2018年江苏省无锡市高考数学一模试卷含解析
江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学答案
江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. 32. 63. 474.5. 216.50π7. 58.9. 1 02410. 1911. 812. 613. (-2,0)14. (-∞,-1]∪15. (1) 因为DE⊥平面ABCD,(第15题)所以DE⊥AC.(2分) 因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.(4分) 因为DE∩BD=D,所以AC⊥平面BDE.(6分) (2) 如图,设AC∩BD=O,取BE的中点G,连接FG,OG,所以OG∥DE且OG=DE.(8分)因为AF∥DE,DE=2AF,所以AF∥OG且AF=OG,从而四边形AFGO是平行四边形,FG∥AO.(10分) 因为FG⊂平面BEF,AO⊄平面BEF,所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.(14分) 16. (1) 因为cos A=,所以cos C=cos2A=2cos2A-1=2×-1=.(3分) 在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=.(4分) 因为cos C=,所以sin C=-=, (5分) 所以cos B=-cos(A+B)=sin A sin B-cos A cos B=.(7分) (2) 根据正弦定理=,得=.又ac=24,所以a=4,c=6, (10分) b2=a2+c2-2ac cos B=25, b=5,所以△ABC的周长为15.(14分) 17. (1) 由题意知∠CAP=-θ,所以=-θ,又PQ=AB-AP cosθ=1-cosθ,所以观光专线的总长度为f(θ)=-θ+1-cosθ=-θ-cosθ++1,0<θ<.(3分) 因为当0<θ<时,f'(θ)=-1+sinθ<0, (5分) 所以f(θ)在上单调递减,即观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小.(6分) (2) 设翻新道路的单位成本为a(a>0),则总成本g(θ)=a--=a--,0<θ<, (8分) g'(θ)=a(-1+2sinθ), (9分) 令g'(θ)=0,得sinθ=,因为0<θ<,所以θ=.(10分) 当0<θ<时,g'(θ)<0,当<θ<时,g'(θ)>0.(12分) 所以当θ=时,g(θ)最小.(13分) 答:当θ=时,观光专线-PQ的修建总成本最低.(14分) 18. (1) 因为椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,所以a2=2c2,b=c, (1分) 所以直线DB的方程为y=-x+b.又O到直线BD的距离为,所以=,所以b=1,a=(3分) 所以椭圆E的方程为+y2=1.(4分) (2) 设P(,t),t>0,直线PA的方程为y=(x+), (5分) 由整理得(4+t2)x2+2t2x+2t2-8=0,解得x C=-,则点C的坐标是-,.(7分)(第18题)因为△ABC的面积等于四边形OBPC的面积,所以△AOC的面积等于△BPC的面积,S△AOC=××=,S△PBC=×t×--=,则=,解得t=.(9分) 所以直线PA的方程为x-2y+=0.(10分) (3) 因为B(,0),P(,t),C-,所以BP的垂直平分线为y=,BC的垂直平分线为y=x-,所以过B,C,P三点的圆的圆心为, (12分) 则过B,C,P三点的圆的方程为+-=+, (14分) 即所求圆的方程为x2-x+y2-ty+=0.(16分) 19. (1) 因为--…-=,n∈N*,所以当n=1时,1-=,a1=2, (1分) 当n≥2时,由--…-=和--…--=-,两式相除可得,1-=-,即a n-a n-1=1(n≥2),所以数列{a n}是首项为2,公差为1的等差数列,于是a n=n+1.(4分) (2) 因为a p,30,S q成等差数列,a p,18,S q成等比数列,所以于是或(7分) 当时,解得当时,无正整数解,所以p=5,q=9.(10分) (3) 假设存在满足条件的正整数k,使得=a m(m∈N*),则=m+1,平方并化简得,(2m+2)2-(2k+3)2=63, (11分) 则(2m+2k+5)(2m-2k-1)=63, (12分) 所以--或--或--(14分) 解得m=15,k=14或m=5,k=3,m=3,k=-1(舍去),综上所述,k=3或14.(16分) 20. (1) 设切点为(x0,y0),f'(x)=e x(3x+1),则切线斜率为(3x0+1),所以切线的方程为y-y0=(3x0+1)(x-x0).因为切线过点(2,0),所以-(3x0-2)=(3x0+1)(2-x0),化简得3-8x0=0,解得x0=0或.(3分) 当x0=0时,切线的方程为y=x-2, (4分)当x0=时,切线的方程为y=9x-18.(5分) (2) 由题意,对任意的x∈R,有e x(3x-2)≥a(x-2)恒成立,①当x∈(-∞,2)时,a≥--⇒a≥--,令F(x)=--,则F'(x)=--,令F'(x)=0得x=0,当x变化时,F(x),F'(x)所以F(x)max=F(0)=1,故此时a≥1.(7分) ②当x=2时,恒成立,故此时a∈R.(8分)③当x∈(2,+∞)时,a≤--⇒a≤--,令F'(x)=0,得x=,当x变化时,F(x),F'(x)所以F(x)min=F=9,故此时a≤9.综上,1≤a≤9.(10分) (3) 因为f(x)<g(x),即e x(3x-2)<a(x-2),由(2)知a∈(-∞,1)∪(9,+∞),令F(x)=--,则当x变化时,F(x),F'(x)(12分) 当x∈(-∞,2),存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0),等价于a<--存在唯一的整数x0成立.因为F(0)=1最大,F(-1)=,F(1)=-,所以当a<时,有两个整数成立,所以a∈.(14分) 当x∈(2,+∞),存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0),等价于a>--存在唯一的整数x0成立.因为F=9最小,且F(3)=7e3,F(4)=5e4,所以当a>5e4时,有两个整数成立,所以当a≤7e3时,没有整数成立,所有a∈(7e3,5e4].综上,a∈∪(7e3,5e4].(16分)江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21.由矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为α1=-可得-=λ1-,即---(2分)得a=2b=10.(4分) 由矩阵A属于特征值λ2的一个特征向量为α2=-,可得-=λ2-,即---(6分)得2a-3b=9, (8分)解得--即A=--.(10分)22.由ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4x,即圆C的方程为x2+(y-2)2=4.(3分) 又由消去t,得x-y+m=0, (6分) 由直线l与圆C相交,得-<2,即-2<m<6.(10分)23. (1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A,则为该公司在星期四最多有一辆汽车出车,P()=++=,所以P(A)=1-P(=.(3分) 答:该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为.(2) 由题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,4,P(ξ=0)==;P(ξ=1)=+·=;P(ξ=2)=++·=;P(ξ=3)=+=;P(ξ=4)==.(8分) 所以ξ的分布列为故E(ξ)=+2×+3×+4×=.答:ξ的数学期望为.(10分) 24. (1) 因为PE⊥底面ABCD,过点E作ES∥BC,则ES⊥AB.以E为坐标原点,EB方向为x轴的正半轴,ES方向为y轴的正半轴,EP方向为z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A(-1,0,0),D(-1,2,0),P(0,0,),=(-2,1,0),=(1,1,-).(2分) 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n·=-2x+y=0,n·=x+y-z=0,令x=1,解得n=(1,2,).又平面ABCD的法向量为m=(0,0,1), (3分)所以cos<n,m>===, (4分)所以sin<n,m>=.(5分)(第24题)(2) 设M点的坐标为(x1,y1,z1),因为EM⊥平面PCD,所以∥n,即==,也即y1=2x1,z1=x1.(6分) 又=(x1,y1,z1-=(-1,2,-),=(1,1,-所以=λ+μ=(λ-μ,λ+2μ,-λ-μ),解得x1=λ-μ,y1=λ+2μ=2x1=2(λ-μ),即λ=3μ, (8分) z1-=-λ-μ,λ=,所以μ=, (9分)所以点M的坐标为.(10分)。
2018年高考理科数学江苏卷含答案
立的 n 的最小值为
.
二、解答题：本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15.(本小题满分 14 分) 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中, AA1 AB , AB1 B1C1 . 求证：(Ⅰ) AB ∥平面 A1B1C ； (Ⅱ)平面 ABB1 A1 平面 A1BC .
4.【答案】8
【解析】代入程序前
I S
1 符合
1
I
6
，
第一次代入后
I S
3 2
，符合
I
6
，继续代入；
第二次代入后
I S
5 4
，符合
I
6
，继续代入，
第三次代入后
I S
7 8
，不符合
I
6
，输出结果
S
8
，
故最后输出 S 的值为 8 .
数学试卷第 11页（共 24页）数学试卷第 12页（共 24页）
.
卷
2.若复数 z 满足 i z 1 2i ,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为
.
3.已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这 5 位裁判打出的分数
的平均数为
.
上
4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的 S 的值为
.
答
题
5.函数 f (x) log2 x 1 的定义域为
上的最大值与最小值的和为
.
12.在平面直角坐标系 AB 为 直 径 的 圆 C
xOy 中, 与直线
A l
江苏省无锡市第十中学2018年高三数学理模拟试卷含解析
江苏省无锡市第十中学2018年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为A．5 B．10 C．2 0 D．参考答案：B2. 定义两种运算：，，则是（）函数．（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数参考答案：A略3. 已知复数，则z的共轭复数为（A）1－2i （B）1＋2i （C）1－i （D）1＋i参考答案：C略4. 已知命题：、为直线，为平面，若∥，，则∥；命题：若＞，则＞，则下列命题为真命题的是（）A. 或B. 或C. 且D. 且参考答案：B若∥，，则∥，也可能，所以命题是假命题；若＞，当时，；当时，，所以命题也是假命题，综上所述，或为假命题；或为真命题；且为假命题；且为假命题，故选择B。
5. 定义已知，，，则A． B． C． D．不能确定参考答案：C略6. 已知O为正△ABC内的一点，且满足，若△OAB的面积与△OBC 的面积的比值为3，则λ的值为（）A．B．C．2 D．3参考答案：C【考点】向量在几何中的应用．【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到=﹣λ，由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到S△COB=S△ABC，S△COA=S△ABC，由面积之比，O分DE所成的比，从而得出λ的值．【解答】解：由于，变为++λ（+）=0．如图，D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知+=2，λ（+）=2λ，故=﹣λ，在正三角形ABC中，∵S△COB=S△AOB=×S△ABC=S△ABC，S△COA=S△ACB﹣S△ABC﹣S△ABC=S△ABC，且三角形AOC与三角形COB的底边相等，面积之比为2得λ=2．故选：C．7. 函数，则方程在下面哪个范围内必有实根（）A． B． C． D．参考答案：B试题分析：方程的根就是函数的零点，由于，，由零点存在定理，得函数的零点在区间在内，因此方程的根在，故答案为B考点：方程的根和函数的零点的关系8. 函数y=sin(+)的图象可以由函数y=cos的图象经过（）A．向右平移个单位长度得到B．向右平移个单位长度得到C．向左平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数=sin（+）的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin（﹣+）=sin（+）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9. 已知点M(x，y)是圆的内部任意一点，则点M满足y≥x的概率是（）A．B．C．D．参考答案：D10. 在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，θ=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．【专题】压轴题．【分析】在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．【解答】解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈（0，]，∴2θ∈（0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=故选D．【点评】本题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的直线交抛物线于，两点，点，在抛物线准线上的射影分别是，，若四边形的面积为，则抛物线的方程为____参考答案：略12. 在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1有公共点的概率为．参考答案：【考点】CF：几何概型；J8：直线与圆相交的性质．【分析】利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0）圆心到直线y=k（x+2）的距离为要使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1有公共点则＜1解得﹣≤k≤∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1有公共点的概率为=故答案为：13. 若直线与函数（的图像有两个公共点，则的取值范围是 .参考答案：因为的图象是由向下平移一个单位得到，当时，作出函数的图象如图，此时，如图象只有一个交点，不成立。
江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学
江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学注意事项:1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合A={1,3},B={1,2,m},若A∪B=B,则实数m= .2.若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a= .-3.某高中共有学生2 800人,其中高一年级960人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为.4.已知a,b∈{1,2,3,4,5,6},直线l1:2x+y-1=0,l2:ax-by+3=0,则直线l1⊥l2的概率为.(第5题)5.根据如图所示的伪代码,当输入的a的值为3时,最后输出的S的值为.6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.7.已知变量x,y满足约束条件目标函数z=3x+y的最小值为5,则c的值-为.8.若函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=sin-的图象重合,则φ=.9.已知等比数列{a n}满足a2a5=2a3,且a4,,2a7成等差数列,则a1·a2·…·a n的最大值为.10.过圆x2+y2=16内一点P(-2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD,且AB=CD,则四边形ABCD的面积为.11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P为右支上任意一点,则的最小值为.12.在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠A=,M为DC的中点,N为平面ABCD内一点,若|-|=|-|,则·= .13.已知函数f(x)=---g(x)=-x2-2x-2.若存在a∈R,使得f(a)+g(b)=0,则实数b的取值范围是.14.若函数f(x)=(x+1)2|x-a|在区间[-1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图,四边形ABCD是菱形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=2AF.(1) 求证:AC⊥平面BDE;(2) 求证:AC∥平面BEF.(第15题)16. (本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=,C=2A.(1) 求cos B的值;(2) 若ac=24,求△ABC的周长.17. (本小题满分14分)如图,点C为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD为海岸线,∠CAB=,AB⊥BD,是以A为圆心,半径为1 km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线-PQ,其中P为上异于B,C的一点,PQ与AB平行,设∠PAB=θ.(1) 求证:观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小;(2) 已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当θ取何值时,观光专线-PQ的修建总成本最低?请说明理由.(第17题)18. (本小题满分16分)如图,已知椭圆E:+=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别为左、右焦点,A,B分别为左、右顶点,原点O到直线BD的距离为.设点P在第一象限,且PB⊥x轴,连接PA交椭圆于点C.(1) 求椭圆E的方程;(2) 若△ABC的面积等于四边形OBPC的面积,求直线PA的方程;(3) 求过点B,C,P的圆的方程(结果用t表示).(第18题)19. (本小题满分16分)已知数列{a n}满足--·…·-=,n∈N*,S n是数列{a n}的前n项和.(1) 求数列{a n}的通项公式;(2) 若a p,30,S q成等差数列,a p,18,S q成等比数列,求正整数p,q的值;(3) 是否存在k∈N*,使得为数列{a n}中的项?若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)=e x(3x-2),g(x)=a(x-2),其中a,x∈R.(1) 求过点(2,0)且与函数y=f(x)的图象相切的直线方程;(2) 若对任意的x∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围;(3) 若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<g(x0),求a的取值范围.江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21. (本小题满分10分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=,若矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为α1=-,属于特征值λ2的一个特征向量为α2=-,求矩阵A.22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ,且直线l与圆C相交,求实数m的取值范围.23. (本小题满分10分)某公司有A,B,C,D四辆汽车,其中A车的车牌尾号为0,B,C两辆车的车牌尾号为6,D车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车.已知A,D 两辆汽车每天出车的概率为,B,C两辆汽车每天出车的概率为,且四辆汽车是否出车是相互独立的.(1) 求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率;(2) 设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ξ的分布列和数学期望.24. (本小题满分10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,△ABP是等边三角形,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,E是线段AB的中点,PE⊥底面ABCD,已知DA=AB=2BC=2.(1) 求二面角P-CD-AB的正弦值;(2) 试在平面PCD上找一点M,使得EM⊥平面PCD.(第24题)。
无锡市第一中学2018—2019学年第一学期质量检测高三数学试卷
无锡市第一中学2018—2019学年第一学期质量检测高三数学（理）参考公式：弧长||l r α=，其中r 为半径的长度，α是弧所对的圆心角的大小．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案直接填写在答题卡的相应位置．1．已知集合2{}A a =，{2,3}B =，且{3}A B =，则实数a 的值是 ▲ ． 2．已知复数121iz i+=-，其中i 是虚数单位，则z 的实部是 ▲ ． 3．为调查某区高中一年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该区高中一年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100] (单位：分钟)上，其频率分布直方图如图所示，则估计该区高中一年级学生中每天用于阅读的时间在内的学生人数为 ▲ ．4． “a b =”是“b a lg lg =”的 ▲ 条件．（填“充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要”中的一个） 5．函数()f x =的定义域为 ▲ ．6．函数8ln ++-=x x y 的单调递增区间是 ▲ ．7．如右图，是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ ．8．已知函数()(),0,1()4,02xg x x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩是奇函数，则()()3f g = ▲ ． 9．设函数()f x 在R 上满足(4)()f x f x +=，且在区间(2,2]-上其函数解析式是(),20,1,02,x a x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩其中a R ∈．若()()55f f -=，则()2f a = ▲ ．10．已知定义在R 上的函数22,0,(),0,x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ 若()()4f a f a +-<，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知函数()21,()22xx f x g x m x x ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，若命题“[][]122,1,0,2x x ∃∈-∃∈使得()()12f x g x ≥成立”为假命题，则实数m 的取值范围为 ▲ ．12．记定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，若存在0[,]x a b ∈，使得()0()()()f b f a f x b a '-=-成立，则称0x 为函数()f x 在区间[,]a b 上的“中值点”．那么函数3()3f x x x =-在区间[2,2]-上的“中值点”所成的集合为 ▲ ．13．已知函数()()2x x e af x a R e=-∈在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是▲ ．14．已知函数323,0,(),0,x x t x f x x x ⎧-++<=⎨≥⎩t ∈R ．若函数()(()1)g x f f x =-恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分，请将正确解答书写在答题卡的相应位置，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）设集合{}2ln(28),A x y x x x R ==--+∈，集合{}47,1321x B y y x x -+==≤≤-，集合{}1()(4)0,C x ax x x R a=-+≤∈．（1）求A B ；（2）若C ⊆C R A ，求实数a 的取值范围． 16．（本小题满分14分）若0a >,命题:p (0,1],30a x x x∃∈-+≥成立; 命题:q 函数()3221f x x ax a x =+-+在[1,1]-上单调递减．（1）若命题p 是真命题，求a 的取值范围； （2）是否存在整数a ，使得p q ∨为真命题；p q ∧为假命题，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．已知函数()(1)x=--⋅（e为自然对数的底数， 2.71828f x x k ee≈，k∈R）．（1）当0f x的单调区间和极值；x>时，求()（2）若对于任意[1,2]<成立，求k的取值范围．f x xx∈，都有()418．（本小题满分16分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，120AB=米，AD,为直径的半圆1O和半圆2O（半圆在矩形AD=米，以BC80ABCD内部）为两个半圆形水上主题乐园，,,BC CD DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE、FB修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F分别为AD BC上的动点，//,EF AB，且线段EF与线段AB在圆心1O和2O连线的同侧．已知弧线AE、FB部分的修建费用为200元/米，线段EF部分的平均修建费用为400元/米．（1）若80EF=米，则检票等候区域（图中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点E的位置，使得修建费用最低．已知函数()ln f x x =，函数(),,ng x mx m n R x=+?． （1）当1,1m n ==-时，① 求函数()()()h x f x g x =-在区间[,1]a a +上的最大值；② 已知不等式2()()f x kg x <对任意的(1,)x ??恒成立，求实数k 的范围．（2）已知对任意的*n N ∈，函数()()()F x f x g x =-在区间[1,2]上恒为单调递增函数， 求实数m 的取值范围． 20．（本小题满分16分） 设函数21()1ln 2f x ax x =--，其中a R ∈．（1）若0a =，求过点(0,1)-且与曲线()y f x =相切的直线方程； （2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ， ① 求a 的取值范围；② 求证：12'()'()0f x f x +<．。
2018年高考数学江苏卷(含答案与解析)
数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么AB = .2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共42页） 数学试卷 第4页（共42页）二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证：(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ； (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值； (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围； (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共42页） 数学试卷 第8页（共42页）19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围； (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷 第9页（共42页） 数学试卷 第10页（共42页）数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答．．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018苏锡常镇一模(十)数学
2018届高三年级第二次模拟考试（十）数学（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合A = {- 1 , 1}, B = {—3, 0}，则集合A A B= _______2. 已知复数z满足z i = 3 —4i（i为虚数单位），则|z| = _______2 2x y3. 双曲线〒一1= 1的渐近线方程为4 3 ------------4. 某中学共有1 800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = _______5. 将一颗质地均匀的正四面骰子（每个面上分别写有数字 1 , 2 , 3, 4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为_________6. 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是 __________ _2 37. 若正四棱锥的底面边长为_____________________ 2cm,侧面积为8cm，则它的体积为cm .8. 设S是等差数列{a n}的前n项和，若a2 + a4= 2, S2+ $= 1，贝U a。
= ____________2 3 l9. 已知a>0 , b>0，且一ab，贝U ab的最小值是a b *ta n A 3c—b10. 设三角形ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b , c,已知 = ，贝Utan B b cos A = ______xa—e , x<1 ,11. 已知函数f（x）= 4 （e是自然对数的底数）.若函数y = f（x）的最小值是4,x+一，x> 1x则实数a的取值范围为 ________ .12. 在厶ABC中，点P是边AB的中点，已知|CP| = ,3, |CA| = 4,Z ACB = 2~?,贝U32 213. 已知直线I: x—y + 2 = 0与x轴交于点A,点P在直线I上.圆C: （x—2）+ y = 2上有且仅有一个点B满足AB丄BP,则点P的横坐标的取值集合为___________2f ( i)14. 若二次函数f(x) = ax + bx + c(a>0)在区间［1 , 2］上有两个不同的零点，则的取a值范围为 _______________二、解答题：本大题共6小题，共计90分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知向量a=(羽sin a, 1), b= 1 , sin a+ 4 .⑴若角a的终边过点(3, 4)，求a b的值；(2)若all b，求锐角a的大小.16. (本小题满分14分)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的高为.6，其底面边长为2•已知点M ,N分别是棱A1C1, AC 的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点.求证：(1) B1M //平面A1BN;(2) AD 丄平面A1BN.17. (本小题满分14分)(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 过点A 且互相垂直的两直线 11, 12与直线y = x 分别相交于 E ，F 两点，已知 0E = OF ， 求直线11的斜率.2 2x y 已知椭圆 C : =+ 2= 1(a>b>0)a b经过点.3, 21 , -2?，点A 是椭圆的下顶点.18. (本小题16分)如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6 , O为圆心，且0C丄AB,2 n一座观赏亭Q,其中/ AQC = -3，计划在BC上再建一座观赏亭P,记/ POB= 0n⑴当=-时，求/ OPQ的大小；(2)当/ OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭效果最佳时，角0的正弦值.在OC上有n0< 0<2 . P处的观赏19. (本小题满分16分)3 2已知函数f(x) = x + ax + bx + c, g(x) = In x.(1)若a= 0, b = - 2,且f(x)>g(x)恒成立，求实数c的取值范围;⑵若b =- 3,且函数y = f(x)在区间(-1, 1)上是单调减函数.①求实数a的值；②当c= 2时，求函数h(x)= f ( x), f (x)g (x), f (x f (x) <g (x)的值域.20. (本小题满分16分)已知S是数列｛a n｝的前n项和，a i= 3，且2S = a n +1 —3(n € N*).(1) 求数列｛a n｝的通项公式；(2) 对于正整数i，j，k(i<j<k)，已知血，6a i, gk成等差数列，求正整数入曲勺值；(3) 设数列｛b n｝的前n项和是T n，且满足对任意的正整数n,都有等式a i b n+ a2b n—1+ a s b nn+ 1 —2 +…+ a n b1 = 3 —3n —3 成立.“T n 1 +求满足等式一=厅的所有正整数n.a n 32018届高三年级第二次模拟考试 （十） 数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答•若多做， 则按作答的前两小题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. ［选修41:几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点 D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点 C ,且满足DA = DC .⑴ 求证：AB = 2BC ;（2）若AB = 2，求线段CD 的长.B. ［选修42 :矩阵与变换］（本小题满分10分）（1）求矩阵AB ;C. ［选修44 :坐标系与参数方程］（本小题满分10分）_ n n —在极坐标系中，已知圆 C 经过点P 2^2, 4，圆心为直线 p in e -3 =—与极轴的 交点，求圆C 的极坐标方程.4 01 已知矩阵A 01 ,吐02a5 ,列向量X = b一 1 一 1⑵若B A X =，求a , b 的值.D. ［选修45 :不等式选讲］(本小题满分10分)__ 2 2已知x, y都是正数，且xy= 1，求证：(1 + x+ y )(1 + y+ x )> 9.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD垂直于底面ABCD, PD = AD= 2AB, 点Q 为线段PA(不含端点)上的一点.(1) 当点Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值；2 PQ(2) 已知二面角QBDP的正弦值为3，求PA的值.23. (本小题满分10分)在含有n个元素的集合A n={1, 2,…，n}中，若这n个元素的一个排列佝,a2,…，a n) 满足a^ i(i = 1 , 2，…，n)，则称这个排列为集合A n的一个错位排列(例如：对于集合A3 = {1, 2, 3}，排列(2, 3,1)是A的一个错位排列；排列(1 , 3, 2)不是A3的一个错位排列).记集合A n的所有错位排列的个数为D n .(1) 直接写D1, D2, D3, D4的值；(2) 当n》3时，试用D n-2, D n-1表示D n,并说明理由；(3) 试用数学归纳法证明：D2n(n € N*)为奇数.。
2018年江苏省高考数学试卷
（（（2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为．6．5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣称，则φ的值为．φ＜）的图象关于直线x=对8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，（f （x ）=，则 f （f （15））的值为．10．（5.00 分）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．（5.00 分）若函数 f （x ）=2x 3﹣ax 2+1（a ∈R ）在（0，+∞）内有且只有一个 零点，则 f （x ）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．12． 5.00 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l ：y=2x 上在第一象限内的点，B （5，0），以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若 =0，则点 A 的横坐标为．13．（5.00 分）在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，∠ABC=120°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D ，且 BD=1，则 4a +c 的最小值为．14．（5.00 分）已知集合 A={x |x=2n ﹣1，n ∈N*}，B={x |x=2n ，n ∈N*}．将 A ∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }，记 S n 为数列{a n }的前 n 项和， 则使得 S n ＞12a n +1 成立的 n 的最小值为．二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .15．（14.00 分）在平行六面体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，AA 1=AB ，AB 1⊥B 1C 1． 求证：（1）AB ∥平面 A 1B 1C ； （2）平面 ABB 1A 1⊥平面 A 1BC ．16．（14.00 分）已知 α，β 为锐角，tanα= ，cos （α+β）=﹣ ．（1）求 cos2α 的值；（2）求 tan （α﹣β）的值．17．（14.00 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求 A ，B 均在线段 MN 上，C ，D均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 θ．（1）用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sinθ 的取值范围；（2）若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4：3．求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（16.00 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（ ），焦点F 1（﹣，0），F 2（，0），圆 O 的直径为 F 1F 2．（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P ．①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；②直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点．若△OAB 的面积为，求直线 l 的方程．19．（16.00 分）记 f′（x ），g′（x ）分别为函数 f （x ），g （x ）的导函数．若存在x 0∈R ，满足 f （x 0）=g （x 0）且 f′（x 0）=g′（x 0），则称 x 0 为函数 f （x ）与 g （x ） 的一个“S 点”．（1）证明：函数 f （x ）=x 与 g （x ）=x 2+2x ﹣2 不存在“S 点”；（2）若函数 f （x ）=ax 2﹣1 与 g （x ）=lnx 存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数 f （x ）=﹣x 2+a ，g （x ）=．对任意 a ＞0，判断是否存在 b ＞0，使函数 f （x ）与 g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”，并说明理由．20．（16.00 分）设{a n }是首项为 a 1，公差为 d 的等差数列，{b n }是首项为 b 1，公 比为 q 的等比数列．（1）设 a 1=0，b 1=1，q=2，若|a n ﹣b n |≤b 1 对 n=1，2，3，4 均成立，求 d 的取值范围；（2）若 a 1=b 1＞0，m ∈N*，q ∈（1，]，证明：存在 d ∈R ，使得|a n ﹣b n |≤b 1 对 n=2，3，…，m +1 均成立，并求 d 的取值范围（用 b 1，m ，q 表示）．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 .若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修 41 ：几何证明选讲]（本小题满分 10 分）21．（10.00 分）如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C ．若 PC=2，求 BC 的长．1B.[选修 42 ：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）22．（10.00 分）已知矩阵 A= ．（1）求 A 的逆矩阵 A ﹣；（2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P′（3，1），求点 P 的坐标．C.[选修 44 ：坐标系与参数方程]（本小题满分 0 分）23．在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρsin （ ﹣θ）=2，曲线 C 的方程为 ρ=4cosθ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．D.[选修 45 ：不等式选讲]（本小题满分 0 分）24．若 x ，y ，z 为实数，且 x +2y +2z=6，求 x 2+y 2+z 2 的最小值．【必做题】第 25 题、第 26 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .25．如图，在正三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AB=AA 1=2，点 P ，Q 分别为 A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线 BP 与 AC 1 所成角的余弦值； （2）求直线 CC 1 与平面 AQC 1 所成角的正弦值．26．设 n ∈N *，对 1，2，……，n 的一个排列 i 1i 2……i n ，如果当 s ＜t 时，有 i s ＞i t ， 则称（i s ，i t ）是排列 i 1i 2……i n 的一个逆序，排列 i 1i 2……i n 的所有逆序的总个数称为 其逆序数．例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列 231 的逆序数为 2．记 f n （k ）为 1，2，…，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数．（1）求 f 3（2），f 4（2）的值；（2）求 f n （2）（n ≥5）的表达式（用 n 表示）．2018年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B={1，8}．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，故答案为：{1，8}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z=1+2i，得z=，∴z的实部为2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为90．【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90．故答案为：90．【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为8．【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行过程如下；I=1，S=1，I=3，S=2，I=5，S=4，I=7，S=8，此时不满足循环条件，则输出S=8．故答案为：8．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为[2，+∞）．【分析】解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．【解答】解：由题意得：≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．（故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．6． 5.00 分）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为 0.3 ．【分析】（适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，共有 C 52=10 种，其中全是女生的有 C 32=3 种，根据概率公式计算即可，（适合文科生），设 2 名男生为 a ，b ，3 名女生为 A ，B ，C ，则任选 2 人的种数为 ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，Bc ，AB ，AC ，BC 共 10 种，其中全是女生为 AB ，AC ，BC 共 3 种，根据概率公式计算即可【解答】解：（适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，共有 C 52=10 种，其中全是女生的有 C 32=3 种，故选中的 2 人都是女同学的概率 P= =0.3，（适合文科生），设 2 名男生为 a ，b ，3 名女生为 A ，B ，C ，则任选 2 人的种数为 ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，Bc ，AB ，AC ，BC 共 10 种，其中全是女生为 AB ，AC ，BC 共 3 种，故选中的 2 人都是女同学的概率 P= =0.3，故答案为：0.3【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．7．（5.00 分）已知函数 y=sin （2x +φ）（﹣ φ＜ ）的图象关于直线 x= 对称，则 φ 的值为．【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵y=sin （2x +φ）（﹣φ＜ ）的图象关于直线 x= 对称，∴2×+φ=kπ+，k ∈Z ，即 φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可．【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，f（）=cos（即f（f（15））=）=cos，=，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×故答案为：．，=．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．（ 【分析】推导出 f′（x ）=2x （3x ﹣a ），x ∈（0，+∞），当 a ≤0 时，f′（x ）=2x （3x﹣a ）＞0，f （0）=1，f （x ）在（0，+∞）上没有零点；当 a ＞0 时，f′（x ）=2x（3x ﹣a ）＞0 的解为 x ＞ ，f （x ）在（0， ）上递减，在（ ，+∞）递增，由f （x ）只有一个零点，解得 a=3，从而 f （x ）=2x 3﹣3x 2+1，f′（x ）=6x （x ﹣1），x∈[﹣1，1]，利用导数性质能求出 f （x ）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和．【解答】解：∵函数 f （x ）=2x 3﹣ax 2+1（a ∈R ）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x ）=2x （3x ﹣a ），x ∈（0，+∞），①当 a ≤0 时，f′（x ）=2x （3x ﹣a ）＞0，函数 f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （0）=1，f （x ）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当 a ＞0 时，f′（x ）=2x （3x ﹣a ）＞0 的解为 x ＞ ，∴f （x ）在（0， ）上递减，在（ ，+∞）递增，又 f （x ）只有一个零点，∴f （ ）=﹣+1=0，解得 a=3，f （x ）=2x 3﹣3x 2+1，f′（x ）=6x （x ﹣1），x ∈[﹣1，1]，f′（x ）＞0 的解集为（﹣1，0），f （x ）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f （﹣1）=﹣4，f （0）=1，f （1）=0，∴f （x ）min =f （﹣1）=﹣4，f （x ）max =f （0）=1， ∴f （x ）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f （x ）max +f （x ）min =﹣4+1=﹣3．【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．12． 5.00 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l ：y=2x 上在第一象限内的点，B （5，0），以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若横坐标为 3 ．=0，则点 A 的【分析】设 A （a ，2a ），a ＞0，求出 C 的坐标，得到圆 C 的方程，联立直线方程与圆的方程，求得 D 的坐标，结合=0 求得 a 值得答案．【解答】解：设 A （a ，2a ），a ＞0，∵B （5，0），∴C （，a ），则圆 C 的方程为（x ﹣5）（x ﹣a ）+y （y ﹣2a ）=0．联立∴，解得 D （1，2）．= ．解得：a=3 或 a=﹣1．又 a ＞0，∴a=3．即 A 的横坐标为 3．故答案为：3．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．13．（5.00 分）在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，∠ABC=120°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D ，且 BD=1，则 4a +c 的最小值为9 ．【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式 1 的代换进行求解即可．【解答】解：由题意得 acsin120°= asin60°+ csin60°，即 ac=a +c ，得 + =1，得 4a +c=（4a +c ）（ + ）= + +5≥2 +5=4+5=9，当且仅当 = ，即 c=2a 时，取等号，故答案为：9．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用 1 的代换结合基本不等式是解决本题的关键．14．（5.00 分）已知集合 A={x |x=2n ﹣1，n ∈N*}，B={x |x=2n ，n ∈N*}．将 A ∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }，记 S n 为数列{a n }的前 n 项和，35793579（则使得Sn＞12an+1成立的n的最小值为27．【分析】采用列举法，验证n=26，n=27即可．【解答】解：利用列举法可得：当n=26时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，所以数列{an}的前26项分别1，，，，，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，2，4，8，16，32．S26=，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．当n=27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，所以数列{an}的前26项分别1，，，，，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，43，2，4，8，16，32．S27==546，a28=45⇒12a28=540，符合题意，故答案为：27．【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．【分析】1）由⇒AB∥平面A1B1C；（2）可得四边形ABB1A1是菱形，AB1⊥A1B，由AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC⇒AB1⊥面A1BC，⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．⇒ AB ⊥面 A BC ，且 AB ⊂ 平面 ABB A ⇒ 平面 ABB A ⊥平面 A BC ．（ 【解答】证明：（1）平行六面体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，AB ∥A 1B 1，AB ∥A 1B 1，AB 平面 A 1B 1C ，A 1B 1⊂ ∥平面 A 1B 1C ⇒ AB ∥平面 A 1B 1C ；（2）在平行六面体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，AA 1=AB ，⇒ 四边形 ABB 1A 1 是菱形，⊥ AB 1⊥A 1B ．在平行六面体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，AA 1=AB ，AB 1⊥B 1C 1⇒ AB 1⊥BC ．∴11 1 1 1 1 1 1【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．16．（14.00 分）已知 α，β 为锐角，tanα= ，cos （α+β）=﹣ ．（1）求 cos2α 的值；（2）求 tan （α﹣β）的值．【分析】 1）由已知结合平方关系求得 sinα，cosα 的值，再由倍角公式得 cos2α的值；（2）由（1）求得 tan2α，再由 cos （α+β）=﹣求得 tan （α+β），利用 tan （α﹣β）=tan [2α﹣（α+β）]，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由，解得 ，∴cos2α=；（2）由（1）得，sin2 ，则 tan2α= ．∵α，β∈（0， ），∴α+β∈（0，π），∴sin （α+β）=则 tan （α+β）==．．（ ∴tan （α﹣β）=tan [2α﹣（α+β）]==．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．17．（14.00 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求 A ，B 均在线段 MN 上，C ，D均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 θ．（1）用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sinθ 的取值范围；（2）若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4：3．求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【分析】 1）根据图形计算矩形 ABCD 和△CDP 的面积，求出 sinθ 的取值范围；（2）根据题意求出年总产值 y 的解析式，构造函数 f （θ），利用导数求 f （θ）的最大值，即可得出 θ 为何值时年总产值最大．【解答】解：（1）S矩形 ABCD=（40sinθ+10）•80cosθ=800（4sinθcosθ+cosθ），S △CDP = •80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ）， 当 B 、N 重合时，θ 最小，此时 sinθ= ； 当 C 、P 重合时，θ 最大，此时 sinθ=1，∴sinθ 的取值范围是[ ，1）；（2）设年总产值为 y ，甲种蔬菜单位面积年产值为 4t ，乙种蔬菜单位面积年产值为 3t ，则 y=3200t （4sinθcosθ+cosθ）+4800t （cosθ﹣cosθsinθ）=8000t （sinθcosθ+cosθ），其中 sinθ∈[ ，1）；设 f （θ）=sinθcosθ+cosθ，则 f′（θ）=cos 2θ﹣sin 2θ﹣sinθ=﹣2sin 2θ﹣sinθ+1；令 f′（θ）=0，解得 sinθ= ，此时 θ=，cosθ= ；当 sinθ∈[ ， ）时，f′（θ）＞0，f （θ）单调递增；当 sinθ∈[ ，1）时，f′（θ）＜0，f （θ）单调递减；∴θ=时，f （θ）取得最大值，即总产值 y 最大．答：（1）S矩形 ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ）， S △CDP =1600（cosθ﹣cosθsinθ），sinθ∈[ ，1）；θ=时总产值 y 最大．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是中档题．18．（16.00 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（ ），焦点F 1（﹣，0），F 2（，0），圆 O 的直径为 F 1F 2．（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P ．①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；②直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点．若△OAB 的面积为，求直线 l 的方程．（ m【分析】（1）由题意可得． ，又 a 2﹣b 2=c 2=3，解得 a=2，b=1即可．（2）①可设直线 l 的方程为 y=kx +m ，k ＜0， ＞0）．可得 ．由，可得（ 4k 2+1）x 2+8kmx +4m 2﹣4=0，△=（8km ）2﹣4（4k 2+1）（4m 2﹣4）=0，解得 k=﹣，m=3．即可②设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆方程得（4k 2+1）x 2+8kmx +4m 2﹣ 4=0，O 到直线 l 的距离 d=，|AB |=|x 2﹣x 1|=，△ OAB的面 积为S=解得 k=﹣，（正值舍去），m=3=．即可= ，【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为 ，∵焦点 F 1（﹣∵∴，0），F 2（ ，0），∴ ，又 a 2﹣b 2=c 2=3，．解得 a=2，b=1．∴椭圆 C 的方程为：，圆 O 的方程为：x 2+y 2=3．（2）①可知直线 l 与圆 O 相切，也与椭圆 C ，且切点在第一象限，∴可设直线 l 的方程为 y=kx +m ，（k ＜0，m ＞0）．由圆心（0，0）到直线 l 的距离等于圆半径，可得 ．由，可得（4k 2+1）x 2+8kmx +4m 2﹣4=0，△=（8km ）2﹣4（4k 2+1）（4m 2﹣4）=0，可得 m 2=4k 2+1，∴3k 2+3=4k 2+1，结合 k ＜0，m ＞0，解得 k=﹣ ，m=3．将 k=﹣ ，m=3 代入 可得 ，解得 x=，y=1，故点 P 的坐标为（．②设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由k ＜﹣．联立直线与椭圆方程得（4k 2+1）x 2+8kmx +4m 2﹣4=0，|x 2﹣x 1|== ，O 到直线 l 的距离 d=，|AB |=|x 2﹣x 1|=，△ OAB 的面 积为S=== ，解得 k=﹣∴y=﹣，（正值舍去），m=3为所求．．【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．19．（16.00 分）记 f′（x ），g′（x ）分别为函数 f （x ），g （x ）的导函数．若存在（ x 0∈R ，满足 f （x 0）=g （x 0）且 f′（x 0）=g′（x 0），则称 x 0 为函数 f （x ）与 g （x ） 的一个“S 点”．（1）证明：函数 f （x ）=x 与 g （x ）=x 2+2x ﹣2 不存在“S 点”；（2）若函数 f （x ）=ax 2﹣1 与 g （x ）=lnx 存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数 f （x ）=﹣x 2+a ，g （x ）=．对任意 a ＞0，判断是否存在 b ＞0，使函数 f （x ）与 g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”，并说明理由．【分析】 1）根据“S 点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；（2）根据“S 点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．【解答】解：（1）证明：f′（x ）=1，g′（x ）=2x +2，则由定义得 ，得方程无解，则f （x ）=x 与 g （x ）=x 2+2x ﹣2 不存在“S点”；（2）f′（x ）=2ax ，g′（x ）= ，x ＞0，由 f′（x ）=g′（x ）得 =2ax ，得 x= ，f （）=﹣ =g （）=﹣ lna2，得 a= ；（3）f′（x ）=﹣2x ，g′（x ）=，（x ≠0），由 f′（x 0）=g′（x 0），假设 b ＞0，得 b=﹣＞0，得 0＜x 0＜1，由 f （x 0）=g （x 0），得﹣x 02+a=令 h （x ）=x 2﹣﹣a==﹣ ，得 a=x 02﹣，（a ＞0，0＜x ＜1），，设 m （x ）=﹣x 3+3x 2+ax ﹣a ，（a ＞0，0＜x ＜1），则 m （0）=﹣a ＜0，m （1）=2＞0，得 m （0）m （1）＜0，又 m （x ）的图象在（0，1）上连续不断，则 m （x ）在（0，1）上有零点，则 h （x ）在（0，1）上有零点，（ 则存在 b ＞0，使 f （x ）与 g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S”点．【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．20．（16.00 分）设{a n }是首项为 a 1，公差为 d 的等差数列，{b n }是首项为 b 1，公 比为 q 的等比数列．（1）设 a 1=0，b 1=1，q=2，若|a n ﹣b n |≤b 1 对 n=1，2，3，4 均成立，求 d 的取值范围；（2）若 a 1=b 1＞0，m ∈N*，q ∈（1，]，证明：存在 d ∈R ，使得|a n ﹣b n |≤b 1 对 n=2，3，…，m +1 均成立，并求 d 的取值范围（用 b 1，m ，q 表示）． 【分析】 1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；（2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．【解答】解：（1）由题意可知|a n ﹣b n |≤1 对任意 n=1，2，3，4 均成立， ∵a 1=0，q=2，∴，解得．即 ≤d ≤ ．证明：（2）∵a n =a 1+（n ﹣1）d ，b n =b 1•q n ﹣1，若存在 d ∈R ，使得|a n ﹣b n |≤b 1 对 n=2，3，…，m +1 均成立， 则|b 1+（n ﹣1）d ﹣b 1•q n ﹣1|≤b 1，（n=2，3，…，m +1），即b 1≤d ≤ ，（n=2，3，…，m +1），∵q ∈（1，]，∴则 1＜q n ﹣1≤q m ≤2，（n=2，3，…，m +1），∴b 1≤0，＞0，因此取 d=0 时，|a n ﹣b n |≤b 1 对 n=2，3，…，m +1 均成立， 下面讨论数列{}的最大值和数列{ }的最小值，1 （①当 2≤n ≤m 时，﹣= =，当 1＜q ≤时，有 q n ≤q m ≤2，从而 n （q n ﹣q n ﹣）﹣q n +2＞0，因此当 2≤n ≤m +1 时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为 ．②设 f （x ）=2x （1﹣x ），当 x ＞0 时，f′x ）=（ln2﹣1﹣xln2）2x ＜0，∴f （x ）单调递减，从而 f （x ）＜f （0）=1，当 2≤n ≤m 时，=≤（1﹣ ）=f （ ）＜1，因此当 2≤n ≤m +1 时，数列{ }单调递递减，故数列{}的最小值为 ，∴d 的取值范围是 d ∈[， ]．【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 .若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修 41 ：几何证明选讲]（本小题满分 10 分）21．（10.00 分）如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C ．若 PC=2，求 BC 的长．（【分析】连接 OC ，由题意，CP 为圆 O 的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到 PO 的长，即可判断△COB 是等边三角形，BC 的长．【解答】解：连接 OC ，因为 PC 为切线且切点为 C ，所以 OC ⊥CP ．因为圆 O 的半径为 2， ，所以 BO=OC=2，，所以，所以∠COP=60°，所以△COB 为等边三角形，所以 BC=BO=2．【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．B.[选修 42 ：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）22．（10.00 分）已知矩阵 A= ．（1）求 A 的逆矩阵 A ﹣1；（2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P′（3，1），求点 P 的坐标．【分析】 1）矩阵 A= 阵 A ﹣1．（2）设 P （x ，y ），通过【解答】解：（1）矩阵 A=，求出 det （A ）=1≠0，A 可逆，然后求解 A 的逆矩• = ，求出 = ，即可得到点 P 的坐标．，det （A ）=2×2﹣1×3=1≠0，所以 A 可逆，从而：A的逆矩阵A﹣1=（2）设P（x，y），则．•=，所以=A﹣1=，因此点P的坐标为（3，﹣1）．【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．C.[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【分析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣圆心C到直线l的距离为d=y=4．，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．D.[选修45：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【分析】根据柯西不等式进行证明即可．【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，∴x2+y2+z2的最小值为4【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．，【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【分析】设AC，A1C1的中点分别为O，O1，以{间直角坐标系O﹣xyz，}为基底，建立空（1）由|cos|=可得异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求得平面AQC1的一个法向量为，设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，可得sinθ=|cos|=，即可得直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，故以{}为基底，建立空间直角坐标系 O ﹣xyz ，∵AB=AA 1=2，A （0，﹣1，0），B （，0，0），C （0，1，0），A 1（0，﹣1，2），B 1（ ，0，2），C 1（0，1，2）．（1）点 P 为 A 1B 1 的中点．∴，∴， ．|cos|== =．∴异面直线 BP 与 AC 1 所成角的余弦值为： ；（2）∵Q 为 BC 的中点．∴Q （）∴，设平面 AQC 1 的一个法向量为 =（x ，y ，z ），由，可取 =（ ，﹣1，1），设直线 CC 1 与平面 AQC 1 所成角的正弦值为 θ，，sinθ=|cos |==，∴直线 CC 1 与平面 AQC 1 所成角的正弦值为．（【点评】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．26．设 n ∈N *，对 1，2，……，n 的一个排列 i 1i 2……i n ，如果当 s ＜t 时，有 i s ＞i t ， 则称（i s ，i t ）是排列 i 1i 2……i n 的一个逆序，排列 i 1i 2……i n 的所有逆序的总个数称为 其逆序数．例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列 231 的逆序数为 2．记 f n （k ）为 1，2，…，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数．（1）求 f 3（2），f 4（2）的值；（2）求 f n （2）（n ≥5）的表达式（用 n 表示）．【分析】 1）由题意直接求得 f 3（2）的值，对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得 f 4（2）的值；（2）对一般的 n （n ≥4）的情形，可知逆序数为 0 的排列只有一个，逆序数为 1的排列只能是将排列 12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n （1） =n ﹣1．为计算 f n +1（2），当 1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将 n +1 添加进原排 列，n +1 在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得 f n +1（2）=f n （2）+f n （1） +f n （0）=f n （2）+n ，则当 n ≥5 时，f n （2）=[f n （2）﹣f n ﹣1（2）]+[f n ﹣1（2）﹣ f n ﹣2（2）]+…+[f 5（2）﹣f 4（2）]+f 4（2），则 f n （2）（n ≥5）的表达式可求． 【解答】解：（1）记 μ（abc ）为排列 abc 得逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f 3（0）=1，f 3（1）=f 3（2）=2，对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f 4（2）=f 3（2）+f 3（1）+f 3（0）=5；（2）对一般的 n （n ≥4）的情形，逆序数为 0 的排列只有一个：12…n ，∴f n （0） =1．逆序数为 1 的排列只能是将排列 12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n （1）=n ﹣1．为计算 f n +1（2），当 1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将 n +1 添加进原排 列，n +1 在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n +1（2）=f n （2）+f n （1）+f n （0）=f n （2）+n ．当 n ≥5 时，f n （2）=[f n （2）﹣f n ﹣1（2）]+[f n ﹣1（2）﹣f n ﹣2（2）]+…+[f 5（2） ﹣f 4（2）]+f 4（2）=（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+4+f 4（2）=．因此，当 n ≥5 时，f n （2）=．【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．。
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2018年江苏省无锡市高考数学一模试卷
一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M= ．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|= ．
3．函数f（x）=的定义域为．
4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是
5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．
6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为．
9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．
10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，
B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．
11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为．
12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）= ．
13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．
14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．
二.解答题：本大题共6小题，共计90分
15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=
（1）求边c的长；
（2）求角B的大小．
16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1
（1）求证：E是AB中点；
（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．
17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC
（如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h 为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．
（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；
（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．
（1）求该椭圆的方程：
（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的
斜率之和为定值．
19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）
（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
20．己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+12=0，设数列。