2019高考理科数学模拟试题

2019高考理科数学模拟试题（一）

考试时间：120分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)

1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）

A．{（0，1）}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≥0}D．{x|x≥1}

2．复数z=的共轭复数的虚部为（）

A．﹣i B．﹣ C．i D．

3．已知命题p：存在向量，，使得?=||?||，命题q：对任意的向量，，，若?=?，则=．则下列判断正确的是（）

A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题

C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题

4．2017年5月30日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．

5．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于（）A．10°B．20°C．70°D．80°

6．已知函数，若，b=f（π），c=f（5），则（）

A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b

7．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）

A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）

8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

A．B．C．D．

9．在约束条件下，当6≤s≤9时，目标函数z=x﹣y的最大值的变化范

围是（）

A．[3，8]B．[5，8]C．[3，6]D．[4，7]

10．已知正实数a，b满足a+b=3，则的最小值为（）

A．1 B．C．D．2

11．已知a∈R，若f（x）=（x+）e x在区间（0，1）上只有一个极值点，则a 的取值范围为（）

A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0

12．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q（c，）在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）

A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知，则二项式展开式中的常数项是．

14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于y轴对称，该函数的部分图象如图所示，△PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，且，则f（1）的值为．

15．在平面直角坐标系中，有△ABC，且A（﹣3，0），B（3，0），顶点C到点A 与点B的距离之差为4，则顶点C的轨迹方程为．

16．一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．

三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=1﹣，其中n∈N*．

（Ⅰ）设b n=，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设C n=，数列{C n C n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得T n ＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．

18．（12分）从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；

（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？

（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E（ξ）．

19．（12分）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．

（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；

（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．

20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2

的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．

21．（12分）设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）

（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．（10分）直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为

为参数）．

（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求△AOB的面积；

（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C

与直线l的交点坐标．

23．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|2x﹣3|，g（x）=|x+1|+|x﹣a|

（1）求f（x）≥1的解集

（2）若对任意的t∈R，都存在一个s使得g（s）≥f（t）．求a的取位范围．

2018高考理科数学模拟试题（一）

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）

A．{（0，1）}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≥0}D．{x|x≥1}

【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．

【解答】解：由M中y=x2+1，得到x∈R，即M=R，

由N中y=≥0，得到N={x|x≥0}，

则M∩N={x|x≥0}，

故选：C．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．复数z=的共轭复数的虚部为（）

A．﹣i B．﹣ C．i D．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出得答案．

【解答】解：∵z==，

∴．

∴复数z=的共轭复数的虚部为．

故选：D．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

3．已知命题p：存在向量，，使得?=||?||，命题q：对任意的向量，，，若?=?，则=．则下列判断正确的是（）

A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题

C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题

【分析】命题p：存在同方向向量，，使得?=||?||，即可判断出真假．命题q：取向量=（1，0），=（0，1），=（0，2），满足?=?，则≠，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．

【解答】解：命题p：存在同方向向量，，使得?=||?||，真命题．

命题q：取向量=（1，0），=（0，1），=（0，2），则?=?，≠，因此是假命题．

则下列判断正确的是：p∧（￢q）是真命题．

故选：D．

【点评】本题考查了数量积运算性质、复合命题的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．2017年5月30日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．

【分析】求出P（A）==，P（AB）==，利用P（B|A）=，可得结论．

【解答】解：由题意，P（A）==，P（AB）==，

∴P（B|A）==，

故选：A．

【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．

5．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于（）A．10°B．20°C．70°D．80°

【分析】由题意求出PO的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可．

【解答】解：由题意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0，

点P在第一象限，OP的斜率

tanα===cot20°=tan70°，

由α为锐角，可知α为70°．

故选C．

【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．

6．已知函数，若，b=f（π），c=f（5），则（）

A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b

【分析】求出函数f（x）的导数，判断函数的单调性，从而比较函数值的大小即可．

【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）=﹣1﹣=﹣＜0，

故f（x）在（0，+∞）递减，

而5＞π＞，

∴f（5）＜f（π）＜f（），

即c＜b＜a，

故选：A．

【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．

7．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）

A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间内，即可得到答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．又∵输出的函数值在区间内，

∴x∈[﹣2，﹣1]

故选B

【点评】本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键．

8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

A．B．C．D．

【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可．

【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，

半个圆锥的体积为××π×1×=；

四棱锥的体积为×2×2×=；

故这个几何体的体积V=；

故选D．

【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．

9．在约束条件下，当6≤s≤9时，目标函数z=x﹣y的最大值的变化范

围是（）

A．[3，8]B．[5，8]C．[3，6]D．[4，7]

【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=x ﹣y得y=x﹣z，利用平移即可得到结论．

【解答】解：约束条件对应的平面区域如图：（阴影部

分）．

由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，

s=6时由平移可知当直线y=x﹣z，经过点A时，

直线y=x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，x﹣y取得最大值；

由，解得A（5，1）代入z=x﹣y得z=5﹣1=4，

即z=x﹣y的最大值是4，

s=9时由平移可知当直线y=x﹣z，经过点B时，

直线y=x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，x﹣y取得最大值；

由解得B（8，1）代入z=x﹣y得z=8﹣1=7，

即z=x﹣y的最大值是7，

目标函数z=x﹣y的最大值的变化范围是：[4，7]．

故选：D．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．

10．已知正实数a，b满足a+b=3，则的最小值为（）

A．1 B．C．D．2

【分析】由已知可得，代入，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵a+b=3，

∴==

=

=．

当且仅当，即a=，b=时等号成立．

故选：C．

【点评】本题考查利用基本不等式求最值，关键是掌握该类问题的求解方法，是中档题．

11．已知a∈R，若f（x）=（x+）e x在区间（0，1）上只有一个极值点，则a 的取值范围为（）

A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0

【分析】求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=（x+）e x，

∴f′（x）=（）e x，

设h（x）=x3+x2+ax﹣a，

∴h′（x）=3x2+2x+a，

a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，∵h（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，

∴h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x0，使得f′（x0）=0，

且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0，1）上，f′（x）＞0，

∴x0为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；

a=0时，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，

此时h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，

即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；

a＜0时，h（x）=x3+x2+a（x﹣1），

∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，

即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值．

综上所述，a＞0．

故选：A．

【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

12．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q（c，）在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）

A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）

【分析】点Q（c，）在椭圆的内部，，|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|，由﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|=，要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c．

【解答】解：∵点Q（c，）在椭圆的内部，∴，?2b2＞a2?a2＞2c2．

|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|

又因为﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|=，

要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c

，，则椭圆离心率的取值范围是（，）．

故选：B

【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键，属于难题．

二．填空题（共4小题）

13．已知，则二项式展开式中的常数项是240．

【分析】利用定积分求出a，写出展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得出结论．

【解答】解：=sinx=2，则二项式=展开式的通项公式为，

令，求得r=4，所以二项式展开式中的常数项是×24=240．故答案为：240．

【点评】本题考查定积分知识的运用，考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于中档题．

14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于y轴对称，该函数的部分图象如图所示，△PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，且，则f（1）的值为0．

【分析】由题意，求出结合函数的图象，图象关于y轴对称，φ=，△PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，可得|PM|?sin45°=|MN|，且，求解|MN|和A，即得函数f（x）=Asin（ωx+φ）

【解答】解：由题意，图象关于y轴对称，φ=，

∵△PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，可得|PM|?sin45°=|MN|，且，

解得：|MN|=2，|PM|=

在等腰三角形PMN中，可求的△PMN的高为1，即P点的纵坐标是1，

故得A=1，

T=2|MN|=4，

∴

∴函数f（x）=Asin（ωx+φ）=sin（）=，

当x=1时，即f（1）=cos=0．

故答案为0．

【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．

15．在平面直角坐标系中，有△ABC，且A（﹣3，0），B（3，0），顶点C到点A 与点B的距离之差为4，则顶点C的轨迹方程为=1（x≥2）．

【分析】利用A（﹣3，0），B（3，0），顶点C到点A与点B的距离之差为4，由双曲线的定义可得点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支，2a=4，c=3，求出b，即可求出点C的轨迹方程．

【解答】解：∵A（﹣3，0），B（3，0），顶点C到点A与点B的距离之差为4，

∴由双曲线的定义可得点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支，2a=4，c=3，∴a=2，b=，

∴点P的轨迹方程为=1（x≥2），

故答案为=1（x≥2）．

【点评】本题考查点C的轨迹方程，考查双曲线的定义，正确运用双曲线的定义是关键．

16．一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是（，）．

【分析】画出长方体，使其一个顶点放在桌面上，容易观察出液体体积何时取得最小值和最大值．

【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形，

则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；

而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，

液面的形状都不可能是三角形；

所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，

并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=，

故答案为：（，）．

【点评】本题考查了棱柱的结构特征以及几何体的体积求法问题，也考查了空间想象能力，是难题．

三．解答题（共7小题，满分70分）

17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=1﹣，其中n∈N*．

（Ⅰ）设b n=，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设C n=，数列{C n C n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得T n ＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．

﹣b n为一个常数，从而证明数列{b n}【分析】（Ⅰ）利用递推公式即可得出b n

+1

是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到b n，进而得到a n；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，利用“裂项求和”即可得到T n，要使得T n＜对于n∈N*恒成立，只要，即，解出即可．

【解答】（Ⅰ）证明：∵b n

﹣b n==

+1

==2，

∴数列{b n}是公差为2的等差数列，

又=2，∴b n=2+（n﹣1）×2=2n．

∴2n=，解得．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，

∴c n c n+2==，

∴数列{C n C n+2}的前n项和为Tn=…+

=2＜3．

要使得T n＜对于n∈N*恒成立，只要，即，

解得m≥3或m≤﹣4，

而m＞0，故最小值为3．

【点评】正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键．

18．（12分）从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；

（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？

（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E（ξ）．

【分析】（1）由频率分布直方图计算数据的平均分；

（2）计算样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数，根据分层抽样原理求出抽取的人数；

（3）计算抽取的6人中分数在[130，150]的人数，求出ξ的所有取值与概率分布，计算数学期望值．

【解答】解：（1）由频率分布直方图，得

该校高三学生本次数学考试的平均分为

0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100

+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92；…（4分）

（2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为6人和3人，

所以抽取的6人中分数在[130，150]的人有（人）；…（8分）

（3）由（2）知：抽取的6人中分数在[130，150]的人有2人，

依题意ξ的所有取值为0、1、2，

当ξ=0时，；

当ξ=1时，；

当ξ=2时，；

∴．…（12分）

【点评】本题主要考查了频率分布直方图以及平均数和概率的计算问题，也考查了运用统计知识解决简单实际问题的能力，是基础题．

19．（12分）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．

（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；

（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．

【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）方法一：利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出．方法二：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的

二面角的平面角．

【解答】解：（I）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，

∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，

又∵PA⊥平面ABC，

∴QD∥PA，又∵QD?平面QBC，PA?平面QBC，

∴PA∥平面QBC．

（Ⅱ）方法一：∵PQ⊥平面QBC，

∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，

∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．

∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，

∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，

∴四边形PADQ是矩形．

设PA=2a，

∴，PB=2a，∴．

过Q作QR⊥PB于点R，

∴QR==，

==，

取PB中点M，连接AM，取PA的中点N，连接RN，

∵PR=，，∴MA∥RN．

∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．

∴∠QRN为二面角Q﹣PB﹣A的平面角．

连接QN，则QN===．又，