一对新轮胎同时报废，那么，最多可行驶km.9.已知方程x 2+x-1=0的两个根为α、β.则αββα33+的值为 .10. 如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O 是其秒针的转动中心，M 是秒针的另一端，OM=10 cm ，l 是过点O 的铅直直线.现有一只蚂蚁P 在秒针OM 上爬行，蚂蚁P 到点O 的距离与M 到l 的距离始终相等.1分钟的时间内，蚂蚁P 被秒针OM 携带的过程中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程)是 cm.三．解答题11.(18分)某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1 520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现:该产品的销售单价定在100元到00元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件;当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件;当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，年获利为w(万元).(1)直接写出y与x之间的函数关系式.(2)求第一年的年获利w与x之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损?若赢利，最大利润是多少?若亏损，最少亏损是多少?(3)该公司希望到第二年底，两年的总赢利不低于1 842万元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元?12. (16分)已知二次函数y=x2+2mx-n2.(1)若此二次函数的图像经过点(1，1)，且记m，n+4两数中较大者为P，试求P的最小值;(2)若m、n变化时，这些函数的图像是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，则过这三个交点作圆，证明:这些圆都经过同一定点，并求出该定点的坐标.13. (16分)实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.参考答案1. A.两边平方得3+2 +3+6=x+y+z+2xy +2yz +2xz . 根据有理数x 、y 、z 的对称性,可考虑方程组 x+y+z=3,2xy = 2,2yz =3,2xz = 6.解得x=1,y=1／2,z=3／2.此时,xyz=3/4.2. D.根据题意，依次枚举答对20道题、19道题、……的各种可能发现:(1)小强与小刚可能都答对17题、答错1题、未答其余2题同得83分;(2)小刚与小强可能同得53分，不过一人答对13题、答错6题、1题未答，另一人答对11题、答错1题、其余各题未答;(3)小刚与小强也可能同得23分，其中一人答对9题，其余各题答错，另一人答对5题、答错1题、其余各题未答.3. D.如图4，AC 平分BD ，AC ⊥BD ，AC 也平分∠A 和∠C ，故可排除选项(A)、(C).而选项(B)的条件只能推出四边形ABCD 是平行四边形，故排除选项(B).4. C.由y=a x 2+bx+c,y=k(x-1)-k 2/4得a x 2+(b-k)x+c+k+k 2/4=0.①由题设知,方程①有两个相等的实根,则Δ=(b-k)2-4a( c+k+k 2/4)=0,即 (1-a)k 2-2(2a+b)k+b 2-4ac=0.因为k 为任意实数,所以,抛物线的解析式为y=x 2-2x+1.5. C.设BD=x ，AB=y ，则DE=2x ，EC=3x.由BD/DC=AB/AC ，得AC=5y.又AB 2+BC 2=AC 2，即y 2+(6x)2=(5y)2.所以，x 2=2y 2/3，sin ∠BAC=6x/5y=26/5.6. C.设点P 的坐标为(x 0，y0)，矩形OMPN 的面积为S.则x 0>0，y0>0，S=x 0y0.因为点P(x 0，y0)在y=2kx+3-4k 上，所以，y 0=2kx 0+3-4k.故S=x 0(2kx 0+3-4k)=2kx 20+(3-4k)x 0. 因此，S 最大=2k44k)-(3-02k 42⨯⨯⨯，即16k 2-(24-8S 最大)k+9=0. 因为k 为实数，则有Δ=[-(24-8S 最大)]2-4×16×9≥0.故|24-8S 最大|≥24.解得S 最大≥6或S 最大≤0(舍去).当S 最大=6时，k=-3/4.7. 152 /8.因为PE+PC=PE+PA ，所以，当A 、P 、E 三点共线时，PE+PA 最小.如图，建立直角坐标系，设B 为坐标原点，BA 为x 轴.则l BD :y=x ，l AE :3x+5y=15.所以，P(15/8，15/8).故PB=152/8.8. 3 750.设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 的磨损量为k/5 000，安装在后轮的轮胎每行驶1 km 的磨损量为k/3 000.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+kkykx kkykx5000300030005000.两式相加得x+y=3 750 (km9. .-7.令A=αββα33+，B=ββαα33+=α2+β2.由已知有α+β=-1，αβ=-1.故B=(α+β)2-2αβ=1+2=3.①A+B=)=(α3+β3)(1/α+1/β)=-4.②由式①、②得A=-4-3=-7.10. 20π.如图，以点O 为圆心、10 cm 为半径作⊙O.过M 作MN ⊥l 于点N ，过O 作l 的垂线交⊙O 于点Q 1、Q 2.联结PQ1.则MN ∥OQ 1，∠M=∠MOQ1. 又因OM=OQ 1，MN=OP ，所以，△OMN △Q 1OP.故∠OPQ 1=∠ONM=90°.因此，点P 在以OQ 1为直径的圆上.同理，点P 在以OQ 2为直径的圆上.从而，蚂蚁P 在1分钟的时间内被秒针OM 携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ 1、OQ 2为直径的两个圆.移动的路程为2×10×π=20π.11、(1)y=-252x+28， 100≤x ≤200; y=-101x+32， 200<x ≤300.(2)当100≤x ≤200时，w=xy-40y-(1 520+480).①将y=-252x+28代入式①得w=x(-252x+28)-40(-252x+28)-2 000.整理得w=-252 (x-195)2-78.当200<x ≤300时，同理可得 w=-101(x-180)2-40.故w=-252(x-195)2-78， 100≤x ≤200; w=-101(x-180)2-40， 200<x ≤300.若100≤x ≤200，当x=195时，w max =-78;若200<x ≤300时，w max <-80.故投资的第一年公司是亏损的，最少亏损为78万元.(3)依题意可知，第二年w 与x 之间的函数关系式为 w=(-252x+28)(x-40)， 100≤x ≤200; w= (-101x+32)(x-40)， 200<x ≤300.当两年总利润刚好为1 842万元时，依题意得(-252x+28)(x-40)-78=1 842，100≤x ≤200或 (-110x+32)(x-40)-78=1 842，200<x ≤300.解得x 1=190，x 2=200.故当190≤x ≤200时，总利润不低于1 842万元.由y=-252x+28(100≤x ≤200)可知，当销售单价定为190元时，销售量最大.12 (1)由二次函数过点(1，1)得m=n 2/2.注意到m-(n+4)= n 2/2-(n+4) =21 (n 2-2n-8)= 21 (n-4)(n+2)， 所以，P= n 2/2， n≤-2或n≥4;P=n+4， -2<n<4.再利用函数图像可知，当n=-2时，Pmin=2.(2)图像与坐标轴有三个不同的交点，可设交点坐标为A(x 1，0)、B(x 2，0)、C(0，-n 2). 又x 1x 2=-n 2，若n=0，则与三个交点不符，故x 1x 2=-n 2<0.所以，x 1、x 2分在原点左右两侧. 又|x 1x 2|=n 2×1，所以，存在点P 0(0，1)使得|OA|·|OB|=|OP 0|·|OC|.故A 、B 、C 、P0四点共圆，即这些圆必过定点P 0(0，1).13. 设z=w+a ，y=w+a+b ，x=w+a+b+c.则a 、b 、c≥0，且x+y+z+w=4w+3a+2b+c. 故100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c=4(4w+3a+2b+c)+(2w+b+c) ≥4(x+y+z+w).因此，x+y+z+w≤25.当x=y=z=25/3，w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w 的最大值为25.又100=18w+12a+9b+5c=5(4w+3a+2b+c)-(2w+3a+b)≤5(x+y+z+w)，则 x+y+z+w≥20.当x=20，y=z=w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w 的最小值为20.。
江南中学数学选拔赛试卷.doc
江南中学数学选拔赛试卷2012.2班级_______姓名_________一、选择题(有且只有一个正确答案，每小题5分，满分30分)1、一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ） A 、42条 B 、54条 C 、66条 D 、78条2、如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ， 若∠CAE=15°则∠BOE=（ ）AB CDEA 、30°B 、45°C 、60°D 、75° 3、从分数组{}111111,,,,,24681012中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（ ）（A ）1148与 (B)11410与 (C)11810与 (D)11812与 4、555的末尾三位数字是（ ） （A ）125 (B)375 (C)625 (D)8755、若实数,,x y z 满足方程组： 1.........(1)2 2..........(2)2 3...........(3)2xyx y yzy z zxz x ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩, 则有（ ）（A ）x+2y+3z=0 (B) 7x+5y+2z=0 (C) 9x+6y+3z =0 (D)10x+7y+z=06、将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（ ）（A ）15 (B)18 (C)21 (D)24二、填空题(每小题6分，满分30分)7.不论实数k 为何值，直线(2k+1)x+(1-k)y+7-k=0恒经过的定点坐标是 。
8．化简：135212335263106++-+--+=9．某人想买A 、B 、C 三件物品，若买l 3件A 物品，5件B 物品， 9件C 物品，则需9．25元；若买2件A 物品，4件B 物品，3件C 物品，则需3．2元。
试问若买A 物品，B 物品， C 物品各2件，则需 元。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江南中学初中数学竞赛题2012.4班级 ___________ 姓名________________ 成绩____________一、选择题(每小题7分，共42分)1. 设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz=( ).(A)3／4 (B)5／6 (C)7／12 (D)13／182. 某次数学测验共有20道题.评分标准规定:每答对一题得5分，不答得0分，答错得-2分.已知这次测验中小强与小刚的累计得分相等，分数是质数.则小强与小刚答题的情况是( ).(A)两人答对的题数一样多 (B)两人答对的题数相差2(C)两人答对的题数相差4 (D)以上三种情况都有可能3. 能判定四边形ABCD 是菱形的条件是( ).(A)对角线AC 平分对角线BD ，且AC ⊥BD(B)对角线AC 平分对角线BD ，且∠A=∠C(C)对角线AC 平分对角线BD ，且平分∠A 、∠C(D)对角线AC 平分∠A 、∠C ，且∠A=∠C4. 已知抛物线y=a x 2+bx+c(a>0)与直线y=k(x-1)-4k 2.无论k 取任何实数,此抛物线与直线都只有一个公共点.那么,抛物线的解析式是( ).(A)y=x 2 (B)y=x 2-2x (C)y=x 2-2x+1 (D)y=2x 2-4x+25. 如图，在△ABC 中，∠B 为直角，∠A 的平分线为AD ，边BC 上的中线为E ，且点D 、E 顺次分BC 成三段的比为1∶2∶3.则sin ∠BAC=( ).(A)12/13 (B)4 3 /9 (C)2 6/5 (D)432+ 6. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y=2kx+3-4k 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B ，P 是线段AB 上一点，PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N.则矩形OMPN 面积的最大值至少为( ).(A)3 (B)4 (C)6 (D)8二、填空题(每小题7分，共28分)7. 正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE=3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE+PC 的值最小.则PB= .8. .一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5 000 km 后报废;若安装在后轮，则行驶3 000 km 后报废.如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一对新轮胎同时报废，那么，最多可行驶km.9.已知方程x 2+x-1=0的两个根为α、β.则αββα33+的值为 .10. 如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O 是其秒针的转动中心，M 是秒针的另一端，OM=10 cm ，l 是过点O 的铅直直线.现有一只蚂蚁P 在秒针OM 上爬行，蚂蚁P 到点O的距离与M 到l 的距离始终相等.1分钟的时间内，蚂蚁P 被秒针OM 携带的过程中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程)是 cm. 三．解答题11.(18分)某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1 520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现:该产品的销售单价定在100元到00元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件;当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件;当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，年获利为w(万元).(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式.(2)求第一年的年获利w 与x 之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损?若赢利，最大利润是多少?若亏损，最少亏损是多少?(3)该公司希望到第二年底，两年的总赢利不低于1 842万元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元?12. (16分)已知二次函数y=x2+2mx-n2.(1)若此二次函数的图像经过点(1，1)，且记m，n+4两数中较大者为P，试求P的最小值;(2)若m、n变化时，这些函数的图像是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，则过这三个交点作圆，证明:这些圆都经过同一定点，并求出该定点的坐标.13. (16分)实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.参考答案1. A.两边平方得3+2+3+6=x+y+z+2xy+2yz+2xz.根据有理数x、y、z的对称性,可考虑方程组x+y+z=3,2xy= 2,2yz=3,2xz= 6.解得x=1,y=1／2,z=3／2.此时,xyz=3/4.2. D.根据题意，依次枚举答对20道题、19道题、……的各种可能发现:(1)小强与小刚可能都答对17题、答错1题、未答其余2题同得83分;(2)小刚与小强可能同得53分，不过一人答对13题、答错6题、1题未答，另一人答对11题、答错1题、其余各题未答;(3)小刚与小强也可能同得23分，其中一人答对9题，其余各题答错，另一人答对5题、答错1题、其余各题未答.3. D.如图4，AC平分BD，AC⊥BD，AC也平分∠A和∠C，故可排除选项(A)、(C).而选项(B)的条件只能推出四边形ABCD是平行四边形，故排除选项(B).4. C.由y=a x2+bx+c,y=k(x-1)-k2/4得a x 2+(b-k)x+c+k+k 2/4=0.①由题设知,方程①有两个相等的实根,则Δ=(b-k)2-4a( c+k+k 2/4)=0,即 (1-a)k 2-2(2a+b)k+b 2-4ac=0.因为k 为任意实数,所以,抛物线的解析式为y=x 2-2x+1.5. C.设BD=x ，AB=y ，则DE=2x ，EC=3x.由BD/DC=AB/AC ，得AC=5y.又AB 2+BC 2=AC 2，即y 2+(6x)2=(5y)2.所以，x 2=2y 2/3，sin ∠BAC=6x/5y=26/5.6. C.设点P 的坐标为(x 0，y0)，矩形OMPN 的面积为S.则x 0>0，y0>0，S=x 0y0.因为点P(x 0，y0)在y=2kx+3-4k 上，所以，y 0=2kx 0+3-4k.故S=x 0(2kx 0+3-4k)=2kx 20+(3-4k)x 0. 因此，S 最大=2k44k)-(3-02k 42⨯⨯⨯，即16k 2-(24-8S 最大)k+9=0. 因为k 为实数，则有Δ=[-(24-8S 最大)]2-4×16×9≥0.故|24-8S 最大|≥24.解得S 最大≥6或S 最大≤0(舍去).当S 最大=6时，k=-3/4.7. 152 /8.因为PE+PC=PE+PA ，所以，当A 、P 、E 三点共线时，PE+PA 最小.如图，建立直角坐标系，设B 为坐标原点，BA 为x 轴.则l BD :y=x ，l AE :3x+5y=15.所以，P(15/8，15/8).故PB=152/8.8. 3 750.设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 的磨损量为k/5 000，安装在后轮的轮胎每行驶1 km 的磨损量为k/3 000.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+kkykxkkykx5000300030005000.两式相加得x+y=3 750 (km9. .-7.令A=αββα33+，B=ββαα33+=α2+β2.由已知有α+β=-1，αβ=-1.故B=(α+β)2-2αβ=1+2=3.①A+B=)=(α3+β3)(1/α+1/β)=-4.②由式①、②得A=-4-3=-7.10. 20π.如图，以点O 为圆心、10 cm 为半径作⊙O.过M 作MN ⊥l 于点N ，过O 作l 的垂线交⊙O 于点Q 1、Q 2.联结PQ1.则MN ∥OQ 1，∠M=∠MOQ1. 又因OM=OQ 1，MN=OP ，所以，△OMN △Q 1OP.故∠OPQ 1=∠ONM=90°.因此，点P 在以OQ 1为直径的圆上.同理，点P 在以OQ 2为直径的圆上.从而，蚂蚁P 在1分钟的时间内被秒针OM 携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ 1、OQ 2为直径的两个圆.移动的路程为2×10×π=20π.11、(1)y=-252x+28， 100≤x ≤200; y=-101x+32， 200<x ≤300.(2)当100≤x ≤200时，w=xy-40y-(1 520+480).①将y=-252x+28代入式①得w=x(-252x+28)-40(-252x+28)-2 000.整理得w=-252(x-195)2-78.当200<x ≤300时，同理可得w=-101 (x-180)2-40. 故w=-252 (x-195)2-78， 100≤x ≤200; w=-101 (x-180)2-40， 200<x ≤300. 若100≤x ≤200，当x=195时，w max =-78;若200<x ≤300时，w max <-80.故投资的第一年公司是亏损的，最少亏损为78万元.(3)依题意可知，第二年w 与x 之间的函数关系式为 w=(-252x+28)(x-40)， 100≤x ≤200; w= (-101x+32)(x-40)， 200<x ≤300. 当两年总利润刚好为1 842万元时，依题意得(-252x+28)(x-40)-78=1 842， 100≤x ≤200或 (-110x+32)(x-40)-78=1 842，200<x ≤300.解得x 1=190，x 2=200.故当190≤x ≤200时，总利润不低于1 842万元.由y=-252x+28(100≤x ≤200)可知，当销售单价定为190元时，销售量最大.12 (1)由二次函数过点(1，1)得m=n 2/2.注意到m-(n+4)= n 2/2-(n+4) =21 (n 2-2n-8)= 21 (n-4)(n+2)， 所以，P= n 2/2， n≤-2或n≥4;P=n+4， -2<n<4.再利用函数图像可知，当n=-2时，Pmin=2.(2)图像与坐标轴有三个不同的交点，可设交点坐标为A(x 1，0)、B(x 2，0)、C(0，-n 2).又x1x2=-n2，若n=0，则与三个交点不符，故x1x2=-n2<0.所以，x1、x2分在原点左右两侧. 又|x1x2|=n2×1，所以，存在点P0(0，1)使得|OA|·|OB|=|OP0|·|OC|.故A、B、C、P0四点共圆，即这些圆必过定点P0(0，1).13. 设z=w+a，y=w+a+b，x=w+a+b+c.则a、b、c≥0，且x+y+z+w=4w+3a+2b+c.故100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c=4(4w+3a+2b+c)+(2w+b+c)≥4(x+y+z+w).因此，x+y+z+w≤25.当x=y=z=25/3，w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w的最大值为25.又100=18w+12a+9b+5c=5(4w+3a+2b+c)-(2w+3a+b)≤5(x+y+z+w)，则x+y+z+w≥20.当x=20，y=z=w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w的最小值为20.。