广东省东莞市高三数学模拟考试试题 理(二)新人教A版

东莞市2015届高考数学模拟题（二）一.选择题:（本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．复数z ＝2+i 的共轭复数是( )A ．2+iB ．2－iC ．－1+iD ．71--55i2．已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为 （ ） A .2 B ．3 C ．4 D ．5 3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( ) A.3.5 B.-3 C.3 D.-0.54．已知点(),P x y 的坐标满足条件4,,1.x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ 则22x y +的最大值为（ ）A.B. 8C. 16D. 105．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C所对的边，,33A a b c π==+=，则ABC∆的面积S = （ ） A ．1 BCD ．26．等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=L ( ) A.12 B.10 C.8 D.32log 5+7．双曲线14922=-x y 的焦距为（ ）A ．13B ．26C ．132D ．52 8．设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应）．若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．S ()[()]****a b b a b b =二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把正确答案填在题中横线上) 9．已知直线10x my +-=与420mx y +-=平行，则m =___________10．已知一个三棱锥的三视图如右下图所示,其中俯视图是顶角为120o的等腰三角形,则该三棱锥的体积为____.11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ．12．在曲线y=x3＋3x2＋6x ＋10的切线中，斜率最小的切线方程是___________.13．若关于x 的不等式12a x x ≥+--存在实数解，则实数a 的取值范围是___选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，直线l 的参数方程415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数），若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+，则直线l 被曲线C 所截得的弦长为15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是⊙O 的直径，PB ，PE 分别切⊙O 于B ，C ，∠ACE=40°，则∠P=_____S俯视图左视图主视图1223三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）1()2sin(),36f x x x Rπ=-∈已知函数 5(1)()4f π求的值;106(2),0,,(3),(32),cos()22135f f ππαβαβπαβ⎡⎤∈+=+=+⎢⎥⎣⎦设求的值.17．（本题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。

（1）请求出①②位置相应的数字，并补全频率分布直方图；（2）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；假定考生“XXX ”笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？（3）在（2）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为，求的分布列和数学期望．18．（本题满分14分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，//AB CD ，122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上（除端点外）ξ（1）当点M 为EC 中点时，求证：//BM 平面ADEF ；（2）若平面BDM 与平面ABF 所成二面角为锐角，且该二面角的余弦值为66时，求三棱锥M BDE -的体积19.（本题满14分）设数列{}n a 的前n 项和nS 满足：2(1)n n S na n n =--，等比数列{}n b 的前n 项和为nT ，公比为1a ，且5352T T b =+．（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n M ，求证：1154n M ≤<．20．（本题满分14分）已知抛物线x2＝a y 的焦点为F （0，1），过焦点F 且不平行于x 轴的动直线交抛物线于A 、B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M.（1）求此抛物线的方程；(2)求证：A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列；(3)设直线MF 交该抛物线于C 、D 两点，求证：AB CD ⊥.21．（本题满分14分）已知函数()f x 同时满足如下三个条件：①定义域为[1,1]-；②()f x 是偶函数；③[1,0]x ∈-时，21()x x af x e e =-，其中a R ∈.（Ⅰ）求()f x 在[0,1]上的解析式;（Ⅱ）求证:当4-≤a ,[0,1]x ∈时，函数223()(2)[()]x x g x x e f x a a =+---的图象恒在直线y=e 上方（其中e 为自然对数的底数， 2.71828e =L ）.东莞市2015届高考数学模拟题（二）参考答案 一、选择题1-8 BABD BBCA二、填空题 9.2- 10. 332 11.21-12. 3x －y+9=0 13.[),3+∞- 14. 5715. 80°16． 解：（1）1()2sin()36f x x π=-，5()2sin()44f ππ==（2）110(3)2sin[(3)]232613f πππαα+=+-=，5sin 13α=，6(32)5f βπ+=得3sin()cos 25πββ+==，,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12cos 13α=，4sin 5β=，651654135531312sin sin cos cos )cos(=⨯-⨯=-=+βαβαβα17． 解：（1）由题意知，组频率总和为，故第组频率为，即①处的数字为总的频数为因此第组的频数为即②处数字为频率分布直方图如下：5130.30.310042020（2）第组共名学生，现抽取人，因此第组抽取的人数为：人，第组抽取的人数为：人，第组抽取的人数为：人. …………………7分公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取人，每个人被抽到的概率是相同的.（只写“公平”二字，不写理由，不给分） （3）的可能取值为的分布列为：…………………12分18． 解：（1）证明 取DE 中点N ，连结,MN AN 在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED的中点，则MN ∥CD ，且12MN CD = 由已知AB ∥CD ，12AB CD=，因此，MN ∥AB ，且MN AB = 所以，四边形ABMN 为平行四边形 于是，BM ∥AN 又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ， 所以BM ∥平面ADEF …………… 6分14281210123155555555E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=345、6012312=642012=451012=260⨯1000123.、、、140)=2184312281)55C C C ==128312122)C =343121(3)55C P C ξ==ξ（2）按如图建立空间直角坐标系，点D 与坐标原点O 重合设),,(z y x M ，则)2,,(-=z y x ，又)2,4,0(-=，设(01)EM EC λλ=<<u u u u r u u u r，则λλ22,4,0-===z y x ，即)22,4,0(λλ-M 设),,(111z y x n =是平面BDM 的法向量，则02211=+=⋅y x n OB ,0)22(411=-+=⋅z y n OM λλ 取11=x ，得λλ-=-=12,111z y ，即得平面BDM 的一个法向量为)12,1,1(λλ--=n … 10分由题可知，)0,0,2(=是平面ABF 的一个法向量,因此，22||1|cos ,|2||||6422(1)OA n OA n OA n λλλ⋅<>====⋅+-u u u r ru u u r r u u ur r ，即点M 为EC 中点 此时，2=DEM S ∆，AD 为三棱锥DEM B -的高，所以，=-BDE M V 342231=⋅⋅=-DEM B V ……… 14分19. 解：（1）∵2(1)n n S na n n =--①，∴11(1)2(1)n n S n a n n++=+-+②，②-①，11(1)4n n n a n a na n++=+--，∴14n n a a +-=，又∵等比数列{}n b ，5352T T b =+，∴535452T T b b b -=⇐=，1q =，∴11a =，∴数列{}n a 是1为首项，4为公差的等差数列，∴14(1)43n a n n =+-=-；（2）由（1）可得111111()(43)(41)44341n n a a n n n n +==--+-+，∴11111111(1)(1)45594341441n M n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=--++，∴111(1)454n M -≤<， 即1154n M ≤<． 20． 解: (1)因为焦点为F （0，1）,所以4=a ,从而所求的抛物线方程为x2＝4y.(2)证明：由已知显然直线AB 的斜率k 存在且不为0,则可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由241x y y kx ⎧⎨⎩＝，＝＋消去y ，得x2－4kx －4＝0，显然Δ＝16k2＋16>0. 所以x1＋x2＝4k ，x1x2＝－4，由x2＝4y ，得y ＝14x2，所以y ′＝12x,所以，直线AM 的斜率为kAM ＝12x1,所以，直线AM 的方程为y －y1＝12x1(x －x1)，又21x ＝4y1,所以，直线AM 的方程为x1x ＝2(y ＋y1)①，同理，直线BM 的方程为x2x ＝2(y ＋y2)②，②－①并据x1≠x2得点M 的横坐标x ＝122x x ＋，即A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列．(2)解：由①②易得y ＝－1，所以点M 的坐标为(2k ，－1)(k ≠0).所以kMF ＝22k -＝－1k ，又因为直线AB 的斜率为k,所以AB CD ⊥.21．解：（Ⅰ）任取∈x ]1,0[，,ae e e a e 1)x (f ]0,1[x2x x -2x--=-=--∈-，则x又f(x)是偶函数，故.ae e )x (f f(x )[0,1]x x2x -=-=∈时， （Ⅱ） )]()[32()(22x f e a x a x x g x ---+==))(32(222xx x ae e e a x a x +---+=xx e a ax x ae a x a x )32()32(22--+=⋅--+)('x g ()(3)(1)x f x x a x e '=++-，时时，可得即0)x (g ]1,0[x -4a ,13-a -'≥∈≤≥.]10[)x (g 单调递增，在区间可知此时.4a .4a ,23-e -a e 32)0(g )(g in 时可满足题意故又-≤-≤<⇒>--==a x m …13分综上可知：当4-≤a ,)(x g 的图象恒在直线y=e 上方2015届高考数学模拟题答题卷18、(本题满分14分)19、(14分)20、(本题满分14分)21、（本小题满分14分）- 11 -。