2018年高三数学模拟卷及答案
南京市2018届高三年级第三次模拟考试(数学)参考答案
南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{－3，－2，2} 2． 5 3．150 4．7 5．236．[211，2] 7．①③8． 5 9．4 10．2 11．x＋2y－4＝012．－3 13．25914．[e2，4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)解：（1）因为点P的横坐标为277，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝277，………………………………2分所以cos2α＝2cos2α－1＝17．………………………………4分（2）因为点Q的纵坐标为3314，所以sinβ＝3314．………………………………6分又因为β为锐角，所以cosβ＝1314．………………………………8分因为cosα＝277，且α为锐角，所以sinα＝217，因此sin2α＝2sinαcosα＝437，……………………………10分所以sin(2α－β) ＝437×1314－17×3314＝32．……………………………12分因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3．…………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）证明：如图1，连结PE．因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，所以PE⊥BC，……………………2分且PE＝3，同理AE＝3．因为P A＝6，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．……4分因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC平面ABC，所以PE⊥平面ABC．因为PE平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC．……………………7分（2）解法一如图1，连接CD交AE于O，连接OM．因为PD∥平面AEM，PD平面PDC，平面AEM∩平面PDC＝OM，所以PD∥OM，……………………………………9分所以PMPC＝DODC．……………………………………11分因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O，所以O为ABC重心，所以DODC＝13，所以PM＝13PC＝23．…………………………………14分解法二如图2，取BE的中点N，连接PN．因为D，N分别为AB，BE的中点，所以DN∥AE．又DN平面AEM，AE平面AEM，所以DN∥平面AEM．又因为PD∥平面AEM，DN平面PDN，PD平面PDN，DN∩PD＝D，所以平面PDN∥平面AEM．………………………………9分又因为平面AEM∩平面PBC＝ME，平面PDN∩平面PBC＝PN，所以ME∥PN，所以PMPC＝NENC．………………………………11分因为E，N分别为BC，BE的中点，所以NENC＝13，所以PM＝13PC＝23．………………………………14分(图2)PAMD ECBN(图1)OBPA CMD E17．(本小题满分14分) 解：（1）连结DC ．在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3，所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝23．………………………………2分因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ．………………………………4分（2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ，所以DFsin(θ＋π6)＝BF sin(π2－θ)＝BDsin ∠BFD，所以DF ＝4cos θsin(π6＋θ)，………………………………6分且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF=4－4cos 2θ，………………………………8分所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4 cos θsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3 ＝2 sin(2θ－π6)＋3．…………………………………12分因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合．……………13分答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大．…………………………………14分18．(本小题满分16分)解（1）离心率e ＝c a ＝32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12a ，…………………………………2分所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y2b2＝1．因为椭圆C 经过点P (85，35)，所以1625b 2＋925b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．…………………………………4分（2）解法一设N(n ，0)，当l 斜率不存在时，A(25，y)，B(25，－y)，则y 2＝1－(25)24＝2425，则NA →NB →＝(25－n)2－y 2＝(25－n)2－2425＝n 2－45n －45，…………………………………6分当l 经过左?右顶点时，NA →NB →＝(－2－n)(2－n)＝n 2－4．令n 2－45n －45＝n 2－4，得n ＝4．……………………………………8分下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k(x －25)，恒有NA →NB →＝12．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由x 24＋y 2＝1，y ＝k(x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1，…………………………………10分所以NA →NB →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k2…………………………………12分＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(4＋25k 2)165k 24k 2＋1＋16＋425k2＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(4＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋16 ＝－16k 2－44k 2＋1＋16＝12．所以在x 轴上存在定点N(4，0)，使得NA →NB →为定值．…………………………………16分解法二设N(n ，0)，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k(x －25)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由x 24＋y 2＝1，y ＝k(x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1，…………………………………6分所以NA →NB →＝(x 1－n)(x 2－n)＋y 1y 2＝(x 1－n)(x 2－n)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(n ＋25k 2)(x 1＋x 2)＋n 2＋425k2＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(n ＋25k 2)165k 24k 2＋1＋n 2＋425k2……………………………………8分＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(n ＋25k 2)＋425k 2(4k2＋1)4k 2＋1＋n 2＝(－165n －165)k 2－44k 2＋1＋n 2．……………………………………12分若NA →NB →为常数，则(－165n －165)k 2－44k 2＋1为常数，设(－165n －165)k 2－44k 2＋1＝λ，λ为常数，则(－165n －165)k2－4＝4λｋ2＋λ对任意的实数k 恒成立，所以－165n －165＝4λ，－4＝λ，所以n ＝4，λ＝－4，此时NA →NB →＝12．……………………………………14分当直线l 斜率不存在时，A(25，y)，B(25，－y)，则y 2＝1－(25)24＝2425，所以NA →NB →＝(25－4)2－y 2＝(25－4)2－2425＝12，所以在x 轴上存在定点N(4，0)，使得NA →NB →为定值．………………………………16分19．(本小题满分16分)解：（1）因为 f (x)＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），所以f'(x)＝6x 2－6ax ＝6x(x －a)．令f'(x)＝0，得x ＝0或a ．………………………………2分当x ∈(－∞，0)时，f'(x)＞0，f (x)单调递增；当x ∈(0，a)时，f'(x)＜0，f (x)单调递减；当x ∈(a ，＋∞）时，f'(x)＞0，f (x)单调递增．故f (x)极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝23．………………………………4分（2）g (x)＝f (x)＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2（a ＞0），则g ′（x)＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．①当0＜a ≤2时，△＝36(a 2－4)≤0，所以g ′（x)≥0恒成立，g (x)在[0，1]上单调递增，则g (x)取得最大值时x 的值为1．……………………………6分②当a ＞2时，g ′（x)的对称轴x ＝a2＞1，且△＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a)＜0，g ′(0)＝6＞0，所以g ′（x)在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42．当x∈(0，x0)时，g′（x)＞0，g (x)单调递增，当x∈(x0，1)时，g′（x)＜0，g (x)单调递减，则g (x)取得最大值时x的值为x0＝a－a2－42．………………………………8分综上，当0＜a≤2时，g (x)取得最大值时x的值为1；当a＞2时，g (x)取得最大值时x的值为a－a2－42．……………………………9分（3）设h (x)＝f (x)－f ′（x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋3a－2，则h (x)≥0在[a2，a＋22]有解．………………………………10分h′（x)＝6[x2－(a＋2)x＋a]＝6[(x－a＋22)2－a2＋44]，因为h′（x)在(a2，a＋22)上单调递减，所以h′（x)＜h′（a2)＝－32a2＜0，所以h (x)在(a2，a＋22)上单调递减，所以h(a2)≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．…………………………………12分设t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′ (a)＝3a2－6a－6，当a∈(0，1＋2)时，t′ (a)＜0，t (a)单调递减；当a∈(1＋2，＋∞）时，t′ (a)＞0，t(a)单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一个零点m∈(0，1)，…………………14分因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一个零点n∈(4，5)，所以t (a)≤0的解集为[m，n]，故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．…………………………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，又a1＝S1＝2＝4×1－2，所以a n＝4n－2．…………………………………2分所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝4n－2＋4＝4(n＋1)－2为数列{a n}的第n＋1项，因此数列{a n}为“T 数列”．…………………………………4分（2）因为数列{a n}是公差为d的等差数列，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．因为数列{a n}为“T 数列”，所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1) d＋|d|＝a m，即有(m－n) d＝|d|．…………6分①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，②若d＜0，则m＝n－1．此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．综上，d≥0．……………………………………8分（3）因为a n＜a n＋1，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a n＋a n＋2－a n＋1．又因为a n＜a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋2－(a n＋1－a n)＜a n＋2，且数列{a n}为“T数列”，所以a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋1，即a n＋a n＋2＝2a n＋1，所以数列{a n}为等差数列．…………………………………10分设数列{a n}的公差为t(t＞0)，则有a n＝1＋(n－1)t，由a n＜a2n＋1－a2n＜a n＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，………………………………12分整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1，①n(t－2t2)＞2t－t2－1．②若2t2－t＜0，取正整数N0＞t2－3t＋12t2－t，则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t) N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，因此2t2－t≥0．同样根据②式可得t－2t2≥0，所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝1 2．经检验当t＝12时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝1＋12(n－1)＝n＋12．………………………………16分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2018.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结MN ，则∠BMN ＝∠BCA ，………………………………2分又∠MBN ＝∠CBA ，因此△MBN ∽△CBA ．………………………………4分所以AB AC ＝BN MN．………………………………6分又因为AC ＝12AB ，所以BNMN ＝2，即BN ＝2MN ．………………………………8分又因为BN ＝2AM ，所以AM ＝MN ，所以CM 是∠ACB 的平分线．………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为A ＝1 20 1，B ＝2 00 1，所以AB ＝2 20 1．………………………………4分设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P(x ，y)．因为P 0(x 0，y 0)在直线l: x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0．①由ABx 0y 0＝x y ，即2 20 1x 0y 0＝x y ，得2 x 0＋2 y 0＝x ，y 0＝y ，………………………………6分即x 0＝12x －y ，y 0＝y ．②将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0．………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：解法一在直线sin(θ－π3)＝－3中，令θ＝0，得＝2. 所以圆C 的圆心坐标为C(2，0)．………………………………4分因为圆C 经过点P(2，π3)，所以圆C 的半径PC ＝22+22－2×2×2×cos π3＝2，……………………………6分所以圆C 的极坐标方程＝4cos θ．……………………………10分解法二以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，令y ＝0，得x ＝2，所以C(2，0)，………………………………4分所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2+(0－3)2=2，………………………………6分所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，………………………………8分所以圆C 的极坐标方程＝4cos θ.……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：因为(12＋12＋12)[(2a ＋b)2＋(2b ＋c)2＋(2c ＋a)2]≥(1·2a ＋b ＋1·2b ＋c ＋1·2c ＋a)2，即(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a)2≤9(a ＋b ＋c)．……………………………4分因为a ＋b ＋c ＝1，所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a)2≤9，……………………………6分所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≤3，当且仅当2a ＋b ＝2b ＋c ＝2c ＋a ，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立．所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值为 3.……………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）解：（1）因为点A(1，a) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF=2，所以p2＋1＝2，所以p ＝2.……………………………3分（2）解法一由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A(1，a) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2．……………………………4分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．由x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0，即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2．……………………………6分因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m－2，……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m )|＝16．……………………………10分解法二由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A(1，a) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2．……………………………4分设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则AM →·AN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋( y 1－2)(y 2－2)＝0．……6分又因为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)在y 2＝4x 上，所以(y 21－4)(y 22－4)＋16( y 1－2)(y 2－2)＝0，即[( y 1＋2)(y 2＋2)＋16]( y 1－2)(y 2－2)＝0．因为( y 1－2)(y 2－2)≠0，所以( y 1＋2)(y 2＋2)＝－16，……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝16．……………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为f n (x)＝i ＝1∑n －1A n －in x(x ＋1)…(x ＋i －1)，所以f n (1)＝i ＝1∑n －1A n －in ×1×…×i ＝i ＝1∑n －1n!＝(n －1)×n!，g n (1)＝A nn ＋1×2×…×n ＝2×n!，所以(n －1)×n!＝14×n!，解得n ＝15．……………………………3分（2）因为f 2(x)＋g 2(x)＝2x ＋2＋x(x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，f 3(x)＋g 3(x)＝6x ＋3x(x ＋1)＋6＋x(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，猜想f n (x)＋g n (x)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n)．……………………………5分下面用数学归纳法证明：当n ＝2时，命题成立；假设n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即f k (x)＋g k (x)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k)，因为f k ＋1(x)＝i ＝1∑kA k ＋1－ik ＋1x(x ＋1)…(x ＋i －1)＝i ＝1∑k －1(k ＋1)A k －ik x(x ＋1)…(x ＋i －1)＋A1k ＋1x(x ＋1)…(x ＋k －1)＝(k+1) f k (x)＋(k+1) x(x ＋1)…(x ＋k －1)，所以f k ＋1(x)＋g k ＋1(x)＝(k+1) f k (x)＋(k+1) x(x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1k ＋1＋x(x ＋1)…(x ＋k)＝(k+1)[ f k (x)＋x(x ＋1)…(x ＋k －1)＋A kk ]＋x(x ＋1)…(x ＋k)＝(k+1)[ f k (x)＋g k (x)]＋x(x ＋1)…(x ＋k) ＝(k+1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k)＋x(x ＋1)…(x ＋k) ＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k) (x ＋k ＋1)，即n ＝k ＋1时命题也成立．因此任意n ∈N *且n ≥2，有f n (x)＋g n (x)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n)．…………………9分所以对于每一个给定的正整数n ，关于x 的方程f n (x)＋g n (x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．……………………………10分。
山东、湖北部分重点中学2018届高三高考冲刺模拟考试理科数学试题(解析版)
齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（一）数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集1=|0,A={1,2,4},5x U x N CuA x +⎧⎫∈≤=⎨⎬-⎩⎭则（ ） A. {3}B. {0，3，5}C. {3，5}D. {0，3} 【答案】D【解析】 因为全集1=|05x U x N x +⎧⎫∈≤⎨⎬-⎩⎭{}0,1,2,3,4=，{},A=1,2,4，所以{}0,3U A =，故选D.2. 已知i 为虚数单位，现有下面四个命题p 1：复数z 1=a +bi 与z 2=－a +bi ，（a ，b R ∈）在复平面内对应的点关于实轴对称；p 2：若复数z 满足(1-i )z =1+i ，则z 为纯虚数；p 3：若复数z 1，z 2满意z 1z 2R ∈，则z 2=1z ；p 4：若复数z 满足z 2+1=0，则z ＝±i .其中的真命题为（ ）A. p 1，p 4B. p 2，p 4C. p 1，p 3D. p 2，p 3 【答案】B【解析】对于11:p z 与2z 关于虚轴对称，所以1p 错误；对于2:p 由()1i 1i 1i i 1iz z +-=+⇒==-，则z 为纯虚数，所以2p 正确；对于3:p 若122,3z z ==，则126z z =，满足12z z R ∈，而它们实部不相等，不是共轭复数，所以3p 不正确；4p 正确,故选B.3. 已知2:2,:,10p a q x R x ax p q >∀∈++≥是假命题,则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。
$(-4,-3)$B。
$[-4,-3]$C。
$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。
$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。
$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。
$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。
$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。
$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。
$\frac{2}{3}$B。
$\frac{1}{5}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。
高三数学-2018年高考模拟试1(答案) 精品
2018年高考模拟试卷(数学)答案 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.B2.D3.A4.B5.A6.B7.C8.C9.D 10.B 11.A 12.D第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二 .填空题：本大题共4个小题，没小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上。
13. e 114.496 15. 5416.1,3三、解答题17．（1）依题意，随机变量ξ的取值是2、3、4、5、6.因为64983)2(22===ξP ；6418832)3(22=⨯==ξP ； 642182323)4(22=⨯⨯+==ξP ；64128232)5(2=⨯⨯==ξP ； 64482)6(22===ξP ；所以，当4=ξ 时，其发生的概率6421)4(==ξP 最大。
6分（2）41564466412564214641836492=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 8分 644)4156(6412)4155(6421)4154(6418)4153(649)4152(22222⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξD =10241248=3239 所以，所求期望为415，所求方差为3239. 12分 18解：（1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=αααα ， 2分αααcos 610sin )3(cos ||22-=+-=∴AC ，αααsin 610)3(sin cos ||22-=-+=BC . 4分由||||=得ααcos sin =. 又45),23,2(παππα=∴∈ . 6分 （2）由.1)3(sin sin cos )3(cos ,1-=-+--=⋅αααα得.32cos sin =+∴αα① 7分又.cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222αααααααααα=++=++ 9分 由①式两分平方得,94cos sin 21=+αα .95tan 12sin sin 2.95cos sin 22-=++∴-=∴ααααα 12分19.(1)连BD AC 、相交于O ，则O 为ABCD 的中心，ABCD PO ABCD P 面为正四棱锥，⊥∴- ，且 60=∠PAO ；;22,6,2,2===∴=PA PO AO AB 2分过O 作 OM ⊥AB,连PM ，由三垂线定理，得 PM ⊥AB,所以PMO ∠为所求二面角的平面角，6t a n ,6,1=∠∴==P MO PO OM ，即侧面与底面所成二面角的大小为6arctan .6分(2)假设存在点E ，使得PC AE ⊥,设x BE =,在平面PBC 中，过E 作PC EF //交BC于F ，连AF,在221cos =∠∆EBA BEA 中，，221222222x x AE ⨯⨯-+==4+x x 22-在PBC ∆中，由PC EF //，得PC EF BC BF BP BE == ，即22222EFBF x ==， 2xBF =∴,x EF =. 2422x AF ABF +=∆中，在在222AF EF AE AEF Rt =+∆中，，2424222x x x x +=+-+∴，解得，舍去）或(0322==x x . 12分 20.（1）（i ）当n=1时，1)1(11=-+=+a a b a ，命题成立.(ii)假设k n =时命题成立，即1=+k k b a ，那么当1+=k n 时，111)1(112221111==-=-+=-+-⋅=+⋅=+++++kk k k kk k kk kk k k k k k k b ba b a a b a b a b a b b a b a.1时，命题成立当+=∴k n综上，1=+n n b a ，对一切正整数均成立。
安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三数学上学期第二次模拟试题理(含解析)
临泉一中高三年级上学期数学第二次模拟考试（理科）本试卷分为必考部分和选考部分.满分150分，考试时间120分钟必考部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将所选答案标记在题后答题框内.1. 设集合2 [「：•，二：一 .，.，• 4 I ,若口厂1「则卜1 （）A. :'-1：B. '■）.：C. 二；D.【答案】C【解析】•••集合二| I .'】；•，二：+ Ill HL, - f '丨丨；••• •丨是方程. Ill匚的解，即丨丨I •]]••• I - 7•二：一、+ III 川■；■ ■■■ -4- + ■!.：■；■■]丄.：■•；•，故选C2. 命题"若a > b,则a丰c > b + c”的否命题是（）A.若丨•，则.1 | I；i ■B.若「i「I；i ■U 和二「C.若，则「： I.D. 若■: - I，则门-I： li -【答案】A【解析】命题"若a > b，则a十c》b + L的否命题是"若a<b，贝ija + c< b + c",故选A3. 已知点-■ :：H'： I..-.III'c在第三象限，则角IJ的终边在（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】试题分析：点MU-在第三象限可知；；：；；：；，所以角"的终边位置在第二象限考点：四个象限三角函数值的正负问题A. 'B. '■.:,C. 「ID.;丨；i4.若：.■-）；!"L “门，贝y '的大小关系（【答案】D【解析】T、；一「、|「• J二 c 二^(-cosx) Q二-^(COSTI-COS O)二扌.•7 1._ I 一 -,门-I己，故选D5. 已知I I [ ' 口，；'. II ：： I 一'.：■■■'；. I, h，：，“11=( )A. B. C. D.4 32【答案】C【解析】IT E - C. ,.J、11=2cosa • ：：；I「I门〔贝VCDSH二-3• r ¥；F Hl 二：■■.：■ ■■;：］= '，故选C6. 下列函数中，在丨丨|上与函数一二.：n 的单调性和奇偶性都相同的是( )A. < 「八B. ■■■ - 1 1C. ■ ■■:■：.D. : - -J ―【答案】D【解析】-一；-…r在-■ '■上递增，在d「上递减，且¥为偶函数，而：「- / - ■｛也具有相同的奇偶性和单调性•本题选择D选项•7. 已知T\ -:■ ='；in - .■:|r i= in ?'-，则下列结论中正确的是( )A. 函数1 1〔m：的周期为"B. 将li「的图像向左平移"个单位后得到NI -'：的图像C. 函数I'： - - '；'：■：的最大值为ID. . I ■[I一：的一个对称中心是：.、【答案】Dn 1【解析】选项A:. “ …I rill ：|一・]dr ■ ■. i；in.'-，则周期丨'兀，故A不对；选项B:将|的图像向左平移’「个单位后得到的函数解析式为■w ＜- ' - : ；in；.-. - ：i i --JII ■，得不到‘乂的图像，故B不对；1 a .选项C ：由A可得f(x)，g(x) = 2sin2x ,因为sin2x的最大值为1 T所以朋)* 泊大值为指故C不对;选项D:+ g(x) = sin(x + ；) + sin(n-x)二sinx + cosx 二\J2sin(x +》根据正弦函数的对称性，令• - b II ■ •「，得• | 11- I- ■..'，当•.-丨时,＞：=.'，故D正确.故选D8. 已知「:，-■：.，函数f 门［二Mi .：.：＞■'在-二Y内单调递减，则‘::‘的取值范围是( )A.(斶B.開］。
2018届山东菏泽市高三数学模拟试卷及答案
2018 届山东菏泽市高三数学模拟试卷及答案在高考数学考试中，有哪些核心的考点呢?那就让我们做一些高考数学模拟试卷来看看吧，以下是为你的2018 届山东菏泽市高三数学模拟试卷，希望能帮到你。
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，集合，则等于()A.B.C.D.2. 已知复数，则等于()A.B.C.D.3. 某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800 名学生中抽50名学生做视力检查，现将800名学生从1到800进行编号，已知从1—16这16个数中被抽到的数是11，则编号在33—48中抽到的数是()A.39B.41C.43D.454. 已知向量，，则下列结论正确的是()A.B.C.D.5. 若函数的图象不经过第二象限，则有()A.B.C.D.6. 已知曲线在点处的切线的斜率为为，则函数在上的最小值为()A.B.2C.D.17. “”是“圆被轴所截的弦长大于2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 如图是一个正方体被一个平面截去一部分后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是原正方体的体积的()A.B.C.D.9. 如果实数满足条件，若的最小值小于，则实数的取值范围是()A.B.C.D.10. 设函数，若，则的值满足()A.B.C.D.第H卷二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共25分，将答案填在机读卡上相应的位置.)11. 设，函数的最小值为1，则______ .12. 在在中，，则的面积为_______ .13. 执行如图的程序框图，若输入的值为5，则输出的值为14. 从边长为 4 的正方形内部任取一点，则到对角线的距离不大于的概率为 __ .15. 已知双曲线的右焦点为，直线与抛物线交于两点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为 _ .三、解答题(本大题共 6 小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16. ( 本小题满分12 分) 一次考试结束后，随机抽查了某校高三(1) 班5名同学的化学与物理成绩如下表：(1) 分别求这 5 名同学化学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班化学与物理成绩哪科更稳定;(2) 从以上 5 名同学中选 2 人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.17. ( 本小题满分12 分) 已知向量，.(1) 若，且，求的值;(2) 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在上有零点，求的取值范围.18. ( 本小题满分12 分) 在如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，，，是的中点.(1) 求证：平面;(2) 若，，求证平面平面.19. ( 本小题满分12 分)数列的前项和为，且，数列满足(1) 求数列的通项公式;(2) 令，求数列的前项和.20. ( 本小题满分13 分) 设函数，且为的极值点.(1) 若为的极大值点，求的单调区间( 用表示);(2) 若恰有两解，求实数的取值范围.21. ( 本小题满分14 分) 椭圆的左、右焦点分别为，点关于直线的对称点在椭圆上，且.(1) 求椭圆的方程;(2) 如图，椭圆的上、下顶点分别为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点( 在线段之间).(i) 求的取值范围;(ii) 当与相交于点时，试问：点的纵坐标是否为定值? 若是，求出该定值; 若不是，请说明理由.一、选择题1-5.BDCDD6-10.AACDD二、填空题11.612.213.3014.15.3三、解答题16. 解：(1)5 名学生化学成绩的平均分为：5 名学生物理成绩的方差为：因为样本的化学成绩方差比物理成绩方差大，所以，估计高三(1) 班总体物理成绩比化学成绩更稳定.(2) 设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90 分为事件.5 名学生中选 2 人包含基本事件有：，，，，，，，，，，共10个.事件包含基本事件有：，，，，，，，共7 个.则.即 5 名学生中选 2 人，选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为.17. 解(1) T,.…，得.(2) T* >•••,•••,则.令得，•••.•••的取值范围是.18. 解：(1) 证明：取的中点,连接, ,•••是的中位线，二，平面平面，•••平面，•••平面.⑵连接，丁，二，•••是矩形，二且，•••四边形是平行四边形，贝h平面，贝y .由(1) 得是等腰三角形，又四边形是正方形，•••,即，•••平面，则平面.19. 解：(1) 当时，，当时，，知满足该式.•••数列的通项公式为.•- ()•①••••②②- ①得：，，故()(2)令，①贝打②①- ②得：，二数列的前项和20. 解：(1) ，又，所以且，.(1) 因为为的极大值点，所以，当时，; 当时，;当时，.所以的递增区间为，;递减区间为.(2) ①若，则在上递减，在上递增.恰有两解，则，即，所以;②若，贝几因为，则，，从而只有一解.③若，则，则只有一解.综上，使恰有两解的的范围为. 21. 解：(1) •••点关于直线的对称点为在椭圆上，二，又，二，则,•••椭圆的方程.(2)(i) 当直线斜率不存在时，当直线斜率存在时，设直线的方程为，，将代入椭圆方程消去得：. 由，可得，，，综上可知，的取值范围是.(ii) 由题意得：，, 联立方程组，消去得，又，得.二点的纵坐标为定值.。
南京市、盐城市2018年高三年级第一次模拟考试数学试题与答案
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则AB = ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．时间(单位:分钟) 组距 50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图 Read x If 0x > Then ln y x ← Else x y e ← End If Print y 第4题图11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =- 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =. （1）若2C B =，求cos B 的值； （2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．A第13题图ABCA 1B 1C 1MN第15题图有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点2处时，点Q的坐标为(,0)3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．第17题-图甲 FH 第17题-图乙设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立.求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.A B E D F O · 第21(A)图[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．M A BC D O P 第22题图南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞ 8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412．3- 13．24 14．100 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分 又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分 （2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分 又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A MMC M =，所以1AB ⊥平面1A MC ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥． ……………14分 16．解：（1）因为5c =，则由正弦定理，得5sin C B =． ……………2分 又2C B =，所以5sin 22B B =，即4sin cos 5B B B =． ……………4分 又B 是ABC ∆的内角，所以sin 0B >，故5cos 4B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅， 所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而2222()35cos 25c c c a c b B ac +-+-===， ……………12分又0B π<<，所以24sin 1cos 5B B =-=．从而32422cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-． ……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2R MT OM OT =-=．从而2RBE MT ==，即22R BE ==. ……………2分 故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=- ……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分列表如下：所以当x =答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分18．解：（1）由2NQ ，得直线NQ的方程为32y x = (2)分 令0x =，得点B 的坐标为(0,． 所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分 将点N 的坐标2213=，解得24a =． 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分 （2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为y kx =-在y kx =0y =，得P x =，而点Q 是线段OP的中点，所以Q x = 所以直线BN 的斜率2BN BQk k k ===． ………………10分联立22143y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x +-=，解得M x =． 用2k 代k，得2316N x k =+． ………………12分又2DN NM =，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =． 所以直线BM的方程为2y x =． ………………16分 方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =0y =，得P x =同理，得Q x =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==…………………10分 又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=，解得2143y y =． …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2211(41927x y +=． 又22114(1)3y x =-，所以214(1)319y -+=21120y +=，解得1y =1y =．又10x >，所以点M的坐标为(3M ．……………14分 故直线BM的方程为y x =-． …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=. ………………4分 （2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-，即12n r n m --⋅对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅，所以172n n m--对任意*n N ∈都成立. ………………8分 令172n n n b --=，则11678222n n n n n n n n b b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T ．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩， 所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=． 则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-； 由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当0c =时，()b g x ax x =+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分 因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分 即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t >对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以)2(3a +⨯=（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3. ………………10分 （3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分 要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--， 即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. ………………14分 令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-． 令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述， 实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，ABE DF O · 第21(A)图设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分 （C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x --=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1(](133x x ++≥⨯+⨯， 即2224(3)()3x y x y +≥+． 而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩26x y ==时，max ()x y += 所以当x y +取最大值时x的值为2x =. ………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,6||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===． 故直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………5分 （2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，C第22题图则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则4cos ,||||29n OBn OB n OB ⋅<>===故平面ABM 与平面PAC ………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分 在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分 在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分 欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n 时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②． 由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n nnn n n n n n n C C x C x C x C C x C x C x ------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上，()21n n f n C -=成立. ………………10分 方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=++++ ③． 两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④， 得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++ ⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21n n f n C -=成立. ………………10分。
银川市2018年高三高考模拟检测理科数学试卷(附答案解析)
机密★启用前银川市2018年普通高中教学质量检测数学(理科)考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1．设集合{}{}20,2,,|15A m mB x Z x =-=∈<<，若{}4A B ⋂=，则实数m 构成的集合是A ．{}2,6B ．{}2,6-C ．{}2,2-D ．{}2,2,6- 2．已知复数z 满足2zi i =+，则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的一条渐近线的方程是20x y -=，则该双曲线的离心率是A.4．若,x y 满足约束条件340380210x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-+的最大值是A. 7-B.2-C.3D.45．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少衰出之，问各几何？”意思是:北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡各征集多少人？在上述问题中,需从西乡征集的人数是 A. 102B. 112C. 130D. 1366．如图是由半个球体和正方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. 20π+B. 24π+C. 202π+D. 242π+7．在正方形ABCD 中，点E 为BC 的中点，若点F 满足AF AC λ=， 且=0AE BF ，则=λA ．23B ．34C ．45D ．788．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，输出的s 值等于 A ．38 B ．40C ．42D ．489．已知函数()sin f x x x ωω=的图像与直线2y =交于,A B 两点， 若AB 的最小值为π ，则函数()f x 的一条对称轴是 A ．3x π=B ．4x π=C ．6x π=D ． 12x π=10．,αβ 是两个平面， ,m n 是两条直线，则下列命题中错误．．的是 A ．如果,,m n m n αβ⊥⊥⊥，那么αβ⊥ B ．如果,m αα⊂∥β ，那么m ∥β C ．如果,l m αβ⋂=∥,m α∥β ，那么m ∥l D ．如果,,m n m n α⊥⊥∥β，那么αβ⊥ 11． 定义在R 上的偶函数)(x f 在[0,)+∞单调递增，且1)2(=-f ，则(2)1f x -≤的x 的取值范围是A ．]4,0[B ．),2[]2,(+∞--∞C ．),4[]0,(+∞-∞D ．]2,2[- 12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC ∆，且()cos cos 2A B cB a b+=+ ，则c 的最小值是A. 2B.C. D.4二、填空题:本大题共4小题，每小题5分13．周末，某高校一学生宿舍甲,乙,丙,丁四位同学正在做四件不同事情:看书,写信,听音乐,玩游戏,下面是关于他们各自所做事情的一些判断:①甲不在看书,也不在写信;②乙不在写信,也不在听音乐;③如果甲不在听音乐,那么丁也不在写信; ④丙不在看书,也不写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断, 请问乙同学正在做的事情是: .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，23a =且137,,a a a 成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{}n b 满足11010+1n n n b a a += ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：12n S <．18．（本小题满分12分）随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式．某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公司进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：性别有关？（II ）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网购优惠券，求选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；(III)将频率视为概率，从该市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记经常进行网络购物的人数为X ，求X 的期望和方差． 附：()()()()()22=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E 为PD 上一点.(I)若//PB 平面EAC ，试说明点E 的位置并证明你的结论；(II)若E 为PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ，且=60PA AB ABC =∠，, 求二面角C AE D --的余弦值. 20．（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：．(I)求椭圆C 的方程；(II)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，坐标原点到直线l 的距离为2，求AOB ∆面积的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈．(I)讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；(II)若函数()f x 在1x =处取得极值，()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的最大值．请考生在第22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ.(I)若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程；(II) 若P (x ，y )是曲线C 上的一个动点，求3x ＋4y 的最大值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()212f x x x =++-，集合(){|3}A x f x =<. (I)求A ；(II) 若,s t A ∈，求证:11t t s s-<-.PABCDE2018年高三数学（理科）质量检测题答案二、填空题（每题5分，共20分）13．看书 14．40- 15.24y x =或216y x = 16．①④ 三、解答题：（70分） 17．(12分)解：（I ）由题意，2317a a a =，所以，()()()22225a d a d a d +=-+ 即()()()23+335d d d =-+ 即2660d d -=因为0d ≠，所以=1d ，所以12a = 故1n a n =+ （II ）由上知，()()()()()()101111=11012112121210n b n n n n n n n n ==<-++++++++++ 故121111111123341222n n S b b b n n n =+++<-+-++-=-+++所以，12n S <18．（12分）（I ）由列联表数据计算()2220050405060= 2.020 2.07211090100100K ⨯-⨯≈<⨯⨯⨯所以，不能再犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民网购情况与性别有关. （II ）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有605=3100⨯人，偶尔或从不进行网购的有405=2100⨯人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是2133233355710C C C C C += （III ）由列联表可知，经常进行网购的频率为11011=20020，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是1120由于该市市民数量很大，故可以认为1110,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，()1110=5.520E X =⨯，()1199910202040D X =⨯⨯=19．（12分）解：（I ）当点E 为PD 中点时有//PB EAC 平面，证明如下：联结BD ，交AC 于点O ，联结EO .由菱形性质知点O 是BD 的中点， 所以，//PB EO ，又因为,EO ECO PB ECO ⊂⊄平面平面故//PB EAC 平面.（II ）由题意，以O 为坐标原点，分别以,OB OC 为x轴和y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设=4PA AB = ，则由条件易知2,OA OC OB OD ====所以，()()()()()02,00,2,0,0,2,4,,1,2C A P D E ----，， 所以，()()0,2,0,3,1,2OC OE ==--,设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，则m OCm OE ⊥⊥且所以，00m OC m OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2020y y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令x =3z =所以，()23,0,3m = 同理可求平面AED 的法向量()3,3,0n =所以，7cos ,m n m n m n⋅==由图可知，二面角C AE D -- 20．（12分）解：（I ）由题意，a =3c e a ==，所以 2=c ，1=b 所以椭圆C 的方程为：2213x y +=．（II ）设11()A x y ，，22()B x y ，．① 当AB x ⊥轴时，23:±=x l ,)23,23(A 、)23,23(-B 或)23,23(-A 、)23,23(--B 则：AB =② 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．=，得223(1)4m k =+． 把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=， 0)19(3)1)(13(12)6(2222>+=-+-=∆k m k km122631kmx x k -+=+，21223(1)31m x x k -=+． ∴ 22221(1)()AB k x x =+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 44)1132(22≤+-+-=k ． 当且仅当011322=-+k，即3k =±时等号成立． 由①、②可知：max 2AB =．∴ 当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 1222S AB =⨯⨯=． 21．（12分）解：（I ）()f x 的定义域为()0+∞，，.()11ax f x a x x-'=-=当0a ≤时，()0f x '≤在 ()0+∞，上恒成立，函数f (x )在()0+∞，上单调递减.()f x 在(0，＋∞)上没有极值点.当0a >时，由()0f x '>得1x a>， 所以，()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增，即()f x 在1x a =处有极小值.综上，当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上没有极值点； 当0a >时，()f x 在()0+∞，上有一个极值点. (Ⅱ) ∵函数()f x 在1x =处取得极值，()110f a '=-=，则1a =，从而()1ln f x x x =--因此()2f x bx ≥- 即1ln 1x b x x+-≥， 令()1ln 1x g x x x =+-，则()2ln 2x g x x -'=，由()0g x '≥得2x e ≥则()g x 在()20,e 上递减，在()2,e +∞上递增，()()22min 11g x g e e ==-，故实数b 的最大值是211e - 22.【解析】：(Ⅰ)由ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ，得22224cos 9sin 36ρθρθ+=,即224936x y +=，故曲线C 的直角坐标方程22194x y += (Ⅱ) ∵P (x ，y )是曲线C 上的一个动点，∴可设(3cos ,2sin ),P R θθθ∈，则349cos 8sin )x y θθθϕ+=+=+，其中9tan 8ϕ=.∵R θ∈，∴当sin()=1θϕ+时，max (34)x y +=23.【解析】：(Ⅰ)函数()3212=3,31,x f x x x x x ⎧-+⎪⎪⎪=++-+⎨⎪-⎪⎪⎩首先画出()y f x =与3y =的图象， 可得不等式()3f x <解集为：2|03A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭(Ⅱ) ∵,s t A ∈，∴2,,03s t ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. ∴2222221111+t t t t s s s s ⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2221110t s s=--< ∴2211t t s s ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故11t t s s -<-。
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高级中学高三数学（理科）试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1、已知集合A={x ∈R||x|≤2}，B={x ∈Z|x 2≤1}，则A∩B=（ ）A 、[﹣1，1]B 、[﹣2，2]C 、{﹣1，0，1}D 、{﹣2，﹣1，0，1，2}【答案】C 解：根据题意，|x|≤2⇒﹣2≤x≤2，则A={x ∈R||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}， x 2≤1⇒﹣1≤x≤1，则 B={x ∈Z|x 2≤1}={﹣1，0，1}，则A ∩B={﹣1，0，1}；故选：C ．2、若复数 31a i i-+（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A 、3B 、﹣3C 、0D 、 【答案】A 解：∵=是纯虚数，则，解得：a=3．故选A ．3、命题“∃x 0∈R ， ”的否定是（ ） A 、∀ x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≤0 B 、∀ x ∈R ，x 2﹣x ﹣1＞0 C 、∃ x 0∈R ， D 、∃ x 0∈R ，【答案】A解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“∃x 0∈R ，”的否定为：∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≤0．故选：A4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（ ） A 、18 B 、20 C 、21 D 、25 【答案】C 解：设公差为d ，由题意可得：前30项和S 30=390=30×5+ d ，解得d=． ∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29× =21．故选：C ．5、已知二项式43x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为32，则a=（ ）A 、8B 、﹣8C 、2D 、﹣2【答案】D 解：二项式（x ﹣）4的展开式的通项为T r+1=（﹣a ）r C 4r x 4﹣r，令4﹣ =0，解得r=3，∴（﹣a ）3C 43=32，∴a=﹣2，故选：D6、函数y=lncosx （﹣＜x ＜）的大致图象是（ ）A 、B 、C 、D 、【答案】A 解：在（0， ）上，t=cosx 是减函数，y=lncosx 是减函数，且函数值y ＜0， 故排除B 、C ；在（﹣，0）上，t=cosx 是增函数，y=lncosx 是增函数，且函数值y ＜0，故排除D ，故选：A ．7、 若数列{}na满足*12(0,)N n n n a a a n+=刮，且2a 与4a 的等差中项是5，12n a a a +++L 等于( B )（A ）2n （B ）21n - （C ）12n - （D ）121n -- 8、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 、1 B 、 C 、 D 、 【答案】B解：由三视图知几何体是一个四棱锥， 四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形， 四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1， ∴四棱锥的体积是．故选B ．9、设a ＞0，b ＞0，若2是2a 与2b 的等比中项，则的最小值为（ ）A 、8B 、4C 、2D 、1 【答案】C 解：∵2是2a 与2b 的等比中项， ∴2a •2b =4，∴a+b=2， （a+b ）=1， 而a ＞0，b ＞0，∴=（）（+）=1++≥1+2=2，当且仅当a=b=1时取等号．故选：C ． 10、若函数f （x ）=2sin （ ）（﹣2＜x ＜10）的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则（+）•=（ ）A 、﹣32B 、﹣16C 、16D 、32 【答案】D 解：由f （x ）=2sin （）=0可得∴x=6k ﹣2，k ∈Z ，∵﹣2＜x ＜10∴x=4即A （4，0） 设B （x 1 ， y 1），C （x 2 ， y 2）∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点∴B ，C 两点关于A 对称即x 1+x 2=8，y 1+y 2=0则（ +）•=（x 1+x 2 ， y 1+y 2）•（4，0）=4（x 1+x 2）=32故选D 11、已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，若双曲线右支上存在两点B ，C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A 、（1，2）B 、（2，+∞）C 、（1， ）D 、（，+∞）【答案】C【解析】【解答】解：如图，由△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BAx=45°， 设其中一条渐近线与x 轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tan θ＜1， 又上述渐近线的方程为y= x ，则＜1，又e=，∴1＜e ＜，双曲线的离心率e 的取值范围（1，），故选C ．12、已知函数f（x）=x+xlnx，若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为（）A、2B、3C、4D、5【答案】B解：由k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，得：k＜，（x＞1），令h（x）= ，（x＞1），则h′（x）= ，令g（x）=x﹣lnx﹣2=0，得：x﹣2=lnx，画出函数y=x﹣2，y=lnx的图象，如图示：∴g（x）存在唯一的零点，又g（3）=1﹣ln3＜0，g（4）=2﹣ln4=2（1﹣ln2）＞0，∴零点属于（3，4）；∴h（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，而3＜h（3）= ＜4，＜h（4）= ＜4，∴h（x0）＜4，k∈Z，∴k的最大值是3．二、填空题：（每小题5分，共20分）13、若x，y满足则z=x+2y的最大值为________．【答案】2解：由足约束条件作出可行域如图，由z=x+2y，得y=﹣+ ．要使z最大，则直线y=﹣+ 的截距最大，由图可知，当直线y=﹣+ ．过点A时截距最大．联立，解得，∴A（0，1），∴z=x+2y的最大值为0+2×1=2．故答案为：2．14、已知向量=（1，2），⊥（+ ），则向量在向量方向上的投影为________．【答案】﹣解：由⊥（+ ），则•（+ ）=0，即2+ • =0，则• =﹣丨丨2，向量在向量方向上的投影为=﹣丨丨=﹣=﹣，故答案为：﹣．15、斜率为k（k＞0）的直线l经过点F（1，0）交抛物线y2=4x于A，B两点，若△AOF的面积是△BOF面积的2倍，则k=________．【答案】2【解析】【解答】解：∵S△AOF=2S△BOF，∴y A=﹣2y B，①∴设AB的方程为x=my+1（m＞0），与y2=4x 联立消去x得y2﹣4my﹣4=0，∴y A+y B=4m②，y A y B=﹣4③由①②③可得m= ，∴k=2 。
16、定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t s s t-+的取值范围是 .【解析】不妨设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t ss t -∈--+.三、解答题：17、（本小题满分12分）已知函数 （其中ω＞0），若f （x ）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为． (1)求y=f （x ）的单调递增区间；(2)在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c 满足（2b ﹣a ）cosC=c•cosA ，则f （B ）恰是f （x ）的最大值，试判断△ABC 的形状． （1）解：∵ ，=，∵f （x ）的对称轴离最近的对称中心的距离为，∴T=π，∴ ，∴ω=1，∴．∵得：，∴函数f （x ）单调增区间为；（2）解：∵（2b ﹣a ）cosC=c•cosA ，由正弦定理，得（2sinB ﹣sinA ）cosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin （A+C ）， ∵sin （A+C ）=sin （π﹣B ）=sinB ＞0，2sinBcosC=sinB ，∴sinB （2cosC ﹣1）=0，∴ ，∵0＜C ＜π，∴，∴，∴．∴，根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1，此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形。
18、（本小题满分12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为[0，10]，分为五个级别，T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图．（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18，这50路段为中度拥堵的有18个．（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，事件B 至少一个路段严重拥堵”，则P =（1﹣P（A））3=0.729．P（B）=1﹣P（）=0.271，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271．（III）由频率分布直方图可得：分布列如下表：X 30 36 42 60P 0.1 0.44 0.36 0.1E（X）=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96．此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．19、（本小题满分12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，直角三角形边满足AC=BC，E是CB 1上的点，且BE⊥平面ACB1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C；（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣C的平面角的余弦值．证明：∵在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AC，∵直角三角形边满足AC=BC，∴AC⊥BC，又BC∩BB1，∴AC⊥平面BB1C．（Ⅱ）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，直角三角形边满足AC=BC，∴2AC2=4，解得AC=BC= ，B（0，，0），A（），B1（0，，2），C（0，0，0），=（﹣，，2），= ，设平面BAB1的法向量=（x，y，z），则，取x= ，得=（1，1，0），，设平面AB1C的法向量=（a，b，c），，取b= ，得=（0，，1），设二面角B﹣AB1﹣C的平面角为θ，cosθ=cos ＜＞= =20、已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．(1)求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；(2)一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；(3)直线l2：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2 ，使△ABE的面积为？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由．（1）解：因为，所以，所以，又因为|AB|=1，所以，即：，即，所以椭圆的标准方程为．（2）解：直线l1斜率必存在，且纵截距为2，设直线为y=kx+2联立直线l1和椭圆方程，得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，由△＞0，得（*），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则（1）以PQ直径的圆恰过原点，所以OP⊥OQ，，即x1x2+y1y2=0，也即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，将（1）式代入，得﹣+4=0，即4（1+k2）﹣32k2+4（3+4k2）=0，解得，满足（*）式，所以．所以直线方程为y=± x+2（3）解：由方程组，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则所以，因为直线l：x=ty+1过点F（1，0），所以S△ABE= |EF|•|y1﹣y2|= ×2× =令= =2 ，则不成立，故不存在直线l满足题意。