matlab笔记 考试内容

第一次上机 函数微积分运算 例1：2sin ()43x f x x x =++解： >> syms x;>> y=sin(x)/(x^2+4*x+3); >> diff(y,100) ans =simple(ans)…………例2：43246729x x x x +++- 解：（代数方程直接求解） solve('x^4+6*x^3+7*x^2+2*x-9')例3：Hilbert 矩阵1111123111123411111345211n n n n n n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦求解：hilb(3) 解： >> hilb(3) ans =1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000 >> format rational >> hilb(3) ans =1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 >> det(ans)ans =1/2160>> format long>> hilb(3)ans =1.000000000000000 0.500000000000000 0.3333333333333330.500000000000000 0.333333333333333 0.2500000000000000.333333333333333 0.250000000000000 0.200000000000000>> format short>> hilb(3)ans =1.0000 0.5000 0.33330.5000 0.3333 0.25000.3333 0.2500 0.2000例4：几个术语名称线性：line Algebre规划：program线性规划：linprog例5：matlab语言运算符：*/\^、、、、、+-关系运算符：~、、、>>=<<====逻辑运算符：|&~、、（或与非）赋值语句：=顺序结构、选择结构：()if判断语句e l s e ifelseendfunction [返回值]=函数名（输入值）函数表达式eg:function y=f1(x)y=sin(x+4)/cos(x+8)-x^2-9第二次上机例1：对变量的操作who 你的变量your variables are:whosName Size Bytes Class Attributes ans 3x3 72 doubleclear(清除变量) clc(clear) 也清除窗口内容inf 无限NaN 不是一个数realmax、realmin 最大、小实数type.[ ]+显示一个M文件的内容打印dir 路径which [ ]+ 地址delet[ ]+ 删除edit 编辑save 保存例2：矩阵的输入a=[1,2,3;4,5,6]zeros(3,4) 3*4阶零矩阵ones(2,3) 2*3全1矩阵eye(3,4) 3*4单位矩阵magic(3,4) 魔方矩阵（行列对角元素之和均相等）det 行列式trance 迹、路径rank 秩inv 逆矩阵eig 特征值poly 多项式null 零diagdome 演示path 设置路径eps 计算机能识别的最小正数lastwarn 最后一次警告lastcrr 最后一次错误vpa(pi,100) pi后一百位小数a.*b与a*b有区别a.^aflipr(左右翻转) flipd(上下翻转)rot 旋转rot 90 旋转90°find(?)、all(?)、any(?)：？是不是真如：a=[1 2 3 4]>> find(a>=3)ans =3 4>> all(a>=2)ans =>> any(a>=0)ans =1例3：矩阵操作矩阵元素的提取a(行，列)=如：a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]>> a(2,1)=600a =1 2 3600 5 67 8 9>> a(2,3)ans =6例4：>> a=[6.7 8.4 5.7 100.3 24.4 38.7];>> sum=0;>> for i=a;>> sum=sum+isum =222.9000例5：1+2+3+……+100=？>> sum=0;i=1;>> while i<=100sum=sum+i;i=i+1;end>> sumsum =5050例6：第三次上机1.建立函数：>> syms x a;>> y=a*sin(x);>> diff(y)ans =a*cos(x)或者：>> y=sym('a*sin(x)');/注意sym与syms的区别/>> diff(y)ans =a*cos(x)2.内联函数：>> y=inline('a*siin(x)','x','a')y =Inline function:y(x,a) = a*siin(x)3.计算阶乘：function y=f1(n)if n>1y=f1(n-1)*n;else if any([0,1]==n)y=1;end4.matlab图形plotx=[1 2 3 4]; y=[4 9 19 32] ;plot(x,y)5.funtool 简单图形之间的关系二维：bar 条形；compass 罗盘；feather 羽毛；hist 直方图polar 极坐标stairs 阶梯函数semilogx 对数函数6.画图函数：>> helpwin左上端installation下的matlab（+号展开）——function——graphics——basic plot and graphs specialized plotting⎧⎨⎩一般命令特殊命令7.subplot分割图形例：x=-3:0.1:3;>> y1=sin(x);>> y2=cos(x);>> y3=tan(x);>> y4=cot(x);>> subplot(2,3,1),plot(x,y1) >> subplot(2,3,2),plot(x,y2) >> subplot(2,3,3),plot(x,y3)>> subplot(2,3,4),plot(x,y4)-505-1-0.500.51-55-40-2002040-5501-55-10-505108.用ezplot 作图：例：ezplot('y-x^2',[-10,10])xyy-x 2= 0-10-50510-10-8-6-4-202468109.三维图形绘制plot3例：>> t=0:0.1:pi;>> x=sin(3*t);>> y=cos(3*t);>> z=t.^2;>> plot3(x,y,z)110.surf 表面mesh 网格waterfall例：>> [x,y]=meshgrid(0:31)>> z=x.^2+y.^2;>> mesh(x,y,z);40 >> surf(x,y,z)40 >> waterfall(x,y,z)40第四次上机 极限 积分一、极限1. limit(fun,x,x0,'left'或'right')——单边极限 例：0lim (1+)sin()xx ab x x x→⋅ 解： >> syms a b x;>> f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x);>> limit(f,x,inf) ans = b*exp(a)>> limit(f,x,0)ans =limit(x*sin(b/x)*(a/x + 1)^x, x = 0)注：可套用：如12lim lim (,)y t x t f x y →→syms x y;f=x+y;limt(limit(f,x,3),y,5)2. 导函数 diff(fun,x,n) (隐函数，参数函数) 例：>> syms x;y=sin(x);diff(y)ans=cos(x)若：a=[1,4,9]; diff(a)ans=[3,5] ([4-1,9-4])注：可嵌套如：syms x y;f=x+y;diff(diff(f,x),y)例：雅克比行列式jacobian(?)如：>> syms r theta;>> x=r*cos(theta),y=r*sin(theta);x =r*cos(theta)>> jacobian([x;y],[r,theta])ans =[ cos(theta), -r*sin(theta)][ sin(theta), r*cos(theta)]二、积分1.定积分int(fun,x,a,b)例：>> syms x;>> y=sin(x);>> int(y,x,-pi,pi)ans =2.不定积分int(y,x)例：>> syms x;>> y=sin(x);>> int(y,x)ans =-cos(x)3.无穷积分例：>> syms x;>>y=sin(x);>>int(y,x,1,inf)ans =NaN4.嵌套: >> syms x y;f=sin(x+y);int(int(f,x,0,1),y,0,3)ans =sin(1) + sin(3) - sin(4)5.泰勒展开式taylor(f,x,x0,n)例：>> syms x;>> y=exp(x);>> taylor(y,3)ans =x^2/2 + x + 16.级数求和（符号求和）symsum(f(k),k,k0,kn) k从k0+k1+……+kn例：>> syms k;>> symsum(k,1,100) ans = 5050>> symsum(k^2,k,1,100) ans =338350>> symsum(1/k^2,k,1,inf) ans =pi^2/6>> symsum(k^2) ans =k^3/3 - k^2/2 + k/6>> syms k,n;>> limit((symsum(1/k,k,1,n)-log(n)),n,inf) ans =9417553366569523/13510798882111488 >> vpa(ans,8) ans = 0.69703897第五次上机 数值求解1.梯形公式突然票证（x,y ） 求面积例：320cos(15)x dx π⎰>> x=[0:0.01:3*pi/2]; >> y=cos(15*x); >> trapz(x,y) ans =0.06652.辛普森公式quad(f(x),a,b) 例：>> y=inline('x.^2','x');quad(y,0,1)ans = 0.33333.二重积分 quad2dggen(fun,ym,yM,xm,xM) 即：(,)xM yM xmymf x y dxdy ⎰⎰例：11dxdy -⎰⎰>>fl=inline(‘-sqrt(1-x^2)’,’x ’); >>fh= inline(‘sqrt(1-x^2)’,’x ’); >>f=1;>> y=quad2dggen(f,fl,fh,-1,1)注：多元函数积分可用int 计算，int 可计算曲线积分和曲面积分(,,)((),(),(tM ltmx y z ds f x t y t z t =⎰⎰>>int （函数表达式）第六次上机 积分变换 1. 对于50()tf t edt +∞-⎰拉普拉兹变换lapace(fun,u,v) 反变换ilapace(fun,u,v) 例：>> syms t; >> laplace(t^2) ans = 2/s^3>> syms t;>> y=sym('f(t)');>> laplace(diff(y,t,2)) ans =s^2*laplace(f(t), t, s) - s*f(0) - D(f)(0)3. 傅里叶变换fourier(fun,u,v) 将v 的函数变成u 的函数 傅里叶反变换ifourier(fun,u,v) 将u 的函数变成v 的函数4. Z 变换ztrans(fun,k,z)例：>> syms k;>> f=k; >> ztrans(f) ans =z/(z - 1)^25.gcd 最大公约数 例：>> syms x;>> a=x^2+6*x-3; >> b=x^2+6*x=3； >> b=x^2+6*x+3; >> gcd(a,b) ans = 1>> a=(x-2)*(x+3); >> b=(x-2)*(x+6); >> gcd(a,b) ans =x – 2习题1.证明：'(())()f x dx f x =⎰证明：>> syms x; >> y=sym('f(x)'); >> diff(int(y,x)) ans = f(x)2.求：21n n +∞=∑的z 变换解：>> syms n;>> f=n^2; >> ztrans(f) ans =(z^2 + z)/(z - 1)^33.求1234a ⎛⎫=⎪ ⎝⎭的准确特征值和特征向量 解：>> a=[1 2;3 4];>> b=sym(a); >> [m,n]=eig(b) m =[ - 33^(1/2)/6 - 1/2, 33^(1/2)/6 - 1/2] [1, 1] n =[ 5/2 - 33^(1/2)/2, 0] [ 0, 33^(1/2)/2 + 5/2]4.已知1234a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求232!3!a aE a ++++ 解：>> a=[1 2;3 4];>> expm(a)ans =51.9690 74.7366 112.1048 164.0738第七次上机 代数方程与最优化 一、图解法例1. 220x x -=解：>> ezplot('x^2-2*x',[1,3])>> hold on; >> line([0,3],[0,0])>>11.52 2.530123xx 2-2 x二、solve 解方程组例2. 223100.750.90x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩解：>> [x,y]=solve('x^2+y^2-1=0','0.75*x^3-y+0.9=0') 三、非线性方程求根fsolve(fun,x0) 例3. 3sin cos t e t t -+解：>> y=inline('exp(-3*t)*sin(t)+cos(t)','t')>> fsolve(y,0) ans =-0.3431四、优化问题 fminsearch fminunc 例4. 21y x =- 解：>> f=inline('x^2-1','x'); >> fminsearch(f,0.5) ans =-4.4409e-016例5.min(x1+x2-x3) s.t 1201381,2,30x x x x x x x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 110283x x x ⎛⎫- 1 0 ⎛⎫⎛⎫⎪⇒≤ ⎪ ⎪ ⎪1 0 1⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭解：>> f=[1 1 -1]';>> a=[-1,1,0;1,0,1];b=[0,8];>> ae=[];be=[];>> xm=[0 0 0];>> linprog(f,a,b,ae,be,xm,[],[]) Optimization terminated. ans = 0.00000.0000 8.0000例6：max(-x1+x2-3x3) min(x1-x2+3x3)s.t: ()110263120112381,1,1281363113113,2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x R ⎧⎛⎫- 1 0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪≤⎪ ⎪⎪ ⎪1 0 1⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎪-≥⎧⎛⎫⎪⎪++≤⎪⎪ ⎪⇒=⎨⎨ ⎪+≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎪≤≤⎩⎪≤≤∈⎪⎪⎪⎩解：>> f=[1,-1,3]';a=[-1,1,0;1,0,1];b=[0,6]; >> ae=[1 1 1];be=[8];>> xm=[1,-inf,-inf];xM=[3,inf,inf];x0=[0 0 0]; >> linprog(f,a,b,ae,be,xm,xM,x0) Optimization terminated. ans =3.0000 3.0000 2.0000五、二次规划求解quadprog例7.min(222123132x x x x -+-) s.t 1231231231231238893729101,8,x x x x x x x x x x x x x x x R⎧--≥⎪-+≤-⎪⎪++=⎨⎪+-=⎪⎪≤≤∈⎩解：>> f=[-2,0,0]';a=[-1,-1,1;1,3,8];b=[-8,-9];>> ae=[1,3,1;1,2,-9];be=[7,10];xm=[1,1,-inf];xM=[8,8,inf];x0=[0 0 0]; >> h=[2 0 0;0 -2 0;0 0 6];>> quadprog(h,f,a,b,ae,be,xm,xM) ans =3.71601.2359 -0.4236第八次上机 规划问题 一、规划 fmincon例1.min(22212312131002x x x x x x x -----) s.t 22212312312325081475600x x x x x x x x x ⎧++-=⎪++-=⎨⎪≥⎩、、解：建立函数function y=xhf(x)y=1000-x(1)*x(1)-2*x(2)*x(2)-x(3)*x(3)-x(1)*x(2)-x(1)*x(3); 再建立约束函数function [c,ceq]=gyl(x)ceq=[x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2-25;8*x(1)+14*x(2)+7*x(3)-56]; c=[];主程序：>> a=[];b=[];aeq=[];beq=[]; >> xm=[0;0;0];xM=[]; >> x0=[1;1;1];>> fmincon('xhf',x0,a,b,aeq,beq,xm,xM,' gyl ') ans =3.5122 0.2170 3.5521二、整数规划(略) 三、0-1规划例2.min(123-325x x x +-) 13312312232244.346x x x x x x s t x x x x +-≤⎧⎪++≤⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩解：>> f=[-3,2,-5];>> a=[1,2,-1;1,4,1;1,1,0;0,4,1];b=[2,4,3,6];ae=[];be=[]; >> bintprog(f,a,b,ae,be) Optimization terminated.ans = 1 0 1例3.min(123325x x x -+-) s.t 2123212312322.440x x x s t x x x x x x ⎧+-≤⎪++=⎨⎪≥⎩、、解：○1 function y=xhf(x) y=-3*x(1)+2*x(2)-5*x(3);○2 function [c,ceq]=gyl(x) c=[x(1)*x(1)+2*x(2)-x(3)-2]; ceq=[x(1)+4*x(2)*x(2)+x(3)-4];○3 >> a=[];b=[];ae=[];be=[];xm=[0;0;0];xM=[];x0=[1;1;1]; >> fmincon('xhf',x0,a,b,ae,be,xm,xM,'gyl')第九次上机 常微分方程一、解析解dsolve (可解高阶方程和高阶方程组的解析解)例1. ''''()2()2()()4()3()4t t x t x x t y t e y t x t y t e--⎧+=+-⎪⎨=++⎪⎩ 其中'(0)1,(0)3,(0)8x x y ===解： >> syms t x y;>> [x,y]=dsolve('D2x+2*Dx=x+2*y-exp(-t)','Dy=4*x+3*y+4*exp(-t)','x(0)=1','Dx(0)=1','y(0)=8') 二、数值解 ode45(常微分方程4阶5级龙格库塔方程数值解)例：1'123'223'31223101238()3()1010()28(0)(0)0,(0)10,[0,100]x t x x x x t x x x t x x x x x x x t -⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪=-+-⎪===∈⎪⎩解：○1 function xdot=xhf(t,x) xdot=[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];○2 >> [t,x]=ode45('xhf',[0,100],[0;0;10^(-10)])三、特殊方程1.刚性方程 ode15s例: ...2(1)0y u y y y +-+= (u=1:普通方程；u=1000 刚性方程)○1 function y=xhf(t,x,flag,mu) y=[x(2);-mu*(x(1)^2-1)*x(2)-x(1)];○2 >> [x,y]=ode15s('xhf',[0,3000],[2;0],[],1000)2.微分代数方程例：.112312 .2 2122323120.20.325210x x x x x x x x x x x xx x x⎧=-++⎪⎪=--⎨⎪++-=⎪⎩解：○1 function dx=xhf(t,x)dx=[-0.2*x(1)+x(2)*x(3)+0.3*x(1)*x(2);2*x(1)*x(2)-5*x(2)*x(3)-2*x(2)*x(2)]; ○2>> m=[1,0,0;0,1,0;0,0,0];>> options=odeset;options.mass=m;>> x0=[0.8;0.1;0.1];>> [t,x]=ode15s('xhf',[0,20],x0,options)习题：1.'''(0)1,(0)3x xx x⎧+=⎪⎨==⎪⎩'''x x yy x y⎧=+⎪⎨=-⎪⎩的解析解2. '2()()()y p x y R x y R x=++的解析解第十次上机插值函数一、一维插值interp1(一维多项插值) interp2(二维多线插值) 例：>> x=[0 2 3 4];>> y=[0.3 1.5 7.8 6.3];>> x0=1;>> interp1(x,y,x0)ans =0.9000>> [x,y]=meshgrid(-3:0.6:3,-2:0.4:2);>> z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y);>> surf(x,y,z)4>> [x1,y1]=meshgrid(-3:0.2:3,-2:0.2:2);>>z1=interp2(x,y,z,x1,y1);>>surf(x1,y1,z1)注：surf(实图) mesh（网图）二、样条插值(三次样条插值)例：>> x0=[0,0.4,1,2,pi];>> y0=sin(x0);>> s=csapi(x0,y0)s =form: 'pp'breaks: [0 0.4000 1 2 3.1416]coefs: [4x4 double]pieces: 4order: 4dim: 1>> s.coefsans =-0.1627 0.0076 0.9965 0-0.1627 -0.1876 0.9245 0.38940.0244 -0.4804 0.5238 0.84150.0244 -0.4071 -0.3637 0.9093 >> fnplt(s)0.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91>> fnder(s,2) ans =form: 'pp'breaks: [0 0.4000 1 2 3.1416] coefs: [4x2 double] pieces: 4 order: 2 dim: 1 fnplt(ans)三、多项式拟合polyfit(x,y,n)例：y=2x-3解：>> x=[0 1 2 3];>> y=[-2.99,-1,0.99,3];>> polyfit(x,y,1)ans =1.9960 -2.9940或: >> polyfit(x,y,2)ans =0.0050 1.9810 -2.9890练习1.1.>> x0=0:0.1:1;>> y0=x0.^2+x0.*exp(x0);>> plot(x,y)>> polyfit(x0,y0,n) （n取值待定）2. >> x0=0:0.3:1;>> y0=cos(x0);>> s=csapi(x0,y0);>> fnplt(s)>> s.coefsans =0.0717 -0.5386 0.0063 1.00000.0717 -0.4741 -0.2976 0.95530.0717 -0.4096 -0.5627 0.82533. >> x=0:10;>> y=sin(x);>> x1=0:0.25:10;>> interp1(x,y,x1)ans(略)第十一次上机引例：Y(x)=acos(x)+bsin(x)解：min 321(cos sin )i i i i a x b x y =+-∑ac=y a=2463 ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭y=78⎛⎫ ⎪⎝⎭ c=inv(a)*y例：3421234()cos(2)x x y x a a ea x e a x --=++-+解：>> y=[2.88 2.25 1.96 1.92 2.08]';>> a=[ones(size(x)),exp(-3*x),cos(-2*x).*exp(-4*x),x.^2]; >> c=a\y（有误）例2.f(x)=cosax+sinbx解>> x=[0 1 3];>> y=[0.2 0.8 0.6];>> f=inline('cos(a(1)*x)+sin(a(2)*x)','a','x');>> [a,j]=lsqcurvefit(f,[1,1],x,y)a =1.5279 0.7836j =0.6429 （误差）例3.y(x)= 2cx ax bx e d -++由于式中有cx e -，则用lsqcurvefit 而不用a\y。