2014年北京市东城区普通高中示范校高三教学质量调研数学(文科)试卷及答案
2014届北京市东城区高三质量调研文科数学试题(含答案)(2014.03)(word版)
第 1 页 共 8 页 东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学 （文科） 2014.3本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共40分）一 、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P ∩（C U Q ）=A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}2. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A. 众数B..平均数 C .中位数 D .标准差3. 已知i 是虚数单位，若i 1zi 3-=+,则z 的共轭复数为 A 1-2i B 2-4i C i 222- D 1+2i4．设l 是直线，a ，β是两个不同的平面,A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥βB. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥βC. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥βD. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β5． 函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为 A 32+ B . 4 C . 3 D .32-6．"0"a ≤“是函数|)ax 2(x |)x (f -=在区间(0,+)∞内单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线。
北京市东城区2013—2014学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)
北京市东城区2013—2014学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合，，则 ______A. B. C. D.2. 在复平面内，复数对应的点位于______A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是______A. B.C. D.4. “ ”是“ ”的______A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 执行如图所示的程序框图，输出的值为______A. B. C. D.6. 直线与圆相交于，两点，若，则 ______A. B. C. D.7. 关于平面向量，，，有下列三个命题：①若，则；②若，，，则；③非零向量和满足，则与的夹角为．其中真命题的序号为______A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③8. 已知函数若，则的取值范围是______A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 命题“ ，”的否定是______．10. 双曲线的离心率 ______；渐近线方程为______．11. 在中，，，，则 ______．12. 已知变量，满足约束条件则的最大值为______．13. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______．14. 对于实数，用表示不超过的最大整数，如，，若，，为数列的前项和，则 ______； ______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数．（1）求的最小正周期；（2）若，且，求的值．16. 已知是一个公差大于的等差数列，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求的前项和．17. 如图，边长为的正方形与矩形所在平面互相垂直，，分别为，的中点，．（1）求证：平面；（2）求证： 平面；（3）在线段上是否存在一点，使得 ?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．18. 已知函数（）．（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若对于任意的，都有，求的取值范围．19. 已知椭圆（）的离心率为，右焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于点，，若，求斜率的值．20. 设集合，若是的子集，把中所有元素的和称为的“容量”（规定空集的容量为），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集．（1）写出的所有奇子集；（2）求证：的奇子集与偶子集个数相等；（3）求证：当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．答案第一部分1. C2. A3. A4. A5. C6. B7. C8. D第二部分9. ，10. ；11.12.13.14. ；第三部分15. （1）因为所以的最小正周期为．（2）因为，所以，因为．所以．所以．故．16. （1）设等差数列的公差为，则依题意有．由，可得．由，得，可得．所以．可得．（2）设，则．即．可得，且．所以．所以．所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以数列的前项和．17. （1）因为为正方形，所以．因为平面平面，且垂直于这两个平面的交线．所以平面．（2）连接，．是矩形，是的中点，所以是的中点．因为是的中点，所以．因为平面，平面，所以 平面．（3）过点作交线段于点，点即为所求．平面，所以．因为，所以平面，所以．因为，所以，．所以．18. （1）当时，因为，所以（）．所以，当时，；当时，．所以，函数的单调递增区间为，递减区间为．且函数在时，取得极大值，无极小值．（2）因为（），又．所以，当时，；当时，．即函数在上单调递增；在单调递减，所以函数在时，取得最大值．因为对于任意，都有，所以，即，可得．即的取值范围是．19. （1）依题意有，又，即，．故椭圆方程为．（2）因为直线过右焦点，设直线的方程为．联立方程组消去并整理得故又，即．所以，可得．20. （1），，，，，，，．（2）对于的每个奇子集，当时，取，当时，取，则为的偶子集．反之，若为的偶子集，当时，取，当时，取，则为的奇子集．的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应，所以的奇子集与偶子集的个数相等．（3）对于任意，（i）当时，含的的子集共有个，由（2）可知，对每个数，在奇子集与偶子集中，所占的个数是相等的；（ii）当时，将（2）中的换成即可．可知在奇子集与偶子集中占的个数是相等的．综合（1）（2），每个元素都是在奇子集与偶子集中占的个数相等．所以的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．。
北京市东城区2014届高三上学期期末统一检测 数学文
北京市东城区2014届高三上学期期末考试数学（文）试题本试卷共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A= {x|0<x<2}，B= {-1，0，1），则A B=（A ）{-1} （B ）{0} （C ）{1}（D ）{0，1} （2）在复平面内，复数i （2+i ）对应的点位于（A 涕一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限 （3）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（A ） y= -ln|x| （B ） y=x 3 （C ）y=2|x|（D ） y=cosx-（4）“x>l ”是“x 2>1”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）执行如图所示的程序框图，输出的a 值为（A ）3（B ）5（C ）7（D ）9（6）直线y=kx+3与圆（x －2）2+（y －3）2 =4相交于A ，B 两点，若k=（A （B ）±3 （C （D ）3（7）关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ·b=a ·c ，则b=c ；②若a=（1，k ），b=（-2，6），a ∥b ，则k=-3;③非零向量a 和b 满足|a|=|b|=|a －b|，则a 与a+b 的夹角为30o ．（参若a-（1，k ），b=（-2，6），a其中真命题的序号为（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③（8）已知函数f （x ）=25,0,1,0.x x x x e x ⎧+≥⎪⎨-+<⎪⎩ 若f （x ）≥kx ，则k 的取值范围是（A ）（-∞，0] （B ）（-∞，5] （C ）（0，5] （D ）[0，5]第二部分（非选择题共1 10分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年高三二模数学(文)北京市东城区试题Word版带解析
知识点;函数与导数-------函数--------函数的定义域与值域
难度系数：2
第 4页 共 15页
（10）已知平面向量 a (1, 2) ， b (2, m) ，且 a ∥ b ，则 b
．
解析： a
∥b
，
1 2
2 m
m
4
b
4 16 2 5
知识点：平面向量------------平面向量基本定理及坐标表示-----平面向量的坐标运算
2
知识点：解析几何--------直线-------两直线的位置关系
难度系数：3
（8）对任意实数
a
，b
定义运算“⊙”：a
b
b, a b a, a b
1, 1,
设
f
(x)
(x2
1)
(4
x)
k
，
若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰有三个交点，则 k 的取值范围是
（A） (2,1)
（B） [0,1]
知识点; 推理与证明、数系的扩充与复数---------推理与证明---------直接证明与间接 证明； 数列----------数列综合； 难度系数：4
y1
2, y2
4 k 2 2
2
3
知识点;解析几何----------圆锥曲线------------抛物线
难度系数：3
（14）在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 是正方体棱上一点（不包括棱的端
点）， PA PC1 m ， ①若 m 2 ，则满足条件的点 P 的个数为________；
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
北京市东城区2014年高三二模数学文科试题
东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学 （文科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：n 个数据1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，这组数据的方差2s ，由以下公式计算：2222121[()((]n s x x x x x x n=-+-++-L ．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则A B I =（A ）{2} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{1,0,1,2}- （2）在复平面内，复数21i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输 出的结果为0时，输入的x 值为 （A ）2或2- （B ）1-或2-（C ）1或2- （D ）2或1-（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值是 （A ）18 （B ）36（C ）54 （D ）72（5）已知tan =2α，那么sin 2α的值是（A ）45-（B ）45 （C ）35- （D ）35（6）已知函数)(x f 在[0，+∞]上是增函数，()(||)g x f x =，若),1()(lg g x g >则x 的取值范围是（A ）(0,10) （B ）(10,)+∞ （C ）1(,10)10 （D ）1(0,)(10,)10+∞U （7）已知点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（A ）(6,7) （B ）(7,6) （C ）(5,4)-- （D ）(4,5)--（8）对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b a b a a b -≥⎧=⎨-<⎩e 设2()(1)(4)f x x x k =-++e ，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k的取值范围是（A ）(2,1)- （B ）[0,1] （C ）[2,0)- （D ）[2,1)-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2013-2014学年高三年级第一学期期末文科数学
东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科） 2014.1本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|02}A x x =<<，{1,0,1}B =-，则A B =（A ）{1}- （B ）{0} （C ）{1} （D ）{0,1} （2）在复平面内，复数i(2i)+对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（A ）ln ||y x =- （B ）3y x = （C ）||2x y = （D ）cos y x = （4）“1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）执行如图所示的程序框图，输出的a 值为（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）9（6）直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =k = （A）（B） （C（D（7）关于平面向量,,a b c ，有下列三个命题： ①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ；②若(1,)k =a ，(2,6)=-b ，a ∥b ，则3k =-；③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为30． 其中真命题的序号为（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③俯视图侧(左)视图正(主)视图（8）已知函数25,0,()e 1,0.x x x x f x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩若()f x kx ≥，则k 的取值范围是（A ）(,0]-∞ （B ）(,5]-∞（C ）(0,5] （D ）[0,5]第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2014届高三下学期3月教学质量检测(文科数学)(解析版)
北京市东城区2014届高三下学期3月教学质量检测文科数学（解析版）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，设集合{}1,2,3,4P = ，{}3,4,5Q =，则()UPQ =ð（ ）A.{}1,2,3,4,6B.{}1,2,3,4,5C.{}1,2,5D.{}1,2 【答案】D【解析】试题分析：由题意知{}1,2,6U Q =ð，因此(){}1,2UP Q =ð，故选D.考点：集合的基本运算2.在某次测量中得到的A 样本数据如下：52545456565655555555.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A.众数B.平均数C.中位数D.标准差3.已知i 是虚数单位，若31ii z+=-，则z 的共轭复数为（ ）A.12i -B.24i -C.D.12i + 【答案】A 【解析】试题分析：由31i i z +=-可得()()()()31324121112i i i iz i i i i ++++====+--+，因此z 的共轭复数为12i -，故选A.考点：1.复数的除法；2.共轭复数4.设l 是直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）A.若//l α，//l β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C.若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D.若αβ⊥，//l α，则l β⊥5.函数()2sin 0963x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为（ ）A.2+B.4C.3D.26.“0a ≤”是“函数()()2f x x ax =-在区间()0,+∞内单调递增”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：当0a =时，()()222f x x ax x x =-==，此时函数()f x 在区间()0,+∞内单调递增，当0a ≠时，令()()20f x x ax =-=，解得0x =或2x a=，7.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线()22:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ）A.2x y =B.2x =C.28x y =D.216x y =8.已知()3269f x x x x abc =-+-，a b c <<，且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论：①()()010f f ⋅>；②()()010f f ⋅<；③()()030f f ⋅>；④()()030f f ⋅<. 其中正确结论的序号是（ ）A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】C 【解析】 试题分析：()3269f x x x x abc =-+-，()()()23129313f x x x x x '∴=-+=--，结合导数可知，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,3上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增，因此函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知变量x、y满足条件1290xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则x y+的最大值是______.【答案】6. 【解析】试题分析：作出不等式组1290xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图的阴影部分所表示，设z x y =+，联立290x yx y-=⎧⎨+-=⎩，解得33xy=⎧⎨=⎩，即点()3,3A，作直线:l z x y=+，则z为直线l在x轴上的截距，当直线l 经过可行域上的点A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 336z =+=.考点：线性规划10.经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 .11.曲线21x y xe x =++在点()0,1处的切线方程为 .12.在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则5a = . 【答案】2ln 5+. 【解析】试题分析：由于()111ln 1ln ln 1ln n n n n n a a a a n n n n++⎛⎫=++=+=++- ⎪⎝⎭， ()1ln 1ln n n a a n n +∴-=+-，因此54ln5ln 4a a -=-，43ln 4ln3a a -=-，32ln3ln 2a a -=-，21ln 2ln1a a -=-， 上述四个等式累加得()()()()51ln5ln4ln4ln3ln3ln2ln2ln1ln5ln1ln5a a -=-+-+-+-=-=，因此51ln52ln5a a =+=+. 考点：累加法求数列通项13.已知平面向量()2,4a =，()1,2b =-若()c a a b b =-⋅， 则c =_____________.【答案】【解析】 试题分析：由题意可得()21426a b ⋅=⨯+⨯-=-，()()()()62,461,28,8c a a b b a b ∴=-⋅=+=+-=-，(28c ∴=+=.考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的模14.定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线()222:42C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a =_______.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos b A B =.（1）求角B 的大小；（2）若3b =，sin 2sin C A =，求ABC ∆的面积.16.（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=.（1）证明:：AC BC =； （2）证明：AB PC ⊥；（3）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）83. 【解析】 试题分析：（1）先证明PAC PBC ∆≅∆，从而得到AC BC =；（2）取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，证明AB ⊥平面PCD ，利用直线与平面垂直的性质得到AB PC ⊥；（3）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ，结合（2）中的结论证明PC ⊥平面ABE ，再求出AEB∆的面积，最后利用分割法得到三棱锥P ABC -的体积13ABE V PC S ∆=⋅来进行计算. 试题解析：（1）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=， 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，可得AC BC =；（2）如图，取AB 中点D ，连结PD 、CD ，则PD AB ⊥，CD AB ⊥， 所以AB ⊥平面PDC ，所以AB PC ⊥；（3）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ，因为Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，所以AE PC ⊥，AE BE =， 由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=，因为Rt AEB Rt PEB ∆≅∆，所以AEB ∆、PEB ∆、CEB ∆都是等腰直角三角形. 由已知4PC =，得2AE BE ==，AEB ∆的面积2S =， 因为PC ⊥平面AEB ， 所以三棱锥P ABC -的体积1833V S PC =⨯⨯=. 考点：1.全等三角形；2.直线与平面垂直的判定；3.分割法求锥体体积17.（本题满分13分）一汽车厂生产A 、B 、C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆，其中有类轿车辆. （1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； （3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3 、9.0、8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值 不超过0.5的概率.（2）设所抽样本中有m 辆舒适型轿车，因为用分层抽样，所以40010005m=，解得2m =， 即抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作1S 、2S 、1B 、2B 、3B ， 则从中任取2辆的所有基本事件为()12,S S 、()11,S B 、()12,S B 、()13,S B 、()21,S B 、()22,S B 、()23,S B 、()12,B B 、()13,B B 、()23,B B ，共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：()12,S S 、()11,S B 、()12,S B 、()13,S B 、()21,S B 、()22,S B 、()23,S B ，所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为710；18.（本题满分14分）设函数()(),,nn f x x bc c n N b c R +=++∈∈.（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点； （2）设2n =，若对任意1x 、[]21,1x ∈-，有()()21224f x f x -≤，求b 的取值范围.，()n f x ∴在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递增的，()n f x ∴在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点；（2）当2n =时，()22f x x bx c =++，对任意1x 、[]21,1x ∈-都有()()21224f x f x -≤等价于()2f x 在[]1,1-上的最大值与最小值之差4M ≤，据此分类讨论如下：19.（本题满分14分）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率. （1）求椭圆2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，点A 、B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程.试题解析：（1）由已知可设椭圆2C 的方程为()222124y x a a +=>，其离心率为2，故2a =，解得4a =，因此椭圆2C 的方程为221164y x +=；20.（本题满分13分）对于项数为m 的有穷数列数集{}m a ，记{}12max ,,,k k b a a a =()1,2,,k m =，即k b 为1a 、2a 、、k a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1、3、2 、5、5的控制数列是1、3、3、5、5.（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2、3、4、5、5，写出所有的{}n a ； （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1k =、2、、m ）.求证：k kb a =()1,2,,k m =.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据新数列的定义写出符合条件的数列{}n a ；（2）根据数列{}n b 的定义得到1k k b b +=，再结合1k m k a b C -++=得到1k m ka b C +-+=，将两个等式作差得110k k m k m k a a b b +-+--=-≥，结合1k k b b +=证明k k b a =.。
北京市东城区示范校2014届高三12月教学质量调研数学文试卷(含答案)
北京市东城区普通高中示范校2014届高三12月教学质量调研数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。
考试时长120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{1,0,1,2}=-A ，集合{0,2,4,6}=B ，则集合A ∩B ＝ A. {1，2，4}B. {2，4}C. {0，2}D. {－1，0，1，2，4，6}2. 若向量a ＝（1，2），b ＝（2，1），c ＝（－5，－1），则c ＋a －2b ＝ A. （－8，－1） B. （8，1） C. （0，3） D. （0，－3）3. 抛物线24=y x 的焦点坐标为 A. （0，2）B. （2，0）C. （0，1）D. （1，0）4. 下列命题：①2,∀∈≥x R x x ；②2,∃∈≥x R x x ；③43≥；④“21≠x ”的充要条件是“1≠x 且1≠-x ”中，其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知4,0,c o s()25⎛⎫∈--=- ⎪⎝⎭x x ππ，则tan 2=x A.724B. 724-C.247D. 247-6. 如图，是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其全面积是7. 函数()ln |1|=-f x x 的图象大致是8. 在圆2250+-=x y y 内，过点35(,)22作n 条弦()+∈n N ，它们的长构成等差数列{}n a ，若1a 为过该点最短的弦，n a 为过该点最长的弦，且公差11(,)53∈d ，则n 的值为A. 4B. 5C. 6D. 7第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 若曲线3=+y x a x 在原点处的切线方程是20-=x y ，则实数a ＝__________。
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北京市东城区普通高中示范校2014届高三12月教学质量调研数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。
考试时长120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{1,0,1,2}=-A ，集合{0,2,4,6}=B ，则集合A ∩B ＝ A. {1，2，4}B. {2，4}C. {0，2}D. {－1，0，1，2，4，6}2. 若向量a ＝（1，2），b ＝（2，1），c ＝（－5，－1），则c ＋a －2b ＝ A. （－8，－1） B. （8，1） C. （0，3） D. （0，－3）3. 抛物线24=y x 的焦点坐标为 A. （0，2）B. （2，0）C. （0，1）D. （1，0）4. 下列命题：①2,∀∈≥x R x x ；②2,∃∈≥x R x x ；③43≥；④“21≠x ”的充要条件是“1≠x 且1≠-x ”中，其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知4,0,cos()25⎛⎫∈--=- ⎪⎝⎭x x ππ，则tan 2=xA.724B. 724-C.247D. 247-6. 如图，是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其全面积是A. 12B. 443+C.433D.837. 函数()ln |1|=-f x x 的图象大致是8. 在圆2250+-=x y y 内，过点35(,)22作n 条弦()+∈n N ，它们的长构成等差数列{}n a ，若1a 为过该点最短的弦，n a 为过该点最长的弦，且公差11(,)53∈d ，则n 的值为A. 4B. 5C. 6D. 7第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 若曲线3=+y x ax 在原点处的切线方程是20-=x y ，则实数a ＝__________。
10. 已知{}n a 是等比数列，2512,4==a a ，则公比q ＝_________。
11. 已知x 、y 满足约束条件0,1,1,-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩x y x y y 则2=+z x y 的最小值为_________。
12. 某算法的程序框如图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系是_________。
13. 在△ABC 中，∠A ＝3π，BC ＝3，6=AB ，则∠B ＝_________。
14. 函数2,0,()4cos ,0,2⎧<⎪=⎨≤<⎪⎩x x f x x x π则不等式()2>f x 的解集是_________。
三、解答题：本大题共6小题，共计80分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
15. （本题满分12分）设函数()2sin cos cos(2)6=--f x x x x π。
（Ⅰ）设函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当2[0,]3∈x π时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值。
16. （本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2===AE EB BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE 。
（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求证：AE ∥平面BFD ； （Ⅲ）求三棱锥-C BGF 的体积。
17. （本小题共12分）关于x 的方程222(1)|1|0---+=x x k 。
（Ⅰ）当0=k 时，写出方程的所有实数解；（Ⅱ）求实数k 的范围，使得方程恰有8个不同的实数解。
18. （本小题共14分）已知函数()ln 1,=-+∈f x x ax a R 是常数。
（Ⅰ）求函数()=y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程； （Ⅱ）证明：函数()(1)=≠y f x x 的图象在直线l 的下方； （Ⅲ）若函数()=y f x 有零点，求实数a 的取值范围。
19. （本题满分14分）已知椭圆2221:1(0)+=>>x y M a b a b的左右焦点分别为12(2,0),(2,0)-F F 。
在椭圆M 中有一内接三角形ABC ，其顶点C 的坐标为(3,1)，AB 所在直线的斜率为33。
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）当△ABC 的面积最大时，求直线AB 的方程。
20. （本题满分14分）已知数列{}n a 是等差数列，256,18==a a ；数列{}n b 的前n 项和是n T ，且112+=n n T b 。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅲ）记=⋅n n n c a b ，求{}n c 的前n 项和n S 。
参考答案一、选择题： 1. C2. A3. D4. D5. D6. A7. B8. B二、填空题： 9. 210.1211. －312. 2,12,1⎧≤=⎨->⎩x x y x x 13. 75° 14. (,2)-∞-∪0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭π三、解答题： 15. （共12分）（Ⅰ）因为()2sin cos cos(2)6=--f x x x x πsin 2(cos 2cossin 2sin )66=-+x x x ππ13sin 2cos 222=-x x4分sin(2)3=-x π，6分所以()sin(2)3=-f x x π。
函数()f x 的最小正周期为π。
7分（Ⅱ）因为2[0,]3∈x π，所以2,33⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x πππ。
所以，当232-=x ππ，即512=x π时 10分 函数()f x 的最大值为1。
12分16. （共14分）（Ⅰ）证明：∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC ， 又∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ， ∴AE ⊥平面BCE 。
4分（Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点， ∵BF ⊥平面ACE ，则CE ⊥BF ，而BC ＝BE ， ∴F 是EC 中点，6分在△AEC 中，FG ∥AE ， ∴AE ∥平面BFD 。
8分（Ⅲ）解：∵AE ∥平面BFD ， ∴AE ∥FG ，而AE ⊥平面BCE ， ∴FG ⊥平面BCE ，∴FG ⊥平面BCF ， 10分∵G 是AC 的中点，∴F 是CE 的中点，∴FG ∥AE 且112==FG AE ， ∵BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥CE 。
∴在Rt △BCE 中，122===BF CF CE ， 12212∆∴=⋅⋅=CFB S ，12分1133--∆∴==⋅⋅=C BFG G BCF CFB V V S FG 。
14分17. （共12分）（Ⅰ）据题意可令2|1|(0)-=≥x t t ①， 则方程化为20-+=t t k ②，0=k 时0=t 或1=t1,2,0=±=±=x x x6分（Ⅱ）当方程②有两个不等正根时，12120,00,∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩t t t t ，得104<<k 9分此时方程②有两个根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个， 所以104<<k 。
12分18. （共14分） （Ⅰ）1()'=-f x a x， 2分(1)1,(1)1'=-+==-l f a k f a ，所以切线l 的方程为 (1)(1)-=-l y f k x ，即(1)=-y a x 。
4分（Ⅱ）令()()(1)ln 1,0=--=-+>F x f x a x x x x 则11()1(1)'=-=-F x x x x，解()0'=F x 得1=x 。
x（0，1） 1 (1,)+∞()'F x ＋ 0 － ()F x↗最大值↘(1)0=F ，所以0∀>x 且1,()0,()(1)≠<<-x F x f x a x ，即函数()(1)=≠y f x x 的图象在直线l 的下方。
9分 （Ⅲ）()=y f x 有零点，即()ln 10=-+=f x x ax 有解，ln 1+=x a x。
令22ln 1ln 11(ln 1)ln (),()()++-+''====-x x x xg x g x x x x x ， 解()0'=g x 得1=x 。
12分则()g x 在（0，1）上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 当1=x 时，()g x 的最大值为(1)1=g ， 所以1≤a 。
14分19. （共14分）（Ⅰ）由椭圆的定义知222(23)1(23)1=--++-+a 。
解得26=a ，所以2222=-=b a c 。
所以椭圆M 的方程为22162+=x y 。
5分（Ⅱ）由题意设直线AB 的方程为33=+y x m ， 由221,623,3⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x m 得22223360++-=x mx m 。
7分因为直线AB 与椭圆M 交于不同的两点A ，B ，且点C 不在直线AB 上，所以221224(2)0,313.3⎧∆=-->⎪⎨≠⋅+⎪⎩m m m 解得22-<<m ，且0≠m 。
9分设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则21212112236333,,,233-+=-==+=+m x x m x x y x m y x m 。
所以2222212112124||()()[()4]243=-+-=+-=-AB x x y y x x x x m 。
点(3,1)C 到直线33=+y x m 的距离3||2=m d 。
11分于是△ABC 的面积222133(4)||||432222+-=⋅=⋅-≤⋅=m m S AB d m m ，当且仅当2||4=-m m ，即2=±m 时“＝”成立。
所以2=±m 时△ABC 的面积最大，此时直线AB 的方程为323=±y x 。
即为360-±=x y 。
14分20. （共14分）（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则：2151,4=+=+a a d a a d ，125116,6,18,2, 4.418,a d a a a d a d +=⎧==∴∴==⎨+=⎩2分 24(1)42n a n n ∴=+-=-。
4分（Ⅱ）当1n =时，11b T =，由11112T b +=，得123b =。
5分 当2n ≥时，11111,122n n n n T b T b --∴=-=-， 111()2n n n n T T b b --∴-=-，即11()2n n n b b b -=-。