2018年江苏高考数学全真模拟试卷附答案

（第3题）2018年江苏高考数学全真模拟试卷（1）试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知集合{}1A =，{}1,9B =，则A B =U ▲ ． 2．如果复数2i12ib -+（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，那么b = ▲ ． 3．对一批产品的长度（单位：mm ）进行抽样检测，样 本容量为400，检测结果的频率分布直方图如图 所示．根据产品标准可知：单件产品的长度在区间 ［25，30）内的为一等品，在区间［20，25）和［30， 35）内的为二等品，其余均为三等品．那么样本中 三等品的件数为 ▲ ． 4．执行下面两段伪代码．若Ⅰ与Ⅱ的输出结果相同，则Ⅱ输入的x 的值为 ▲ ．5．若将一枚质地均匀的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷两次，向上的点数依次为m ，n ，则方程220x mx n ++=无实数根的概率是 ▲ ． 6．如图1，在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，则AEC BEC S ACS BC∆∆=．将这个结论类比到空间：如图2，在三棱锥A BCD -中，平面DEC 平分二面角A CD B --且与AB 交于点E ，则类比的结论为 ▲ ．7．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．已知集合{}()0A x x x a =-<，{}27180B x x x =--<．若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 9．已知函数24()2.x x a f x x x x a +<⎧=⎨-≥⎩，，，若对任意的实数b ，总存在实数0x ，使得0()f x b =，则实数a 的取值范围是 ▲ ．10．若函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[]1 1x ∈-，时，2()f x x =，则函数（第6题）1x ← 2x x ← 3x x ← Print x I Read x 26y x ←+ Print y （第4题）4()() log F x f x x =-的零点个数为 ▲．11．若πtan 2tan 5α=，则3πcos()10πsin()5αα-=- ▲ ．12．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，直线BE 与边AC 交于点F ．若6AD BC ==，则AB CF ⋅=u u u r u u u v▲ ．13．如图，点C 在半圆的直径AB 的延长线上，2AB BC ==，过动点P 作半圆的切线PQ ．若3PC PQ =，则△PAC 面积的最大值为 ▲ ．14．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin 6sin a C c B =． （1）求ab的值； （2）若126b c ==，，求cos C 及△ABC 的面积．（第12题）（第13题）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11A ABB ⊥平面ABCD ，且∠π2ABC =． （1）求证：BC ∥平面11AB C ； （2）求证：平面11A ABB ⊥平面11AB C ．17．（本小题满分14分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度），容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形．按照设计要求，容器的体积为80π3m 3，且l ≥2r ．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3000元，半球形部分每平方米的建造费用为c （c ＞3000）元．设该容器的建造费用为y 元． （1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时r 的值．（第16题） （第17题）已知椭圆2222 1(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为F ，过椭圆C 的中心的弦PQ 的长为2，且∠90PFQ =o，△PQF 的面积为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）设12A A ，分别为椭圆C 的左、右顶点，S为直线x =上的一个动点，直线1A S 交椭圆C 于点M ，直线2A S 交椭圆C 于点N ，若12S S ，分别为△12A SA ，△MSN 的面积，求12S S 的最大值． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，且1564a a =，5348S S -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在正整数(5)m l m l <<，，使得5 5m l a a a ，，成等差数列，求m l ，的值； （3）设 k m l *∈N ，，，k m l <<，对于给定的k ，求5 k m l a a a ，，经适当排序后能构成等差数列的充要条件．20．（本小题满分16分）已知函数211()log 22a f x x x =+-，且曲线()f x 上任意一点处的切线的斜率不小于2． （1）求a 的最大值；（2）当a 取最大值时，若()()2()g x f x kx k =-∈R 有两个极值点12x x ，，且12x x <，求证：2()()4g x g k +<-．试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．［选修4-1：几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC ． （1）求证：FB FC =； （2）求证：2FB FA FD =⋅．B ．［选修4-2：矩阵与变换］（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知A （0，0），B （2，0），C （2，2），D （0，2），先将正方形ABCD 绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形上所有点的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M ． C ．［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 2sin 2x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数，0r >）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π2sin()104ρθ++=．（1）求圆C 的圆心的极坐标；（2）当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围．（第21-A 题）D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）设a b ，为互不相等的正实数，求证：3334()()a b a b +>+．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是线段PC 的中点．（1）求异面直线AP 与BE 所成角的大小；（2）若点F 在线段PB 上，且二面角F DE B --的平面角的正弦值为3，求PF PB的值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为1n a n =，且2211()2n n n S n f n S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，，． （1）计算(1)(2)(3)f f f ，，的值；（2）比较()f n 与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．（第22题）2018年江苏高考数学全真模拟试卷（1）试题Ⅰ参考答案一、填空题 1．{}1,9 2．23-3．100 4．0 5．7366．A CDE ACD B CDE BDC V S V S -∆-∆=7．3 8．[]2,9- 9．[]5,4- 10．4 11．3 12．18- 1314．12二、解答题15．解：（1）因为sin 6sin a C c B =，所以6ac bc =， ……………………………………………………4分 所以6a b =，即6ab=． ……………………………………………………6分 （2）因为6ab=，1b =， 所以6a =，故2223612611cos 226112a b c C ab +-+-===⨯⨯，………………………………………………10分所以sin 12C =因此1sin 24ABC S ab C ∆==． ……………………………………………………14分 16．证明：（1）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，BC ∥11B C ， 又因为BC ⊄平面11AB C ，11B C ⊂平面11AB C ，所以BC ∥平面11AB C ． ……………………………………………………6分 （2）因为平面11A ABB ⊥平面ABCD ，平面11A ABB I 平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，又由∠π2ABC =知AB ⊥BC ， 所以BC ⊥平面11A ABB ． ……………………………………………………10分 又因为BC ∥11B C ，故11B C ⊥平面11A ABB ． ……………………………………………………12分 而11B C ⊂平面11AB C ，所以平面11A ABB ⊥平面11AB C ． ……………………………………………………14分 17．解：（1）设该容器的体积为V ． 由题意知23480πππ33V r l r =+=， 故32224π8044203()π333V r l r r r r r -==-=-．由于2l r ≥，因此02r <≤，所以建造费用2224202π30004π2π()30004π3y rl r c r r r c r=⨯+=⨯-⨯+ 2160000π4π(2000)02c r r r=-+<≤，．…………………………………………………6分 （2）由（1）得：322160000π8π(2000)200008π(2000)()022000c y c r r r r r c -'=--=-<≤-，． 由于3000c >，因此20000c ->． 当32000002000r c -=-时，r =m =，则0m >，所以2228π(2000)()()c y r m r rm m r-'=-++． ① 当02m <<，即4500c >时，易得r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点． ② 当2m ≥，即30004500c <≤时，由于(]0 2r ∈，，故0y '≤，因此函数y 单调递减， 所以2r =是函数y 的最小值点．综上，当30004500c <≤，且建造费用最小时，2r =；当4500c >，且建造费用最小时，r =． …………………………………………………14分18．解：（1）因为弦PQ 过椭圆C 的中心，且∠90PFQ =o， 所以112c OF PQ ===． 不妨设0000(,)(,0)P x y x y >，所以000121012PFQ S OF y y x b ∆=⋅==⇒=⇒=， 所以椭圆C 的方程为2212x y +=． …………………………………………………6分 （2）由（1）得：1(A，2A，设)S t ， 可得直线1A S的方程为：x y =跟椭圆C 的方程2212x y +=联立得：221812(2)0y y t t+-=， 解得12260,9ty y t ==+， 代入直线1A S的方程得：2269t x t ===+，所以2226(,)99tM t t ++． …………………………………………………9分 同理可得直线2A S的方程为：x y t=， 跟椭圆C 的方程2212x y +=联立得：2224(2)0y y t t++=， 解得12220,1ty y t ==-+， 代入直线2A S的方程得：222222()111t x t t t t =⋅-=-+=+++，所以22)1tN t -+． ………………………………………………12分 因此121211221sin 21sin 2SA SA A SA S SA SA S SM SN SM SN MSN ⋅⋅∠⋅==⋅⋅⋅∠=222222222(9)(33)2911433(3)33t t t t t t t ⎡⎤+++⎢⎥++⎣⎦=⋅≤⋅=+++，当且仅当22933t t +=+，即t ==”．………………………………………16分 19．解：（1）因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列， 所以设数列{}n a 的公比为q ，且0q >．因为215364a a a ==，且30a >，所以38a =． 又因为5348S S -=，所以2458848a a q q +=+=，解得2q =，所以2nn a =． …………………………………………………3分（2）因为5 5m l a a a ，，成等差数列， 所以510m l a a a =+，即510222m l ⋅=+， 所以66522m l --=+， 故62m -，62l -中有且只有一个等于1．因为正整数m ，l 满足5m l <<，所以662124m l --⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得68m n =⎧⎨=⎩． …………………………………………………8分（3）设5k a ，m a ，l a 经适当排序后能构成等差数列． ① 若25k m l a a a ⋅=+，则10222k m l⋅=+，所以11522m k l k ----=+．因为正整数k ，m ，l 满足k m l <<，所以110l k m k -->--≥，且11l k --≥， 所以11221l k m k ---->≥，122l k --≥．即112124m k l k ----⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得13m k l k =+⎧⎨=+⎩． …………………………………………………10分 ② 若25m k l a a a =+，则22522m k l ⋅=⋅+，所以1225m k l k +---=（*）．因为12m k +-≥，2l k -≥，所以12m k +-与2l k -都为偶数，而5是奇数，所以等式（*）不成立，从而等式25m k l a a a =+不成立． …………………………………………………12分 ③ 若25l k m a a a =+，则同②可知，该等式也不成立．综上所述，1m k =+，3l k =+．故5k a ，m a ，l a 为5k a ，1k a +，3k a +，即5k a ，2k a ，8k a ．调整顺序后易知2k a ，5k a ，8k a 成等差数列．……………………………………………15分 因此，5k a ，m a ，l a 经适当排序后能构成等差数列的充要条件为13m k l k =+⎧⎨=+⎩．………16分 20．解：（1）由题意知1()ln f x x x a'=+． 当01a <<时，()2f x '≥不能恒成立，则1a >，此时1()2ln f x x x a '=+≥，即ln 1a ≤，故1e a <≤． 因此a 的最大值为e ． …………………………………………………4分 （2）因为211()()2ln 2(0)22g x f x kx x x kx x =-=+-->， 所以1()2g x x k x'=+-． ① 当1k ≤时，1()22220g x x k k k x '=+-≥=-≥， 所以函数()g x 在（0，＋∞）上单调递增，故函数()g x 在（0，＋∞）上无极值．……6分③ 当1k >时，2121()2x kx g x x k x x-+'=+-=． 由()0g x '=得2210x kx -+=，24(1)0k ∆=->．设方程2210x kx -+=的两根分别为1x ，2x （12x x <），则122x x k +=，121x x =，其中1201x k x k <=<<=+所以()g x 在（0，1x ）上单调递增，在（1x ，2x ）上单调递减，在（2x ，＋∞）上单调递增，从而()g x 有两个极值点1x ，2x ． …………………………………………………9分222221()ln 222x g x x kx =+-- 2221221ln ()22x x x x x =+-+- 22222211ln ()22x x x x x =+-+- 2223ln 22x x =--， 构造函数23()ln (1)22x h x x x =-->，则1()0h x x x'=-<， 所以()h x 在（1，＋∞）上单调递减，且(1)2h =-，故2()2g x <-．…………………12分 又231()ln (1)22k g k k k =-->， 构造函数231()ln (1)22x x x x ϕ=-->，则1()30x x xϕ'=-<， 所以()x ϕ在（1，＋∞）上单调递减，且(1)2ϕ=-，故()2g k <-．…………………15分 所以2()()4g x g k +<-． …………………………………………………16分试题Ⅱ（附加题）参考答案21-A ．证明：（1）因为AD 平分∠EAC ，所以∠EAD ＝∠DAC ．因为四边形AFBC 是圆的内接四边形，所以∠DAC ＝∠FBC ．因为∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ，所以∠FBC ＝∠FCB ，所以FB ＝FC ． …………………………………………………5分（2）因为∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，所以△FBA ∽△FDB ， 所以FB FA FD FB=，即2FB FA FD =⋅． ………………………………………………10分21-B ．解：设将正方形ABCD 绕原点逆时针旋转90°所对应的矩阵为A ， 则01cos90sin 9010sin 90cos90-⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦o o o o A ． ………………………………………………3分 设将所得图形上所有点的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变对应的矩阵为B ， 则10102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ． …………………………………………………6分 所以连续两次变换所对应的矩阵10010111100022-⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦M BA =．……………10分21-C ．解：（1）由圆C ：cos 2sin 2x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩，得222(2)(2)x y r -+-=， 所以圆C 的圆心的直角坐标为（2，2）， 故圆C的圆心的极坐标为，π)4． ………………………………………………5分（2）将直线lπsin()104θ++=化为10x y ++=，从而圆心（2，2）到直线l的距离为2d ==． 因为圆C 与直线l 有公共点，所以d r ≤，即2r ≥，故r 的取值范围是52,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭． ………………………………………………10分 21-D ．证明：因为0a >，0b >，所以要证3334()()a b a b +>+，只要证2234()()()a b a ab b a b +-+>+，即要证2224()()a ab b a b -+>+，只需证23()0a b ->．而a b ≠，故23()0a b ->成立． ………………………………………………10分22．解：（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， 所以DA ，DC ，DP 两两垂直， 故以{},,DA DC DP u u u r u u u r u u u r 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 因为PD DC =，所以DA DC DP ==．不妨设2DA DC DP ===，则D （0，0，0），A （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），B （2，2，0）． 因为E 是PC 的中点，所以E （0，1，1），故AP u u u r ＝（－2，0，2），BE u u u r ＝（－2，－1，1）所以cos ,AP BE 〈〉u u u r u u u r ＝AP BE AP BE⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ＝3， 从而,AP BE 〈〉u u u r u u u r ＝π6． 因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6．………………………………………………4分 （2）由（1）可知DE u u u r ＝（0，1，1），DB u u u r ＝（2，2，0），PB u u u r ＝（2，2，－2）． 设PF u u u r ＝PB λu u u r ，则PF u u u r ＝（2λ，2λ，－2λ），从而DF u u u r ＝DP u u u r ＋PF u u u r ＝（2λ，2λ，2－2λ）．设m ＝（1x ，1y ，1z ）为平面DEF 的一个法向量，则00DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m ，即1211122(22)00x y z y z λλλ++-=⎧⎨+=⎩． 取1z ＝λ，则1y ＝－λ，1x ＝2λ－1，所以m ＝（2λ－1，－λ，λ）为平面DEF 的一个法向量．…………………………………6分 设n ＝（2x ，2y ，2z ）为平面DEB 的一个法向量，则00DB DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，即22222200x y y z +=⎧⎨+=⎩． 取2x ＝1，则2y ＝－1，2z ＝1，所以n ＝（1，－1，1）为平面DEB 的一个法向量．………………………………………8分 因为二面角F DE B --， 所以二面角F DE B --即cos ,⋅〈〉===⋅m nm n m n ， 化简得241λ=．因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，故λ＝12，即PF PB ＝12．……………………………………………………………………10分23．解：（1）213(1)122f S ==+=， 4111113(2)23412f S S =-=++=， 62111119(3)345620f S S =-=+++=．………………………………………………………3分 （2）由（1）知(1)1f >，(2)1f >．下面用数学归纳法证明：当3n ≥时，()1f n <．由（1）知当3n =时，()1f n <．……………………………………………………………5分 假设当(3)n k k =≥时，()1f n <，即111()112f k k k k=++⋅⋅⋅+<+，那么11111(1)1222122f k k k k k k +=++⋅⋅⋅+++++++ 1111111()1222122k k k k k k k=+++⋅⋅⋅+++-++++ 11111()()212222k k k k<+-+-++ 2(21)2(22)12(21)2(22)k k k k k k k k -+-+=++++ 11112(21)(22)k k k k =--<++， 所以当1n k =+时，()1f n <也成立．………………………………………………………8分 因此，当3n ≥时，()1f n <．综上，当1n =和2n =时，()1f n >；当3n ≥时，()1f n <．…………………………10分。