通信系统数学表示

第2章 通信信号的数学表示§ 2.1 正交性原理1、希尔伯特空间(Hilbert Space)在通信信号处理过程中，常常● 将复信号x (t )和y (t )看作复向量， ● 将N 维酉空间引伸到N 维信号空间，● 从而给出正交性、信号向量长度、两信号向量差的物理概念。

欧氏空间定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，它具有以下性质：（1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k =（3）),(),(),(γβγαγβα+=+（4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。

这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间）。

酉空间定义2 设V 是复数域C 上的线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记为),(βα，它具有以下性质：（1）(,)(,)αβ= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+（4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。

这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为复内积空间或酉空间。

单模希尔伯特空间希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。

与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。

希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。

希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。

希尔伯特空间是公式化数学关键性概念之一。

在数学上，将N 维信号空间称为H 空间， 但一般讲，H 空间定义为无限维的酉空间。

【说明】 在通信系统分析中，以下三种术语是一致的： ● 酉空间－线性空间的术语，应用在酉变换中； ● H 空间－泛函分析的术语，着重于信号的数学描述； ● 信号空间－信号分析的术语，着重物理概念的理解。

2、H 空间的特点在H 空间中，● 向量定义为：函数x (t )，t ∈[t 1, t 2]或t ∈T ，故H 空间又称为函数空间。

● 两向量的内积为：21*((),())()()t t x t y t x t y t dt =⎰, （时间平均的相关运算）在H 空间中，用内积可以表示向量的正交性、长度、距离（同信号空间）。

正交性 21*((),())()()t t x t y t x t y t d t =⎰=0向量长度 ()⎰==21)()(),(2t tdt t x t x t x x距离 21*((),())()()t t x t y t x t y t d t=⎰3、最小均方估计在H 空间中，设x (t )为H 空间中的一个向量，()x t ∧为函数x (t)的估计函数，它是H 空间子空间S （其基底向量为{()k f t })中的一个向量，且1()()Nk k k x t x f t ∧∧==∑， ()x t ∧∈S用函数()x t ∧估计x (t)的误差就是两向量的距离||()||||()()||e t x t x t ∧=-1||()()||Nkk k x t xf t ∧==-∑将均方误差最小化，即22min min()||()||min ||()()||x t e e t x t x t ∧∧==- 或者也可以写成2122min min()1||()||min[|()()|]Nt k k t x t k e e t x t x f t dt ∧∧===-∑⎰ 称为最小均方估计。

由于估计函数()x t ∧是基底向量各分量的线性组合，因此该估计是线性均方估计。

这里有三个问题需要解决：(1) 如何获得最小均方估计（最小均方误差的条件）； (2) 最小均方误差为多少（?min =e ）；(3) 最佳估计分量{k x ˆ}为多少。

这些将在下一节中讨论。

4、正交性原理——最小均方误差的条件均方误差2122||()|||()|t t e e t e t dt ==⎰式中1()()()Nk k k e t x t x f t ∧==-∑极小化条件为2120,[|()|]0t t kke e t dt x x ∧∧∂∂==∂∂⎰或者（设k xˆ为复变量） 2211***()()[()()][()()]t t t t k k ke t e t LHS e t e t dt e t e t dt x x x ∧∧∧∂∂∂==+∂∂∂⎰⎰ 2211**()()()()0,1,2,,t t k k t t e t f t dt e t f t dt k N =--==⎰⎰这样就可以得到两个等价的极小化条件：21*()()0,1,2,,t k t e t f t dt k N ==⎰21*()()0,1,2,,t k t e t f t dt k N ==⎰或者表示成内积形式((),())0,1,2,,k e t f t k N == (正交条件)上述正交条件即为获得最小均方误差的条件。

几何意义: 在以{)(t f k }为基底的S 空间中，选择适当的(1,2,,)k x k N ∧= 使估计误差向量)(t e 与各个基向量相互正交，此时误差向量的长度是最短的。

) ∵)(t e ⊥)(1t f ，)(t e ⊥)(2t f ∴)(t e ⊥S ，即 )(t e ⊥()x t ∧∴||)(t e ||最小 图2-1 误差的几何意义§ 2.2 随机变量的H 空间与最小均方误差估计以上H 空间中，向量x (t )为时间函数，内积用时间平均的相关运算来表示。

若H 空间中，向量为随机变量（随机向量），则内积应用统计平均的相关运算来表示。

1、随机变量的H 空间根据H 空间的特点，函数空间：向量为函数x (t )，t ∈T 。

内积定义:*((),())()()Tx t y t x t y t dt =⎰ （时间平均相关运算）我们来观察样本空间及其随机变量（复变量）：（1） 令S 为概率空间的样本空间，X 、Y 为样本空间的两个复随机变量，设P 为X 、Y 在样本空间中的概率度量。

因为随机变量是随机事件的函数，即X =X (s )，s ∈S Y =Y (s )，s ∈S故样本空间是一个函数空间。

（2） 两个随机变量的相关运算为它们乘积的数学期望 **[]()()()s SE XY x s y s P s ∈=∑， 对离散变量或**[]()()()s SE XY x s y s dP s ∈=⎰，对连续变量该相关运算类似于H 空间的内积运算。

因此，我们可以把随机变量的样本空间定义为随机变量的H 空间。

在随机变量H 空间中，● X 、Y 称为随机变量向量（复变量），● 定义内积： *(,)()X Y E X Y =（相关运算）利用内积可表示随机变量向量的性质：正交性 *(,)()0X Y E X Y ==向量长度 ||||)X =均方误差 22||||[||]X Y E X Y -=-可见，在该空间中，以统计平均E[·]代替了原H 空间中的时间平均(.)Tdt ⎰，仍然具有类似的几何意义和物理意义。

2、最小均方误差估计设X 为随机变量H 空间中的一个向量，X ∈H ，ˆX为X 的估计值，它是H 空间的子空间M 中的一个向量；子空间M 的一组基底向量为（Y 1,Y 2,……,Y N ），或{Y i }, i =1,2,……,N , {Y i }为一组随机变量。

则 ˆX为N 个随机变量（基底向量）的线性组合，即 1ˆNi ii X a Y ==∑ 或a Y Y a XT T ==ˆ 其中，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=N a a a21a ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=N Y Y Y 21Y均方误差2ˆ[||]e E x x =-21[||]Ni ii E x a Y==-∑最小均方误差可以表示为2min ˆˆmin [||]xM e E x x∈=- 21min [||]iNi i a i E x a Y ==-∑根据正交性原理，可以回答以下三个问题： （1）最小均方误差的条件——正交条件*,1{()}01,2,,Ni i j i E X a Y Y j N =-==∑（2）最小均方误差的大小?min =e 将正交条件代入均方误差表达式，得21{||}Ni ii e E X a Y==-∑***11{[][]}N Ni i j ji j E X a Y X a Y===--∑∑代入正交条件，得∑=-=Ni i i XY a X E e 1*m i n }]{[（3）最佳a i =? 由正交条件可得**1,{}()1,2,,xy y jijNj i i j i R R E XY a E YY j N ===∑则1ijj Ni y xy i a RR ==∑或xy y R a R =其中， 112111222212N N N N NN y y y y y y y y y y R R R R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12N a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12N xy xy xy xy R R R R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以xy y opt R R a 1-=③§ 2.3 数字调制信号的空间表示1、PAM/DSB信号表示：2()Re[()]()cos2c j f t m m m c s t A g t e A g t f t ππ==，0≤t ≤T, m =1,2,…,M其中 (21)m A m M d =--。

)(t s m 的能量为 ：2201()2Tm mm g E s t dt A E ==⎰ 其中 20()Tg E g t dt =⎰ 为g (t )的能量标准正交函数（一维）：()()m m s t s f t =()()cos 2c f t t f t π===m s A ==M m ,,2,1 =星座图：图2-2表示M ＝2，4，8时PAM 星座图，采用格雷(Gray)编码，单位是d 。

图2-2 PAM 星座图最小欧氏距离（与能量相关）：()min e d =||m n s s =-2||m n dA A m n =-=-=2、PSK信号表示：22(1)/()Re[()]c j f t j m M m s t g t e e ππ-=2()cos[2(1)]c g t f t m Mππ=+- ''1122()()22()cos(1)cos 2()sin (1)sin 2m m c c f t E f t E g t m f t g t m f t M M ππππ→→=---能量：220011()()22TT m m g E E s t dt g t dt E ====⎰⎰ （对所有m ） 1'221012()cos (1)2T m g E f t dt E m Mπ==-⎰，2'222012()sin (1)2T m g E f t dt E m M π==-⎰ 标准正交函数集（2维）：12''1212()()()()()m m m s t f t f t s f t s f t =+=+'1'2()()cos 2(4314)()()sin 2(4315)c c f t t f t f t t f t ππ⎧==--⎪⎪⎨⎪==--⎪⎩12(1)m s m M π==-，22(1)m s m Mπ==- 信号向量：12[,]m m m s s =s 星座图：图2-3：M ＝2，4，8时PSK图2-3 PSK 星座图最小欧氏距离：取m ＝1，2的信号()min 12e d =-ss == 3、QAM信号表示：2()Re[()()]c j f t m mc ms s t A jA g t e π=+ 0≤t ≤T ， m =1,2,…,M''1122()()()cos 2()sin 2m m mc c ms c f t E f t E A g t f t A g t f t ππ→→=-1'22101()2Tm mc g E f t dt A E ==⎰2'22201()2T m ms g E f t dt A E ==⎰标准正交函数集（2维）：12''1212()()()()()m m m s t f t f t s f t s f t =+=+'1'2()()cos 2(4314)()()sin 2(4315)c c f t t f t f t t f t ππ⎧==--⎪⎪⎨⎪==--⎪⎩1m s A ==2m s A ==信号向量：12,[]m m m s s =s [A A = 星座图：图2-3表示M ＝4，8，16，32，64时QAM 星座图2-4 QAM 星座最小欧氏距离：（与PAM 相同）()min e d =一般情况下两信号点间距离：12,[]m m m s s =s [A A =12,[][n n n s s A A ==s()e mn m n d =-==s s 4、正交多维信号例：M 元正交FSK 信号（等能量）()cos[22]m c s t A f t m ft ππ=+∆， 0≤t≤T, m=1,2,…,MΔf －相邻两频率间隔()m s t 能量：2201()2Tm m E s t dt A T ==⎰，A =m E E = （等能量） 代入：()2]m c s t f t m ft ππ=+∆2Re[()]c j f t lm s t e π=式中2()j m ftlm s t π∆=① 互相关系数：*2()()02/sin ()()()2()Tj m k ft j T m k fkm lm lk E TT m k f s t s t dt e dt eET m k fπππρπ∞-∆-∆-∞-∆===-∆⎰sin[2()]Re()2()r km T m k f T m k fπρρπ-∆≡=-∆当2nf T ∆=时，0r ρ=，实带通信号两频率正交。