特征根法求数列的通项公式
特征方程特征根法求解数列通项公式
特征方程特征根法求解数列通项公式一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数.（1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则λ=q／(1-p).（2）此处如果用特征根法：特征方程为：x=px+q，其根为x=q/（1-p）注意：若用特征根法，λ的系数要是-1例一：A（n+1)=2An+1 , 其中q=2,p=1,则λ=1/（1-2）= -1那么A（n+1）+1=2（An+1）二：再来个有点意思的,三项之间的关系：A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q为常数（1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn],则m+k=p, mk=q（2）此处如果用特征根法：特征方程是y×y=py+q（※）注意：①m n为（※）两根。
②m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，③m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。
例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An，特征方程为：y×y= - 5y+6那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1)A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2)所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)you see 消元消去A（n+1），就是An勒例三：【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21……如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。
那么这句话可以写成如下形式：F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)显然这是一个线性递推数列。
特征根法求通项公式
特征方程法 解递推关系中 通项公式一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个,1,0≠≠c c 数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为,d cx x +=特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中是以为}{n b c 公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为由特征,1,0≠c 方程得作换.10cdx -=元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列是以为}{n b c 公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说说说说明定理1的应用.例1．已知数列满}{n a 足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列是以为}{n b 31-公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列满}{n a 足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中为虚数i 单位。
特征根法求数列通项推导
特征根法求数列通项推导
特征根法是一种求解线性递推数列通项的方法。
该方法先求出数列的递推关系式，然后通过特征根分解的方式得到数列的通项公式。
具体步骤如下：
1. 求出数列的递推关系式：
设数列为{an}，递推式为an=ra(n-1)+sa(n-2)，其中r和s为常数。
2. 将递推式改写成矩阵形式：
设矩阵A为[ r s 1 0 ]，列向量Xn为[an an-1 an-2 1]，则有Xn=AXn-1。
3. 求出矩阵A的特征多项式：
特征多项式为det(A-λE)，其中E为单位矩阵，λ为特征值。
4. 求出矩阵A的特征值：
解特征多项式得到矩阵A的特征值λ1、λ2、λ3、λ4。
5. 求出矩阵A的特征向量：
将λ1、λ2、λ3、λ4带入(A-λE)X=0中，解出矩阵A的特征向量。
6. 将矩阵A分解成特征向量的形式：
将特征向量组合成矩阵P，将特征值组合成对角矩阵D，得到
A=PDP^-1。
7. 求出数列的通项公式：
将A=PDP^-1带入Xn=AXn-1中，得到数列的通项公式为an=c1λ
1^n+c2λ2^n+c3λ3^n+c4λ4^n，其中c1、c2、c3、c4为常数，根据初始条件可求出。
递推通项公式的特征根法
递推通项公式的特征根法递推通项公式是数列中常用的求解方法，它可以通过求解特征根来快速得到数列的通项公式。
下面我将通过一篇内容生动、全面、有指导意义的文章来介绍特征根法的使用。
特征根法是求解递推通项公式的一种常用方法，它的核心思想是通过求解数列的特征根，求得通项公式的表达式。
首先，什么是特征根呢？在线性代数中，特征根是指矩阵与一个非零向量乘积的结果等于该向量乘以一个常数。
而在数列中，我们可以将数列看作是线性代数中的矩阵，即将数列的每一项视为向量的一个分量，通过特征根法可以求解数列的通项公式。
具体而言，假设我们有一个递推数列{a1, a2, a3, ...}，其中ai 表示第i项，且满足递推公式：an = p1 * an-1 + p2 * an-2 + ... + pk * an-k为了找到数列的通项公式，我们假设数列的通项公式为：an = xn将这个假设代入递推公式中，可以得到：xn = p1 * xn-1 + p2 * xn-2 + ... + pk * xn-k进一步整理，可以将上述公式转化为：xn - p1 * xn-1 - p2 * xn-2 - ... - pk * xn-k = 0通过移项，得到：xn - p1 * xn-1 - p2 * xn-2 - ... - pk * xn-k = 0注意观察上述公式，我们可以发现这是一个特征根方程，因为xn 是数列的通项公式，它和特征根之间存在着一定的关系。
接下来，我们要求解上述特征根方程的解，即特征根。
求解特征根的过程可以通过特征方程来实现。
将特征根方程改写为：xn - p1 * xn-1 - p2 * xn-2 - ... - pk * xn-k = 0可以进一步化简为：xn - (p1 * xn-1 + p2 * xn-2 + ... + pk * xn-k) = 0注意观察上述公式，我们可以发现它可以看作是关于xn的一元齐次线性方程。
而一元齐次线性方程的特征方程是：x^k - p1 * x^(k-1) - p2 * x^(k-2) - ... - pk = 0因此，求解特征根就是解特征方程的过程。
特征根法求数列的通项公式
特征根法求数列的通项公式数列中最重要的一类问题，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的问题中，对数列通项公式的求解，往往是大家解决问题的瓶颈。
而通过递推公式求解数列通项公式的方法更尤为重要， 其中可以涉及到的类型有累加法、累乘法、迭代法、构造法、取对数法、取倒数法、双数列法等大家广为孰知的方法，这里向大家推荐一种不常用但很好用的方法——特征根法，特征根法适用范围更广泛，解题过程更标准化，在竞赛、保送以及自主招生考试题中经常运用，希望能对大家能有所帮助。
例. 设已知数列{a n }满足a 1 =b , a n +1 = ca n + d , 其中c ≠ 0, c ≠ 1, 求：这个数列的通项公式。
对于上题采用数学归纳法或构造法可以求解，然而归纳法太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错； 构造法需要以等差数列为依据，形式也比较复杂。
这里推荐更易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式做出一个方程 x = cx + d , 称之为特征方程；借助这个特征方程的根，快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述。
一阶线性递推式定理 1 ： 设上述递推关系式的特征方程的根为 x 0 ，则当 x 0 = a 1 时， a n 为常数列， 即 a = a ;当x ≠ a 时, a = b + x ，其中{b }是以c 为公比的等比数列，即b = b c n -1 , b = a - x .n11nnnd n 1 1 1 0证明：因为c ≠ 0,1, 由特征方程得 x 0 =1 - c. 作换元b n = a n - x 0 , 则b n -1 = a n -1 x 0 = ca n + d - d1 - c= ca n cd 1 - c = c (a n x 0 ) =cb n . 当 x ≠ a 时， b ≠ 0 ，数列{b }是以c 为公比的等比数列，故b = b c n -1;11nn1当 x 0 = a 1 时， b 1 = 0 ，{b n }为 0 数列，故a n = a 1, n ∈ N. （证毕）.1例 1．已知数列{a n }满足： a n +1 = - 3a n - 2, n ∈ N, a 1 = 4, 求a n .1 3解：作方程 x = - 3 x - 2,则x 0 = - 2.当a = 4 时， a ≠ x , b= a + 3 = 11. 1 1 0 111 2 2数列{b n }是以- 3为公比的等比数列.于是b = b (- 1)n -1 = 11 (- 1)n -1, a = - 3 + b = - 3 + 11 (- 1)n -1, n ∈ N.n 13 2 3 n 2 n 2 2 3二阶线性递推式n 1 2定理 2 ：对于由递 推公式 a n +2 = pa n +1 + qa nx 2 - px - q = 0 ，叫做数列{a }的特征方程。
「学习笔记」特征根法求解数列问题
「学习笔记」特征根法求解数列问题听说特征法是数学中解常系数线性微分⽅程的⼀种通⽤⽅法。
⽽这⾥简单谈谈特征根法的运⽤：⽤数列的递推公式求通项公式，⽤通项公式求递推公式特征根⽅法的证明需要线性代数相关知识，留坑。
斐波那契数列的公式推导：定义Fibonacci数列：f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n−1)+f(n−2),n≥2考虑这个递推式：f(n)=f(n−1)+f(n−2)，找到⼀个⼀元⼆次⽅程与之对应（⼆次项对应f(n)，⼀次项对应f(n−1)，常数项对应f(n−2)）x2=x+1这个⽅程称为特征⽅程。
解出来特征根：x1=1+√52,x2=1−√52则f(n)=c1x n1+c2x n2。
把f(0)=0,f(1)=1代⼊，得到了：c1+c2=0,c1x1+c2x2=1解得：c1=1√5,c2=−1√5，整理后得到：f(n)=1+√52n−1−√52n√5⼀般递推式的解法形式化地，考虑形如f(n+2)=pf(n+1)+qf(n)的递推式⼦我们把上⾯的式⼦换成：f(n+2)−(x1+x2)f(n+1)+(x1x2)f(n)=0显然x1+x2=p,x1x2=−q。
所以x1,x2是x2−px−q=0的两个根f(n)就可以表⽰成C1x n1+C2x n2,C1,C2是常数没有实数解怎么办？⽤复数。
反求递推式某些时候通项公式可能不好计算，我们只能求出递推式然后矩阵快速幂求看⼀个例⼦：f(n)=(√a+b)n+(√a−b)n2令x1=√a+b,x2=√a−b特征根⽅程即x2−2bx+(b2−a)=0（韦达定理）所以f(n)=2bf(n−1)−(b2−a)f(n−2)()() Processing math: 100%。
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项是一种解线性递推数列的方法，其原理如下：
1.对于递推数列$a_n$，可以写成线性递推方程$a_n=a_{n-1}+b_{n-1}$的形式，其中$b_n$是已知数列。
2.将递推方程转化为特征方程，令$a_n=r^n$，带入递推方程，得到：$r^n=r^{n-1}+b_{n-1}$。
3. 令特征方程的根为 $r_i$，则 $a_n$ 的通项公式为
$a_n=\sum_{i=1}^k C_ir_i^n$，其中 $C_i$ 是由初始条件求出的常数。
4.当特征方程的根为实数时，通项公式中的系数$C_i$可以通过初始
条件和根的值求解。
当特征方程的根为复数时，通项公式中的系数
$C_i$可以通过欧拉公式求解。
5.对于非齐次递推数列，通项公式需要加上一个特解，其形式可以根
据非齐次项的不同而不同。
特征根法求数列的通项公式
=
������1������������−1
������1
=
4
+
3 2
=
121,������������
=
11 2
−1
3
������−1
������������
=
−3
2
+
������������
=
−
3 2
+
11 2
−1
3
������−1
, ������ ∈ ������.
������������+2 = ������������������+1 + ������������������
证明
证明：若数列 ������������ 满足������1 = ������,������������+1 = ������������������ + ������, 其中������ ≠ 0、1,证明：这个数列的通项 公式为������������ = ������������ + ������，其中数列 ������������ 是以������为公比 的等比数列，������������ = ������1������������−1, ������1 = ������1 − ������.
例1
已知数列
������������
满足：������1
= 4,������������+1
=
−
1 3
������������
− 2，
������ ∈ ������, 求������������的通项公式.
解：做方程������
=
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数列通项公式的求法 特征根法
题型一、设已知数列{}n a 的项满足11,n n a b a ca d +==+,其中0,1,c c ≠≠求这个数列的通项公式。
【解题步骤】Ⅰ、将1n n a ca d +=+中的下标去掉（剃光头），
即为a ca d =+，由此可以解得1d a c
=–，这个“a ”的值就叫做“特征根”。
Ⅱ、在1n n a ca d +=+的左右两边同时减去“特征根”a ，
即 111n n d d a ca d c c
+-=+-–– 将上式变形得 ()
111n n d d a c a c c +-
=-–– 即 111n n d
a c c d a c +-=-–– 此时，你就会得到一个以c 为公比的等比数列
{}
111n n n d a c b d a c +⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭–– Ⅲ、求出数列{}n b 的通项公式，由此求出数列{}n a 的通项公式。
注意：第Ⅰ步的过程只能在草稿纸上进行，决不可写在试卷上，否则老师会扣分。
【典例1】已知数列{}n a 的项满足115,23n n a a a +==+,求这个数列的通项公式。
解、
在123n n a a +=+的两边同时减去3–得1236n n a a +=++
则有 1323n n a a ++=+ 又因为 1+3=8
a 所以 1+2+3=82=2n n n a -
因此数列{}n a 的通项公式+2=23n n a –
注意在草稿纸上进行此过程
由题意得23a a =+，可以解得a =-3
草稿纸
题型二、已知数列{}n a 满足21n n n a pa qa ++=+，其中12,a a αβ==，求数列{}n a 的通项公式。
【解题步骤】Ⅰ、将21n n n a pa qa ++=+中的下标去掉（剃光头），
即2a pa q =+，为了方便把a 替换为x ，则有2=0x p x q --
此时，我们把2=0x p x q --叫做数列{}n a 的“特征方程”。
Ⅱ、若12,x x 是特征方程的两个根。
当12x x ≠时，数列{}n a 的通项为1112=+n n n a Ax Bx --
把1212,,,a a x x 和=1,2n ，代入1112=+n n n a Ax Bx --，得到关于A 、B 的方程组，从而解得A 、B .
当12x x =时，数列{}n a 的通项为()11=+n n a A Bn x -
把1212,,,a a x x 和=1,2n ，代入()11=+n n a A Bn x -，得到关于A 、B 的方程组，从而解得A 、B .
【典例2】已知数列{}n a 满足1221,,35+2=0(0,)n n n a a a b a a a n n *++==-N ≥∈，求数列{}n a 的通项公式。
解（这种方法一般不用于解答题）
已知数列{}n a 满足2135+2=0(0,)n n n a a a n n *++-N ≥∈， b a a a ==21,
则特征方程是 02532=+-x x
解得 122=1,=3
x x , ()11
1
122=+=+3n n n n a Ax Bx A B ---∴⋅。
又由b a a a ==21,，于是
==322=3()
=3a A B A b a B a b b A B +⎧⎧⎪⎨⎨-+⎩⎪⎩解得– 所以 ()12=32+3()3n n a b a a b -––。