四川省2013届天府教育大联考16理科数学解析版
2013年高考试题四川卷(理科数学)试题及每个题的详细解答学生版
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（四川卷）第I卷一、选择题1. 设集合A= {x|x+ 2= 0}，集合B={x|x2—4= 0}，贝V AH B 等于（）A . { —2}B . {2}C . { —2,2}D . ?2. 如图，在复平面内，点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点（）A . A B. BC . CD . D3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A B C D4.设x€Z,集合A是奇•数集，集合B是偶数集.若命题p: ? x € A,2x € B，贝U（）A .p ? x€ A,2x€ B B . - p: ? x?A,2x?BC . 一p：? x?A,2x€ BD . - p：? x€ A,2x?Bn n1E视图侧视图俯视阳5.函数f（x）= 2sin（3x+$）（3>0, —的部分图象如图所示，贝U co, $的值分别是（）n nA. 2,—3B. 2,—6nnC . 4，— 6D . 4, 36.抛物线y 2 = 4x 的焦点到双曲线2x 2—豊=1的渐近线的距离是（）A.1 C . 1 D. 32X7.函数y = 3x — 1的图象大致是(3 I&从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a , b ,共可得到lg a — lg b 的 不同值的个数是（ ） A . 9 B . 10 C . 18 D . 20 9•节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且 都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生， 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩 灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2秒的概率是（ ） A.4 B.2 C.4 D.f10.设函数 f(x) = ：J e x + x - a(a € R , 使得f(f(y °)) = y °,贝V a 的取值范围是A . [1 , e]B . [e -1-1,1]C . [1 , e + 1]D . [e — 1, e + 1] e 为自然对数的底数），若曲线y = sin x 上存在点（x °, y °）第二卷 二、填空题 11.二项式（x + y ）3的展开式中，含x 2y ： 3的项的系数是.（用数字作答） 12. 在平行四边形 ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O , AB + AD = A O ，贝V 入= A 、13. ___________________________________________________ 设 sin 2 a=— sin a, a€ 运， n 丿，贝U tan 2 a 的值是 ______________________________ . 14.已知f （x ）是定义域为 R 的偶函数，当x > 0时，f （x ） = x 2— 4x ,那么，不等式f （x + 2）<5的 解集是 ___________ . 15.设P i,P 2,…，P n 为平面a 内的n 个点，在平面a 内的所有点中，若点P 到点P^P ?,…, P n 的距离之和最小，则称点 P 为点P 1, P 2,…，P n 的一个“中位点”.例如，线段 AB 上 的任意点都是端点 A 、B 的中位点.现有下列命题: ①若三个点 A , B , C 共线，C 在线段AB 上，贝U C 是A , B , C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;③若四个点A，B，C，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________ ．（写出所有真命题的序号）三、解答题16. 在等差数列｛a n｝中，a i + a3 = 8,且a4为a?和a?的等比中项，求数列｛a“｝的首项、公差及前n 项和．2A —B17. 在△ ABC 中，角A, B, C 的对边分别为a, b, c,且2cos—2 cos B—sin(A —B)sin B3+ cos(A+ C)=—二5(1) 求cos A的值；⑵若a = 4 2, b= 5,求向量BA在BC方向上的投影.18. 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,…，24这24个整数中等可能随机产生.(1) 分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i= 1,2,3);(2) 甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i = 1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表(部分)运行输出y的值输出y的值输出y的值次数n为1的频数为2的频数为3的频数30146102 100 1 027376697乙的频数统计表(部分)运行输出》的值输出y的值输出了的值次数“为1的频数为2的频数为3的频数3012117« « A■ ■ ■■ • •* * *2 100 1 051696353当n= 2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i = 1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(3) 将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数E的分布列及数学期望.19. 如图，在三棱柱ABCA i B i C i中，侧棱AA i丄底面ABC, AB= AC = 2AA i,/ BAC D, D i 分别是线段BC, B i C i的中点，P是线段AD的中点.(i)在平面ABC内，试作出过点P与平面A i BC平行的直线I，说明理由，并证明直线面ADDi A i；⑵设⑴中的直线I交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA i MN的余弦值. 解i20°I丄平2 2X y20. 已知椭圆C: 2+詁=1(a>b>0)的两个焦点分别为F i(—1,0), F2(1,0)，且椭圆C经过点a b(1)求椭圆C的离心率；2 1⑵设过点A(0,2)的直线I与椭圆C交于M , N两点，点Q是线段MN上的点，且|AQ|2 = |^祈1+ 兩2，求点Q的轨迹方程.X2+ 2x+ a, x<0,其中a是实数，设A(x i, f(x i)), B(x2, f(X2))为该函21. 已知函数f(x) =|ln x, x>0,数图象上的两点，且X i<X2.(1)指出函数f(x)的单调区间；⑵若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2<0，求X2—X i的最小值;⑶若函数f(x)的图象在点A, B处的切线重合，求a的取值范围.。
2013四川高考数学理科答案及解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．2ABxxAxxB＝( )∩|．－41．(2013四川，理1)设集合＝＝{|0}＋2＝0}，集合，则＝{A．{－2} B．{2}?．．{－2,2} DC zAz的共轭复数表示复数如图，在复平面内，点，则图中表示2．(2013四川，理2) )．的点是(B A B．A．DC D．C． )．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( 3．(2013四川，理3)?xpA,xAxB2：是奇数集，集合∈4．(2013四川，理4)设，集合∈Z是偶数集．若命题B．( ∈)，则???????B p：A．A,2xp：xx∈A,2x．B B??????B ∈p：p：xA,2xA,2x∈B D．C．x ππ???????0,?xxf的部分图象如图所示，．5(2013四川，理5)函数φ()＝2sin(ω)＋??22??．( )则ω，φ的值分别是π?3 A．2，π?6B．2，π?6，．4Cπ34，D．2y22xyx )抛物线．＝4( 的焦点到双曲线＝－1的渐近线的距离是6)(20136．四川，理331 322．1 D． C． B．A．3xy?的图象大致是( )． 7．(2013四川，理7)函数x3?1ab，共，从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为8．(2013四川，理8)ab 的不同值的个数是( )．可得到lg －lgA．9 B．10 C．18 D．209．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．11378424． D C．A．． B x?x e?a ayfx，若曲线设函数)(，)e＝(为自然对数的底数∈R四川，理10．(201310)xxyffyya的取值范围是( )())，＝)使得．(，则(＝sin 上存在点0000A．[1，e] B．[e－1－1,1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．523xyxy的项的系数是__________的展开式中，含．((2013四川，理11)二项式(用＋)11．数字作答)AOABAD，12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD＋λ＝交于点O，则λ＝__________.π??,π，则tan 2α的值是__________．sin 四川，理13)设2α＝－sin α，α∈ 13．(2013??2??2fxxfxxx，那么，(－)(＝)是定义域为R的偶函数，当4≥0时，(201314．四川，理14)已知fx＋2)＜5(的解集是__________．不等式PPPn个点，在平面α内的所有点中，为平面α15．(2013四川，理15)设内的，，…，n21PPPPPPPP 的一个“中到点，为点，…，，…，的距离之和最小，则称点若点，nn2211ABAB的中位点，现有下列命题：上的任意点都是端点位点”，例如，线段，ABCCABCABC的中位点；上，则①若三个点，是，共线，，在线段，②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；ABCD共线，则它们的中位点存在且唯一；，，，③若四个点④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．aaaaaa和为{}中，＋＝8，且在等差数列分本小题满分四川，理．16(201316)(12)n92134an项和．的等比中项，求数列{的首项、公差及前}nABCABCabc，，，，，的对边分别为17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△中，角A?B32?cos CAABBB， cos(＋cos )－sin(＋－且2＝)sin 25A的值；求cos (1)a?42BCBA b方向上的投影．(2)在若＝5，求向量，x某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量)分18)(本小题满分1218．(2013四川，理在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．yiPi＝1,2,3)的值为；的概率 ((1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出i n次后，统计记录了甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行(2)yii＝1,2,3)的值为的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．(输出甲的频数统计表(部分)yyy的值的值输出的值输出输出运行n 为3的频数为2的频数次数1为的频数10 14630 (697)3761 0272 100．乙的频数统计表(部分)yyy的值的值的值输出输出运行输出n 为3的频数为2的频数次数1为的频数7 301112 (353)1 0516962 100nyii＝乙所编程序各自输出(的值为1,2,3)分别写出甲、当2 ＝100时，根据表中的数据，的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；y的值为2的次数求输出ξ的分布列及数学期次，将按程序框图正确编写的程序运行(3)3望．ABCABCAA⊥底面12分)如图，在三棱柱中，侧棱－19．(2013四川，理19)(本小题满分1111ABCABACAABACDDBCBCPAD的，∠＝120°，是线段，的中点，分别是线段，，＝2＝1111中点．ABCPABCll⊥平内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线 (1)在平面1ADDA；面11lABMACNAAMN的余弦值．中的直线设(2)(1)交于点，交于点，求二面角－－122yx??1aCb＞：0)＞的两个(本小题满分20．(2013四川，理20)(13分)已知椭圆22ab41??,PFFC.(1,0)，且椭圆经过点焦点分别为1,0)(－，??2133??C的离心率； (1)求椭圆AlCMNQMN上的点，且，是线段(2)设过点的直线(0,2)两点，点与椭圆交于211??Q的轨迹方程．，求点222|AN||AM||AQ|2??2x?a,xx?0,fxa是实其中)14分)已知函数＝(理21．(2013四川，21)(本小题满分?ln x,x?0,?AxfxBxfxxx. ＜())，))(为该函数图象上的两点，且，数．设(，(212121fx)的单调区间；( (1)指出函数fxABxxx的最小值；，求 ()的图象在点，－处的切线互相垂直，且＜0(2)若函数122fxABa的取值范围．处的切线重合，求，的图象在点)(若函数(3)．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．答案：AAB＝{－2,2}－2}，，解析：由题意可得，＝{AB＝{－2}∩．故选A．∴2．答案：Bz表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称．解析：复数3．答案：D解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．4．答案：D5．答案：A3T5ππ3π??????，解析：由图象可得，??43412??π2π55π?????1,2??sin Txfxωφ)中得，＝＝2，再将点，∴＝π代入，(2sin(2)＝则＋????π612????ππ5kk，∈Z令＋φ＝2π＋，26πkk∈Z解得，φ＝2π－，，3ππ??,?k又∵0，则取，φ∈＝??22??π?∴φ＝．.故选A36．答案：B?3x??3y x，即(1,0)，双曲线的渐近线方程为解析：由题意可得，抛物线的焦点为y＝0－，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离|?3?0|3?d?. 227．答案：Cx＝－1，(0，＋∞)，故排除A；取解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪?13x3xxy 的值且都为正，故1远远大于；当→＋∞时，＝3－，故再排除＝＞0B121?33x→0且大于0，故排除D，选C．x3?18．C答案：ab)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，解析：记基本事件为((1,9)，，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，a lg ba，其中基本＝20个基本事件，而lg lg －(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有ba lg的值相等，则不同值的个数为20－2和(3,1)，(9,3)使＝18(个)，事件(1,3)，(3,9)b故选C．9．答案：Cxyxy≤4；而所设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为，则由题意可得，0≤，≤4,0≤解析：xyxy|≤2}，{()||，－求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝S16?43阴影??P?. 由图示得，该事件概率S164正方形10．答案：Ayx∈[－sin 1,1]，解析：由题意可得，＝00x?x?e a yfx∈[0,1]，＝而由可知( )0x?x e xfa为增函数，) 时，(当＝＝0e?1yfy]．)∈[1∴时，∈[0,1] (，00e?1yff＞1.(∴))≥(0yffyy成立，故B，D))∴不存在∈[0,1]使＝(错；( 000x?x?e?1e yyfaxfx)(时)＝才有意义，而(1时，∈[0,1]时，只有＝1，当当＋＝e00f(1)＝0，fff(0)，显然无意义，故C错．故选(1))＝A．∴(第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．答案：1032CC32yx10.由二项式展开系数可得，解析：＝＝的系数为5512．答案：2ACAOABAD ABCD 2＝如图所示，在平行四边形解析：中，＋＝，∴λ＝2.3 13．答案：解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.π1??,π?.＝cos α又∵α∈，∴??22??32???cos1. ＝∴sin α231??2. ＝＝－1α＝2cosα，∴sin 2αcos 222?sin23.＝＝∴tan 2α?cos214．答案：(－7,3)2xxxx＜，解得，0≤45.解析：当＜≥0时，令5－fxfxxx＜，即－72＜＜5等价于－5又因为＜(5)为定义域为R的偶函数，则不等式(＋＋2)＜3；故解集为(－7,3)．15．答案：①④CABABC也不上，则线段解析：由“中位点”可知，若上任一点都为“中位点”，在线段例外，故①正确；ABCACBPAB中点，设腰长为为斜边2＝90°，如图所示，点Rt对于②假设在等腰△，中，∠33232CACBCPAPBPCAB，|＝而若4为“中位点”，则|则|＋|＋||||＝＜|||＝＋|，2故②错；BCADABBCCDBABCBDCA|＋4＝|＋|||＝|，则|＝1|||＋对于③，若|，三等分＝，若设||＝|CBCD|，故③错；|| |＋ABCDACBDOABCDO的一的交点为内任取不同于点对于④，在梯形中，对角线，在梯形与MMACMAMCACOAOC|，＝|||点，则在△|中，||＋||＞＋|MBDMBMDBDOBOD|，|||||同理在△中，|＋|＞|＝|＋则得，MAMBMCMDOAOBOCOD|， |＋|＋|||||＋|＋||＋|＋|||＞|O为梯形内唯一中位点是正确的．故三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．dnS.解：设该数列公差为项和为，前16．n2adadadad)． )＝(＋由已知，可得2＋＋28＝8，()(＋31111adddaadada}{的首项为＝，或3＝1－3＝)0，解得，＝4所以，，＋，即数列＝4，＝(0n11114，公差为0，或首项为1，公差为3.2?n3n nSnS＝4所以，数列的前.项和或＝nn217．A?B32cos?BCABABBA2(1)由－＋cos(解：＋))＝＋cos ，得－sin(－[cos()sin 1]cos 523?BBBBA )sin －cos －sin(，－＝53?BBABBA.)sin )cos －－sin(即cos(＝－533??ABAB.＝＋，即)则cos(＝－cos 5543?AAA＝sin ，＜＜(2)由cos π＝，得，055ba?由正弦定理，有，B sin A sin2sin Ab?B. ＝所以，sin 2aπ?B BabA.由题知，故＞＞，则43??2?2)(422cccc－2×5舍去×)，解得．＝1或＝－根据余弦定理，有7(＝5＋??5??2BCBABA B.|cos 方向上的投影为|故向量＝在218．x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24解：(1)变量种可能．1Pxy ；＝1，故从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出 当的值为121Pyx ；的值为2，故＝ 当2,4,8,10,14,16,20,22从这8个数中产生时，输出231Pxy . 从6,12,18,24的值为3当，故＝这4个数中产生时，输出3611yyy 的值为3的概率的概率为所以，输出的值为12的概率为，输出，输出的值为 231. 为 6nyii ＝1,2,3)的值为的频率如下：( (2)当2 100＝时，甲、乙所编程序各自输出yyy 的值输出 输出输出的值 的值 的频率3为的频率2为的频率1为1027376697甲2100210021003531051696 乙210021002100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.03218????0?C ??P ＝，ξ＝0)(???? 32733????12412????1???C P ，＝1)＝(ξ????3933????21122????2???C P2)＝，ξ(＝???? 3933????30211????3??C ?P ，(ξ＝3)＝???? 32733???? ξ的分布列为故320ξ18421 P 2727991284E 1.＋3×＋2×所以，＝ξ＝0×＋1×2799271.即ξ的数学期望为 19．BCABCPl 内，过点∥如图，在平面作直线，(1)解：．BCBClAAlBCBCA 内，因为在平面在平面由直线与平面平行的判定定理可知，外，∥平面111BCDABAC 由已知，是＝的中点，，．ADBCADl ⊥所以，，则直线⊥ABCAA ⊥平面因为，1lAA . ⊥直线所以1AAADADDAADAA 相交，又因为内，且，与在平面1111AlADD . ⊥平面所以直线11(2)解法一：AFFEFEAMAPAAEAPE . ⊥，过于作⊥，过连接作于，连接111AEAMN ⊥平面，由(1)知，1MNAAEA . 所以平面⊥平面11AEAMMNAEA . ⊥所以，则⊥平面11AFMAAMAEF .，则⊥平面所以⊥11NMAFEAA )．的平面角(故∠为二面角设为－θ－1ADABBACAAABAAACBAD 1. ＝，则由＝设1＝＝2，2＝＝60°，＝120°，有∠，∠11．PAD 的中点，为又1AMMABAP ＝ 所以中点，且，为＝1， 25 2MAAMAAAPAP .＝；在所以，在Rt △Rt △中，中，＝11112AP ?AA 11?AE ? ，从而PA 51AM ?AA 11?AF ?.MA21AE2?. θ＝所以sin AF52122??1sin??1?. ＝所以cos θ????55??15NAAM. －－故二面角的余弦值为15AEAD ACAAAEBA，＝1.如图，过解法二：设，以作，为坐标原点，分别以平行于111111111AA xOAyzOxyz 轴，的方向为重合轴，)轴的正方向，建立空间直角坐标系．(点与点11AA．则(0,0,1)(0,0,0)，1ADP为因为的中点，ACABMN，，分别为所以的中点．????1133,1,,,1?MN故，. ????????2222??????133NM AAMA,1,(，0,0)．所以＝＝＝(0,0,1)，，????1122??zyM n xAA，＝(，设平面，)的一个法向量为11111??0,?AMAM,n?n???1111即则??0,A??A,nAn?A????1111???130,,1?z??,,?x,y?????11122故有????0,?0,0,1?,x,yz?????111?130,z??x?y?111从而?22?0.z??13?yx＝1，则，＝取11 3?n．，0)所以＝(1，1zyx n AMN，(设平面的一个法向量为＝，，)22221．??,AM n?0,M?n?A??1212则即??0,NM?n?,?NM n????22???130,,1?,z??,?x,y?????22222故有????0,??z???3,0,0?x,y,?222?130,z??y?x?22222从而??0.x?3?2n yz．1)＝，则(0,2＝－1，所以取，－＝2222NMAA设二面角，－的平面角为θ－1为锐角，又θn?n21θ＝则cos|n|?|n|21?1,?3,0???0,2,?1?15?.＝52?515NMAA的余弦值为. 故二面角－－1520．解：(1)由椭圆定义知，22221414????????21??2?1???PFPFa |＝，＝||＋2|????????213333????????2?a.所以c1.又由已知，＝2c1e???C的离心率所以椭圆. 2a22x2yC1.的方程为＋＝(2)由(1)知，椭圆2Qxy)．( 设点，的坐标为lxlCQ的坐标为两点，此时点(0，－与椭圆1)交于(1)当直线(0,1)与，轴垂直时，直线??530,2?. ????5??lxlykx＋与2.轴不垂直时，设直线＝(2)当直线的方程为MNlMNxkxxkx＋2)(，，的坐标分别为(，因为＋，在直线2)上，可设点，，2121222222AMkxANkx.(1＋，|)|则|＝|＝(1＋)2122222AQxykx. )(1－2)又|＝|＝＋(＋211??，得由222|AQ||AM||AN|211??，222222x??k1k1???x???x1k?21．2?2?xx?x?x1212121???.①即22222xxxxx22112x2ykxy＝1中，得＋2代入将＋＝222kxkx 0.8②＋(26＋1)＝＋3222kkk. 由Δ＝(8，得)－4×(2＞＋1)×6＞02?8k6xxxx＝由②可知，，＋，＝2121222k?12k?1182x?.③代入①中并化简，得2?310k Qykx＋2上，在直线＝因为点y?222k?xy所以＝2)－3，代入③中并化简，得10(18. －x????3366,0?220,xxk. ∈＜∪＜由③及，即＞，可知0????????2222??????53220,2?yx＝18，－3 满足10(－2)又???? 5????66?,x.∈故????22??QxyC内，在椭圆，由题意， ()y≤1.所以－1≤99??,222yyyx≤1，－2)＝18＋3且－1≤有(－2)又由10(∈??54????513,2?y. 则∈???25??????51663,2,??22yQyxx.∈，3＝18所以，点，其中的轨迹方程为10(∈－2)－???????5222????21．fx)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[(1)函数－(1,0)，(0，＋∞)．解：AfxBfx)，处的切线斜率为(2)由导数的几何意义可知，点处的切线斜率为′(′()，点21ABfxfx)＝－故当点)处的切线与点1. 处的切线垂直时，有′(′(21xfxfxx＋22. ())求导，得＝当′(＜0时，对函数xx＜0，＜因为21xx＋2)2)(2＝－1. 所以，(2＋21xx＋20,2＞所以20. ＋2＜211[??2x?2?]?2x?2?xxxxx＋－(2＝[－(2＋＋2)因此22)，当且仅当－＋2]≥＝11112221231x??x??x时等号成立．1＋2＝，即且＝222122fxABxx的最小值为处的切线互相垂直时，)的图象在点1.，所以，函数－(12xxxxfxfxxx. ＜时，，故′()≠＜′(0)(3)当＜＜0或＞＞021*******xaxxyxxxfxfx2)(＝2处的切线方程为，的图象在点时，＜当0函数()(())－(＋＋)(2＋111111．2axxxxy.＋－2))，即＋＝(2－1111xxxyxyfxxxf，即处的切线方程为(－当＞0时，函数ln ())的图象在点(＝，－())222222x1xx－ln ·＝1. ＋22x两切线重合的充要条件是1??2x?2,①?12x??2ln x?1??x?a.②?12xxx＜0. 知，－1＜0＜＜由①及1121ln22xaxx＋2)由①②得，－＝1＋＝1.－ln(2－1112x?212hxxxx＜0)，1＜－ln(21(＋2)设－(－)＝11111xhx＜20. 则－′(＝)11 x?11hxx＜0)是减函数． ()(－1所以，＜11hxh(0)＝－ln 2－1，则 ()＞1a＞－ln 2－所以1.xhx)无限增大，(且趋近于－－1,0)1时，又当∈(11a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．所以fxABa的取值范围是(－ln 2－故当函数()的图象在点，处的切线重合时，1，＋∞)．。
2013年高考理科数学四川卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，理1)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( )．A ．{－2}B ．{2}C ．{－2,2}D ．∅2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )．A ．AB ．BC ．CD ．D3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )．4．(2013四川，理4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )．A ．⌝p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉B 5．(2013四川，理5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，π3-B ．2，π6-C ．4，π6-D ．4，π36．(2013四川，理6)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－23y ＝1的渐近线的距离是( )．A ．12 B． C ．1 D7．(2013四川，理7)函数331x x y =-的图象大致是( )．8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )．A．9 B．10 C．18 D．209．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．A．14 B．12 C．34 D．7810．(2013四川，理10)设函数f(x)(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y＝sin x上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是( )．A．[1，e] B．[e－1－1,1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013四川，理11)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是__________．(用数字作答) 12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝__________.13．(2013四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________．14．(2013四川，理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是__________．15．(2013四川，理15)设P1，P2，…，P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，P n的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{a n}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项、公差及前n项和．17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 2A B-cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，(1)求cos A 的值；(2)若a =b ＝5，求向量BA 在BC 方向上的投影．18．(2013四川，理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当n＝2 100的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．19．(2013四川，理19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC ＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．20．(2013四川，理20)(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P 41,33⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．21．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝22,0,ln,0,x x a xx x⎧++<⎨>⎩其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．答案：A解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}．故选A．2．答案：B解析：复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称．3．答案：D解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．4．答案：D5．答案：A解析：由图象可得，35ππ3π41234T⎛⎫=--=⎪⎝⎭，∴T＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点5π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，5πsin16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，令5π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得，φ＝2kπ－π3，k∈Z，又∵φ∈ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则取k＝0，∴φ＝π3-.故选A．6．答案：B解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y=，即－y＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d==.7．答案：C解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；取x＝－1，y＝1113--＝32＞0，故再排除B；当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故331xx-→0且大于0，故排除D，选C．8．答案：C解析：记基本事件为(a，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lg a －lg b ＝lga b ，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg ab的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，故选C ．9． 答案：C解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则由题意可得，0≤x ≤4,0≤y ≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x ，y )||x －y |≤2}，由图示得，该事件概率1643164S P S -===阴影正方形.10． 答案：A解析：由题意可得，y 0＝sin x 0∈[－1,1]，而由f (x )可知y 0∈[0,1]，当a ＝0时，f (x )∴y 0∈[0,1]时，f (y 0)∈[1．∴f (f (y 0 1.∴不存在y 0∈[0,1]使f (f (y 0))＝y 0成立，故B ，D 错；当a ＝e ＋1时，f (x )y 0∈[0,1]时，只有y 0＝1时f (x )才有意义，而f (1)＝0， ∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故C 错．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．答案：10解析：由二项式展开系数可得，x 2y 3的系数为35C ＝25C ＝10.12．答案：2解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＋AD ＝AC ＝2AO ，∴λ＝2.13．解析：∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α.又∵α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝12-.∴sin α2=.∴sin 2α＝2-，cos 2α＝2cos 2α－1＝12-.∴tan 2α＝sin2cos2αα14．答案：(－7,3)解析：当x ≥0时，令x 2－4x ＜5，解得，0≤x ＜5.又因为f (x )为定义域为R 的偶函数，则不等式f (x ＋2)＜5等价于－5＜x ＋2＜5，即－7＜x ＜3；故解集为(－7,3)． 15．答案：①④解析：由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外，故①正确；对于②假设在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如图所示，点P 为斜边AB 中点，设腰长为2，则|PA |＋|PB |＋|PC |＝32|AB |＝C 为“中位点”，则|CB |＋|CA |＝4＜ 对于③，若B ，C 三等分AD ，若设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故③错；对于④，在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 的交点为O ，在梯形ABCD 内任取不同于点O 的一点M ，则在△MAC 中，|MA |＋|MC |＞|AC |＝|OA |＋|OC |，同理在△MBD 中，|MB |＋|MD |＞|BD |＝|OB |＋|OD |， 则得，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |＞|OA |＋|OB |＋|OC |＋|OD |， 故O 为梯形内唯一中位点是正确的．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：设该数列公差为d ，前n 项和为S n .由已知，可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )．所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝232n n-.17．解：(1)由22cos 2A B -cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝35-，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝35-.则cos(A －B ＋B )＝35-，即cos A ＝35-.(2)由cos A ＝35-，0＜A ＜π，得sin A ＝45，由正弦定理，有sin a bA =，所以，sin B ＝sin 2b A a =由题知a ＞b ，则A ＞B ，故π4B =.根据余弦定理，有2＝52＋c 2－2×5c ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B .18．解：(1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12； 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13； 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16. 所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 100(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝0303128C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝1)＝1213124C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝2)＝2123122C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝3)＝3033121C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故ξ的分布列为所以，E ξ＝0×827＋1×49＋2×9＋3×27＝1.即ξ的数学期望为1.19．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC ． 由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD ． 因为AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)解法一：连接A 1P ，过A 作AE ⊥A 1P 于E ，过E 作EF ⊥A 1M 于F ，连接AF . 由(1)知，MN ⊥平面AEA 1， 所以平面AEA 1⊥平面A 1MN .所以AE ⊥平面A 1MN ，则A 1M ⊥AE . 所以A 1M ⊥平面AEF ，则A 1M ⊥AF .故∠AFE 为二面角A －A 1M －N 的平面角(设为θ)．设AA 1＝1，则由AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，有∠BAD ＝60°，AB ＝2，AD ＝1. 又P 为AD 的中点，所以M 为AB 中点，且AP＝12，AM ＝1， 所以，在Rt △AA 1P 中，A 1PRt △A 1AM 中，A 1M.从而11AAAP AE A P ⋅==， 11AA AM AF A M ⋅==.所以sin θ＝AE AF =所以cos θ5==.解法二：设A 1A ＝1.如图，过A 1作A 1E 平行于B 1C 1，以A 1为坐标原点，分别以1A E ，11A D ，1A A 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点A 1重合)．则A 1(0,0,0)，A (0,0,1)． 因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点．故M 1,,122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，N 1,122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以1AM＝1,122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，1A A ＝(0,0,1)，NM ＝0,0)． 设平面AA 1M 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则1111,,A M A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即11110,0,A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n故有1111111,,,10,22,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎛⎫()⋅=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪()⋅()=⎩从而111110,20.x y z z ++=⎪=⎩ 取x 1＝1，则y 1＝ 所以n 1＝(1，，0)．设平面A 1MN 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则212,,A M NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即2120,0,A M NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n故有2222221,,,10,2,,0,x y z x y z ⎧⎫()⋅=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪()=⎩从而222210,220.x y z ++=⎪= 取y 2＝2，则z 2＝－1，所以n 2＝(0,2，－1)． 设二面角A －A 1M －N 的平面角为θ， 又θ为锐角， 则cos θ＝1212||||⋅⋅n n n n5=20．解：(1)由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|=所以a =又由已知，c ＝1.所以椭圆C的离心率2c e a ===. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1.设点Q 的坐标为(x ，y )．(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为0,2⎛ ⎝⎭. (2)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 12，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2. 由222211||||||AQ AM AN =+，得22222212211111k x k x k x =+(+)(+)(+)， 即212122222212122211x x x x x x x x x (+)-=+=.① 将y ＝kx ＋2代入22x ＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6＞0，得k 2＞32. 由②可知，x 1＋x 2＝2821k k -+，x 1x 2＝2621k +， 代入①中并化简，得2218103x k =-.③ 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以2y k x-=，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18. 由③及k 2＞32，可知0＜x 2＜32，即x∈2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∪0,2⎛ ⎝⎭.又0,25⎛- ⎝⎭满足10(y －2)2－3x 2＝18， 故x∈,22⎛- ⎝⎭.由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内， 所以－1≤y ≤1.又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈99,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭且－1≤y ≤1， 则y∈1,22⎛⎝⎦. 所以，点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x∈⎛⎝⎭，y∈1,22⎛- ⎝⎦. 21．解：(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)， 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2. 因为x 1＜x 2＜0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1. 所以2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即132x =-且212x =-时等号成立．所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2.当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 12＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y＝(2x 1＋2)x －x 12＋a .当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝21x (x －x 2)，即y ＝21x·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是12221122,ln 1.x xx x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0. 由①②得，a ＝x 12＋11ln22x +－1＝x 12－ln(2x 1＋2)－1.设h (x 1)＝x 12－ln(2x 1＋2)－1(－1＜x 1＜0)， 则h ′(x 1)＝2x 1－111x +＜0. 所以，h (x 1)(－1＜x 1＜0)是减函数． 则h (x 1)＞h (0)＝－ln 2－1， 所以a ＞－ln 2－1.又当x 1∈(－1,0)且趋近于－1时，h (x 1)无限增大， 所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．。
2013年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．22．（5分）（2013•四川）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）3．（5分）（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）B4．（5分）（2013•四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，5．（5分）（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）BT=时取得最大值，得到+．由此即可得到本题的答案．时取得最大值，x==﹣==x=+，可得+=﹣6．（5分）（2013•四川）抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）B±，化成一般式得：，可得=1又∵双曲线的方程为b=±±x．d=7．（5分）（2013•四川）函数的图象大致是（）B8．（5分）（2013•四川）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，，所以从，种排法，，9．（5分）（2013•四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔B=10．（5分）（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究是一个增函数，可得出＞时，此函数是一个增函数，=0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013•四川）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是10（用数字作答）．x的项的系数是=1012．（5分）（2013•四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=2．依题意，+，而=2，从而可得答案．+==2+=2+λ，13．（5分）（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．，，=，，=故答案为：14．（5分）（2013•四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．15．（5分）（2013•四川）设P1，P2，…P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…P n的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是①④（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2013•四川）在等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项，公差及前n项和．=17．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB ﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．，，（Ⅱ）由正弦定理，，所以，B=在方向上的投影：．18．（12分）（2013•四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p i（i=1，2，3）；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．=；===的概率为的概率为，输出的；输出y值为1的频率输出y值为2的频率输出====，，0 2 3=19．（12分）（2013•四川）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．AP=，====，可得=的余弦值等于20．（13分）（2013•四川）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率：（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．的坐标表示出：（．=2e==…的方程为，设点）=…①中，得（＞=，＞＜（﹣，[，（﹣，（21．（14分）（2013•四川）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．时，∵，即时，∵，即．处的切线重合的充要条件是得．∵函数在。
2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(四川卷带解析)答案解析
2013年全国普通高等学校招生统一考试理科（四川卷）数学答案解析1、【答案】A【解析】由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，则A∩B={﹣2}．2、【答案】B【解析】两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，下部相反，对应的点关于x轴对称．所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．3、【答案】D【解析】由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．故选D．4、【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则￢p：?x∈A，2x?B．【答案】A【解析】∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2?+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣6、【答案】B【解析】∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==【答案】A【解析】当x＜0时，x3＜0，3x﹣1＜0，∴，故排除B；对于C，由于函数值不可能为0，故可以排除C；∵y=3x﹣1与y=x3相比，指数函数比幂函数，随着x的增大，增长速度越大，∴x→+∞，→0，∴D不正确，A正确，8、【答案】C【解析】首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，因为，，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是：20﹣2=18．9、【答案】C【解析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=10、【答案】A【解析】曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则y0∈[﹣1，1]考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项当a=0时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f（f（y0））=y0是否成立由于是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而f（1）=＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确当a=e+1时，此函数是一个增函数，=0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确11、【答案】10【解析】设二项式（x+y）5的展开式的通项公式为T r+1，则T r+1=x5﹣r?y r，令r=3，则含x2y3的项的系数是=10．12、【答案】2【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴+=，又O为AC的中点，∴=2，∴+=2，∵+=λ，∴λ=2．13、【答案】【解析】∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．14、【答案】（﹣7，3）【解析】因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．15、【答案】①④【解析】①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，根据两点之间线段最短，则C是A，B，C的中位点，正确；②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一；故错误；④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确．故答案为：①④．16、【答案】S n=【解析】设该数列的公差为d，前n项和为S n，则∵a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，∴2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）解得a1=4，d=0或a1=1，d=3∴前n项和为S n=4n或S n=．17、【答案】（1）（2）=ccosB=【解析】（Ⅰ）由，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．18、【答案】（I）输出的y值为1的概率为，输出的y值为2的概率为，输出的y值为3的概率为（II）乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大（III）1【解析】（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y 值为1，故P1==；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P2==；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P3==；故输出的y值为1的概率为，输出的y值为2的概率为，输出的y值为3的概率为；（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1，2，3）的频率如下：输出y值为1的频率输出y值为2的频率输出y值为3的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，故ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P所以所求的数学期望Eξ==119、【答案】（I）见解析（II）【解析】（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC∵直线l?平面A1BC，BC?平面A1BC，∴直线l∥平面A1BC，∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l∵AA1⊥平面ABC，l?平面ABC，∴AA1⊥l∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线∴直线l⊥平面ADD1A1；（II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF由（I）知MN⊥平面A1AE，结合MN?平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE，∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P，AE⊥A1P，∴AE⊥平面A1MN，∵EF⊥A1M，EF是AF在平面A1MN内的射影，∴AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角设AA1=1，则由AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP=，AM=1Rt△A1AP中，A1P==；Rt△A1AM中，A1M=∴AE==，AF==∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于．20、【答案】（I）（II）点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）【解析】（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．∴c=1，2a=PF1+PF2==2，即a=∴椭圆的离心率e===…4分（II）由（I）知，椭圆C的方程为，设点Q的坐标为（x，y）（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q 的坐标为（0，2﹣）（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则，，又|AQ|2=（1+k2）x2，∴，即=…①将y=kx+2代入中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②由△=（8k）2﹣24（2k2+1）＞0，得k2＞由②知x1+x2=，x1x2=，代入①中化简得x2=…③因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简得10（y﹣2）2﹣3x2=18由③及k2＞可知0＜x＜，即x∈（﹣，0）∪（0，）由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1，又由10（y﹣2）2﹣3x2=18得（y﹣2）2∈[，）且﹣1≤y≤1，则y∈（，2﹣）所以，点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）…13分21、【答案】（I）f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增（II）1（III）（﹣1﹣ln2，+∞）【解析】（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴，∴（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴=1，当且仅当﹣（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立．∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值为1．（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为，即．当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，由①及x1＜0＜x2可得﹣1＜x1＜0，由①②得=．∵函数，y=﹣ln（2x1+2）在区间（﹣1，0）上单调递减，∴a（x1）=在（﹣1，0）上单调递减，且x1→﹣1时，ln（2x1+2）→﹣∞，即﹣ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．x1→0，a（x1）→﹣1﹣ln2．∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2，+∞）．。
2013年四川高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =I （ ） A.{2}- B.{2} C.{2,2}- D.∅ 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】通过解不等式再考查集合间的运算. 【难易程度】容易. 【参考答案】A 【试题解析】{+2=0}{2}.A x x A =∴=-Q ，2{40},{2,2}.B x x B =-=∴=-Q {2}.A B ∴=-I 故选A.2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是 （ ）第2题图【测量目标】复平面.【考查方式】利用共轭复数考查点在复平面上的位置. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】设+i(,)z a b a b =∈R ，且0,0a b <>，则z 的共轭复数为i a b -,其中0,0a b <-<，故选B.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 （ ）第3题图A B C D第3题图【测量目标】平图形的直观图和三视图. 【考查方式】给出三视图判断其直观图. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】由俯视图的圆环可排除A,B,进一步将已知三视图还原为几何体，故选D. 4．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） A.:,2p x A x B ⌝∀∃∈∉ B.:,2p x A x B⌝∀∉∉C.:,2p x A x B ⌝∃∉∈D.:,2p x A x B ⌝∃∈∈ 【测量目标】全称量词与存在量词. 【考查方式】给出全称命题求存在命题. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】命题p 是全称命题：,2x A x B ∀∈∈，则p ⌝是特称命题：,2x A x B ∃∈∈.故选D.5．函数ππ()2sin(),(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是 （ ）第5题图A.π2,3-B.π2,6-C.π4,6-D.π4,3【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其变化. 【考查方式】给出三角函数图象求解析式中的未知参数. 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】35π3π()π41234T =--=Q,πT ∴=2ππω∴=2ω∴=.由图象知当5π12x =时，5π2π+=2π+122k k ϕ⨯∈Z （）,即π2π()3k k ϕ=-∈Z .π3ϕ∴=-.故选A.6．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是 （ ） A.12C.1【测量目标】双曲线和抛物线的基本性质. 【考查方式】给出抛物线和双曲线的方程，求距离. 【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为（1,0），则焦点到渐近线的距离12d ==或22d ==. 7．函数331x x y =-的图象大致是 （ ）A B C D第7题图【考查方式】给出函数解析式判断函数图象. 【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】由3100,xx -≠≠∴得函数331x x y =-的定义域{0},x x ≠可排除A ，当2x =时，y =1，当x=4时，6480y =，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0,)+∞上是单调增函数，两者矛盾，故选C.8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是 （ ） A.9 B.10 C.18 D.20 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】通过数字组合的对数差不同来考查排列组合. 【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】从1，3,5，7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数25A 20,=但lg1lg3lg3lg9,lg3lg1lg9lg3-=--=-，所以不同值的个数为20-2=18，故选C.9．节日里某家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ） A.14 B.12 C.34 D.78【测量目标】几何概型.【考查方式】给出实际案例求现实生活中的几何概型. 【难易程度】较难. 【参考答案】A【试题解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为,x y ,则04,04x y 剟剟，而事件发生的概率为2x y -…，可行域如图阴影部分所示，有几何概型得22142(22)3244P -⨯⨯⨯==. 第9题图10．设函数()f x =a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是 （ ） A.[1,e] B.1[e 1]--1，C.[1,e 1]+D.1[e 1,e 1]--+【考查方式】给出函数解析式以及等式方程判断参数范围. 【难易程度】较难. 【参考答案】A 【试题解析】由已知点00(,)x y 在曲线000sin sin ,[0,1],y x y x y ==∈上，得即存在000[0,1](())y f f y y ∈=，使成立，则点0000(,()),((),)A y f y A f y y '都在的图象上，又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，所以0000()()0,[()][()]0,A A A A x x y y f y y y f y ''--∴--厖200[()]0f y y ∴-„∴00()f y y =，所以()f x x =在[0,1]上有解，2e ,[0,1]x a x x x ∴=+-∈，令2()e ,[0,1],()x x x x x x ϕϕ=+-∈在[0,1]上单调递增，又(0)1,(1)e,()[1,e],x ϕϕϕ==∴∈即[1,e]a ∈.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是_________．（用数字作答） 【测量目标】二项式展开式.【考查方式】求二项式展开式中的某一项. 【难易程度】简单. 【参考答案】10【试题解析】3232345C 10,T x y x y ==故填10.12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r，则λ=_________．【测量目标】平面向量的四则运算.【考查方式】给出平面向量的等式求未知参数. 【难易程度】简单. 【参考答案】2【试题解析】由向量加法的平行四边形法则，得.AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r又O 是AC 的中点，2,2,, 2.AC AO AC AO AB AD AO λλ∴=∴=∴+=∴=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r13．设sin 2sin αα=-，π(,π)2α∈，则tan 2α的值是_________． 【测量目标】二倍角公式.【考查方式】给出关系式求特殊角的正切值. 【难易程度】中等. 3【试题解析】由题意得1cos 2α=-而π(,π)2α∈，24ππ,tan2=tan π=tan 3333αα∴=∴=14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x …0时，2()4f x x x =-，那么，不等式(2)5f x +<的解集是________ ．【测量目标】解不等式.【考查方式】给出函数的部分区间的解析式，求函数在整个区间的不等式的解集. 【难易程度】较难. 【参考答案】73x -<<【试题解析】220,0.0()4()4x x x f x x x f x x x <->=-∴-=-Q 设则当时，…故()f x 为在定义域上的偶函数224,0(),+4,0x x x f x x x x ⎧-∴=⎨<⎩…由()555f x x x ===-得或，所以()555,(2)5,73f x x f x x <-<<+<-<<得由得,所以不等式的解集为73x -<<.15．设12,,,n P P P L 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P L 点的距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P L 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：①若,,A B C 三个点共线，C 在线AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号） 【测量目标】考查新定义.【考查方式】给出新定义的含义，根据新定义解题. 【难易程度】较难. 【参考答案】①④【试题解析】+CA CB AB =当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，所以点C 是中位点，故①为真命题. ②③为假命题，若P 为点A ，C ,则点P 在线段AC 上，若点P 是B ,D 的中位点，则点P 在线段BD 上，所以若点P 是A,B,C,D 的中位点，则p 是AC ，BD 的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故④是真命题.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中，318a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和． 【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出等差数列的项与项之间的关系，求通项和前n 项和. 【难易程度】中等.【试题解析】设该数列公差为d ,前n 项和为n S .由已知,可得()()()21111228,38a d a d a d a d +=+=++.所以()114,30a d d d a +=-=,（步骤1）解得14,0a d ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n 项和4n S n =或232n n n S -=（步骤2）.17．(本小题满分12分) 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若42a =，5b =，求向量BA u u u r 在BC uuur 方向上的投影． 【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】给出三角形中角的关系通过投影考查余弦定理. 【难易程度】中等.【试题解析】()I 由()()232coscos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-. (步骤1)()II 由3cos ,0π5A A =-<<,得4sin 5A =, 由正弦定理,有sin sin a bA B=,所以,sin 2sin 2b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故π4B =.根据余弦定理,有()2223425255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去). （步骤2）故向量BA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为2cos 2BA B =u u u r . （步骤3）18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i 1,2,3)=的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．运行 次数n 输出y 的值 为1的频数输出y 的值 为2的频数 输出y 的值为3的频数… ………运行次数n 输出y 的值 为1的频数输出y 的值 为2的频数 输出y 的值为3的频数…………第18题图【测量目标】选择结构的程序框图.【考查方式】通过实际案列来考查对框图的识别。
da2013年高考数学试卷答案 四川理
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）1.A2.B3. D4. D5. A6. B7.C8. C9. C 10.A 11.10 12.214. {}73x x -<< 15.①④16.解：由题意可知，1329428,,a a a a a ⎧⎪⎨=+=⎪⎩ 即1214,30,a d a d d +=⎧⎨-=⎩解得1=4,0,a d ⎧⎨=⎩或1=1,3,a d ⎧⎨=⎩ （1）当1=4,0a d=时，4n S n =；（2）当11,3a d ==时，232n n nS -=．17.解：（1）由题意可知2()cos sin()sin cos()22cosA B B A B B A C ---++ [1cos()]cos sin()sin()cos A B B A B A C B=+---+- 3cos()cos sin()sin cos(+)cos 5A B B A B B A B B A =---=-==-，所以3cos 5A =-；（2）由正弦定理，得sin sin b A B a ==，则cos B =，又由余弦定理有2cos 2B ==，解得 1c =或7c =-（舍去），故向量BA 在BC 方向上的投影cos 2cos BA BC BBA BC c B BCBC====．18.解：（1）当1i =时，即输出的数为奇数，奇数有12个，则112P =； 当3i =时，即输出的数为能整除3的偶数，有4个，则316P =； 当2i =时，即输出的数为剩下的8个，则213P =， 所以112P =，213P =，316P =; （2）甲：1231027376697===210021002100P P P ，，；乙：1231051696353===210021002100P P P ，，，根据频率的趋势与概率可知，乙编写的程序更符合算法要求. （3）设输出y 的值为2为事件A ，且1()3P A =，则该实验为独立重复事件，次数ξ的分布列为303128(0)3327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1213124(1)339P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2123122(2)339P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 333121(3)3327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 8421()01231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.解：（1）由题意可知，直线l //BC ，又AB AC =，D 是BC 的中点，则BC AD ⊥， 又在三棱柱11ABC A B C -中，1BC DD ⊥，且111,A DD ADD D A ⊂，则11AD B D C A ⊥， 所以直线l ⊥平面11ADD A（2）连接1A P ，过A 作1AE A P ⊥于E ，过E 作1EF A M ⊥于F ，连接AF .由（1）知，MN ⊥平面1AEA ，所以平面1AEA ⊥平面1A MN ，所以AE ⊥平面1A MN ，则1A M AE ⊥.所以1A M ⊥平面AEF ，则1A M AF ⊥.故AFE ∠为二面角1A A M N -- 的平面角（设为θ）.设11AA =，则由12AB AC AA ==，120BAC∠=，有60BAD ∠=，2AB =，1AD =，又P 为AD 的中点，所以M 为AB 中点， 且12AP =，1AM =，所以，在1Rt AA P ∆,1A P =在在1Rt A MP ∆,1A M =从而1111AA AP AA AM AE AF A P A M ⋅⋅====所以sin AE AF θθ====20.解：（1）椭圆过焦点1F ，故1c =，221a b ∴=+。
2016年高考理科数学真题及答案解析(四川卷 )-推荐下载
i 0 v 9 2 0 18 i 1 跳出循环，输出 v 18
选B
7. 设p：实数x，y满足 (x 1)2 ( y 1)2 2 ，q：实数x，y满足 y 1,
）
A．必要不充分条件
C．充要条件
【答案】A
【解析】如图， x 12 y 12 ≤ 2 ① 表示圆心为 1,1，
则由于 l1,l2 分别是点 P1, P2 处的切线，而
1
得： l1 的斜率 k1 为 x1 ， l2 的斜率 k2 为 x2 ；
又 l1 与 l2
垂直，且 0
x1
x2 ，可得： k1 k1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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【四川省2013届高中毕业班天府教育大联考16高考热身测试卷】数学（理工农医类）答案及评分参考一、选择题：本题考查基本概念和基本运算；每小题5分，满分50分。
（1）B （2）A （3）C (4) A (5) D(6) B (7) A (8) C (9) D (10) D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算；每小题5分，满分25分。
（11）21（12）2 （13）30;5==S n （14）0 （15）① 三、解答题：本题对基础知识、基本运算、逻辑思维转换的综合考查。
16. （本题满分12分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足32sin 0a b A -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5a c +=，且a c >，7b =，求AB AC的值．解：(I ）因为32sin 0a b A -=，所以3sin 2sin sin 0A B A -=， ……………………………………………… 2分因为sin 0A ≠，所以23sin =B . …………………………………………………3分 又B 为锐角， 则3B π=. …………………………………………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3B π=．因为7b =，根据余弦定理，得 2272cos3a c ac π=+-，………………………………………7分整理，得2()37a c ac +-=．由已知 5a c +=，则6ac =．又a c >，可得 3a =，2c =． ……………………………………… 9分于是2227497cos 21447b c a A bc +-+-===， ………………………… 11分 所以7cos cos 27114AB AC AB AC A cb A ===⨯⨯= ． …………… 12分17.（本题满分12分）为了参加2013年四川省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：班级 高三（7）班高三（17）班高二（31）班高二（32）班人数4 2 3 3（I ）从这12名队员中随机选出两名，求两人来自同一班级的概率；（II ）该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三（7）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ． 解：（I ）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件A ，则2222423321213()66C C C C P A C +++== ··························································································· 6' （II ）ξ的所有可能取值为0,1,2 ································································································· 7'则02112048484822212121214163(0),(1),(2)333333C C C C C C P P P C C C ξξξ========= ∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P1433 1633 333………………………………………………………………………………………………10' ∴1416320123333333E ξ=⨯+⨯+⨯= ……………………………………………………12分。
18.（本题满分12分） 已知函数f (x )＝x 2－ax ＋2x(x ＞0)，(I)指出f (x )的单调区间，并求出f ′(x )＞0的解集;(II)若x ＞0时，不等式f (x )≥12x 恒成立，求实数a 的取值范围．[分析] (1)函数的单调性、单调区间的确定一般用导数或单调性定义；(2)用均值不等式求解．[解析] (I)解法一：∵f (x )＝x ＋2x－a (x ＞0)∴f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x2(x ＞0)．令f ′(x )＞0则x 2－2＞0(x ＞0)∴x ∈(2，＋∞)．令f ′(x )＜0则x 2－2＜0(x ＞0)∴x ∈(0，2)． ∴f (x )的增区间为(2，＋∞)，减区间为(0，2)．故f ′(x )＞0的解集为(2，＋∞)…………………………5分解法二：f (x )＝x 2－ax ＋2x ＝x ＋2x－a (x ＞0)，f (x )在(0，2]上为减函数，在[2，＋∞) 上为增函数．设0＜x 1＜x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋2x 1－a )－(x 2＋2x 2－a )＝(x 1－x 2)＋(2x 1－2x 2)＝x 1－x 2x 1x 2－2x 1x 2.因为0＜x 1＜x 2≤2，所以x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜2， 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，f (x 1)＞f (x 2)． 故f (x )在(0，2]上为减函数，得证． 同理可证，f (x )在[2，＋∞)上为增函数．(II)由f (x )≥12x ，有x ＋2x －a ≥12x ，12x ＋2x －a ≥0，…………7分因为x ＞0，所以12x ＋2x≥212x ·2x＝2(当且仅当x ＝2时取等号)．………9分 要使不等式f (x )≥12x 对x ＞0恒成立，……………………………………11分只需2－a ≥0，所以a ≤2即为所求．……………………………………12分19.（本题满分12分） 如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=，E 是AB 的中点， MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM 中，2AD =，377AM =． （Ⅰ）求证：AC ⊥BN ； （Ⅱ）求证：AN // 平面MEC ； （Ⅲ）求二面角M EC D --的大小.ABCDENM解：（Ⅰ）连结BD ，则AC BD ⊥. 由已知DN ⊥平面ABCD ， 因为DN DB D = ，所以AC ⊥平面NDB .……………………2分 又因为BN ⊂平面NDB ，所以AC BN ⊥.……………………4分 （Ⅱ）CM 与BN 交于F ，连结EF . 由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点. 因为E 是AB 的中点，所以//AN EF .…………………………6分 又EF ⊂平面MEC ，AN ⊄平面MEC ，所以//AN 平面MEC . ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥. 如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(3,0,0)E , (0,2,0)C ，37(3,1,)7M -. (3, 2.0)CE =- ，37(0,1,)7EM =- .…………………………………………9分 设平面MEC 的法向量为(,,)x y z =n .则0,0.CE EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 所以320,370.7x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令2x =.所以21(2,3,)3=n .……………………………………………………………11分 又平面ADE 的法向量(0,0,1)=m ， 所以1cos ,2⋅<>==m n m n m n . 所以二面角M EC D --的大小是60°. ………………………………………12分FAB CDENMyxz20.（本题满分13分） 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左焦点)0,3(-F ，且离心率23=e (Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆C 交于不同的两点N M ,（N M ,不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A. 求证：直线l 过定点,并求出定点的坐标.解：（Ⅰ）由题意可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222233c b a a c e c ……1分解得 1,2==b a ………2分所以椭圆的方程为：1422=+y x ……4分 （II ）证明：由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 14220448)k 41222=-+++m k m x x 得（….4分0)44)(41(4)8(222>-+-=∆m k km整理得01422>+-m k ………..5分 设),(),,(2221y x N x x M则22212214144,418km x x k km x x +-=+-=+ …….6分 由已知，AN AM ⊥且椭圆的右顶点为)0,2(A ………7分0)2)(2(2121=+--∴y y x x ……… 8分2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=即04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k也即04418)2(4144))1(22222=+++-∙-++-∙+m kkm km k m k …… 10分 整理得：01216522=++k mk m ……11分 解得562k m k m -=-=或均满足01422>+-m k ……12分 当k m 2-=时，直线的l 方程为k kx y 2-=，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……当56k m -=时，直线的l 方程为)56(-=x k y ,过定点)0,56( 故直线l 过定点，且定点的坐标为)0,56( ……….13分21.（本题满分14分）已知函数f （x ）=（x 2-3x+3）e x，x ∈[-2，t]（t ＞-2） （I ）当t ＜l 时，求函数f （x ）的单调区间；（II ）比较f （-2）与f （t ）的大小，并加以证明；（III ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间，设g （x ）=f （x ）+（x-2）e x，试问函数g （x ）在（1，+∞）上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）∵f （x ）=（x 2﹣3x+3）e x ，x ∈[﹣2，t]（t ＞﹣2）， ∴f′（x ）=（2x ﹣3）e x +e x （x 2﹣3x+3）=e x x （x ﹣1）．①当﹣2＜t≤0时，x ∈（﹣2，t ），f′（x ）＞0，f （x ）单调递增． ②当0＜t ＜1时，x ∈（﹣2，0），f′（x ）＞0，f （x ）单调递增． x ∈（0，t ），f′（x ）＜0，f （x ）单调递减．综上所述，当﹣2＜t≤0时，y=f （x ）单调递增区间为（﹣2，t ）； 当0＜t ＜1时，y=f （x ）单调递增区间为（﹣2，0），减区间为（0，t ）．………………………………（4分） （Ⅱ）f （t ）＞f （﹣2）．证明：令m=f （﹣2），n=f （t ），则m=13e ﹣2，n=（t 2﹣3t+3）e t ， 设h （t ）=n ﹣m=（t 2﹣3t+3）e t ﹣13e ﹣2， ∴h′（t ）=（2t ﹣3）e t +e t （t 2﹣3t+3）=e t t（t﹣1），（t＞﹣2）．h（t），h′（t）随t变化如下表：由上表知h（t）的极小值为h（1）=e﹣=＞0．又h（﹣2）=0，∴当t＞﹣2时，h（t）＞h（﹣2）＞0，即h（t）＞0．因此，n﹣m＞0，即n＞m，所以f（t）＞f（﹣2）．………………………（9分）φ（x），φ′（x）随x的变化如下表：由上表知，φ（x0）＜φ（1）=﹣1＜0，φ（2）=e2﹣2＞0，故y=φ（x）的大致图象如图，因此φ（x）在（1，+∞）只能有一个零点，这与φ（x）=0有两个大于1的不等根矛盾，故不存在区间[a，b]满足题意，即函数g（x）不存在保值区间（14分）—————————————————————————————今天距离2013年高考仅有51天！声明：版权所有，严禁盗版，转载处请申明出处，谢谢！美编：晓晓白龙审核及出版：天府教育集团做题：晓晓白龙、何天心123455山东大学实验中学、山东建筑大学附属中学外研部全体成员预祝预祝四川地区高三考生考试顺利!。