《因式分解法解一元二次方程》学案
因式分解法解一元二次方程 学案,导学案,教案,教学设计,专题训练
(5)x4+2x2-15=0 (6)x2+3=3(x+1)
(7)4m2-3m-7 =0 (8)(x-2)2-3(2-x)=0
四、分组展示
五、穿插巩固，整理学案
六、反馈达标
用因式分解法解一元二次：
(1)(2y-3)2-5(3-2y)=0 (2)-63x2+7y2=0
二、预习课本P38-39页的内容，完成提纲
1.ab=0则a=0或是b=0
如：（x-4）(x+2)=0则x-4=0或x+2=0得x1=4 x2=-2
试一试：(2x-3)(x+5)=0则得二个一元一次方程：或
，得原方程的解：x1=;x2=.
2.用上面的知识解下列方程
(1) X2-9=0 (2)x2-4x+4=0
(3)x2-8x+15=0 (4)3x2-x-4=0
(5) (x+y)2-6(x+y)+9=0
[结：因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各因式等于的一元二次方程。总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程。]
三、预习练习，准备展示
用因式分解法解一元二次方程：
(1)x2- x=0 (2)3x2-6x=-3
九年级数学学案
课型预习+展示第20（2）课时主备人审核人
课题
因式分解法解一元二次方程
学习目标
会用因式分解法解某些特殊的一元二次方程。
学习重难点
对ab=0则a=0或是b=0的理解。
学习过程：
一、知识回顾
将下列各式分解因式：
因式分解法解一元二次方程学案课
课题§4 因式分解法解一元二次方程学习目标1、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法。
2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性。
学习过程一：情境引入问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？解：设：列出方程得：答：二探究：探究一；还有其他的方法解这个方程吗？师生质疑：探究二：你能用因式分解法解下列方程吗？(x+1)2-25=0。
因式分解法的定义：____________________________________________________________ _________________________________________________________.三：应用与训练用因式分解法解下列方程(1)5x2=4x；(2)x-2=x(x-2)（3）x2-4=0；（4）(x-1)2 =(2x+3)2师生质疑对于（3）（4）题这种解法是不是解这两个方程的最好方法?你是否还有其它方法来解?四归纳整理：因式分解法可解什么样的一元二次方程？________________________________________ _________________________________________.因式分解法解一元二次方程的依据是____________________________________________.思想方法：_______________________________________________.五：达标测评：1用因式分解法解下列方程（1）（X+2）（x-4）=0 (2)4x(2x+1)=3(2x+1)(3) x2-2x+1=42一个数的平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数六变式训练：1 解方程：(x-2)（x-3）=122选用合适方法解下列方程（1）（2x+1）2+3（2x+1）=0 （2）（3x-1）2=1；（3）x2-x-5=0 (4) (x-2)2 =(2x+3)2(5) x2-6x+9=4 (6) 2x2+4x=x+23有一根竹竿，不知道有多长。
2 4用因式分解法求解一元二次方程 导学案
谢谢观看
内容介绍
新北师大版九年级上册数学 2.4用因式分解法求解一元二次方程导学案 本节课的内容主要让学生掌握以下： 1．我能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。 2．我会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次步骤的内容，以图片内 容为准。
方法/步骤
左图表示了本步骤的内容，以图片内 容为准。
方法/步骤
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方法/步骤
左图表示了本步骤的内容，以图片内 容为准。
注意事项
仅供教师参考制作导学案 具体内容可根据学情而定
参考资料：三次方程
三次方程的英文名是Cubic equation，指的是一种数学的方程式。 三次方程是未知项总次数最高为3的整式方程。 三次方程的解法思想是通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程，进而求解。其他解法还有 因式分解法、另一种换元法、盛金公式解题法等。
参考资料：解一元三次方程
人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。古代中国、 希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅 能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。在十六世纪的欧洲，随着数 学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称 为“卡尔丹公式”。历史事实并不是这样，数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六 世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳（Niccolo Fontana）。
2.4用因式分解法求解一元二次方程 导学案
名词解释：因式分解
把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这 种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
21.2.3 因式分解法解一元二次方程 学案【含答案】
3．用因式分解法解下列方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0．
4．用因式分解法解下列方程： ．
5．用因式分解法解下列方程： ．
参考答案
试身手，初露锋芒（1）0；（2）积．
练习1、【答案】C整理得x2－x－2＝0，∴(x－2)(x+1)＝0．
练习2、【答案】x1＝1，x2＝－2，x3＝3由x－1＝0或x+2＝0或x－3＝0求解．
测一测，大显身手1．【答案】D2．【答案】B
3．解：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，
(2x+1+2)2＝0．
即 ，
∴ ．
4．解：移项，得(3x－1)(x－1)－(4x+1)(x－1)＝0，
即(x－1)(x+2)＝0，
所以 ， ．
5．解：3x(2x+1)－2(2x+1)=0
(2x+1)(3x－2)=0
知识链接
Hi，在开始挑战之前，先来热下身吧！
常用的因式分解法有哪些？
（一）
让我们一起来阅读教材，并做好色笔区分吧。
（二）
让我们来试试下面的问题和小练习吧。
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）将方程右边化为____；
（2）将方程左边分解为两个一次式的_____；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
3．解一元二次方程：(2x+3)2－25＝0．
◆测一测，大显身手
1．方程(x－5)(x－6)＝x－5的解是( )
A．x＝5 B．x＝5或x＝6 C．x＝7 D．x＝5或x＝7
因式分解法解一元二次方程【学案】
学习过程复习预习1．复习提问如果a×b=0，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．即a=0或者b=0。
2．复习：将下列各式分解因式。
(1)5X2-4X (2)X2-4X+4 (3)4X(X-1)-（X-1）(4) X2-4 (5)X2+4X+3(6）X2-3X+2一、知识讲解考点1提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．考点2运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．考点3平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)三例题精析【例题1】【题干】解方程x-2＝x（x-2）【答案】 x1＝2，x2＝1．【解析】解：原方程可化为x-2-x（x-2）＝0．（x-2）（1-x）＝0∴ x-2＝0或1-x＝0．∴ x1＝2，x2＝1．【题干】（2011•泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=﹣2【答案】C【解析】考点：解一元二次方程－因式分解法。
专题：计算题。
分析：利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．解答：解：∵x2=2x，∴x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．故选C．点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．【题干】（2011湖北荆州，3，3分）将代数式x2+4x－1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x－2）2+3B、（x+2）2－4C、（x+2）2－5D、（x+2）2+4【答案】C．【解析】考点：配方法的应用．专题：配方法．分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．解答：解：x2+4x－1=x2+4x+4－4－1=x+22－5，故选C．点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．【题干】（2011•柳州）方程x2﹣4=0的解是（）A、x=2B、x=﹣2C、x=±2D、x=±4【答案】C．【解析】考点：解一元二次方程－直接开平方法。
分解因式法解一元二次方程导学案
因式分解法解一元二次方程导学案一、学习目标1、使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解某些一元二次方程。
2、使学生会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，从而提高分析问题和解决问题的能力。
3． 了解十字相乘法，体会它实质是二项式乘法的逆过程；二、学习重点、难点重点：用因式分解法一元二次方程。
难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想。
（一）自学互助：1．把下列各式因式分解.（1）x 2＋2x ＝0．=______ （2）x ＋3－x （x ＋3）=______ （3）（2x －1）2－x 2 =______________2．（1）用配方法解一元二次方程10x-4.9x 2=0； （2）用公式法解10x-4.9x 2=0。
2.自学教材，回答以下问题。
（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为___________________________________的形式，再使____________________________，从而实现__________，这种解法叫做__________________。
（2）如果 ，那么_____________________，这是因式分解法的根据。
如：如果---------------- ，那么 或______________，即 或_______________。
（二）展示点拨：1、解：x 2+2x-15=0（x ＋5）（x-3）＝0．得，x ＋5＝0或x-3＝0．∴ x1＝-5，x2＝3．．2、解方程3（x-2）-x （x-2）＝0解：原方程可变为：（x-2）(3-x)=0∴x-2=0或3-x=0∴x 1=2 x 2=3（三）训练巩固、归纳提升：1.一元二次方程 的解是（ ）（A ） （B ） （C ） 或 （D ） 或2.一元二次方程x2=2x 的根是（ ）A ．x=2B ．x=0C ．x 1=0, x 2=2D ．x 1=0, x 2=－23. 一元二次方程 的解是 .4.用因式分解法解下列方程：（1）4x 2-121=0； （2）3x(2x+1)=4x+2； (3) 22(4)(52);x x -=-（4）23(4)28x x -=- (5) 3(1)2(1)x x x -=-。
用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程（学案）―――初三数学备组一、 教学目标：1、掌握因式分解法的一般步骤，会利用因式分解法解一元二次方程。
2、 能熟练判断那些一元二次方程适合使用因式分解法。
二、 教学重点和难点：重点：掌握因式分解法的步骤并能熟练解题难点：对互为相反数的公因式要会变形提取和二次项系数不为1的十字相乘法分解。
三、 教学过程：（一） 回顾以前学习内容，为本节因式分解法解方程做好对比和铺垫 用适当的方法解下列方程：1、 042=-x2、0122=+-x x3、0452=+-x x4、0252=+x x（二）新课讲解：知识点1：因式分解法的定义问：（1）、刚才的练习1中不用移项直接开方法的话，还有其他的解法吗？（2）、练习4、5也是不用配方法和公式法的话，还有其他的解法吗？ 引入因式分解法的定义课本P39知识点2：用因式分解法解形如022=-a x 的一元二次方程 解方程：042=-x练习：0942=-x （强调右边必须等于0）知识点3：用因式分解法解形如02=+bx x 的一元二次方程 解方程：0252=+x x练习：02)2(=-+-x x x （强调不能两边同时除以公因式的原因） 知识点4：用因式分解法解形如0)(2=++-ab x b a x （其中a,b 为常数）的一元二次方程解方程：0452=+-x x练习：1、0862=++x x2、020*******=--x x （提醒：这种方法也叫十字相乘法，口诀是“拆两头，拼中间，斜相乘，打横写”▲知识点5、拓展提高，补充二次项系数不为一的十字相乘法。
（提示：方法一致，拆多一头）解方程：03522=++x x（三）、小结：1、因式分解不一定适用于所有的一元二次方程，但只要能用则比其他方法要简单得多。
2、体会因式分解法的思路还是“降次”（四）、练习：《导报》第3期第4版（五）、作业：书40页1、 2。
人教版数学九年级上册21.2.3因式分解法解一元二次方程 学案
九年级数学导学案课题：《因式分解法解一元二次方程》 课型：展示课【学习目标】1.学会运用因式分解法解一元二次方程；2.通过自主探究、合作交流、经历将一元二次方程变形的过程，体会转化思想、降次方法的重要性；3.激情投入，全力以赴，进一步培养主动探究的精神和积极参与的意识。
【学习过程】一、预习导学（一）回顾旧知1.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法？ ① ； ② ； ③2.因式分解常用的方法有哪些？① ； ② ； ③3、因式分解（二）预习新知用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：第一步：将方程右边化为 ；第二步：将方程左边分解成两个 的乘积； 第三步：令每个 为0，得到两个 方程；第四步：分别求出两个 的解，就得到一元二次方程的解。
（三）预习自测1、一元二次方程 的解是2、用因式分解法解下列方程=--=+++22)12(9)2()2()2)(1(x x x x x 0)2)(3(=+-x x 05)1(2=-x x )2(3)2)(2(2-=-y y 0107)3(2=+-y y思考：对于方程 (2) 两边能够同时先除以 再求解吗？为什么？二、合作探究探究点一：因式分解法解一元二次方程问题1： ①如果A=0，那么AB=②如果B=0，那么AB=③如果AB=0，那么问题2：①一元二次方程 的解是②一元二次方程 的解是问题3：把下列一元二次方程变形为问题2中的形式求解.归纳总结：通过 ，把一元二次方程化为两个一次因式的 等于 的形式，再使这两个 分别等于 ，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.注意：1、用因式分解法的条件： 0)12()2(22=--x x 0)1(2=-x x )2(-y 107)3(2-=-y y 0)5)(3(=+-x x 0)53)(12(=++y y3 / 52、用因式分解法的关键：3、用因式分解法的理论依据： 运用：用因式分解法解下列一元二次方程.归纳总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：第一步：通过移项将方程右边化为 ；第二步：将方程左边分解成两个 的乘积； 第三步：令每个 为0，得到两个 方程；第四步：分别求出两个 的解，就得到一元二次方程的解。
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《因式分解法解一元二次方程》学案
22.2.3因式分解法
【学习目标】
1了解用因式分解法解方程的根据是：“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中一个等于0，它们的积就等于0.”
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
【学习过程】
一、温故知新：
1、什么叫因式分解？因式分解的方法都是有哪几种？（口答）
2、在实数范围内因式分解。
（1）4x2－12x (2)4x2－9
解：解：
(3)x2－7 (4)(2x－1)2－(x－3)2
解：解：
3、判断正误。
（1）若ab=0；则a=0或b=0 ( )
（2）若a=0或b=0；则ab=0 ( )
（3）若(x+2)(x－5)=0；则x－2=0或x－5=0 ( )
（4）若x－2=0或x－5=0；则(x+2)(x－5)=0 ( )
二、自主学习：
自学课本Ｐ43－－－P44思考下列问题：
1、教材问题3所列的方程是怎样求解的？运用了什么方法？
2、如何利用由ab=0得a=0或b=0 使二次方程降为一次的？
3、思考：若是否存在ab=1得a=1或b=1？说明理由。
4、什么叫因式分解法解一元二次方程？
交流与点拨：
师生可互相讨论每一个问题，教师重在点拨第2、3个问题；第2个问题是因式分解法
解一元二次方程的重要思想。
（降次）第3个问题说明用因式分解法解一元二次方程时，右边必须为0，才能用因式分解法。
三、例题学习：
例(教材P 44例3)解下列方程：（用因式分解法）
（1）02)2(=-+-x x x (2)4
32412225+-=--x x x x 解： 解：
(3) 02)2(=-+-x x x (用配方法) （4）4
32412225+-=--x x x x （用公式法） 解： 解：
（教师要示范例题，可以让学生尝试配方法和公式法作比较。
总结因式分解法解一元二次方程的步骤：①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
②将方程左边式子分解因式，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
③对两个一元一次方程分别求解。
） 四、课堂练习： 1、教材Ｐ45练习1
（1）02
=+x x （2）0322
=-x x （3）3632
-=-x x
解：
（4）012142
=-x （5）24)12(3+=+x x x （6）2
2)25()4(x x -=-
2、（教材Ｐ45练习2）把小圆形场地的半径增加5cm 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。
3、自学课本Ｐ44归纳部分，请你总结解一元二次方程的各种方法。
(学生分组板演，教师点评。
)
自学课本Ｐ44归纳部分。
总结解一元二次方程的各种方法即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化成一次方程，即降次。
五、总结反思：（针对学习目标） 可由学生自己完成，教师作适当补充。
1、 用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。
2、 正确的因式分解是解题的关键。
3、 比较配方法、公式法和因式分解法。
配方法和公式法适用于所有一元二次方程；而因式
分解法只符合特殊的一元二次方程，但是因式分解法较前两种方法简单。
在解一元二次方程时，往往首先考虑因式分解法。
【达标检测】
1、（中考题）方程3)3(+=+x x x 的解是（ ） A 、1=x B 、01=x 32-=x C 、11=x 32=x D 、11=x 32-=x
2、已知08)2)((=-+++y x y x ，则x+y 的值（ ）
（A ）－4或2 (B)－2或4 (C)2或－3 (D)3或－2
3、一元二次方程02=++q px x 的两根分别是1和－2，那么将q px x ++2
因式分解的结果为 。
4、判断，解方程x x 32
=
解法一：x x 32= 解法二：x x 32= 解法三：x x 32
=
032=-x x 两边同除以x 得 032=-x x
29
3±=
x x=3
0)3(=-x x
∴ x 1=0 x 2=3 3=x 或03=-x ∴ x 1=0 x 2=3 判断以上三种解法的正误，说明理由。
5、用因式分解法解下列方程：
（1）)1(2)1(2+=+x x （2）01)1(4=+-x x 解： 解：
（3）24)12(3+=+x x x （4）22)25()1(x x -=- 解： 解：
【拓展创新】
1、 分别用配方法、公式法、因式分解法解方程： 2269(52)x x x -+=-
2、探究下表中的奥秘，并完成填空。
一元二次方程
两个根
二次三项式因式分解
0122=+-x x
1,121==x x
)2)(1(122--=+-x x x x 0232=+-x x 2,121==x x
)2)(1(232--=+-x x x x
0232=-+x x 1,2321-==x x )1
)((323322+-=-+x x x x 02522=++x x 2
,2211-=-=x x )
2)((2252212++=++x x x x 031342=++x x
==21,x x
))((431342++=++x x x x
将你发现的结论写下来。
【布置作业】
教材Ｐ46习题22.2第5题。