2020秋高三期中考试数学(理)模拟试题+参考答案+评分标准
宁夏银川一中2020届高三下学期第一次模拟考试 理科数学(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷（银川一中第一次模拟考试）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合A={-1,0,1}, A 的子集中，含有元素0的子集共有 A.2个B.4个C.6个D.8个2.复数32(1)i i += A. -2iB. -2C.2iD.23.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a =2.2A.2B1.2CD.24.已知m ∈R ,“函数21xy m =+-有零点”是“函数.log m y x =在(0,+∞)上为减函数”的A.既不充分也不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件5.若函数f(x)=-cosx+ax 为增函数,则实数a 的取值范围为 A.[-1,+∞)B.[1,+∞)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)6.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为.23A.25B43.C53.D7.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为:一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是8.若231()nx x+展开式的各项系数之和为32,则其展开式中的常数项为 A.1B.5C.10D.209.在平面区域(,)02y x M x y x x y ⎧≥⎧⎫⎪⎪⎪=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≤⎩⎭⎩内随机取一点P,则点P 在圆222x y +=内部的概率为.8A π.4B π.2C π3.4D π10.已知直线l ，m,平面α、β、γ，给出下列命题: ①l//α,l//β,α∩β= m,则l//m;②α//β,β//γ,m ⊥α,则m ⊥γ; ③α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β;④l ⊥m,l ⊥α,m ⊥β,则α⊥β. 其中正确的命题有 A.1个B.2个C.3个D.4个11.设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在一点P,满足212||||PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为4.3A5.3B5.4C41.4D 12.已知以T=4为周期的函数21,(1,1]()1|2|,(1,3]x x f x x x ⎧⎪-∈-=⎨--∈⎪⎩，其中m>0,若方程3f(x)=x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为.15.(7)A 4.(7)3B48.(,)33C158.)3D 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知tanθ=2,则cos 2θ的值为___.14.若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，则3r+s 的值为___.15.已知A,B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4,AF BF +=u u u r u u u r 线段AB 的中点到直线2px =的距离为1,则P 的值为___. 16.观察下列算式:311,= 3235,=+ 337911,=++3413151719=+++……若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n=___.三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
高三数学模拟试题(3)
高三数学模拟试题（3）参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)； 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1.已知集合3{2,0,}2A =-，集合{|,}B y y x x R ==∈，若A B C = ，则集合C 的子集个数为A . 1B .2C .3D .4 2.复数2＋i1－2i的共轭复数是A ．3i 5-B ．3i 5C ．－iD ．i 3.已知:||4p x a -<；:(2)(3)0q x x -->，若p ⌝是q ⌝充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 A ．1a <-或6a > B ．1a ≤-或6a ≥ C ．16a -≤≤ D ．16a -<<4.执行右图的程序框图，任意输入一次(01)x x ≤≤ 与(01)y y ≤≤，则能输出数对(,)x y 的概率为A ． 14B ． 13C ． 23D ． 345.下图是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字， 从图中可以得到这10位同学身高的中位数是 A ．161 cm B ．162 cm C ．163 cm D ．164 cm6.如右上图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是 一个两底长分别为2和4 体的体积是A .283πB .73πC .28πD .7π7.已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，切当[0,2)x ∈时，2()log (1)f x x =+，则(2013)(2012)f f -+的值为 A ． 2- B ． 1- C ． 1 D ． 28．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为A ．0x ±=B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=正视图 侧视图俯视图第5题 第4题第6题9．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是A B C D10．定义方程'()()f x f x =的实数根0x 叫做函数的“新驻点”，若函数()g x x =， ()ln(1)h x x =+，3()1x x ϕ=-的“新驻点”分别为α，β，η，则α，β，η的大小关系为Ａ． α>β>η Ｂ． β> α>η Ｃ． η >α>β Ｄ．β>η>α二、填空题:本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.11．设,x y 满足约束条件220840,0,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b+的最小值为12．已知二项式()2*nx n N ⎛∈ ⎝展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为13．给定2个长度为1且互相垂直的平面向量和,点C 在以O 为圆心的圆弧B A上运动，若=OC x OA +y OB ，其中,x y R ∈，则22)1(y x +-的最大值为14．如图，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D - 的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为15．给出下列四个命题: ①已知函数0()sin af a xdx =⎰，则[()]1cos12f f π=-； ②设回归直线方程为2 2.5y x =-； 当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位；③已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=④对于命题p ：x R ∃∈,使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++≥.其中判断正确的序号是: OA BCDA 1B 1C 1D 1·三、解答题: 本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 16．（本小题满分12分）已知向量(sin(2),sin )6x x π=+m ，(1,sin )x =n ，()f x =⋅m n ．（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；（2）记△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若212)2(+=Bf ， 3,5==c b ，求a 的值. 17．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足22112320,n n n n a a a a n +++⋅-=为正整数，且3241,32+a a a 是是等差中项． （1）求数列{}n a 通项公式；（2）若1212log ,,nn n n na c T c c c a =-=+++ 求使12125n n T n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.18．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ABC ⊥平面,//AE DB ,ABC ∆且是边长为2的等边三角形，1AE =，CD 与平面ABDE. （1）在线段DC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面DCB ， 若存在，求线段DF 的长度，若不存在，说明理由； （2）求二面角D EC B --的平面角的余弦值.19．（本小题满分12分）2013年5月6日山东省下发通知要求落实职工带薪休年假制度．某单位实行休年假制度三年以来，50(1)从该单位任选两名职工，用h 表示这两人休年假次数之和，记“函数2()1f x x x =--h 在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；(2)从该单位任选两名职工，用x 表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量x 的分布列及数学期望E x .20．（本小题满分13分）已知圆1C ：22(1)8x y ++=，点2(1C ，0)，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P .(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)设、M N 分别是曲线W 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若1+22OM ON OC =uuu r uuu r uuu r，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率k ；(3)过点(0S ，1)3-且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于，A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数)(ln )(R a xax x f ∈+= （1）求)(x f 的极值；（2）若函数)(x f 的图象与函数)(x g =1的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围；（3）设各项为正的数列}{n a 满足：*111,ln 2,n n n a a a a n N +==++∈，求证：21nn a ≤-．高三数学（理科）答题纸11、；12、13、；14、；15、.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16、17、19、高三数学模拟试题（3）参考答案及评分标准一、选择题B C C B B A C BD C 二、填空题 11．4 12．45256 13．2 14．6π15．①④ 三、解答题16．解：（1）x x x f 2sin )62sin()(++=π11cos 22cos 2222xx x -=++212sin 23+=x ………3分 所以T π=， ……………………4分递减区间是3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； …………………………………6分（2）由212)2(+=Bf得sin B =，cos B = ………………８分当cos B 时，B ac c a b cos 2222-+=，即0222=--a a ，31±=a （负舍）31+=∴a ； ……………………………………1０分当cos B =时，B ac c a b cos 2222-+=，即0222=-+a a ，31±-=a （负舍）31+-=∴a ； …………………………………………1２分17.解：（1）由22112320n n n n a a a a +++⋅-=可得，11(2)(2)0n n n n a a a a ++-+=，因为数列的各项均为正数，所以120n n a a +-=， …………2分 即数列{}n a 是公比为12的等比数列. 又32412()32a a a +=+，可求得112a =，所以1()2n n a =； …………4分 （2）而12log 2nn n na c n a =-=-⋅， …………5分通过错位相减可得，1(1)22n n T n +=--， …………9分要使12125n n T n ++⋅>成立，只需122125n +->，即12127n +>，所以6n ≥， …………11分故使12125n n T n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为6． …………12分18．解：（1）取AB 的中点G ，连结CG ，则CG AB ⊥，又DB ABC ⊥平面，可得DB CG ⊥,所以ABDE CG 面⊥， 所以sin 4CG CDG CD ∠==，故CD=2DB ==…………2分 CD F BC H 11得//EF AH ，AH BC AH AH BD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面BCD ∴EF DBC ⊥面存在F 为CD 中点，DF时，使得EF DBC ⊥面 ……5分（2）如图建立空间直角坐标系，则0)C 、(0,0,0)B 、(2,0,1)E 、()0,0,2D ，从而 BE =(2,0,1)， EC =(1)--， (2,0,1)DE =-。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (88)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（）A. B. C. D.2.命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A. ,且B. ,或C. ,且D. ,或3.已知数列{a n}中，“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的什么条件（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.设函数，若，则b等于（）A. 2B. 1C.D.5.已知，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设向量满足，且与的夹角为，则=（）A. 2B. 4C. 12D.7.已知等差数列{a n}中，a3+a5=π，S n是其前n项和．则sin S7等于（）A. 1B. 0C.D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（）A. B. C. 或 D. 或9.设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin x-cos x，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（）A. 函数的值域与的值域相同B. 若是函数的极值点,则是函数的零点C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数11.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（）A. B. 5 C. 1 D.12.设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．14.已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ______ ．15.由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．16.用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g （22019-1）=______．三、解答题（本大题共6小题）17.给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）当d＞1时，记，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数，，（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即∃x0∈N*，x02∉N*或x02＜x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为等比数列，则满足a n+12=a n•a n+2，当数列a n=0时满足a n+12=a n•a n+2，但此时数列{a n}为等比数列不成立，即“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则f（）=4×-b=3-b，若b≤2，则3-b≥1，此时f（f（））=f（3-b）=23-b=4，解可得b=1；若b＞2，则3-b＜1，此时f（f（））=f（3-b）=4×（3-b）-b=12-5b=4，解可得b=，（舍）故b=1；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（）=4×-b=3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：已知，所以，利用三角函数的定义，解得，故cos2α=1-2sin2α=．故选：A．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：，∴，∴=．故选：D．根据条件可求出，进而求出，并且，从而根据进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a3+a5=π，∴==，∴sin S7==sin（-）=-sin=-1．故选：C．由等差数列{a n}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sin S7．本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由于，所以，解得A=，由于a=，c=1，所以，解得，由于c＜a，所以．故选：A．直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵f（x+3）=f（x-1），∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，则函数f（x）为减函数，即当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，log2=-2，则=f（-2）=f（2），c=f（32）=f（9）=f（8+1）=f（1），∵1＜＜2，且当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，∴f（1）＜f（）＜f（2），∴a＞b＞c，故选：A．根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin x-cos x，∴g（x）=f'（x）=cos x+sin x，对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确；对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z；解得x0=kπ+，k∈Z；，g（x0）=sin（kπ+-）=0，∴x0也是函数g（x）的零点，B正确；对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cos x-sin x≠g（x），∴C错误；对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数，x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确．故选：C．求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），∴，2λ+μ的最小值是3-．故选：D．建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围．本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：函数，可得f′（x）=-，∵x0是f（x）的极值点，∴f′（x0）=0，即，得，k∈Z，即x0=mk，k∈Z，∴可转化为：，即k2m2+3＜m2，k∈Z，即，要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，又k2的最小值为0，∴，解得或，故选：B．求出导函数f′（x）=-，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k2m2+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值，以及成立条件的转化，考查计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵y=ax+ln x，∴y′=a+，则y′|x=1=a+1，∴曲线y=y=ax+ln x在点（1，a）处的切线方程为y-a=（a+1）（x-1），∵曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），解得：a=1．故答案为：1．求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立等式，解之即可求出所求．本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】或3【解析】【分析】本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．15.【答案】3-2ln2【解析】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为=（x2-2ln x）=3-2ln2．故答案为：3-2n2．求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数，则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1），则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）==4n+f（n），即f（n+1）-f（n）=4n，分别取n为1，2，…n，并累加得：，又f（1）=g（1）=1，所以，从而，令n=2019，则所求为：．故答案为：．据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）．本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题．17.【答案】解：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立⇔△=a2-4≤0⇔-2≤a≤2，幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减⇔a-1＜0⇔a＜1，当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2，当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2，综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]．【解析】通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立条件的转化，是基本知识的考查．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有，=，=，所以f（x）的最小正周期：．由得f（x）的单调递减区间是．（Ⅱ）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1．所以，即．所以m的最小值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，即：，解得：或．故或．（Ⅱ）由d＞1，知a n=2n-1，，故．于是：①，②①-②得：，故．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0，∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，∴函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴，记，由题意得：B⊆A，∴且，解得：，当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴，∴且，得，综上，所求实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由已知得：，再由正弦定理得：，∵B=π-（A+C），∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C②又C∈（0，π），由①②得，，又A∈（0，π），∴．（Ⅱ）法一：由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A得b2+c2-bc=9即：（b+c）2-3bc=9，而（当且仅当b=c=3时等号成立）从而，得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]；法二：由正弦定理得：，∴，又，从而△ABC的周长L：=，，∴，∴，从而：L∈（6，9]．【解析】（Ⅰ）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；（Ⅱ）利用余弦定理再结合基本不等式可得3＜b+c≤6，则可求出周长L的范围．本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln x-x2+x．∵．易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值．（Ⅱ）．∴．①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得，所以F（x）在单调递增，在单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅲ）由题知t≥0，．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．又g（x）单调递减，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．令．则在[1，2]上恒成立，则，而在[1，2]单调递增，∴，∴．【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=ln x-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值．（Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间．（Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t的取值范围本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．。
南京市2020届高三年级数学第三次模拟考试参考答案
南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．236． 37．2n ＋1－2 8．62 9．8310．[2，4] 11．6 12． [－2，＋∞) 13．－9414．38二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)证明：(1)取PC 中点G ，连接DG 、FG ．在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ．因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ， ······························································ 2分所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG ． ············································································· 4分 又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ． ······································································ 6分 (2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ． ··································································· 10分 因为P A ⊂平面P AD ，所以CD ⊥P A ． ·················································· 12分 又因为P A ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以P A ⊥平面PCD ． 因为P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD ． ·································· 14分16．(本小题满分14分)解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12． ··································· 2分因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3， ························································· 4分所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3． ······························· 6分(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45． ········ 8分因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210， ······················· 10分所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22． ····· 12分又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4． ····································································· 14分17．(本小题满分14分)解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy ． 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)． ···························································· 2分(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ．因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ，即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55． 化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去）， ·············································· 4分 所以OC ＝405．因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0． ······················· 6分因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85， 所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险．答：若快艇立即出发有触礁的危险． ······················································· 8分 (2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ． 设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k |12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12． ············································· 10分由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ． 由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505， ······························································· 12分此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时． ···························································· 14分18．(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ·························································· 2分(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． ··········· 4分 设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32， 所以M (－1，±32)． ········································································ 6分 (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2． ···················································· 8分因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)． ·································································· 10分因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，化得4m 2＝4k 2＋1．① ········································································ 12分 因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0． 因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② ················· 14分 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112． ····················································· 16分 19． (本小题满分16分)解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)． ··················································· 2分 (2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4． ························································· 4分 方法1由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x (x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2．①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减，所以f (a )＞f (2)，不符题意． ··························································· 6分 ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )＜f (2)，满足题意．综上，a 的取值范围为(2，4)． ························································ 8分方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e aa ．因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e a a(4－a )．设函数g (x )＝e xx (4－x )－e 2， 0＜x ＜4． ·················································· 6分因为g'(x )＝e x·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减．又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)．所以，a 的取值范围为(2，4)． ··························································· 8分 (3)证明：设切点为(x 0，f (x 0))，则f'(x 0)＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2，所以切线方程为y －ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(x －x 0)．由0－ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(0－x 0)，化简得x 03－(a ＋3)x 02＋3ax 0－a ＝0． ···················································· 10分 设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h'(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a ． 因为△＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x )＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨x 1＜x 2． 因为所以函数h (x )最多有三个零点． ························································· 12分 因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a ＜0，h (1)＝a －2＞0，h (2)＝a －4＜0，h (5)＝50－11a ＞0， 所以h (0)h (1)＜0，h (1)h (2)＜0，h (2)h (5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点． 综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点． ············································· 16分20．(本小题满分16分)解：(1) 因为{a n }的“L 数列”为{12n }，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N *，即a n ＋1a n ＝2n ，所以n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n -1)＋(n －2)＋…＋1＝2n (n －1)2．又a 1＝1符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n (n －1)2，n ∈N *． ·················· 2分(2)因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1． 方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2．因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立， 即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立． ············································ 4分因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)，所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0．当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意． ··········· 6分 当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0，综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ························································· 8分 方法2令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意． ···················· 6分当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ························································· 8分(3)存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下：因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋p k，k ∈N*， ·············································· 10分所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n)． 又因为p ＞1，所以1－1p ＞0，所以n p ＜S n ＜n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1p n －1＋1p n )，即n p ＜S n ＜n p ＋1p ·[1－(1p )n ]． ································································· 14分 因为1p ·[1－(1p )n ]＜1p ，所以n p ＜S n ＜n ＋1p．设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p，且c n ＜S n ＜c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意． ······················································· 16分南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ．··································································· 2分 因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0． ········································································· 4分 (2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2， ·············· 6分 所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36， 所以，点Q ′的坐标为(－3，6)． ························································ 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)得直线l 方程为x －3y ＋3＝0． ············· 2分曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－ 3 sin θ＋3|2 ······························ 4分＝|2cos(θ＋π3)＋1＋3|2． ········································································ 6分当θ＋π3＝2k π，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时， ·················································· 8分曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32． ········································ 10分C ．选修4—5：不等式选讲 证明：因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]． ·································· 4分 若a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0． ···························································· 6分 若a ＜b 时，a ＜b ，从而(a )5＜(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]＞0． ···························································· 8分 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． ····························································· 10分 22．（本小题满分10分）解：(1)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ．又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的 空间直角坐标系A —xyz ．设AA 1＝t (t ＞0)，又AB ＝3，AC ＝4，则A (0，0，0)，C 1(0，4，t )，B 1(3，0，t )，C (0，4，0)，所以AC 1→＝(0，4，t )，B 1C →＝(－3，4，－t )． ·············································· 2分 因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4，所以AA 1的长为4． ············································································· 4分 (2)由(1)知B (3，0，0)，C (0，4，0)，A 1(0，0，4)， 所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0．取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量． 又因为AB ⊥面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos ＜n ，AB →＞＝AB →·n |AB →|·|n |＝123·42＋32＋32＝434， ····································· 6分所以sin ＜n ，AB →＞＝317．设P (3，0，m )，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m )． 因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos ＜CP →，AB →＞＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93·32＋(－4)2＋m 2＝3m 2＋25， 所以直线PC 与平面AA 1C 1C 的所成角的正弦值为3m 2＋25． ·························· 8分 因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等， 所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等 ． ········································································································ 10分 23．（本小题满分10分）解：(1)根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35．所以P 1＝25×25＋C 12×(25)2×35＝425＋24125＝44125． ········································ 2分(2)证明：累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C nn ×(25)n ＋1；前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C nn ＋1×(25)n ＋1×35；······································································································ 4分 ……前2n －1 次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1；前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n2n ×(25)n ＋1×(35)n ；则P n ＝C n n ×(25)n ＋1＋C n n ＋1×(25)n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1＋C n2n ×(25)n ＋1×(35)n＝(25)n ＋1×[C n n ＋C n n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(35)n －1＋C n2n ×(35)n ] ＝(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]， ························ 6分因此P n ＋1－P n ＝(25)n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1]－(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ] ＝(25)n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1]。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟测试试题(二)(含答案)
2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。
四川省南充市阆中中学2024年高三下学期期中考试(数学试题理)试题
四川省南充市阆中中学2024年高三下学期期中考试（数学试题理）试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ） A ．13B ．23C ．1D ．32．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π3．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，()2log3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<4．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）5．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．2826．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．17．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ） A ．1112- B 31 C ．221D ．328．已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或39．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知ABC 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=（ ） A ．14B ．12C ．10D ．811．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i --12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷含解析
山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在直角坐标平面内，已知A（-2,0）,3（2,0）以及动点。
是AABC的三个顶点，且sin Asin B-2cosC=0,则动点C的轨迹曲线「的离心率是()\/2a/3A.2B.2 c.扬 D.右2.若函数f(x)=l+\x\+x\贝0/(lg2)+/flg|k/(lg5)+/flg^=()A.2b.4 C.6 D.83.在AA3C中，CA_CA AB.则sinA:sin3:sinC=（）543A.9:7:8b.c.6:8:7D何.3：由4.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种A.120B.260C.340D.4205.已知直线y=kx-1与抛物线J=8y相切，则双曲线x2-k2y2=l的离心率为（）73A.打B.右C.D.26.已知数列｛%｝的前〃项和S"满足S"+a"=2n(nwN*),则％=()1_127321385A.3b.64 c.32d.64x+y>l,7.设x，y满足约束条件\x-y>-l,若目标函数z=ax+3y仅在点（1,0）处取得最小值，则。
的取值范围2x-y<2,为()A.(—6,3)B.(-6,-3)C.(。
，3)D.(-6,0]8.已知集合M=(x|y=log2(-4x-x2)},2V=(x|(-)x>4},则肱N=()A.d-2]b.[-2,0) c.(-4,2]D(-co,-4)9.如图，已知等腰梯形A3CD中，AB=2DC=4,AD=BC=^5,E是OC的中点，P是线段BC±的动点，则的最小值是（）_9_4A.5B.0C.5D.110.已知^A={x\a-l<x<a+2},B=(x|3<x<5},则能使A^B成立的实数。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (86)
2020高考数学模拟试题（理科）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是( ) A． (－∞，－1] B． [1，＋∞) C． [－1,1] D． (－∞，－1]∪[1，＋∞)2.下列命题错误的是( )A．命题“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否定是：“若xy≠0，则x，y都不为零”。
B．对于命题p：∃x 0∈R，使得＋x0＋1＜0，则p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0。
C．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x －m＝0无实根，则m≤0”。
D．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件。
3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( ) A． 2 B． 2 C． 12 D．4.函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )A．－ B． C．1 D．5．已知m,n是两条不同直线，α,β是两个不同平面．以下命题中正确命题的个数是（）①m,n相交且都在平面α,β外，m∥α, m∥β , n∥α, n∥β ,则α∥β;②若m∥α, m∥β , 则α∥β;③若m∥α, n∥β , m∥n, 则α∥β．A．0 B．1 C．2 D．36.函数cosxxye的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．7.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F =，则椭圆方程为（ ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=8．在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线1A M 与NB 所成角的正切值为（ ） A ．3 B ．1 C ．6D ．2 9.已知奇函数在R 上是增函数，．若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.B.C .D.10.设函数f (x )＝cos(2x ＋ϕ)＋sin(2x ＋ϕ)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为减函数11.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P 在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） A ．103B ．10C ．43 D ．5312．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[]1,2x ∈时，2()41814f x x x =-+-，若函数()()g x f x mx =-有三个零点，则正实数m 的取值范围为（ ）A ．3,184142⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()2,18414- C ．()2,3 D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13.计算＝________.14．已知命题p ：2,20x R x x m ∃∈++≤，命题q ：幂函数113()m f x x+-=在()0,∞+是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数m 的取值范围是_________.15.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为_________.16．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为_______.三、解答题：（共70分。
(全国III卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案
（3） 2 2 列联表如下：
人次 400
空气质量不好
33
空气质量好
22
人次 400 37 8
K2
100 338 37 222
5.820 3.841 ，
55 45 70 30
因此，有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考
根据题意画出图形，如图
理科数学参考答案 7
| BP || BQ | ， BP BQ ， PMB QNB 90 ，
又 PBM QBN 90 ， BQN QBN 90 ，
PBM BQN ， 根据三角形全等条件“ AAS ”， 可得：△PMB △BNQ ，
x2 16 y2 1 ， 25 25
【解析】 【分析】
（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、 2 、 3 、 4 的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100 可得结果；
（3）根据表格中的数据完善 2 2 列联表，计算出 K2 的观测值，再结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为 2 16 25 0.43 ， 100
（2）由错位相减法求解即可.
【详解】（1）由题意可得 a2 3a1 4 9 4 5 ， a3 3a2 8 15 8 7 ，
由数列an 的前三项可猜想数列an 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即 an 2n 1，
证明如下：
当 n 1 时， a1 3成立；
假设 n k 时， ak 2k 1 成立.
机密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
2020届吉林省东北师范大学附属中学高三上学期第二次模拟数学(理)试题(解析版)
2019—2020学年髙三年级上学期 第二次摸底考试（数学）学科试卷（理）考试时间：120分钟一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}240P x R x x =∈-≤，{}3Q x R x =∈<，则P Q ⋃=（ ） A. []3,4 B. (]3,4- C. (],4-∞ D. ()3,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】分别求解二次不等式和绝对值不等式，求并集即可. 【详解】对集合P ：240x x -≤，解得[]0,4x ∈； 对集合Q ：3x <，解得：()3,3x ∈-； 求并集得：(]3,4P Q ⋃=-， 故选：B .【点睛】本题考查不等式的求解、并集的运算. 2.复数311ii++等于( ) A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】C 【解析】2311(1)2.11(1)(1)2i i i ii i i i i +++====+--+ 本题选择C 选项.3.若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的（ ）A. 允分不必要条件B. 必要不允分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由p 是q 的充分不必要条件，可得：若p ，则q ，再根据其逆否命题，即可求得. 【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，则可记作： 若p ，则q 为真，求其逆否命题为：若q ⌝，则p ⌝， 故：p ⌝是q ⌝的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题考查充分条件和必要条件，以及命题之间的转化. 4.设120202019a =，2019log b =20201log 2019c =，则( ) A. c b a >> B. b c a >>C. a b c >>D. a c b >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】120200201901912a >==Q,20192019log log 201910b <<==, 202020201log log 102019c =<=, a b c >>,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用..5.将函数2sin 16y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），那么所得图象的一个对称中心的坐标为（ ） A. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,112π⎛⎫-⎪⎝⎭ C. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,13π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由三角图像变换，先求变换后的解析式，再求对称中心即可.【详解】将函数2sin 16y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短为原来的12， 则得()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令26x k ππ-=，解得()212k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，解得12x π=，此时函数值为-1，故选：B.【点睛】本题考查三角函数图像的变换，及变换后函数的性质.6.已知命题“00x ∃≥，200210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A. [)1,-+∞B. ()0,∞+C. []1,1-D. [)0,+∞【答案】A 【解析】 【分析】求该命题的否定，再将恒成立问题转化为最值问题求解即可.【详解】命题：00x ∃≥，200210x ax ++<是假命题；则其否定:0x ∀≥，2210x ax ++≥是真命题； 当0x =时，10≥显然成立；当0x >时，2210x ax ++≥，解得122x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭而1122x x+≥当且仅当1x =时取得，故： 1122x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭，由题可知： 122x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭等价于1a ≥-，故选：A.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，属综合基础题.7.若直线y ex b =+是曲线ln y x =的一条切线，则函数()3ln f x b x x x=---的单调递增区间是（ ） A. ()0,3 B. ()1,3-C. ()3,+∞D. (),1-∞-和()3,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由y ex b =+是曲线的切线，求出b ，再求具体函数的单调增区间即可. 【详解】设切点为()00,ln x x ，则可得过该点的切线方程为：001ln 1y x x x =+-，又知切线为：y ex b =+， 故得：01x e =，1ln 12b e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则： ()33ln 2ln f x b x x x x x x=---=--，()2231f x x x=-+'，令()0f x ¢>， 解得：2230x x --<，即()1,3x ∈- 又该函数定义域为：()0,+?，故单调增区间为()0,3.故选：A.【点睛】本题考查曲线上一点处的切线方程的求解，以及求具体函数的单调区间，属综合基础题. 8.下列函数中同时具有以下性质的是（ ） ①最小正周期是π； ②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数； ④图象的一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭． A. 26cos x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 2cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据选项，对每个函数进行逐一分析即可.【详解】对A ：函数的最小正周期为4π，故A 不正确； 对B ：该函数在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数，故B 不正确； 对C ：函数图像不关于3x π=直线对称，故C 不正确；对D ：该函数满足四条性质，故D 正确. 故选：D .【点睛】本题考查正余弦函数的最小正周期、单调区间、对称轴、对称中心，属基础综合题.9.己知函数()()()()()24112111xa x f x x a x x ⎧--<⎪=⎨+-+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A. [)1,+∞ B. []1,0 C. [)1,3 D. [)0,3【答案】C 【解析】 【分析】先保证每段函数都是增函数，再考虑断点处函数值的关系，解不等式组即可. 【详解】若满足题意，则()()41xf x a =--要为增函数，则：41a ->；①若保证()()()22111f x x a x x =+-+≥单调递增，则：11a -≤；②若要保证该函数在R 上单调递增，则在断点处：()()411211a a --≤+-+③由①②③解得：[)1,3a ∈. 故选：C .【点睛】本题考查分段函数在R 上的单调性，需要满足每段函数均为单调的，同时也要考虑断点处函数值的关系.10.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A. (－∞，0) B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B 【解析】函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），则f′（x ）=lnx ﹣ax+x （﹣a ）=lnx ﹣2ax+1， 令f′（x ）=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1，函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点，等价于f′（x ）=lnx ﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切，由图可知，当0＜a ＜时，y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点． 则实数a 的取值范围是（0，）． 故选B ．11.己知O 是ABC ∆内一点，230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AB AC =-uu u r uu u r g ，且23BAC π∠=，则OBC ∆的面积为（ ）A.B.C. D.6【答案】D 【解析】 【分析】由230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v可确定O 点的位置，再求解面积即可. 【详解】分别取AC 、BC 的中点为D 、E ，作图如下：由230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v，可得：()2OA OC OB OC +=-+u u u v u u u v u u u v u u u v，即：2OD OE =-u u u v u u u v ，故O 是DE 上靠近E 点的三等分点， 故6ABC OBC S S ∆∆=，根据题意可知：4AB ACAB AC cosA=⋅=u u u r u u u r故12ABC S AB AC sinA ∆==则16OBC ABC S S ∆∆==， 故选：D .【点睛】本题考查向量的运算、三角形面积公式的计算，属综合基础题.12.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()f x =()()()log 3a g x f x x =-+有5个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (]1,18,6⎛⎫+∞⎪⎝⎭U B. ()6,+∞C. 1,18⎛⎫ ⎪⎝⎭D. {}11,121410⎛⎫⋃⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】将函数有5个零点的问题，转化为图像有5个交点的问题，则数形结合可得.【详解】()()2f x f x +=-可得：该函数关于1x =对称，又其关于原点对称，故： 该函数的周期为4；()()()log 3a g x f x x =-+有5个零点，等价于函数()y f x =与()log 3a y x =+有5个交点，当()0,1a ∈时，若满足两函数有5个交点，则由下图可知：()log 3a y x =+在7x =时的函数值log 101a >-，且在11x =时的函数值log 141a <-，解得：11,1410a ⎛⎫∈⎪⎝⎭； 当()1,a ∈+∞时，若满足两函数有5个交点，则由下图可知：此时，函数应该过点()9,0C ，故log 121a =，解得12a =. 综上所述：12a =或11,1410a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故答案为：D.【点睛】本题综合考查函数的性质，以及零点问题，利用数形结合；属综合中档题.二、填空题：13.己知向量a r ，b r 满足a b ⊥r r，1a =r，2a b +=r r =b r ______．【答案】1 【解析】 【分析】由向量垂直可得0a b =v n v，将2a b +=v v 两边平方，结合已知，即可求得.【详解】因为a b ⊥v v ，故0a b =v n v ；2a b +=vv ，两边平方，则：22445a b a b ++=v n v vv ，解得：244b =v ，即：1b =r .故答案为：1.【点睛】本题考查向量的数量积、模长的计算，属向量基础运算题. 14.已知tan 2θ=，则sin cos θθ=____． 【答案】25. 【解析】试题分析：把所求的式子分母看作“1”，利用sin 2θ+cos 2θ=1，从而把所求的式子化为关于tanθ的关系式，把tanθ的值代入即可求出值．详解：由tanθ=2，则sinθcosθ=22sin cos sin cos θθθθ+=1215tan tan θθ=+.故答案为25.点睛：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．本题利用了sin 2θ+cos 2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般sin cos sin cos αααα+-，，sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三.15.己知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos sin b C c B a A +=，1AB =，2BC =，且1AB BC =-u u u r u u u rn ，则C ∠=______． 【答案】6π【解析】 【分析】由cos cos sin b C c B a A +=可求角A ，利用向量数量积，求得B ，从而推出C. 【详解】由：cos cos sin b C c B a A +=，可得：1sinA =，又()0,A π∈，故90A =︒； 由1AB BC -⋅=u u u r u u u r，可得：()cos 1AB BC B π-=-⋅u u u r u u u r，解得：60B =︒；由三角形内角和得：30C =︒， 故答案为6π. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查了正弦定理的应用，属基础题. 16.定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，己知()f x '是它的导函数，且恒有()()cos sin 0x f x x f x '⋅+⋅<成立，且13f π⎛⎫=⎪⎝⎭，则不等式()2cos f x x <的解集为______． 【答案】32x x ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由()()cos sin x f x x f x ⋅+⋅'可构造函数()()f x F x cosx=，由其单调性及特殊值，可求得不等式.【详解】由()()cos sin 0x f x x f x ⋅'+⋅<，可构造函数：()()f x F x cosx =，则：()()()2cos sin 0cos x f x x f x F x x''⋅+⋅=<；故()F x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 由13f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可得23F π⎛⎫= ⎪⎝⎭； 而()2cos f x x <等价于()23F x F π⎛⎫<=⎪⎝⎭，解得：,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：32xx ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查：利用导数构造函数，求解不等式的问题，属导数中的中档题；本题中()()cos sin x f x x f x ⋅+⋅'的构造形式需要注意.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，数列{}n b 是等差数列，且11b a =，43b a =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若11n n n n c a b b +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n n a -=，n b n = （2）1221nn T n =-++ 【解析】 【分析】（1）由21n n S a =-，利用1n n n a S S -=-求得n a ；再利用基本量求得n b ； （2）先求n a 的前n 项和，再用裂项求和即可.【详解】（1）当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =，当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---122n n a a -=-，∴12n n a a -=，当2n =时，2221S a =-即22121a a +=-，∴22a =， ∴212a a =，∴{}n a 为以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a -=，∵11b =，434b a ==，4113b b d -==， ∴n b n =．（2）由（1）可得：()1121n n c n n -=-+，所以1111112231n n T S n n ⎛⎫=--+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭112112211n n n n =--+=-+++ 【点睛】第一问考查1n n n a S S -=-的利用，以及基本量求解通项公式；第二问考查分组求和与裂项求和. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AB //CD ，2AB CD =，PA PD =，PA ⊥平面PCD ．（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）设2AD CD ==，求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）11【解析】 【分析】（1）由CD ⊥平面PAD ，通过线面垂直，推出面面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）证明：∵PA ⊥平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ， ∴PA CD ⊥又AD CD ⊥且PA AD A ⋂=， ∴CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）取AD 的中点O ，连接PO ，作图如下：∵PA PD =，∴PO AD ⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ， 建立如图所示的直角坐标系，()0,1,0D ，()2,1,0C ，()0,0,1P ，()410B -，，， ()2,2,0BC =-u u u v ，()4,1,1PB =--u u u v，∴平面PBC 的一个法向量()1,1,3m =v，平面PAD 的一个法向量()2,0,0n DC ==u u uv vcos m n m n m n⋅=v v v vv v11=，∴平面PBC 与平面PAD . 【点睛】本题第一问考查通过线面垂直证明面面垂直，第二问考查利用向量求解二面角的大小.19.已知函数()()2sin 2cos 12f x x x x ππ⎛⎫=--++- ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间；（2）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，己知()2f A =-，2a =，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数整理为标准型，再求单调区间；（2）由（1）解得角A ，利用余弦定理及均值不等式，得bc 的最大值，即可得面积最大值.【详解】（1）()cos cos2f x x x x =-+12sin2cos222x x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()222262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，又∵[]0,x π∈，∴函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）∵()2f A =- ∴2sin 226A π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 即sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ABC ∆为锐角三角形， ∴262A ππ-=，∴3A π=在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-， 又2a =，∴2242b c bc bc bc bc =+-≥-=， 当且仅当2b c ==时，()max 4bc =，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤∴当2b c ==时，()max ABC S ∆=【点睛】（1）第一问考查利用三角恒等变换化简三角函数为标准型，并求其单调性；（2）第二问考查三角函数与解三角形的结合，以及利用余弦定理，均值不等式求解三角形面积最大值得问题；本题属综合中档题，需要重视，高考常考.20.已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点F ，抛物线2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且l 交椭圆C 于A B 、两点，点A F B 、、在直线:4g x =上的射影依次为D K E 、、. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r，当m 变化时，证明：12λλ+为定值； （3）当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析；（3）5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：：1）由题设条件求出椭圆的右焦点F 与上顶点坐标，即可得出b ：c 的值，再求出2a 的值即可求得椭圆C 的方程：：2：设()()1122,,,A x y B x y ：联立直线与椭圆的方程：结合韦达定理得出12y y +与12y y ：再根据12,MA AF MB BF λλ==u u u v u u u v u u u v u u u v 及10,M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭：从而可表示出12λλ+：化简即可得证：：3：）当0m =时，易得AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭：可猜想：m 变化时：AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭：再证明猜想成立即可.试题解析：：1：∵:1l x my =+过椭圆C 的右焦点F ： ∴右焦点()1,0F ，即21c =：又∵2x =的焦点(为椭圆C 的上顶点，∴b =222234b a b c ==+=，：∴椭圆C 的方程22143x y +=：：2）由22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩得，()2234690m y my ++-=： 设()()1122,,,A x y B x y ，则121222693434m y y y y m m 、+=-=-++： ∵121,,0,MA AF MB BF M m λλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ：∴()()111112222211,1,,,1,x y x y x y x y m m λλ⎛⎫⎛⎫+=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭：∴1212111,1my my λλ=--=--： ∴1212221269822/34343y y m m my y m m λλ++=--=--=-++：综上所述，当m 变化时，12λλ+的值为定值83-：：3）当0m =时，直线l x ⊥轴，则ABED 为矩形，易知AE 与BD 是相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，猜想AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，证明如下： ∵11112533,,,222AN x y my y NE y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ：∵()()121121222333369022223434m my y y y y my y m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-=---=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭： ∴//AN NE u u u v u u u v，即A N E 、、三点共线. 同理可得B N D 、、三点共线，则猜想成立，即当m 变化时，AE 与BD 相交于定点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.点睛：：1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题：：2）求定值问题常见的方法：：从特殊入手：求出定值：再证明这个值与变量无关：：直接推理、计算：并在计算推理的过程中消去变量：从而得到定值． 21.已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的两个零点分别是1x ，2x ，求证：122x x a+>． 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，得其导数的主导因式为二次函数，对参数进行分类讨论即可；（2）要证122x x a +>，即证：212x x a >-，根据函数的单调性，等价于证：()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故构造函数()()2F x f x f x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，讨论其单调性即可. 【详解】（1）函数()()2ln 2f x x ax a x=-+-定义域为()0,+∞，()()()()121122ax x f x ax a x x-+=-+-=-'， ①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<， 则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：由（1）易知0a >，且()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 不妨设1210x x a<<<， 构造函数()()2F x f x f x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()()()()()()()2'222212222ax ax ax F x f x fx f x f x a a x ax x ax -+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+-== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎣'⎭⎦'''， ∵10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()()()22102ax F x x ax ='->-， ∴()F x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴()11210F x F f f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 的即()2f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又1x ，2x 是函数()f x 的两个零点且110x a<<， ∴()112f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭， 又∵()()12f x f x =，∴()212f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭， 而2x ，12x a -均大于1a ，且()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴212x x a >-，∴122x x a+>，得证． 【点睛】本题第一问考查利用导数对含参函数单调性讨论；第二问考查极值点偏离问题的处理方法，构造函数法；本题的第二问属于经典题型，需要重点关注.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t ay t a=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为23sin 4ρρθ=+． （1）求曲线C 的参数方程； （2）若3=4πα，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 【答案】（1）cos 1sin 2x y ββ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（β为参数） （2）2 【解析】 【分析】（1）将极坐标方程，化为直角方程，再转化为参数方程即可；（2）可以利用直线参方中参数的几何意义进行处理，也可以利用直角坐标系中的弦长公式. 【详解】（1）由23=sin 4ρρθ+得，2234x y y +=+， 的即22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， ∴曲线C 的参数方程为12x cos y sin ββ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（β为参数）． （2）解法一：若3=4πα， 则直线l参数方程为1212x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 代入2234x y y +=+， 整理得2410t ++=，560=>n ，12t t +=，1214t t =， ∴122AB t t =-==． 解法二：若34πα=，则直线l 的直角坐标方程为0x y +=， ∵曲线C 为圆，它的直角坐标方程为22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 圆心为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径1r =，圆心到直线l的距离14d ==，∴2AB ===． 【点睛】本题考查将极坐标方程转换为参数方程、利用直线参方中t 的几何意义求解弦长；本题中第二问的方法二，也是一种很好的思路，利用直角坐标系中的弦长公式进行求解.【选修4-5：不等式选讲】23.己知函数()2f x x a a =-+．的（1）当2a =时，求不等式()8xf x ≥的解集；（2）若不等式()14f x x ≥-+有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}2x x ≥ （2）(]5,3,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U【解析】【分析】（1）将绝对值函数，转化为分段函数，分段求解不等式，先交后并即可；（2）不等式有解，等价于214x a x a ---≥-有解，求21x a x ---的最大值即可. 【详解】（1）当2a =时，()2,4426,4x x f x x x x -≥⎧=-+=⎨-<⎩， 当4x ≥时，由()8xf x ≥，得2280x x --≥，得4x ≥．当4x <时，由()8xf x ≥，得2680x x -+≤，得24x ≤<，∴不等式()8xf x ≥的解集为{}2x x ≥．（2）由()14f x x ≥-+有解，可得214x a x a ---≥-有解， 又()()212121x a x x a x a ---≤---=-∴214a a -≥-①．当4a ≥时，不等式①恒成立 当142a ≤<时，不等式①可化214a a -≥-，可得543a ≤<， 当12a <时，不等式①可化为124a a -≥-，可得3a ≤-． ∴实数a 的取值范围是(]5,3,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、绝对值不等式的性质、有解问题的转化，属不等式中档题.。
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2020秋高三年级第一学期期中模拟测试数学(理)试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。
第Ⅰ卷一、选择题：(本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合}{1<=x x A ，}{)3(<-=x x x B ，则=B A Y ( )A. ()0,1-B. ()1,0C. ()3,1-D. ()3,12.设复数z 满足()i z i 211-=⋅+（i 为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.有6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法数 ( ) A. 24 B.36 C.48 D.604.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图所示.当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为 （ ）A.B.C.D.5．在等比数列{}n a 中，4a 和12a 是方程0132=++x x 的两根，则=8a ( )A ．23-B ．23C ．1-D ．1±6.已知向量()m ,1=，()2,3-=，且⊥+)(，则=m ( ) A ．－8 B ．－6 C. 6 D ．87.下列函数中，在()+∞,0内单调递减的是 ( ) A. xy -=22B. x x y +-=11 C. x y 1log 21= D. a x x y ++-=228.函数()()ϕω+=x A x f sin ()R x A ∈⎪⎭⎫⎝⎛<<->>22,0,0πϕπω的部分图象(如图所示，则=⎪⎭⎫⎝⎛3πf ( ) A.21 B.23C. 21-D. 23-9.已知0,0>>y x ，且112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围 A ．4≥m 或2-≤mB ．2≥m 或4-≤mC ．42<<-mD ．24<<-m10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为 ( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π511.已知O 为坐标原点，抛物线x y C 8:2=上一点A 到焦点F 的距离为6，若点P 为抛物线C 准线上的动点，则AP OP +的最小值为 ( ) A.4 B.34 C.64 D.36 12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，当[0,]2x π∈时，()f x =则函数()()()1g x x f x π=--在区间3[,3]2ππ-上所有零点之和为 A. π B. 2π C. 3π D. 4π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22-23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)13.已知()61ax -的展开式中3x 的系数为20，则=a14. 曲线()1ln 2+=x y 在点()0,0处的切线方程为15. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若ABC ∆的面积为4222c b a -+，则=C 16.已知函数()122-=x x x f ，数列{}n a 的通项公式为)(2019*∈⎪⎭⎫⎝⎛=N n n f a n ，则=2019a ;此数列前2019项的和为 ． 三、解答题：17. 已知等差数列{}n a 满足,26,7753=+=a a a {}n a 的前n 项和为n S （1）求n a 及n S ； （2）令),(112*∈-=N n a b n n 求数列{}n b 的前n 项和为n T18.在四棱锥ABCD P -中,平面⊥PAD 平面ABCD ，2==PD PA ,四边形ABCD 是边长为2的菱形，ο60=∠A ,E 是AD 的中点. (1)求证: ⊥BE 平面PAD ；(2)求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值.19.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)2515，，第2组[)3525，，第3组[)4535，，第4 组[)5545，，第5组[)6555，，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值；(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.20.在平面直角坐标系中，已知圆1C 的方程为()9122=+-y x ，圆2C 的方程为()1122=++y x ，动圆C与圆1C 内切且与圆2C 外切.(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)已知()0,2-P 与()0,2Q 为平面内的两个定点，过()0,1点的直线l 与轨迹E 交于B A ,两点，求四边形APBQ 面积的最大值. 21. 已知R a ∈，函数()x a xx f ln 2+=. （1）讨论函数()x f 的单调性；（2）若2=x 是()x f 的极值点，且曲线()x f y =在两点()()()()2211,,,x f x Q x f x P()621<<x x 处的切线互相平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为21,b b ，求21b b -的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线θρcos 4:1=C ，3cos :2=θρC .（1）求1C 与2C 的交点的极坐标； （2）设点Q 在1C 上，32=，求动点P 的轨迹的极坐标方程. 23.选修4—5：不等式选讲 设函数()25--+-=x a x x f . (1)当1=a 时,求不等式()0≥x f 的解集; (2)若()1≤x f 恒成立,求a 的取值范围.数学试卷(理)答案一、选择题二、填空题：13. 1- ; 14. x y 2= 15.4π16. 22019=a ；2020 三、解答题：17.（1）12+=n a n ，n n S n 22+=（2）()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=111412221nn n n b n44+=n nT n18.解：（1）连接BD ，由2PA PD==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形，ο60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，P ，(1,0,0),(A B C -，有(1,0,PA PB ==u u u r u u u r，(PC =-u u u r ，令平面PAB 的法向量为n r ，由0PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r ru u u r r，可得一个n =r ，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =u r，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为||||||m n m n ⋅=u r r u r r .19. 解：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，则()()1227312122121021031221|.()50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+ （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为4,5P =X 的可能取值为0，1，2，3. ()033410(1)5125P X C ∴==-=，()112344121()(1)55125P X C ==-=()221344482()(1)55125P X C ==-=，()3334643()5125P X C ===所以X 的分布列为4~(3,)5X B Q ，()4123.55E X np ==⨯=20. 解：（1）设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠-. （2）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x得22(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++有2212(1)||34m AB m +==+， 点(2,0)P -到直线l (2,0)Q 到直线l ，从而四边形APBQ的面积22112(1)234m S m +=⨯=+令1t t ≥，有224241313t S t t t==++，由函数13y t t =+在[1,)+∞单调递增 有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，四边形APBQ 面积的最大值为6.21. （1）2222()a ax f x x x x-'=-+=，①当0a ≤时，()0f x '<在(0,)x ∈+∞上恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上单调递减；②当0a >时， 2(0,)x a ∈时()0f x '<，2[,)x a ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在2(0,)x a ∈上单调递减，在2[,)x a∈+∞单调递增；（Ⅱ）∵2x =是()f x 的极值点， ∴由（1）可知22a=， ∴1a =设在()11,()P x f x 处的切线方程为112111221(ln )()()y x x x x x x -+=-+-， 在()22,()Q x f x 处的切线方程为222222221(ln )()()y x x x x x x -+=-+-∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+,∴121112x x += ∵211112x x =-,且1206x x <<<，∴11111162x x <-<，∴111143x <<，∴1(3,4)x ∈令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+-.∵211112x x =-，∴1212121111121111=4()ln ln =4()ln ln()22b b x x x x x x x --+---+- 设1()82ln ln()2g x x x x =--+-，11(,)43x ∈∴2222111681(41)()801222x x x g x x x x x x x -+-'=--==<---∴()g x 在区间11(,)43上单调递减，∴2()(ln 2,0)3g x ∈-即12b b -的取值范围是2(ln 2,0)3-.22. （1）联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，6πθ±=， 32=ρ交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛±6,32π（2）设()θρ,P ,()00,θρQ 且.cos 400θρ=，由已知,32=得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为θρcos 10= 23.(1) []3,2-(2) (][)+∞-∞-,26,Y。