(完整)2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x 2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．?B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8B．0.4C．0.3D．0.23．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1B．﹣1C．D．4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2C．D．16．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2B．3C．4D．57．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）0+a1（x+1）+a2（x+1）10=a10=a 2+⋯+a1010（x+1），2+⋯+a10则a8=（）A．45B．180C．﹣180D．720积为（）A BC的三视图，其表面锥S﹣9．（5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱A．16B．8+6C．16D．16+610．（5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），为P F+PM的最大值为17，则椭圆的离心率部点M（﹣1，3）满足P为椭圆上一动点，椭圆内（）A．B．C．D．11．（5分）（2018?衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣k x恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0B．k≤0或k≥1C．k≤0或k≥eD．k≤0或k≥2n+p，数列{bn}的通项公式12．（5分）（2018?衡中模拟）已知数列{an}的通项公式为an=﹣n﹣4*为b n=2，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）第2卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）||=2||=2，|﹣|=，则在上13．（5分）（2018?衡中模拟）若平面向量、满足的投影为．a1=a2=1，an+2=，14．（5分）（2018?衡中模拟）若数列{an}满足S2n=．则数列{a n}前2n项和a=0把区域分成面2）y+4﹣15．（5分）（2018?衡中模拟）若直线ax+（a﹣积相等的两部分，则的最大值为．2 16．（5分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x（a＜﹣1）对．x2|，则a的取值范围为f（x2）|≥4|x1﹣任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣.）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤c=1，17．（12分）（2018?衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足且cosBsinC+（a﹣s inB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；2+b2（2）求a的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．A BCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，P﹣18．（12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥∠ABC=90°，PA=AB=BC=，2AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段C D上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区时转动两个域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同无效，重新开下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动转盘待指针停域为y，x、y∈{1，2，3}，域为x，转盘（B）指针所对的区始），记转盘（A）指针所对的区设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（12分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线1，）．过椭圆E内一点P（1，）的与椭圆相交于M、N两点，且线段M N的中点为（﹣两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；．（Ⅱ）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由2 21．（12分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e 处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018?衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC?BC=2AD?CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018?衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），C的极坐标方程在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线为ρ=C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（1）求曲线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．（2）若直线4-5：不等式选讲][选修3|．l|+|x﹣24．（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣（I）解不等式f（x）≤6；x∈R恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A ∩B=（）A ．?B ．（0，1）C ．[0，1）D ．[0，1]【解答】解：A={x|x 2 ＜1}={x|﹣1＜x ＜1}，B={y|y=|x|≥0}， 则A ∩B=[0，1）， 故选：C ．2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N （3，σ2），若P （ξ＞4）=0.2，则P （3＜ξ≤4）=（）A ．0.8B ．0.4C ．0.3D ．0.2【解答】解：∵随机变量X 服从正态分布N （3，σ 2 ），∴μ=3，得对称轴是x=3． ∵P （ξ＞4）=0.2∴P （3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3． 故选：C3．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i 为虚数单位），则 3=（）A ．1B ．﹣1C ．D ． 【解答】解：复数z=， 可得=﹣=cos+isin ． 则 3=cos4π+isin4π=1． 故选：A ．4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点F 作两渐近线的垂线，垂足分别为P 、Q ，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（） A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x 【解答】解：如图若∠PFQ=π， 则由对称性得∠QFO=， 则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+⋯+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）0+a1（x+1）+a2（x+1）10=a10=a 2+⋯+a1010（x+1），2+⋯+a10则a8=（）A．45B．180C．﹣180D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱锥S﹣A BC的三视图，其表面积为（）A．16B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．word完美格式∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P F+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为部点M（﹣1，3）满足P为椭圆上一动点，椭圆内（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）（2018?衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣k x恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0B．k≤0或k≥1C．k≤0或k≥eD．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣k x=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，xx0=1，当x＜0时，函数f（x）=e﹣1的导数f′（x）=e，则f′（0）=e即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．k≤0或k≥1，围为综上k的取值范故选：B．2n+p，数列{bn}的通项公式12．（5分）（2018?衡中模拟）已知数列{an}的通项公式为a n=﹣n﹣4*围为b n=2，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N，n≠6），则p的取值范（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）n﹣42【解答】解：∵an﹣b n=﹣2n+p﹣，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，n﹣4bn=2随着n变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上p∈（14，20），故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）|=，则在上13．（5分）（2018?衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣的投影为﹣1．【解答】解：根据条件，=word完美格式=7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．（5分）（2018?衡中模拟）若数列{an}满足a1=a2=1，an+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=2﹣1．n+n2【解答】解：∵数列{an}满足a1=a2=1，an+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．n2故答案为：2+n﹣1．15．（5分）（2018?衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，则得，即直线恒过C（﹣1，2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，由得，即A（1，6），∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．216．（5分）（2018?衡中模拟）已知函数f （x ）=（a+1）lnx+x （a ＜﹣1）对 任意的x 1、x 2＞0，恒有|f （x 1）﹣f （x 2）|≥4|x 1﹣x 2|，则a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]． 【解答】解：由f ′（x ）=+x ，得f ′（1）=3a+1，所以f （x ）=（a+1）lnx+ax 2，（a ＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2， 则f （x 1）﹣f （x 2）≥4x 2﹣4x 1，即f （x 1）+4x 1≥f （x 2）+4x 2， 令F （x ）=f （x ）+4x ，F ′（x ）=f ′（x ）+4=+2ax+4， 等价于F （x ）在（0，+∞）上单调递减， 故F'（x ）≤0恒成立，即+2ax+4≤0， 所以恒成立， 得a ≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018?衡中模拟）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足c =1， 且cosBsinC+（a ﹣sinB ）cos （A+B ）=0 （1）求C 的大小；（2）求a 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的值．2+b 2 【解答】解：（1）cosBsinC+（a ﹣sinB ）cos （A+B ）=0 可得：cosBsinC ﹣（a ﹣sinB ）cosC=0 即：sinA ﹣acosC=0． 由正弦定理可知：， ∴，c=1，word完美格式∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c﹣2abcosC，2=a2+b2得1=a﹣ab2+b2又，∴，即：．当时，a2+b取到最大值为2+．2+b218．（12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=，2AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴MEAD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM?平面PAB，∴BC⊥AM，又PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），1）．==（λ+1，2λ﹣1，﹣∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．（12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区两个域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动，重新开转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效域为y，x、y∈{1，2，3}，始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，转盘1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，同理转盘B指针指向∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，P=P（A1）P（1﹣P（B1））=×（1﹣）==．⋯（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1）P（B1）===，P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，∴ξ的分布列为：ξ23456PEξ==．⋯（12分）20．（12分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段1，）．过椭圆E内一点P（1，）的M N的中点为（﹣两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．，【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则两式相减，故a⋯（2分）2=3b2A P平行于x轴时，设|AC|=2d，当直线∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得⋯4分22a=3，b=1，所以方程为⋯（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），⋯①同理可得⋯②⋯（8分）由①②得：⋯③得，程将点A、B的坐标代入椭圆方两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）⋯④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），⋯（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）kAB=﹣λ（x3+x4）⋯⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．⋯（12分）2 21．（12分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e 处的切线x﹣2y+e=0平行．与直线（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；．（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），故，则而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，∴在（1，+∞）上恒成立，∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），word完美格式要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数，则，（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，故k≤0满足条件；（2）当k＞0时，．①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．﹣kk=2e k22=?（k），k﹣k）﹣2+2e﹣易知，又h（e）=k×（﹣k26＞则?'（k）=2（e﹣k）＞0，则?（k）在k＞2为增函数，∴?（k）＞?（2）=2e﹣0．故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．4-1：几何证明选讲][选修22．（10分）（2018?衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．word完美格式..（Ⅰ）求证：DE ∥AB ；（Ⅱ）求证：AC?BC=2AD?CD ．【解答】证明：（Ⅰ）连接B D ，因为D 为的中点，所以BD=DC ．因为E 为BC 的中点，所以DE ⊥BC ．因为AC 为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB ∥DE ．⋯（5分）（Ⅱ）因为D 为的中点，所以∠BAD=∠DAC ，又∠BAD=∠DCB ，则∠DAC=∠DCB ．又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ，所以△DAC ∽△ECD ．所以=，AD?CD=AC?CE ，2AD?CD=AC?2CE ，因此2AD?CD=AC?BC ．⋯（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018?衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．【解答】解：（1）由曲线C 的极坐标方程为ρ=得ρ2sin 2 θ=2ρcos θ． 2∴由曲线C 的直角坐标方程是：y=2x ．由直线l 的参数方程为（t 为参数），得t=3+y 代入x=1+t 中消去t 得：x ﹣y ﹣4=0，所以直线l 的普通方程为：x ﹣y ﹣4=0⋯（5分）（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2=2x ，得t 2=2x ，得t 2 ﹣8t+7=0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，word完美格式..所以|AB|===，y﹣4=0的距离d=，因为原点到直线x﹣所以△AOB的面积是|AB|d==12．⋯（10分）[选修4-5：不等式选讲]3|．l|+|x﹣24．（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．l|+|x﹣3|=的图象如图所示，【解答】解：函数f（x）=|x﹣（I）不等式f（x）≤6，即①或②，或③．解①求得x∈?，解②求得3＜x≤5，解③求得﹣1≤x≤3．1，5]．综上可得，原不等式的解集为[﹣（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，则函数f（x）的图象不能在y=ax﹣1的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B（3，2），∴3a﹣1≤2，且a≥﹣2，求得﹣2≤a≤1．欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。
2018年河北省衡水中学高三一模理科数学试题(1)
6•设x,y满足约束条件3x y 620,0, 若目标函数z ax by (a,b 0)的最大值是12,则x,y 0,a2 b2的最小值是(6A.—13 36D.36137.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为()A . 16B . 4 &已知函数f x C. 8 D. 22sin( x ) ( 0,的一部分(如图所示)，则与的值分别为(11 5_ 10’ 67 _10, 6)图像)4 _5' 3 2B . 1,一双曲线C的左右焦点分别为F1,F2 ,且F2恰为抛物线的焦点,设双曲线C与该抛物线的一个交点为为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为( )A .10.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1,x2，不等式X1f(xj X2f(X2) X1f(X2)X2f(xJ 恒成立，则不等式f(1 x) 0 的解集为(9.y2 4x1 2C. 1 3D. 2A,若ARF2是以河北省衡水中学2018高三第一次模拟理科数学试题12小题，每小题5分，共60分)3 ，则图中阴影部分表示的集合是4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )①平均数x 3 :②标准差|S 2 :③平均数x 3且标准差S 2 ；④平均数x 3且极差小于或等于2;⑤众数等于1且极差小于或等于A .①②B .③④C.③④⑤D .④⑤5. 在长方体ABCD —A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E,则点E A1BC 1 的()A .垂心B.内心2 x 1 B . X2x21 x2 D . X X 2”是2•设a R,i是虚数单位，则为纯虚数”的(A.充分不必要条件C.充要条件3. 若｛a n｝是等差数列，首项和S n 0成立的最大正整数A. 2011B. 2012B.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件0,31 0, 32011 32012n是( )C. 4022a2011a20120，则使前n项D. 4023一、选择题(本大题共1.设全集为实数集R, xx2 4 , N1。
河北省衡水中学2018届高三高考押题(一)理科数学试题(PDF)
河北衡水中学2018年高考押题试卷理数试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=（ ）4{|0}2x A x Z x -=∈≥+1{|24}4x B x =≤≤A B A ． B ． C ． D ．{|12}x x -≤≤{1,0,1,2}-{2,1,0,1,2}--{0,1,2}2.已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（ ）i 11ti z i-=+t A ． B ． C ．D ．[1,1]-(1,1)-(,1)-∞-(1,)+∞3.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（ ）(,0)-∞A. B ． C. D ．42y x x =+||2x y =22x x y -=-12log ||1y x =-4.已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（ ）1C 2212x y -=2C 2212x y -=-A.它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同 D ．它们的离心率相等5.在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（ ）{}n a 4a 12a 2310x x ++=81a=±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）S A.1009 B ．-1009 C.-1007 D ．10087.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．163π+112π+1123π+143π+8.已知函数的部分图象如图所示，则函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>><图象的一个对称中心可能为（ ）()cos()g x A x ϕω=+A ．B ． C. D ．5(,0)2-1(,0)61(,0)2-11(,0)6-9.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的F O C AB OF AB ⊥AC a =BC b =无字证明为（ ）A. B ． 2a b +≥(0,0)a b >>222a b ab +≥(0,0)a b >>C. D ．2ab a b ≤+(0,0)a b >>2a b +≤(0,0)a b >>10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ）A ．720B ．768 C.810 D ．816。
2018年河北省【衡水金卷】普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知虚数单位，复数对应的点在复平面的（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】因为=所对应的点为，在第四项限.故答案为：D.2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】},若,则故答案为：D.3. 设，，，，为实数，且，，下列不等式正确的是（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】取a=2,b=4,c=3,d=2,d-a=0,c-b=-1,此时d-a>c-b,A 错误；取a=2,b=3,小，则，,此时,B 错误；取b=3,a=,c=1,d=-3,,C 错误；对于D，D正确. 故选D. 4. 设随机变量，则使得成立的一个必要不充分条件为（ ）A.或B.C.D.或【答案】A【解析】由，得到=，故3m=3，得到m=1,则使得成立的充要条件为m=1,故B错误；因为是的真子集，故原题的必要不充分条件为或.故答案为：A.5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则判断框内实数应填入的整数值为（）A. 998B. 999C. 1000D. 1001【答案】A【解析】因为令则故当根据题意此时退出循环，满足题意，则实数M应填入的整数值为998，故答案为：A.6. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则下列选项中结果为0的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得到，因为公差不为0，故=0，由等差数列的性质得到，故答案为:C.7. 设，分别为双曲线（，）的左、右顶点，过左顶点的直线交双曲线右支于点，连接，设直线与直线的斜率分别为，，若，互为倒数，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圆锥曲线的结论知道故答案为：B.8. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. 16 D.【答案】A【解析】由已知中的三视图得到该几何体是一个半圆柱挖去了一个三棱锥，底面面积为，高为4，该几何体的体积为故答案为:A .9. 已知曲线和直线所围成图形的面积是，则的展开式中项的系数为（）A. 480B. 160C. 1280D. 640【答案】D【解析】由题意得到两曲线围成的面积为=故答案为：D.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，设，，若，，且，则的最大值为（）A. 7B. 10C. 8D. 12【答案】B【解析】已知，，,得到因为，，故有不等式组表示出平面区域，是封闭的三角形区域，当目标函数过点(2,4)时取得最大值，为10.故答案为：B.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值;注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.11. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得到直线平分角，因为由，得到，故.故答案为：C.12. 将给定的一个数列：，，，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将作为第一组，将，作为第二组，将，，作为第三组，…，依次类推，第组有个元素（），即可得到以组为单位的序列：，，，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第个括号称为第群，从而数列称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第个群众，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群众的第个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，），…，以此类推.设该数列前项和，若使得成立的最小位于第个群，则（）A. 11 B. 10 C. 9 D. 8【答案】B【解析】由题意得到该数列的前r组共有个元素，其和为则r=9时，故使得N>14900成立的最小值a位于第十个群.故答案为：B.点睛：这个题目考查的是新定义题型，属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目，可以先找一些特殊情况，总结一下规律，再进行推广，得到递推关系，或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数为偶函数，则__________．【答案】-1【解析】由偶函数的定义得到,即=即恒成立，k=-1.故答案为：-1.14. 已知，，则__________．【答案】【解析】=,故=，因为，故=，故，故.故答案为：.15. 中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手、、、参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，对说：“你没有获得一等奖”，对说：“你获得了二等奖”；对大家说：“我未获得三等奖”，对、、说：“你妈三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计__________种．（用数字作答）【答案】12【解析】设选手ABCD获得一等奖，二等奖，三等奖，分别用表示获得的奖次，其中i=0时，表示为获奖，若C说谎，则若B说谎则等九种情况，若A说谎则若D说谎则，公12种情况.故答案为：12.16. 已知为的重心，点、分别在边，上，且存在实数，使得.若，则__________．【答案】3【解析】设连接AG并延长交BC于M，此时M为BC的中点，故故存在实数t使得，得到故答案为：3.点睛：本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在解决多元的范围或最值问题时，常用的解决方法有：多元化一元，线性规划的应用，均值不等式的应用,“乘1法”与基本不等式的性质，等.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，为边的中点，，求.【答案】(1)；(2)5.【解析】试题分析：(1)由正弦定理，得，又，进而得到；（2）的面积，得，两边平方得到，结合两个方程得到结果.解析：（1）因为，由正弦定理，得.又，所以，即.因为，故.所以.（2）由的面积，得.又为边的中点，故，因此，故，即，故.所以.18. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占据了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料:月份市场份额（(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测该企业2017年7月份的市场份额；(2)如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数(单位:天)统计图.设销售产品数量为，经统计，当时，企业每天亏损约为200万元，当时，企业平均每天收人约为400万元;当时，企业平均每天收人约为700万元。
2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.23．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．16．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．7209．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+610．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）第2卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，则A∩B=[0，1），故选：C．2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴μ=3，得对称轴是x=3．∵P（ξ＞4）=0.2∴P（3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3．故选：C3．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：复数z=，可得=﹣=cos+isin．则3=cos4π+isin4π=1．故选：A．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：如图若∠PFQ=π，则由对称性得∠QFO=，则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，当x＜0时，函数f（x）=e x﹣1的导数f′（x）=e x，则f′（0）=e0=1，即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．综上k的取值范围为k≤0或k≥1，故选：B．12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）【解答】解：∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，b n=2n﹣4随着n变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上p∈（14，20），故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为﹣1．【解答】解：根据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=2n+n2﹣1．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为：2n+n2﹣1．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，则得，即直线恒过C（﹣1，2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，由得，即A（1，6），∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：由f′（x）=+x，得f′（1）=3a+1，所以f（x）=（a+1）lnx+ax2，（a＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，令F（x）=f（x）+4x，F′（x）=f′（x）+4=+2ax+4，等价于F（x）在（0，+∞）上单调递减，故F'（x）≤0恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得a≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0即：sinA﹣acosC=0．由正弦定理可知：，∴，c=1，∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，得1=a2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a2+b2取到最大值为2+．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM⊂平面PAB，∴BC⊥AM，又PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE⊂平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），==（λ+1，2λ﹣1，﹣1）．∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记转盘A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，同理转盘B指针指向1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，P=P（A1）P（1﹣P（B1））=×（1﹣）==．…（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1）P（B1）===，P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6PEξ==．…（12分）20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，两式相减，故a2=3b2…（2分）当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得…4分a2=3，b2=1，所以方程为…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），…①同理可得…②…（8分）由①②得：…③将点A、B的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）…④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），…（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）k AB=﹣λ（x3+x4）…⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．…（12分）21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，故，则，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，∴在（1，+∞）上恒成立，∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数，则，（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，故k≤0满足条件；（2）当k＞0时，．①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．易知，又h（e﹣k）=k×（﹣k）﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=ϕ（k），则ϕ'（k）=2（e k﹣k）＞0，则ϕ（k）在k＞2为增函数，∴ϕ（k）＞ϕ（2）=2e2﹣6＞0．故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．由直线l的参数方程为（t为参数），得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y﹣4=0，所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4=0…（5分）（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得t2﹣8t+7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|AB|===，. . . .. . ..s . .. 因为原点到直线x ﹣y ﹣4=0的距离d=， 所以△AOB 的面积是|AB |d==12．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f （x ）=|x ﹣l |+|x ﹣3|．（I ）解不等式f （x ）≤6；（Ⅱ）若不等式f （x ）≥ax ﹣1对任意x ∈R恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：函数f （x ）=|x ﹣l |+|x ﹣3|= 的图象如图所示，（I ）不等式f （x ）≤6，即①或②，或③． 解①求得x ∈∅，解②求得3＜x ≤5，解③求得﹣1≤x ≤3．综上可得，原不等式的解集为[﹣1，5]．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥ax ﹣1对任意x ∈R 恒成立，则函数f （x ）的图象不能在y=ax ﹣1的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B （3，2），∴3a ﹣1≤2，且 a ≥﹣2，求得﹣2≤a ≤1．。
2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷(理科)第1卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分、在每个小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得、)1.(5分)(2018•衡中模拟)已知集合A={x|x2＜1},B={y|y=|x|},则A∩B=()A.∅B.(0,1)C.[0,1)D.[0,1]2.(5分)(2018•衡中模拟)设随机变量ξ～N(3,σ2),若P(ξ＞4)=0、2,则P(3＜ξ≤4)=()A.0、8B.0、4C.0、3D.0、23.(5分)(2018•衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=()A.1B.﹣1C.D.4.(5分)(2018•衡中模拟)过双曲线﹣=1(a＞0,b＞0)得一个焦点F作两渐近线得垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线得渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x5.(5分)(2018•衡中模拟)将半径为1得圆分割成面积之比为1:2:3得三个扇形作为三个圆锥得侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3得值为()A. B.2 C. D.16.(5分)(2018•衡中模拟)如图就是某算法得程序框图,则程序运行后输出得结果就是()A.2B.3C.4D.57.(5分)(2018•衡中模拟)等差数列{a n}中,a3=7,a5=11,若b n=,则数列{b n}得前8项与为()A. B. C. D.8.(5分)(2018•衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=()A.45B.180C.﹣180D.7209.(5分)(2018•衡中模拟)如图为三棱锥S﹣ABC得三视图,其表面积为()A.16B.8+6C.16D.16+610.(5分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0)得左焦点F(﹣3,0),P为椭圆上一动点,椭圆内部点M(﹣1,3)满足PF+PM得最大值为17,则椭圆得离心率为()A. B. C. D.11.(5分)(2018•衡中模拟)已知f(x)=,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k得取值范围为()A.k≤0B.k≤0或k≥1C.k≤0或k≥eD.k≤0或k≥12.(5分)(2018•衡中模拟)已知数列{a n}得通项公式为a n=﹣2n+p,数列{b n}得通项公式为b n=2n﹣4,设c n=,若在数列{c n}中c6＜c n(n∈N*,n≠6),则p得取值范围()A.(11,25)B.(12,22)C.(12,17)D.(14,20)第2卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中得横线上.)13.(5分)(2018•衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|﹣|=,则在上得投影为.14.(5分)(2018•衡中模拟)若数列{a n}满足a1=a2=1,a n+2=,则数列{a n}前2n项与S2n=.15.(5分)(2018•衡中模拟)若直线ax+(a﹣2)y+4﹣a=0把区域分成面积相等得两部分,则得最大值为.16.(5分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(a＜﹣1)对任意得x1、x2＞0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a得取值范围为.三、解答题(本大题共5小题,共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、)17.(12分)(2018•衡中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对得边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0(1)求C得大小;(2)求a2+b2得最大值,并求取得最大值时角A,B得值.18.(12分)(2018•衡中模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M就是棱PB中点.(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PCD;(Ⅱ)设点N就是线段CD上一动点,且=λ,当直线MN与平面PAB所成得角最大时,求λ得值.19.(12分)(2018•衡中模拟)如图就是两个独立得转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域得圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏,规则就是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(A)指针所对得区域为x,转盘(B)指针所对得区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y得值为ξ.(Ⅰ)求x＜2且y＞1得概率;(Ⅱ)求随机变量ξ得分布列与数学期望.20.(12分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0),倾斜角为45°得直线与椭圆相交于M、N 两点,且线段MN得中点为(﹣1,).过椭圆E内一点P(1,)得两条直线分别与椭圆交于点A、C 与B、D,且满足=λ,=λ,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应得λ=.(Ⅰ)求椭圆E得方程;(Ⅱ)当λ变化时,k AB就是否为定值？若就是,请求出此定值;若不就是,请说明理由.21.(12分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=e2处得切线与直线x﹣2y+e=0平行.(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在(1,+∞)上就是减函数,求实数a得最小值;(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)﹣无零点,求k得取值范围.[选修41:几何证明选讲]22.(10分)(2018•衡中模拟)如图所示,AC为⊙O得直径,D为得中点,E为BC得中点.(Ⅰ)求证:DE∥AB;(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.[选修44:坐标系与参数方程]23.(2018•衡中模拟)在平面直角坐标系中,直线l得参数方程为(t为参数),在以直角坐标系得原点O为极点,x轴得正半轴为极轴得极坐标系中,曲线C得极坐标方程为ρ=(1)求曲线C得直角坐标方程与直线l得普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB得面积.[选修45:不等式选讲]24.(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.(I)解不等式f(x)≤6;(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,求实数a得取值范围.参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分、在每个小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得、)1.(5分)(2018•衡中模拟)已知集合A={x|x2＜1},B={y|y=|x|},则A∩B=()A.∅B.(0,1)C.[0,1)D.[0,1]【解答】解:A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1},B={y|y=|x|≥0},则A∩B=[0,1),故选:C.2.(5分)(2018•衡中模拟)设随机变量ξ～N(3,σ2),若P(ξ＞4)=0、2,则P(3＜ξ≤4)=()A.0、8B.0、4C.0、3D.0、2【解答】解:∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2),∴μ=3,得对称轴就是x=3.∵P(ξ＞4)=0、2∴P(3＜ξ≤4)=0、5﹣0、2=0、3.故选:C3.(5分)(2018•衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=()A.1B.﹣1C.D.【解答】解:复数z=,可得=﹣=cos+isin.则3=cos4π+isin4π=1.故选:A.4.(5分)(2018•衡中模拟)过双曲线﹣=1(a＞0,b＞0)得一个焦点F作两渐近线得垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线得渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解答】解:如图若∠PFQ=π,则由对称性得∠QFO=,则∠QOx=,即OQ得斜率k==tan=,则双曲线渐近线得方程为y=±x,故选:B5.(5分)(2018•衡中模拟)将半径为1得圆分割成面积之比为1:2:3得三个扇形作为三个圆锥得侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3得值为()A. B.2 C. D.1【解答】解:∵2πr1=,∴r1=,同理,∴r1+r2+r3=1,故选:D.6.(5分)(2018•衡中模拟)如图就是某算法得程序框图,则程序运行后输出得结果就是()A.2B.3C.4D.5【解答】解:第一次循环,sin＞sin0,即1＞0成立,a=1,T=1,k=2,k＜6成立,第二次循环,sinπ＞sin,即0＞1不成立,a=0,T=1,k=3,k＜6成立,第三次循环,sin＞sinπ,即﹣1＞0不成立,a=0,T=1,k=4,k＜6成立,第四次循环,sin2π＞sin,即0＞﹣1成立,a=1,T=1+1=2,k=5,k＜6成立,第五次循环,sin＞sin2π,即1＞0成立,a=1,T=2+1=3,k=6,k＜6不成立,输出T=3,故选:B7.(5分)(2018•衡中模拟)等差数列{a n}中,a3=7,a5=11,若b n=,则数列{b n}得前8项与为()A. B. C. D.【解答】解:设等差数列{a n}得公差为d,a3=7,a5=11,∴,解得a1=3,d=2,∴a n=3+2(n﹣1)=2n+1,∴,∴b8=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)=故选B.8.(5分)(2018•衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=()A.45B.180C.﹣180D.720【解答】解:(x﹣3)10=[(x+1)﹣4]10,∴,故选:D.9.(5分)(2018•衡中模拟)如图为三棱锥S﹣ABC得三视图,其表面积为()A.16B.8+6C.16D.16+6【解答】解:由三视图可知该三棱锥为边长为2,4,4得长方体切去四个小棱锥得到得几何体. 三棱锥得三条边长分别为,∴表面积为4×=16.故选:C.10.(5分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0)得左焦点F(﹣3,0),P为椭圆上一动点,椭圆内部点M(﹣1,3)满足PF+PM得最大值为17,则椭圆得离心率为()A. B. C. D.【解答】解:设右焦点为Q,由F(﹣3,0),可得Q(3,0),由椭圆得定义可得|PF|+|PQ|=2a,即|PF|=2a﹣|PQ|,则|PM|+|PF|=2a+(|PM|﹣|PQ|)≤2a+|MQ|,当P,M,Q共线时,取得等号,即最大值2a+|MQ|,由|MQ|==5,可得2a+5=17,所以a=6,则e===,故选:A.11.(5分)(2018•衡中模拟)已知f(x)=,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k得取值范围为()A.k≤0B.k≤0或k≥1C.k≤0或k≥eD.k≤0或k≥【解答】解:由y=f(x)﹣kx=0得f(x)=kx,作出函数f(x)与y=kx得图象如图,由图象知当k≤0时,函数f(x)与y=kx恒有一个交点,当x≥0时,函数f(x)=ln(x+1)得导数f′(x)=,则f′(0)=1,当x＜0时,函数f(x)=e x﹣1得导数f′(x)=e x,则f′(0)=e0=1,即当k=1时,y=x就是函数f(x)得切线,则当0＜k＜1时,函数f(x)与y=kx有3个交点,不满足条件.当k≥1时,函数f(x)与y=kx有1个交点,满足条件.综上k得取值范围为k≤0或k≥1,故选:B.12.(5分)(2018•衡中模拟)已知数列{a n}得通项公式为a n=﹣2n+p,数列{b n}得通项公式为b n=2n﹣4,设c n=,若在数列{c n}中c6＜c n(n∈N*,n≠6),则p得取值范围()A.(11,25)B.(12,22)C.(12,17)D.(14,20)【解答】解:∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4,∴a n﹣b n随着n变大而变小,又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小,b n=2n﹣4随着n变大而变大,∴,(1)当(2)当,综上p∈(14,20),故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中得横线上.)13.(5分)(2018•衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|﹣|=,则在上得投影为﹣1. 【解答】解:根据条件,==7;∴;∴在上得投影为.故答案为:﹣1.14.(5分)(2018•衡中模拟)若数列{a n}满足a1=a2=1,a n+2=,则数列{a n}前2n项与S2n=2n+n2﹣1.【解答】解:∵数列{a n}满足a1=a2=1,a n+2=,∴n=2k﹣1时,a2k+1﹣a2k﹣1=2,为等差数列;n=2k时,a2k+2=2a2k,为等比数列.∴.故答案为:2n+n2﹣1.15.(5分)(2018•衡中模拟)若直线ax+(a﹣2)y+4﹣a=0把区域分成面积相等得两部分,则得最大值为2.【解答】解:由ax+(a﹣2)y+4﹣a=0得a(x+y﹣1)+4﹣2y=0,则得,即直线恒过C(﹣1,2),若将区域分成面积相等得两部分,则直线过AB得中点D,由得,即A(1,6),∵B(3,0),∴中点D(2,3),代入a(x+y﹣1)+4﹣2y=0,得4a﹣2=0,则,则得几何意义就是区域内得点到点(﹣2,0)得斜率,由图象过AC得斜率最大,此时最大值为2.故答案为:2.16.(5分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(a＜﹣1)对任意得x1、x2＞0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a得取值范围为(﹣∞,﹣2] .【解答】解:由f′(x)=+x,得f′(1)=3a+1,所以f(x)=(a+1)lnx+ax2,(a＜﹣1)在(0,+∞)单调递减,不妨设0＜x1＜x2,则f(x1)﹣f(x2)≥4x2﹣4x1,即f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2,令F(x)=f(x)+4x,F′(x)=f′(x)+4=+2ax+4,等价于F(x)在(0,+∞)上单调递减,故F'(x)≤0恒成立,即+2ax+4≤0,所以恒成立,得a≤﹣2.故答案为:(﹣∞,﹣2].三、解答题(本大题共5小题,共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、)17.(12分)(2018•衡中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对得边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0(1)求C得大小;(2)求a2+b2得最大值,并求取得最大值时角A,B得值.【解答】解:(1)cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0可得:cosBsinC﹣(a﹣sinB)cosC=0即:sinA﹣acosC=0.由正弦定理可知:,∴,c=1,∴asinC﹣acosC=0,sinC﹣cosC=0,可得sin(C﹣)=0,C就是三角形内角,∴C=.(2)由余弦定理可知:c2=a2+b2﹣2abcosC,得1=a2+b2﹣ab又,∴,即:.当时,a2+b2取到最大值为2+.18.(12分)(2018•衡中模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M就是棱PB中点.(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PCD;(Ⅱ)设点N就是线段CD上一动点,且=λ,当直线MN与平面PAB所成得角最大时,求λ得值.【解答】证明:(1)取PC得中点E,则连接DE,∵ME就是△PBC得中位线,∴ME,又AD,∴MEAD,∴四边形AMED就是平行四边形,∴AM∥DE.∵PA=AB,M就是PB得中点,∴AM⊥PB,∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∵AM⊂平面PAB,∴BC⊥AM,又PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,PB∩BC=B,∴AM⊥平面PBC,∵AM∥DE,∴DE⊥平面PBC,又DE⊂平面PCD,∴平面PBC⊥平面PCD.(2)以A为原点,以AD,AB,AP为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:则A(0,0,0),B(0,2,0),M(0,1,1),P(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0).∴=(1,2,0),=(0,1,1),=(1,0,0),∴=λ=(λ,2λ,0),=(λ+1,2λ,0),==(λ+1,2λ﹣1,﹣1).∵AD⊥平面PAB,∴为平面PAB得一个法向量,∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成得角为θ,则sinθ=.∴当即时,sinθ取得最大值,∴MN与平面PAB所成得角最大时.19.(12分)(2018•衡中模拟)如图就是两个独立得转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域得圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏,规则就是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(A)指针所对得区域为x,转盘(B)指针所对得区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y得值为ξ.(Ⅰ)求x＜2且y＞1得概率;(Ⅱ)求随机变量ξ得分布列与数学期望.【解答】解:(1)记转盘A指针指向1,2,3区域得事件为A1,A2,A3,同理转盘B指针指向1,2,3区域得事件为B1,B2,B3,∴P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,P=P(A1)P(1﹣P(B1))=×(1﹣)==.…(5分)(2)由已知得ξ得可能取值为2,3,4,5,6,P( ξ=2)=P(A1)P(B1)===,P(ξ=3)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)==,P(ξ=4)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)==,P( ξ=5)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=+=,P(ξ=6)=P(A3)P(B3)==,∴ξ得分布列为:ξ 2 3 4 5 6PEξ==.…(12分)20.(12分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0),倾斜角为45°得直线与椭圆相交于M、N 两点,且线段MN得中点为(﹣1,).过椭圆E内一点P(1,)得两条直线分别与椭圆交于点A、C 与B、D,且满足=λ,=λ,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应得λ=.(Ⅰ)求椭圆E得方程;(Ⅱ)当λ变化时,k AB就是否为定值？若就是,请求出此定值;若不就是,请说明理由.【解答】解:(Ⅰ)设M(m1,n1)、N(m2,n2),则,两式相减,故a2=3b2…(2分)当直线AP平行于x轴时,设|AC|=2d,∵,,则,解得,故点A(或C)得坐标为.代入椭圆方程,得…4分a2=3,b2=1,所以方程为…(6分)(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)由于,可得A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),…①同理可得…②…(8分)由①②得:…③将点A、B得坐标代入椭圆方程得,两式相减得(x1+x2)(x1﹣x2)+3(y1+y2)(y1﹣y2)=0,于就是3(y1+y2)k AB=﹣(x1+x2)…④同理可得:3(y3+y4)k CD=﹣(x3+x4),…(10分)于就是3(y3+y4)k AB=﹣(x3+x4)(∵AB∥CD,∴k AB=k CD)所以3λ(y3+y4)k AB=﹣λ(x3+x4)…⑤由④⑤两式相加得到:3[y1+y2+λ(y3+y4)]k AB=﹣[(x1+x2)+λ(x3+x4)]把③代入上式得3(1+λ)k AB=﹣2(1+λ),解得:,当λ变化时,k AB为定值,.…(12分)21.(12分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=e2处得切线与直线x﹣2y+e=0平行.(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在(1,+∞)上就是减函数,求实数a得最小值;(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)﹣无零点,求k得取值范围.【解答】解:(Ⅰ) 由,得,解得m=2,故,则,函数g(x)得定义域为(0,1)∪(1,+∞),而,又函数g(x)在(1,+∞)上就是减函数,∴在(1,+∞)上恒成立,∴当x∈(1,+∞)时,得最大值.而,即右边得最大值为,∴,故实数a得最小值;(Ⅱ) 由题可得,且定义域为(0,1)∪(1,+∞),要使函数F(x)无零点,即在(0,1)∪(1,+∞)内无解,亦即在(0,1)∪(1,+∞)内无解.构造函数,则,(1)当k≤0时,h'(x)＜0在(0,1)∪(1,+∞)内恒成立,∴函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内也单调递减.又h(1)=0,∴当x∈(0,1)时,h(x)＞0,即函数h(x)在(0,1)内无零点,同理,当x∈(1,+∞)时,h(x)＜0,即函数h(x)在(1,+∞)内无零点,故k≤0满足条件;(2)当k＞0时,.①若0＜k＜2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在内也单调递减,在内单调递增.又h(1)=0,∴h(x)在(0,1)内无零点;又,而,故在内有一个零点,∴0＜k＜2不满足条件;②若k=2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.又h(1)=0,∴当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h(x)＞0恒成立,故无零点.∴k=2满足条件;③若k＞2,则函数h(x)在内单调递减,在内单调递增,在(1,+∞)内也单调递增.又h(1)=0,∴在及(1,+∞)内均无零点.易知,又h(e﹣k)=k×(﹣k)﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=ϕ(k),则ϕ'(k)=2(e k﹣k)＞0,则ϕ(k)在k＞2为增函数,∴ϕ(k)＞ϕ(2)=2e2﹣6＞0.故函数h(x)在内有一零点,k＞2不满足.综上:k≤0或k=2.[选修41:几何证明选讲]22.(10分)(2018•衡中模拟)如图所示,AC为⊙O得直径,D为得中点,E为BC得中点.(Ⅰ)求证:DE∥AB;(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.【解答】证明:(Ⅰ)连接BD,因为D为得中点,所以BD=DC.因为E为BC得中点,所以DE⊥BC.因为AC为圆得直径,所以∠ABC=90°,所以AB∥DE.…(5分)(Ⅱ)因为D为得中点,所以∠BAD=∠DAC,又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB.又因为AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.所以=,AD•CD=AC•CE,2AD•CD=AC•2CE,因此2AD•CD=AC•BC.…(10分)[选修44:坐标系与参数方程]23.(2018•衡中模拟)在平面直角坐标系中,直线l得参数方程为(t为参数),在以直角坐标系得原点O为极点,x轴得正半轴为极轴得极坐标系中,曲线C得极坐标方程为ρ=(1)求曲线C得直角坐标方程与直线l得普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB得面积.【解答】解:(1)由曲线C得极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ.∴由曲线C得直角坐标方程就是:y2=2x.由直线l得参数方程为(t为参数),得t=3+y代入x=1+t中消去t得:x﹣y﹣4=0,所以直线l得普通方程为:x﹣y﹣4=0…(5分)(2)将直线l得参数方程代入曲线C得普通方程y2=2x,得t2﹣8t+7=0,设A,B两点对应得参数分别为t1,t2,所以|AB|===,因为原点到直线x﹣y﹣4=0得距离d=,所以△AOB得面积就是|AB|d==12.…(10分)[选修45:不等式选讲]24.(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.(I)解不等式f(x)≤6;(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,求实数a得取值范围.【解答】解:函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|= 得图象如图所示,(I)不等式f(x)≤6,即①或②,或③.解①求得x∈∅,解②求得3＜x≤5,解③求得﹣1≤x≤3.综上可得,原不等式得解集为[﹣1,5].(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,则函数f(x)得图象不能在y=ax﹣1得图象得下方.如图所示:由于图中两题射线得斜率分别为﹣2,2,点B(3,2), ∴3a﹣1≤2,且a≥﹣2,求得﹣2≤a≤1.。
2018年普通高等学校招生全国统一考试【衡水金卷】模拟试题理数试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知虚数单位，复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】因为=所对应的点为，在第四项限.故答案为：D.2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】},若,则故答案为：D.3. 设，，，，为实数，且，，下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取a=2,b=4,c=3,d=2,d-a=0,c-b=-1,此时d-a>c-b,A错误；取a=2,b=3,小，则，,此时,B错误；取b=3,a=,c=1,d=-3,,C错误；对于D ，D正确. 故选D.4. 设随机变量，则使得成立的一个必要不充分条件为（）A. 或B.C.D. 或【答案】A【解析】由，得到=，故3m=3，得到m=1,则使得成立的充要条件为m=1,故B错误；因为是的真子集，故原题的必要不充分条件为或.故答案为：A.5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则判断框内实数应填入的整数值为（）A. 998B. 999C. 1000D. 1001【答案】A【解析】因为令则故当根据题意此时退出循环，满足题意，则实数M应填入的整数值为998，故答案为：A.6. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则下列选项中结果为0的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得到，因为公差不为0，故=0，由等差数列的性质得到，故答案为:C.7. 设，分别为双曲线（，）的左、右顶点，过左顶点的直线交双曲线右支于点，连接，设直线与直线的斜率分别为，，若，互为倒数，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圆锥曲线的结论知道故答案为：B.8. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. 16 D.【答案】A【解析】由已知中的三视图得到该几何体是一个半圆柱挖去了一个三棱锥，底面面积为，高为4，该几何体的体积为故答案为:A .9. 已知曲线和直线所围成图形的面积是，则的展开式中项的系数为（）A. 480B. 160C. 1280D. 640【答案】D【解析】由题意得到两曲线围成的面积为=故答案为：D.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等. 10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，设，，若，，且，则的最大值为（）A. 7B. 10C. 8D. 12【答案】B【解析】已知，，,得到因为，，故有不等式组表示出平面区域，是封闭的三角形区域，当目标函数过点(2,4)时取得最大值，为10.故答案为：B.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值;注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.11. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得到直线平分角，因为由，得到，故.故答案为：C.12. 将给定的一个数列：，，，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将作为第一组，将，作为第二组，将，，作为第三组，…，依次类推，第组有个元素（），即可得到以组为单位的序列：，，，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第个括号称为第群，从而数列称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第个群众，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群众的第个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，），…，以此类推.设该数列前项和，若使得成立的最小位于第个群，则（）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】B【解析】由题意得到该数列的前r组共有个元素，其和为则r=9时，故使得N>14900成立的最小值a位于第十个群.故答案为：B.点睛：这个题目考查的是新定义题型，属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目，可以先找一些特殊情况，总结一下规律，再进行推广，得到递推关系，或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数为偶函数，则__________．【答案】-1【解析】由偶函数的定义得到,即=即恒成立，k=-1.故答案为：-1.14. 已知，，则__________．【答案】【解析】=,故=，因为，故=，故，故.故答案为：.15. 中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手、、、参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，对说：“你没有获得一等奖”，对说：“你获得了二等奖”；对大家说：“我未获得三等奖”，对、、说：“你妈三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计__________种．（用数字作答）【答案】12【解析】设选手ABCD获得一等奖，二等奖，三等奖，分别用表示获得的奖次，其中i=0时，表示为获奖，若C说谎，则若B说谎则等九种情况，若A说谎则若D说谎则，公12种情况.故答案为：12.16. 已知为的重心，点、分别在边，上，且存在实数，使得.若，则__________．【答案】3【解析】设连接AG并延长交BC于M，此时M为BC的中点，故故存在实数t使得，得到故答案为：3.点睛：本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在解决多元的范围或最值问题时，常用的解决方法有：多元化一元，线性规划的应用，均值不等式的应用,“乘1法”与基本不等式的性质，等.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，为边的中点，，求.【答案】(1)；(2)5.【解析】试题分析：(1)由正弦定理，得，又，进而得到；（2）的面积，得，两边平方得到，结合两个方程得到结果.解析：（1）因为，由正弦定理，得.又，所以，即.因为，故.所以.（2）由的面积，得.又为边的中点，故，因此，故，即，故.所以.18. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占据了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料:市场份额(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测该企业2017年7月份的市场份额；(2)如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数(单位:天)统计图.设销售产品数量为，经统计，当时，企业每天亏损约为200万元，当时，企业平均每天收人约为400万元;当时，企业平均每天收人约为700万元。
高考数学模拟试卷衡水中学理科
高考数学模拟试卷衡水中学理科IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．B．（0，1） C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=，则P （3＜ξ≤4）=（）A．B．C．D．3．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．16．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．7209．（5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6 C．16D．16+610．（5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）（2018?衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥12．（5分）（2018?衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）第2卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018?衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为．14．（5分）（2018?衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=．15．（5分）（2018?衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为．16．（5分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018?衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．（12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（12分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E 内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．21．（12分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018?衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E 为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：ACBC=2ADCD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018?衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．B．（0，1） C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，则A∩B=[0，1），故选：C．2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=，则P （3＜ξ≤4）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴μ=3，得对称轴是x=3．∵P（ξ＞4）=∴P（3＜ξ≤4）=﹣=．故选：C3．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：复数z=，可得=﹣=cos+isin．则3=cos4π+isin4π=1．故选：A．4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：如图若∠PFQ=π，则由对称性得∠QFO=，则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6 C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）（2018?衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，当x＜0时，函数f（x）=e x﹣1的导数f′（x）=e x，则f′（0）=e0=1，即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．综上k的取值范围为k≤0或k≥1，故选：B．12．（5分）（2018?衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）【解答】解：∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，b n=2n﹣4随着n变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上p∈（14，20），故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018?衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为﹣1．【解答】解：根据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．（5分）（2018?衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=2n+n2﹣1．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为：2n+n2﹣1．15．（5分）（2018?衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，则得，即直线恒过C（﹣1，2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，由得，即A（1，6），∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．16．（5分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．【解答】解：由f′（x）=+x，得f′（1）=3a+1，所以f（x）=（a+1）lnx+ax2，（a＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，令F（x）=f（x）+4x，F′（x）=f′（x）+4=+2ax+4，等价于F（x）在（0，+∞）上单调递减，故F'（x）≤0恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得a≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018?衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0即：sinA﹣acosC=0．由正弦定理可知：，∴，c=1，∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，得1=a2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a2+b2取到最大值为2+．18．（12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM平面PAB，∴BC⊥AM，又PB平面PBC，BC平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），==（λ+1，2λ﹣1，﹣1）．∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．（12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记转盘A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，同理转盘B指针指向1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，P=P（A1）P（1﹣P（B1））=×（1﹣）==．…（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1）P（B1）===，P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6PEξ==．…（12分）20．（12分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E 内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，两式相减，故a2=3b2…（2分）当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得…4分a2=3，b2=1，所以方程为…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），…①同理可得…②…（8分）由①②得：…③将点A、B的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）…④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），…（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）k AB=﹣λ（x3+x4）…⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．…（12分）21．（12分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，故，则，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，∴在（1，+∞）上恒成立，∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数，则，（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，故k≤0满足条件；（2）当k＞0时，．①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．易知，又h（e﹣k）=k×（﹣k）﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=（k），则'（k）=2（e k﹣k）＞0，则（k）在k＞2为增函数，∴（k）＞（2）=2e2﹣6＞0．故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018?衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E 为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：ACBC=2ADCD．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，ADCD=ACCE，2ADCD=AC2CE，因此2ADCD=ACBC．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018?衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．由直线l的参数方程为（t为参数），得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y ﹣4=0，所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4=0…（5分）（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得t2﹣8t+7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|AB|===，因为原点到直线x﹣y﹣4=0的距离d=，所以△AOB的面积是|AB|d==12．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|=的图象如图所示，（I）不等式f（x）≤6，即①或②，或③．解①求得x∈，解②求得3＜x≤5，解③求得﹣1≤x≤3．综上可得，原不等式的解集为[﹣1，5]．（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，则函数f（x）的图象不能在y=ax﹣1的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B（3，2），∴3a﹣1≤2，且a≥﹣2，求得﹣2≤a≤1．。
2018年河北省衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷 分科综合卷 理科数学(一)(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得集合，，则，，故选D.2. 已知为虚数单位，为实数，复数满足，若复数是纯虚数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，又∵复数是纯虚数，∴，解得，故选B.3. 我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾和股分别表示直角三角形的两条直角边，用弦来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由题意，∵大方形的边长为，小方形的边长为，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，∴满足题意的概率值为：，故选B.4. 已知等差数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差数列的性质可得：，∴，则，故选C.5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 在区间内单调递增B. 在区间内单调递减C. 是偶函数D. 是奇函数，且在区间内单调递增【答案】D 【解析】当时，函数在区间内单调递增，当时，函数在区间上单调递减，在内单调递增，故，均错误，，均成立，故是奇函数，故错误，故选.6.的展开式中项的系数为（ ）A. -16B. 16C. 48D. -48 【答案】A 【解析】∵展开式的通项公式为，∴的展开式中项的系数为，故选A.7. 如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体，其直观图如下所示：其表面积，故选B.8. 若，则下列不等式不正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据对数函数的单调性可得正确，正确，∵，，∴，，∴，故C不正确，∵，∴正确，故选C.9. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为11，则判断框中的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第1次执行循环体，，应不满足输出的条件，n=2，第2次执行循环体，S=7，应不满足输出的条件，n=3，第3次执行循环体，S=15，应不满足输出的条件，n=4，第4次执行循环体，S=31，应不满足输出的条件，n=5，第5次执行循环体，S=63，应不满足输出的条件，n=6，第6次执行循环体，S=127，应不满足输出的条件，n=7，第7次执行循环体，S=255，应不满足输出的条件，n=8，第8次执行循环体，S=511，应不满足输出的条件，n=9，第9次执行循环体，S=1023，应不满足输出的条件，n=10，第10次执行循环体，S=2047，应不满足输出的条件，n=11第11次执行循环体，S=4095，应满足输出的条件，故判断框中的条件可以是S＜4095？，故选：C点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题；由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.10. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则（）B．C. D．【答案】A【解析】根据函数（，）的部分图象，可得，∴，根据，∴，故，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，故，故选A.点睛：题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.11. 已知抛物线的焦点为，过点作斜率为1的直线交抛物线于两点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线：，可得，消去可得：，可得，，，，，则，故选C.12. 已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，数列中，，即，则有，则有，，即，∵对于任意的，，不等式恒成立，∴，化为：，设，，可得且，即有，即，可得或，则实数的取值范围是，故选A.点睛：本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对的变形，即运用裂项相消求和可得，再由不等式恒成立问题可得，设，，运用一次函函数的性质，可得的不等式，解不等式即可得到所求的范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，若向量与共线，则向量在向量放心上的投影为__________．【答案】0【解析】向量，，向量，∵向量与共线，∴，即，∴向量，∴向量在向量方向上的投影为，故答案为0. 14. 若实数满足则的最大值是__________．【答案】【解析】实数，满足，对应的可行域如图：线段，化为：，如果最大，则直线在轴上的截距最小，作直线：，平移直线至点时，取得最大值，联立，解得，所以的最大值是：，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于，两点，则，以为直径的圆恰好过其上焦点，可得：，∴，可得，解得，舍去，故答案为.16. 一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为__________．【答案】【解析】设该项长方体底面边长为米，由题意知其高是：，（），则长方体的体积，（），，由，得，且当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴体积函数在处取得唯一的极大值，即为最大值，此时长方体的高为，∴其外接球的直径，∴，∴其外接球的体积，故答案为.点睛：本题主要考查了正方体和球的组合体问题，解决该题的关键是准确寻找直径与正方体的关系是解题的关键，常见的形式有：1、当正方体的各个顶点均在球面上时，正方体的体对角线为球的直径；2、当球与正方体的各条棱相切时，球的直径即为面的对角线；3、当球与正方体的的各面相切时，正方体的棱长即为球的直径.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在中，角所对的边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若点在边上，且是的平分线，，求的长.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.试题解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（负值，舍去）∵是的平分线，，∴,∴.18. 如图，在三棱柱中，侧棱底面,且,是棱的中点，点在侧棱上运动.(1)当是棱的中点时，求证：平面；(2)当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）取线段的中点，连结．可得四边形是平行四边形，，即可证明平面；（2）以为原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法二面角的余弦值.试题解析：(1)取线段的中点，连结.∵,∴，且.又为的中点，∴,且.∴,且.∴四边形是平行四边形.∴.又平面平面,∴平面.(2)∵两两垂直，∴以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图,∵三棱柱中，平面，∴即为直线与平面所成的角.设，则由，得.∴.∴,设平面的一个法向量为，则令，得，即.又平面的一个法向量为,∴,又二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为.19. 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；(2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.①记表示选取4人的成绩的平均数,求；②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.【答案】(1)答案见解析；(2)①.；②.答案见解析.【解析】试题分析：（1）众数为，中位数为，抽取的人中，分以下的有人，不低于分的有人，从而求出从该校学生中任选人，这个人测试成绩在分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在分以上的人数；（2）①由题意知分以上的有，，，，，，，，当所选取的四个人的成绩的平均分大于分时，有两类：一类是：，，，，共1种；另一类是：，，，，共3种．由此能求出；②由题意得的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．... ... ... ... ...试题解析：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为，故该校这次测试成绩在70分以上的约有（人）(2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种.所以.②由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4,,,,.的分别列为.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出椭圆方程；（2）联立方程组，利用根与系数的关系求出的中点的坐标，根据得出点横坐标的表达式，利用基本不等式得出的取值范围.试题解析：(1)由已知得，解得，∴椭圆的方程为.(2)设，的中点为，点，使得,则.由得，由，得.∴，∴.∵∴，即，∴.当时，（当且仅当，即时，取等号），∴；当时，（当且仅当，即时，取等号），∴，∴点的横坐标的取值范围为.21. 设函数为自然对数的底数.(1)若,且函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；(2)若，试判断函数的零点个数.【答案】(1)；(2)函数没有零点.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为在恒成立，记，根据函数的单调性求出的范围即可；（2）求出，记，根据函数的单调性得到在区间递增，从而求出的最小值大于0，判断出函数无零点即可. 试题解析：(1)∵函数在区间内单调递增，页11第∴在区间内恒成立.即在区间内恒成立.记，则恒成立，∴在区间内单调递减,∴，∴，即实数的取值范围为.(2)∵，，记，则，知在区间内单调递增.又∵，，∴在区间内存在唯一的零点，即，于是，.当时，单调递减；当时，单调递增.∴，当且仅当时，取等号.由，得，∴，即函数没有零点.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程；(2)设为椭圆上任意一点，求的最大值.【答案】(1)直线的直角坐标方程为，椭圆的参数方程为为参数）；(2)9. 【解析】试题分析：（1）根据题意，由参数方程的定义可得椭圆的参数方程，对直线的极坐标方程利用两角和的正弦展开，将，代入可得直线的普通方程；（2）根据题意，设，进页12第而分析可得，由三角函数的性质分析可得答案.试题解析：(1)由，得，将代入，得直线的直角坐标方程为.椭圆的参数方程为为参数）.(2)因为点在椭圆上，所以设，则，当且仅当时，取等号，所以.23. 已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若的最大值为，对任意不想等的正实数，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）原不等式即为，分当时，当时，当时去绝对值，解不等式，最后求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质可得，再由绝对值不等式的性质，化简变形即可得证.试题解析：(1)不等式，即，此不等式等价于或或解得，或，或.所以不等式的解集为.(2)，因为，当且仅当时，取等号，所以，即，因为为正实数，所以，当且仅当时，取等号.即.点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．页13第。
2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）．（ 分）（ •衡中模拟）已知集合 ＜ ， ，则 （ ）．∅ ．（ ， ）． ， ） ． ，．（ 分）（ •衡中模拟）设随机变量 ～ （ ， ），若 （ ＞ ） ，则 （ ＜ ≤ ） （ ）．．． ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知复数 （ 为虚数单位），则（ ）．．﹣ ．．．（ 分）（ •衡中模拟）过双曲线﹣ （ ＞ ， ＞ ）的一个焦点 作两渐近线的垂线，垂足分别为 、 ，若∠ ，则双曲线的渐近线方程为（ ）． ±． ±． ± ． ±．（ 分）（ •衡中模拟）将半径为 的圆分割成面积之比为 ： ： 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为 ， ， ，那么 的值为（ ）．．．．．（ 分）（ •衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ）． ． ． ．．（ 分）（ •衡中模拟）等差数列 中， ， ，若，则数列 的前 项和为（）． ． ． ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知（ ﹣ ） （ ） （ ）（ ） ，则（）． ． ．﹣ ．．（ 分）（ •衡中模拟）如图为三棱锥 ﹣ 的三视图，其表面积为（）． ． ． ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知椭圆 ： （ ＞ ＞ ）的左焦点 （﹣ ， ）， 为椭圆上一动点，椭圆内部点 （﹣ ， ）满足 的最大值为 ，则椭圆的离心率为（）． ． ． ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知 （ ） ，若函数 （ ）﹣ 恒有一个零点，则 的取值范围为（）． ≤ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥．（ 分）（ •衡中模拟）已知数列 的通项公式为 ﹣ ，数 的通项公式为 ﹣ ，设 ，若在数列 中 ＜ （列∈ ， ≠ ），则 的取值范围（）．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ）第 卷二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分．把答案填在题中的横线上．）．（ 分）（ •衡中模拟）若平面向量、满足 ， ﹣ ，则在上的投影为．．（ 分）（ •衡中模拟）若数列 满足 ，，则数列 前 项和 ．．（ 分）（ •衡中模拟）若直线 （ ﹣ ） ﹣ 把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为 ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知函数 （ ） （ ）（ ＜﹣ ）对任意的 、 ＞ ，恒有 （ ）﹣ （ ） ≥ ﹣ ，则 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）．（ 分）（ •衡中模拟）在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ，且 （ ﹣ ） （ ）（ ）求 的大小；（ ）求 的最大值，并求取得最大值时角 ， 的值．．（ 分）（ •衡中模拟）如图，在四棱锥 ﹣ 中，侧棱 ⊥底面 ， ∥ ，∠ ， ， ， 是棱 中点．（ ）求证：平面 ⊥平面 ； （ ）设点 是线段 上一动点，且，当直线 与平面 所成的角最大时，求 的值．．（ 分）（ •衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ ）、（ ），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为 、 、 ．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（ ）指针所对的区域为 ，转盘（ ）指针所对的区域为 ， 、 ∈ ， ， ，设 的值为 ．（ ）求 ＜ 且 ＞ 的概率；（ ）求随机变量 的分布列与数学期望．．（ 分）（ •衡中模拟）已知椭圆 ： （ ＞ ＞ ），倾斜角为 的直线与椭圆相交于 、 两点，且线段 的中点为（﹣ ，）．过椭圆 内一点 （ ，）的两条直线分别与椭圆交于点 、 和 、 ，且满足 ， ，其中 为实数．当直线 平行于 轴时，对应的 ．（ ）求椭圆 的方程；（ ）当 变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．．（ 分）（ •衡中模拟）已知函数 （ ） ，曲线 （ ）在点 处的切线与直线 ﹣ 平行．（ ）若函数 （ ） （ ）﹣ 在（ ， ）上是减函数，求实数 的最小值；（ ）若函数 （ ） （ ）﹣无零点，求 的取值范围．选修 ：几何证明选讲．（ 分）（ •衡中模拟）如图所示， 为⊙ 的直径， 为的中点， 为 的中点．（ ）求证： ∥ ；（ ）求证： ．选修 ：坐标系与参数方程．（ •衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数），在以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为（ ）求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（ ）若直线 与曲线 相交于 ， 两点，求△ 的面积．选修 ：不等式选讲．（ •衡中模拟）已知函数 （ ） ﹣ ﹣ ．（ ）解不等式 （ ）≤ ；（ ）若不等式 （ ）≥ ﹣ 对任意 ∈ 恒成立，求实数 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）．（ 分）（ •衡中模拟）已知集合 ＜ ， ，则 （）．∅ ．（ ， ） ． ， ） ． ，【解答】解： ＜ ﹣ ＜ ＜ ， ≥ ，则 ， ），故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）设随机变量 ～ （ ， ），若 （ ＞ ） ，则 （ ＜ ≤ ） （）． ． ． ．【解答】解：∵随机变量 服从正态分布 （ ， ），∴ ，得对称轴是 ．∵ （ ＞ ）∴ （ ＜ ≤ ） ﹣ ．故选：．（ 分）（ •衡中模拟）已知复数 （ 为虚数单位），则 （） ． ．﹣ ． ．【解答】解：复数 ，可得 ﹣ ．则．故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）过双曲线﹣（ ＞ ， ＞ ）的一个焦点 作两渐近线的垂线，垂足分别为 、 ，若∠ ，则双曲线的渐近线方程为（ ）． ±． ±． ± ． ±【解答】解：如图若∠ ， 则由对称性得∠ ，则∠，即 的斜率， 则双曲线渐近线的方程为 ± ，故选：．（ 分）（ •衡中模拟）将半径为 的圆分割成面积之比为 ： ： 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为 ， ， ，那么 的值为（ ），∴ ，同理，【解答】解：∵，∴故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）． ． ． ．【解答】解：第一次循环， ＞ ，即 ＞ 成立， ， ， ， ＜ 成立，第二次循环， ＞ ，即 ＞ 不成立， ， ， ， ＜ 成立，第三次循环， ＞ ，即﹣ ＞ 不成立， ， ， ， ＜ 成立，第四次循环， ＞ ，即 ＞﹣ 成立， ， ， ， ＜ 成立，第五次循环， ＞ ，即 ＞ 成立， ， ， ， ＜ 不成立，输出 ，故选：．（ 分）（ •衡中模拟）等差数列 中， ， ，若，则数列 的前 项和为（）【解答】解：设等差数列的公差为 ， ， ，∴，解得， ，∴（ ﹣ ） ，∴，∴（ ﹣ ﹣ ﹣） （ ﹣）故选 ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知（ ﹣ ） （ ） （ ）（ ） ，则（）． ． ．﹣ ．【解答】解：（ ﹣ ） （ ）﹣ ，∴，故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）如图为三棱锥 ﹣ 的三视图，其表面积为（）． ． ． ．【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为 ， ， 的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为 × ．故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知椭圆 ： （ ＞ ＞ ）的左焦点 （﹣ ， ）， 为椭圆上一动点，椭圆内部点 （﹣ ， ）满足 的最大值为 ，则椭圆的离心率为（）． ． ． ．【解答】解：设右焦点为 ，由 （﹣ ， ），可得 （ ， ），由椭圆的定义可得 ，即 ﹣ ，则 （ ﹣ ）≤ ，当 ， ， 共线时，取得等号，即最大值 ，由 ，可得 ，所以 ，则 ，故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知 （ ） ，若函数 （ ）﹣ 恒有一个零点，则 的取值范围为（）． ≤ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥【解答】解：由 （ ）﹣ 得 （ ） ，作出函数 （ ）和 的图象如图，由图象知当 ≤ 时，函数 （ ）和 恒有一个交点，当 ≥ 时，函数 （ ） （ ）的导数 （ ） ，则 （ ） ，当 ＜ 时，函数 （ ） ﹣ 的导数 （ ） ，则 （ ） ，即当 时， 是函数 （ ）的切线，则当 ＜ ＜ 时，函数 （ ）和 有 个交点，不满足条件．当 ≥ 时，函数 （ ）和 有 个交点，满足条件．综上 的取值范围为 ≤ 或 ≥ ，故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知数列 的通项公式为 ﹣ ，数 的通项公式为 ﹣ ，设 ，若在数列 中 ＜ （列∈ ， ≠ ），则 的取值范围（）．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ）．（ ， ） 【解答】解：∵ ﹣ ﹣ ﹣﹣ ， ∴ ﹣ 随着 变大而变小，又∵ ﹣ 随着 变大而变小，﹣ 随着 变大而变大， ∴，（ ）当（ ）当，综上 ∈（ ， ），故选 ．二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分．把答案填在题中的横线上．） ．（ 分）（ •衡中模拟）若平面向量、满足 ， ﹣ ，则在上的投影为 ﹣ ．【解答】解：根据条件，；∴； ∴在上的投影为．故答案为：﹣ ．．（ 分）（ •衡中模拟）若数列 满足 ，，则数列 前 项和 ﹣． 【解答】解：∵数列 满足 ， ， ∴ ﹣ 时， ﹣ ﹣ ，为等差数列；时， ，为等比数列．∴．故答案为： ﹣ ．．（ 分）（ •衡中模拟）若直线 （ ﹣ ） ﹣ 把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为 ．【解答】解：由 （ ﹣ ） ﹣ 得 （ ﹣ ） ﹣ ， 则得，即直线恒过 （﹣ ， ），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过 的中点 ，由得，即 （ ， ），∵ （ ， ），∴中点 （ ， ），代入 （ ﹣ ） ﹣ ，得 ﹣ ，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣ ， ）的斜率，由图象过 的斜率最大，此时最大值为 ．故答案为： ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知函数 （ ） （ ） （ ＜﹣ ）对任意的 、 ＞ ，恒有 （ ）﹣ （ ） ≥ ﹣ ，则 的取值范围为 （﹣ ，﹣ ．【解答】解：由 （ ） ，得 （ ） ，所以 （ ） （ ） ，（ ＜﹣ ）在（ ， ）单调递减，不妨设 ＜ ＜ ， 则 （ ）﹣ （ ）≥ ﹣ ，即 （ ） ≥ （ ） ，令 （ ） （ ） ， （ ） （ ），等价于 （ ）在（ ， ）上单调递减，故 （ ）≤ 恒成立，即≤ ， 所以恒成立， 得 ≤﹣ ．故答案为：（﹣ ，﹣ ．三、解答题（本大题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）．（ 分）（ •衡中模拟）在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ，且 （ ﹣ ） （ ）（ ）求 的大小；（ ）求 的最大值，并求取得最大值时角 ， 的值．【解答】解：（ ） （ ﹣ ） （ ）可得： ﹣（ ﹣ ）即： ﹣ ．由正弦定理可知：，∴， ，∴ ﹣ ，﹣ ，可得 （ ﹣） ， 是三角形内角，∴ ．（ ）由余弦定理可知： ﹣ ，得 ﹣又，∴，即：．当时， 取到最大值为 ．．（ 分）（ •衡中模拟）如图，在四棱锥 ﹣ 中，侧棱 ⊥底面 ， ∥ ，∠ ， ， ， 是棱 中点．（ ）求证：平面 ⊥平面 ；（ ）设点 是线段 上一动点，且 ，当直线 与平面 所成的角最大时，求 的值．【解答】证明：（ ）取 的中点 ，则连接 ，∵ 是△ 的中位线，∴ ，又 ，∴ ，∴四边形 是平行四边形，∴ ∥ ．∵ ， 是 的中点，∴ ⊥ ，∵ ⊥平面 ， ⊂平面 ，∴ ⊥ ，又 ⊥ ， ，∴ ⊥平面 ，∵ ⊂平面 ，∴ ⊥ ，又 ⊂平面 ， ⊂平面 ， ，∴ ⊥平面 ，∵ ∥ ，∴ ⊥平面 ，又 ⊂平面 ，∴平面 ⊥平面 ．（ ）以 为原点，以 ， ， 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则 （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）．∴ （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ），∴ （ ， ， ）， （ ， ， ），（ ， ﹣ ，﹣ ）．∵ ⊥平面 ，∴为平面 的一个法向量，∴ ＜＞设 与平面 所成的角为 ，则 ．∴当 即时， 取得最大值，∴ 与平面 所成的角最大时．．（ 分）（ •衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ ）、（ ），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为 、 、 ．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（ ）指针所对的区域为 ，转盘（ ）指针所对的区域为 ， 、 ∈ ， ， ，设 的值为 ．（ ）求 ＜ 且 ＞ 的概率；（ ）求随机变量 的分布列与数学期望．【解答】解：（ ）记转盘 指针指向 ， ， 区域的事件为 ， ， ，同理转盘 指针指向 ， ， 区域的事件为 ， ， ，∴ （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ，（ ） （ ﹣ （ ）） ×（ ﹣） ． （ 分）（ ）由已知得 的可能取值为 ， ， ， ， ， （ ） （ ） （ ） ，（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ，（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）， （ ） （ ） （ ），∴ 的分布列为：． （ 分） ．（ 分）（ •衡中模拟）已知椭圆 ： （ ＞ ＞ ），倾斜角为 的直线与椭圆相交于 、 两点，且线段 的中点为（﹣ ，）．过椭圆 内一点 （ ，）的两条直线分别与椭圆交于点 、 和 、 ，且满足， ，其中 为实数．当直线 平行于 轴时，对应的 ．（ ）求椭圆 的方程；（ ）当 变化时， 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（ ）设 （ ， ）、 （ ， ），则，两式相减，故 （ 分）当直线 平行于 轴时，设 ，∵，，则，解得， 故点 （或 ）的坐标为． 代入椭圆方程，得 分， ，所以方程为 （ 分）（ ）设 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ）由于，可得 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ），同理可得 （ 分）由 得：将点 、 的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（ ）（ ﹣ ） （ ）（ ﹣ ） ，于是 （ ） ﹣（ ）同理可得： （ ） ﹣（ ）， （ 分）于是 （ ） ﹣（ ）（∵ ∥ ，∴ ）所以 （ ） ﹣ （ ）由 两式相加得到： （ ） ﹣ （ ）（ ）把 代入上式得 （ ） ﹣ （ ），解得：，当 变化时， 为定值，． （ 分）．（ 分）（ •衡中模拟）已知函数 （ ） ，曲线 （ ）在点 处的切线与直线 ﹣ 平行．（ ）若函数 （ ） （ ）﹣ 在（ ， ）上是减函数，求实数 的最小值；（ ）若函数 （ ） （ ）﹣无零点，求 的取值范围．【解答】解：（ ） 由，得，解得 ，故，则，函数 （ ）的定义域为（ ， ） （ ， ），而，又函数 （ ）在（ ， ）上是减函数，∴在（ ， ）上恒成立，∴当 ∈（ ， ）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数 的最小值；（ ） 由题可得，且定义域为（ ， ） （ ， ），要使函数 （ ）无零点，即在（ ， ） （ ， ）内无解，亦即在（ ， ） （ ， ）内无解．构造函数，则，（ ）当 ≤ 时， （ ）＜ 在（ ， ） （ ， ）内恒成立，∴函数 （ ）在（ ， ）内单调递减，在（ ， ）内也单调递减．又 （ ） ，∴当 ∈（ ， ）时， （ ）＞ ，即函数 （ ）在（ ， ）内无零点，同理，当 ∈（ ， ）时， （ ）＜ ，即函数 （ ）在（ ， ）内无零点，故 ≤ 满足条件；（ ）当 ＞ 时，．若 ＜ ＜ ，则函数 （ ）在（ ， ）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又 （ ） ，∴ （ ）在（ ， ）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴ ＜ ＜ 不满足条件；若 ，则函数 （ ）在（ ， ）内单调递减，在（ ， ）内单调递增．又 （ ） ，∴当 ∈（ ， ） （ ， ）时， （ ）＞ 恒成立，故无零点．∴ 满足条件；若 ＞ ，则函数 （ ）在内单调递减，在内单调递增，在（ ， ）内也单调递增．又 （ ） ，∴在及（ ， ）内均无零点．易知，又 （ ﹣ ） ×（﹣ ）﹣ ﹣ ﹣ （ ），则 （ ） （ ﹣ ）＞ ，则 （ ）在 ＞ 为增函数，∴ （ ）＞ （ ） ﹣ ＞ ．故函数 （ ）在内有一零点， ＞ 不满足．综上： ≤ 或 ．选修 ：几何证明选讲．（ 分）（ •衡中模拟）如图所示， 为⊙ 的直径， 为的中点， 为 的中点．（ ）求证： ∥ ；（ ）求证： ．【解答】证明：（ ）连接 ，因为 为的中点，所以 ．因为 为 的中点，所以 ⊥ ．因为 为圆的直径，所以∠ ，所以 ∥ ． （ 分）（ ）因为 为的中点，所以∠ ∠ ，又∠ ∠ ，则∠ ∠ ．又因为 ⊥ ， ⊥ ，所以△ ∽△ ．所以 ， ， ，因此 ． （ 分）选修 ：坐标系与参数方程．（ •衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数），在以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为（ ）求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（ ）若直线 与曲线 相交于 ， 两点，求△ 的面积．【解答】解：（ ）由曲线 的极坐标方程为得 ．∴由曲线 的直角坐标方程是： ． 由直线 的参数方程为（ 为参数），得 代入 中消去 得： ﹣ ﹣ ，所以直线 的普通方程为： ﹣ ﹣ （ 分）（ ）将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程 ，得 ﹣ ，设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，所以 ， 因为原点到直线 ﹣ ﹣ 的距离 ，所以△ 的面积是． （ 分）选修 ：不等式选讲 ．（ •衡中模拟）已知函数 （ ） ﹣ ﹣ ．（ ）解不等式 （ ）≤ ；（ ）若不等式 （ ）≥ ﹣ 对任意 ∈ 恒成立，求实数 的取值范围．【解答】解：函数 （ ） ﹣ ﹣ 的图象如图所示，（ ）不等式 （ ）≤ ，即 或 ，或 ．解 求得 ∈∅，解 求得 ＜ ≤ ，解 求得﹣ ≤ ≤ ．综上可得，原不等式的解集为 ﹣ ， ．（ ）若不等式 （ ）≥ ﹣ 对任意 ∈ 恒成立，则函数 （ ）的图象不能在 ﹣ 的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣ ， ，点 （ ， ），∴ ﹣ ≤ ，且 ≥﹣ ，求得﹣ ≤ ≤ ．。
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A．0.8B．0.4C．0.3D．0.2
3．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z= （i为虚数单位），则 3=（ ）
A．1B．﹣1C． D．
4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ= π，则双曲线的渐近线方程为（ ）
故选：B
7．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{an}中，a3=7，a5=11，若bn= ，则数列{bn}的前8项和为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，a3=7，a5=11，
∴ ，
解得a1=3，d=2，
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，
∴ ，
∴b8= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （1﹣ ）=
所以a=6，
则e= = = ，
故选：A．
11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）= ，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（ ）
A．k≤0B．k≤0或k≥1C．k≤0或k≥eD．k≤0或k≥
【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，
作出函数f（x）和y=kx的图象如图，
故选B．
8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（ ）
A．45B．180C．﹣180D．720
【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，
∴ ，
故选：D．
9．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（ ）
（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．
20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E： + =1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1， ）．过椭圆E内一点P（1， ）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足 =λ ， =λ ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ= ．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（ ）
A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]
【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，
A． B．2C． D．1
【解答】解：∵2πr1= ，∴r1= ，同理 ，
∴r1+r2+r3=1，
故选：D．
6．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：第一次循环，sin ＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，
A．16B．8 +6 C．16 D．16+6
【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．
三棱锥的三条边长分别为 ，
∴表面积为4× =16 ．
故选：C．
10．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（ ）
A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）
第2卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）
13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量 、 满足| |=2| |=2，| ﹣ |= ，则 在 上的投影为．
14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{an}满足a1=a2=1，an+2= ，则数列{an}前2n项和S2n=．
A． B． C． D．
【解答】解：设右焦点为Q，
由F（﹣3，0），可得Q（3，0），
由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，
即|PF|=2a﹣|PQ|，
则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，
当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，
由|MQ|= =5，可得2a+5=17，
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）= ，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．
（Ⅰ）若函数g（x）= f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）
【解答】解：∵an﹣bn=﹣2n+p﹣2n﹣4，
∴an﹣bn随着n变大而变小，
又∵an=﹣2n+p随着n变大而变小，
bn=2n﹣4随着n变大而变大，
∴ ，
（1）当
（2）当 ，
综上p∈（14，20），
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0
（1）求C的大小；
（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣ 无零点，求k的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为 的中点，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥AB；
（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 （t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=
当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．
综上k的取值范围为k≤0或k≥1，
故选：B．
12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{an}的通项公式为an=﹣2n+p，数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣4，设cn= ，若在数列{cn}中c6＜cn（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（ ）
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．
（I）解不等式f（x）≤6；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
A．45B．180C．﹣180D．720
9．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（ ）
A．16B．8 +6 C．16 D．16+6
10．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（ ）
故选：C
3．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z= （i为虚数单位），则 3=（ ）
A．1B．﹣1C． D．
【解答】解：复数z= ，
可得 =﹣ =cos +isin ．
则 3=cos4π+isin4π=1．
故选：A．
4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ= π，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）= ，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（ ）
A．k≤0B．k≤0或k≥1C．k≤0或k≥eD．k≤0或k≥
12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{an}的通项公式为an=﹣2n+p，数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣4，设cn= ，若在数列{cn}中c6＜cn（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（ ）
18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；
（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且 =λ ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．
19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）
第1卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）