第11课预习资料 随机变量的分布、均值、方差
高考数学总复习 第11章 第8节 离散型随机变量的均值与方差课件 理 新人教A版
②先化验 3 只，结果为阴性，再从其他 2 只中任取 1 只
3 C4 2 化验(无论第 2 次验中没有，均在第 2 次结束)，则C3＝5. 5
1 2 3 故依方案乙所需化验次数为 2 的概率为 ＋ ＝ . 5 5 5
(2)设方案甲化验的次数为 η，则 1 4 1 1 P(η＝1)＝5，P(η＝2)＝5×4＝5， 4 3 1 1 P(η＝3)＝5×4×3＝5， 4 3 2 2 P(η＝4)＝5×4×3＝5， 1 1 1 2 14 故 E(η)＝1×5＋2×5＋3×5＋4×5＝ 5 .
【特别提醒】E(ξ )是一个实数，即 ξ 作为随机变量是可 变的，而 E(ξ)是不变的．
【活学活用】 1.从装有2只红球，2只白球和1只黑球的 袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同． (1)若抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率
及抽全三种颜色球的概率；
(2)若抽取后不放回，抽完红球所需次数为ξ，求ξ的分布 列及期望．
求离散型随机变量均值的方法步骤： 1．理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； 2．求ξ取每个值的概率；
3．写出ξ的分布列；
4．由均值的定义求E(ξ)．
( 浙江高考 ) 如图，一个小球从 M
处投入，通过管道自上而下落到A或B或
C ，已知小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能性是相等的． 某商家按上述投球方式进行促销活 动，若投入的小球落到A，B，C.则分别
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
为随机变量 X
数学期望
，它反映了离散型随机变量取值
的 平均水平 ． (2)方差
称 D(X)＝i＝1
∑ （xi－E（X））2pi
n
为随机变量 X 的方差，它
刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度 ，其
2021版新高考数学一轮复习第十一章11.7.1离散型随机变量的均值与方差课件新人教B版
3
3
所以E(ξ)=1× 1 +2× 2 = 5 .
3
33
答案: 2 5
33
考点一 离散型随机变量的均值与方差的计算问题 【题组练透】 1.已知随机变量ξ的分布列为:
ξ1
P
x
-4
2
1
6
y
若E(ξ)= 2 ,则D(ξ)= ( )
3
A. 71 B. 82 C. 41 D. 71
18 27
9
27
2.(2020·太原模拟)已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球 成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为 p(0<p<1),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围为( )
【解析】因为X～B(100,0.02),所以D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.
答案:1.96
2.某城市市民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/ 立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了100位 市民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图,并且前四 组频数成等差数列.
(1)求小明没有遇到红灯的概率.
(2)记小明等候的总时间为ξ,求ξ的分布列并求数学期望E(ξ).
【解析】(1)记“小明没有遇到红灯”为事件A,则P(A)= 1 (1－1 )3 1 (1－1 )2 10 .
2
32
3 27
(2)由题可知:ξ=0,10,20,30,
P(ξ=0)=
10 ,P(ξ=10)=
【变式训练】
若同时抛掷两枚骰子,当至少有5点或6点出现时,就说这次试验成功,则在3次试
离散型随机变量的分布列、均值与方差
离散型随机变量的分布列、均值与方差1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为(1)分布列的性质①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n . ②11=∑=ni i p(2)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)方差称D (X )=i 12))((P X E x ni i ∑=-为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数)3．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(√)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(√)(3)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(×) (4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√) (5)期望值就是算术平均数，与概率无关．(×)(6)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．(×)(7)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7.(√)(8)在一组数中，如果每个数都增加a ，则平均数也增加a .(√) (9)在一组数中，如果每个数都增加a ，则方差增加a 2.(×)(10)如果每个数都变为原来的a 倍，则其平均数是原来的a 倍，方差是原来的a 2倍．(√)考点一 离散型随机变量的分布列及性质[例1] (1)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( )A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋22 解析：由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22.答案：C(2)设离散型随机变量X 的分布列为求：①2X ＋1的分布列； ②|X －1|的分布列． 解：由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 首先列表为从而由上表得两个分布列为①2X ＋1的分布列为②|X －1|的分布列为[方法引航] (1)概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.1．随机变量的分布列为：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________. 解析：由a ，b ，c 成等差数列及分布列性质得， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，－a ＋c ＝13，解得b ＝13，a ＝16，c ＝12.∴D (ξ)＝16×2)311(--＋13×2)310(-＋12×2)311(-＝59.答案：592．在本例(2)条件下，求X 2的分布列． 解：X 2的分布列为考点二 离散型随机变量的均值与方差[例2] (1)(2017·湖南益阳调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂，现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：②生产一件甲种产品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元，在①的前提下：a ．记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；b ．求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率．解：①甲种产品为合格品的概率约为4560＝34，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23. ②a .随机变量X 的所有取值为190,85,70，－35，且P (X ＝190)＝34×23＝12，P (X ＝85)＝34×13＝14，P (X ＝70)＝14×23＝16，P (X ＝－35)＝14×13＝112. 所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝1902＋854＋706－3512＝125.b ．设生产的5件乙种产品中合格品有n 件，则不合格品有(5－n )件， 依题意得，90n －15(5－n )≥300，解得n ≥257，取n ＝4或n ＝5， 设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A ，则P (A )＝C 454)32(13＋5)32(＝112243. (2)(2016·高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． ①求X 的分布列；②若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；③以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？解：①由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2.从而P (X ＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P (X ＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P (X ＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P (X ＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P (X ＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P (X ＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P (X ＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 所以X 的分布列为②由①知P (X ≤③记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)． 当n ＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.[方法引航](1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．解：(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝1 4；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为考点三[例3] (1)若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2 B ．2－4 C ．3·2－10 D ．2－8解析：∵E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·11)21(＝3·2－10.答案：C(2)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .①若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；②设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E (ξ)．解：①设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15. ②由题意，得 P (ξ＝0)＝3)101(＝11 000，P (ξ＝1)＝C 132)101)(1011(-＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23×2)1011(-×110＝2431 000，P (ξ＝3)＝3)1011(-＝7291 000. 所以，随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的均值E (ξ)＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710. (或∵ξ～B )109,3(，∴E (ξ)＝3×910＝2710.)[方法引航] 如果ξ～B (n ，p )，可直接按公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解.假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被并闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时刻教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．解：(1)∵X的所有可能取值为0,1,2,3,4，X～B(4,0.5)，∴P(X＝0)＝C044)21(＝116，P(X＝1)＝C144)21(＝14，P(X＝2)＝C244)21(＝38，P(X＝3)＝C344)21(＝14，P(X＝4)＝C444)21(＝116，∴X的分布列为(2)Y的所有可能取值为3,4，则P(Y＝3)＝P(X＝3)＝1 4，P(Y＝4)＝1－P(Y＝3)＝34，∴Y的数学期望E(Y)＝3×14＋4×34＝154.[规范答题]求离散型随机变量的期望与方差[典例](2017·山东青岛诊断)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22公里的地铁票价如下表：6公里的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．[规范解答] (1)由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13.2分则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P 1＝14×13＋12×13＋14×13＝13.3分 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P ＝1－P 1＝1－13＝23.4分 (2)由题意可知，ξ＝6,7,8,9,10.且P (ξ＝6)＝14×13＝112， P (ξ＝7)＝14×13＋12×13＝14.P (ξ＝8)＝14×13＋14×13＋12×13＝13. P (ξ＝9)＝12×13＋14×13＝14.P (ξ＝10)＝14×13＝112，10分 所以ξ的分布列为则E (ξ)＝6×112＋7×14＋8×13＋9×14＋10×112＝8.12分[规范建议] 1.分清各事件间的关系：独立事件、互斥事件、对立事件．2．求随机变量的分布列，先把随机变量所有可能值列举出来，逐个求对应的概率． 3．利用期望公式求期望值．[高考真题体验]1．(2016·高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．解析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率为1－2)21(＝34，且X ～B )43,2(，∴均值是2×34＝32.答案：322．(2015·高考广东卷)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.解析：因为X～B(n，p)，所以E(X)＝np＝30，D(X)＝np(1－p)＝20，解得n＝90，p＝1 3.答案：1 33．(2016·高考全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解：(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X元，则X的分布列为E(X)＝0.85a×0.30×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率．(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的数学期望． 解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000， 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000. 所以T ＝⎩⎨⎧800X －39 000，100≤X ＜130，65 000， 130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T 的分布列为所以E (T )＝45 000×0.1课时规范训练 A 组 基础演练1．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．16 解析：选B.∵E (ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ∴D (ξ)＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.2．已知某一随机变量X 的分布列如下，且E (X )＝6.3，则a 的值为( )A.5 B ．6 C ．解析：选C.由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4. ∴E (X )＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a ＝7.3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 解析：选B.记“不发芽的种子数为ξ”， 则ξ～B (1 000,0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100， 而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200.4．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过混合后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125 B.65 C.168125 D.75解析：选B.125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65. 5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的期望值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4 解析：选C.X 的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为∴E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋6．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k －1，k ＝1,2,3，…，n ，则P (2＜ξ≤5)＝________. 解析：P (2＜ξ≤5)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝14＋18＋116＝716.答案：7 167．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝__________.解析：由题意知取到次品的概率为14，∴X～B)41,3(，∴D(X)＝3×14×)411(-＝916.答案：9 168．随机变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|d的取值范围是________．解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13.所以P(|ξ|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13，此即公差d的取值范围．答案：23]31,31[-9．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：(1)得60分的概率；(2)所得分数ξ的分布列和数学期望．解：(1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B，“有一道题不理解题意”选对为事件C，∴P(A)＝12，P(B)＝13，P(C)＝14，∴得60分的概率为P＝12×12×13×14＝148.(2)ξ可能的取值为40,45,50,55,60.P(ξ＝40)＝12×12×23×34＝18；P(ξ＝45)＝C12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748；P(ξ＝50)＝12×12×23×34＋C12×12×12×13×34＋C12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748；P(ξ＝55)＝C12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748；P(ξ＝60)＝12×12×13×14＝148.ξ的分布列为E(ξ)＝40×18＋45×1748＋50×1748＋55×748＋60×148＝57512.10．随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视，为此某市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；④租用时间超过3小时，按每小时扣2分收费(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5和0.6；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2.(1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率；(2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)设甲、乙所扣积分分别为x1，x2，由题意可知，P(x1＝0)＝0.5，P(x1＝1)＝0.4，P(x1＝2)＝1－0.5－0.4＝0.1，P(x2＝0)＝0.6，P(x2＝1)＝0.2，P(x2＝2)＝1－0.6－0.2＝0.2，所以P(x1＝x2)＝P(x1＝x2＝0)＋P(x1＝x2＝1)＋P(x1＝x2＝2)＝0.5×0.6＋0.4×0.2＋0.1×0.2＝0.4.(2)由题意得，变量ξ的所有取值为0,1,2,3,4.P (ξ＝0)＝0.5×0.6＝0.3，P (ξ＝1)＝0.5×0.2＋0.6×0.4＝0.34，P (ξ＝2)＝0.5×0.2＋0.6×0.1＋0.4×0.2＝0.24， P (ξ＝3)＝0.4×0.2＋0.2×0.1＝0.1， P (ξ＝4)＝0.1×0.2＝0.02， 所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×0.3＋1×0.34＋2B 组 能力突破1．已知X 的分布列则在下列式子中①E (X )＝－13；②D (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.由E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确．由D (X )＝2)311(+-×12＋2)310(+×13＋2)311(+×16＝59，知②不正确．由分布列知③正确．2．已知ξ的分布列如下表，若η＝2ξ＋2，则D (η)的值为( )A.－13B.59C.109D.209解析：选D.E (ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (ξ)＝2)311(+-×12＋2)310(+×13＋2)311(+×16＝59∴D (η)＝D (2ξ＋2)＝4D (ξ)＝209，故选D.3．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6 解析：选B.由已知随机变量X ＋η＝8，所以η＝8－X .因此，E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.4．两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________. 解析：两封信投入A ，B ，C 三个空邮箱，投法种数是32＝9，A 中没有信的投法种数是2×2＝4，概率为49，A 中仅有一封信的投法种数是C 12×2＝4，概率为49， A 中有两封信的投法种数是1，概率为19，故A 邮箱的信件数ξ的数学期望是49×0＋49×1＋19×2＝23. 答案：235．李先生家在H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线(如图)，路线L 1上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线L 2上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走路线L 1，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线L 2，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．解：(1)设“走路线L 1最多遇到1次红灯”为事件A ，则P (A )＝C 03×2)21(＋C 13×12×2)21(＝12. 所以走路线L 1最多遇到1次红灯的概率为12. (2)依题意，知X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝)531)(431(--＝110.P (X ＝1)＝34×)531(-＋)431(-×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920. 随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720.(3)设选择路线L 1遇到红灯的次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，即Y ～B )21,3(，所以E (Y )＝3×12＝32.因为E (X )＜E (Y )，所以选择路线L 2上班更好．。
方差、标准差、均方差、均方误差区别总结
方差、标准差、均方差、均方误差区别总结一、百度百科上方差是这样定义的（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
看这么一段文字可能有些绕，那就先从公式入手，对于一组随机变量或者统计数据，其期望值我们由E(X)表示，即随机变量或统计数据的均值，然后对各个数据与均值的差的平方求和，最后对它们再求期望值就得到了方差公式。
这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。
二、方差与标准差之间的关系就比较简单了根号里的内容就是我们刚提到的那么问题来了，既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度，那又搞出来个标准差干什么呢？发现没有，方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的，虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。
举个例子：一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826，即约等于下图中的34.2%*2三、均方差、均方误差又是什么？标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean squared error，均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
从上面定义我们可以得到以下几点：1、均方差就是标准差，标准差就是均方差2、均方误差不同于均方误差3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数举个例子：我们要测量房间里的温度，很遗憾我们的温度计精度不高，所以就需要测量5次，得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x，数据与真实值的误差e=x-xi那么均方误差MSE=总的来说，均方差是数据序列与均值的关系，而均方误差是数据序列与真实值之间的关系，所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。
高中数学随机变量及其分布内容简介
高中数学随机变量及其分布内容简介
随机变量是概率论中的重要概念，指的是一个变量的取值由随机试验的结果决定。
在高中数学中，我们常常接触到一些常见的随机变量及其分布，这些内容是数学学习中的重要一环。
首先，我们要了解离散随机变量及其分布。
离散随机变量是指只取有限个或可数无限个可能值的随机变量。
在离散随机变量的分布中，最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的概率分布，而泊松分布则是用于描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的次数的分布。
另外，连续随机变量及其分布也是我们需要了解的内容。
连续随机变量是指取值在一段或多段连续区间内的随机变量。
在连续随机变量的分布中，最常见的是正态分布和指数分布。
正态分布是一种在数学、物理、工程领域中非常常见的分布，其形状呈钟形曲线，具有均值和标准差这两个参数。
而指数分布则是描述独立随机事件发生的时间间隔的分布。
在学习高中数学中的随机变量及其分布时，我们需要掌握如何计算随机变量的期望值、方差以及概率分布等重要性质。
通过学习随机变量及其分布，我们可以更好地理解概率论中的概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。
总的来说，高中数学中的随机变量及其分布是一项重要的内容，通过学习这一部分知识，我们可以更好地理解概率论的相关概念，提高数学分析和问题解决的能力。
希望同学们能够认真学习这一部分内容，掌握其中的关键知识点，为未来的学习和发展打下良好的基础。
高考总复习一轮数学精品课件 第十一章 第六节 离散型随机变量的分布列、均值与方差
3 2
=
1
,
6
1 1 1
2 1
1
P(X=3)= × × + × ×
3 2 2
3 2
2
=
3
12
=
1
,
4
1 1 1
2
2
1 1
2
2
1 1 2
P(X=4)= × × × + × × × + × × ×
3 2 2
3
3
2 2
3
3
2 2 3
=
10
36
=
5
,
18
2 1 1
1
1
1 1
1
2
1 1 1
2 1
36
10
90
36
15
12
=
1
12
47
.
12
考向2.与古典概型有关的分布列
典例突破
例3.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名
女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由
于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机
抽取3人组成代表队.
是离散型随机变量.
2.若X1,X2相互独立,则E(X1·
X2)=E(X1)·
E(X2).
3.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).
4.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于
常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差(教师)
常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差【知识要点】一、离散型随机变量及其分布列 1、随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。
长用希腊字母ηξ，来表示。
若ξ是随机变量，b a +=ξη，其中b a ，是常数，则η也是随机变量。
2、离散型随机变量如果对于随机变量可能取的值，可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
3、离散型随机变量的分布列（1）若离散型随机变量X 可能取的不同值为n i x x x x ，，，，，⋅⋅⋅⋅⋅⋅21，X 取每一个值)21(n i x i ，，，⋅⋅⋅=的概率i i p x X P ==)(，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X 的分布列，简称X 的分布列。
有时为了表达简单，也用等式i i p xX P ==)(，n i ，，，⋅⋅⋅=21，表示X 的分布列。
（2）性质：①n i p i ，，，，⋅⋅⋅=≥210；②11=∑=ni i p ；③在某个范围内取值的概率等于这个范围内每个随机变量值的概率的总和。
4、常见离散型随机变量 （1）两点分布若随机变量X 的分布列是则这样的分布列称为两点分布列。
如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布（也称伯努利分布），而称)1(==x P p 为成功概率。
其EX=p ，DX=p(1-p). （2）超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k}发生的概率为m k C C C X P nNkn MN k M ，，，，，⋅⋅⋅=⋅==--210)k (，其中}min{n M m ，=，且*∈≤≤N N M n N M N n 、、，，，称分布列为超几何分布列。
如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。
记作：1)1()(---•==N nN N M N nM DX N nM EX n M N H X ，，其，，—。
《随机变量的方差》课件
方差的定义
方差是随机变量离散程度的度量，表示随机变量的取值与其均值之间的差异。
1 离散随机变量
方差的计算公式为每个取值与均值之差的平方与对应概率之积的总和。
2 连续随机变量
方差的计算公式为将每个取值与均值之差的平方与对应的概率密度函数之积在整个取值 范围内积分。
计算方差的公式
根据随机变量的类型和分布情况，可以使用不同的公式来计算方差。
示例与练习
通过一些实际示例和练习，加深对随机变量方差的理解和应用。
实例1
根据某公司员工的工资数据，计 算工资的方差。
练习1
根据给定的概率分布，计算随机 变量的方差。
练习2
根据一组实验数据，计算随机变 量的方差。
随机变量的方差
随机变量是用来描述随机试验中可能出现的各种结果的数值型变量。方差是 衡量随机变量的离散程度的重要指标。
随机变量的概念
随机变量是对随机试验结果进行数值化的抽象概念。它可以用来表示试验中各种可能结果的取值。
1 离散随机变量
2 连续随机变量
只能取有限个或可列无限个数值的随机变量。
可以取任意实数值范围内的随机变量。
正态分布
方差计算公式：$Var(X) = \sigma^2$
方差的性质
方差具有以下性质，这些性质有助于理解方差在统计学中的重要性。
非负性
方差的值始终大于等于0。
独立性
对于独立随机变量，它们的方差可以直接相加。
倍数性
随机变量乘以一个常数的方差等于原方差乘以这个常数的平方。
方差与均值之间的关系
方差和均值之间存在着一定的关系，了解这种关系有助于深入理解方差的含义。
离散随机变量
离散型随机变量
方差计算公式：$Var(X) = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot p(x_i)$
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随机变量的分布列、均值、方差(5年6考)
[高考解读]高考对该点的考查常以生产、生活实际为背景，考查考生从题干中提取信息建立数学模型，并应用期望(或方差)对实际问题作出决策的能力.预测2020年会加强对该点的考查.
(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
解决分布列、期望、方差问题的3关
(1)判断关：即依据题意判断随机变量的取值及判断所求分布列的类型．
(2)概率关：即依据事件间的相互关系，结合相应的概率公式求出每个随机变量取值的概率．
(3)决策关：即借助分布列，计算随机变量的数学期望，并结合实际问题作出合理决策．
1．(以统计图表为背景)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机A PP 软件层出不穷．为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”(时间：分钟)，得到茎叶图如下：
(1)请计算“送达时间”的平均数与方差；
(2)根据茎叶图，求A，B，C，D的值；
送达时间35分钟以内(包括35分钟) 超过35分钟频数 A B
频率 C D
(3)在(2)的情况下，以频率代替概率，现有3个客户应用此软件订餐，求在35分钟以内(包括35分钟)收到餐品的人数X的分布列，并求出数学期望．
2．(函数与概率统计的交汇)某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N*)份血液样本，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次；(2)混合检验，将其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k＋1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0＜p＜1)．
(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2.
①试运用概率统计的知识，若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f(k)；
②若p＝1－1
3
e
，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望
值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．
参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 4≈1.386 3，ln 5≈1.609 4，ln 6≈1.791 8.
样本的均值、方差与正态分布的综合(5年2考)
[高考解读] 正态分布可与二项分布、控制生产线结合，很受命题者的青睐，主要考查3σ区间与对称性；考查正态分布的题目，要重视题后数据的利用，题后数据作用：①提供方向(计算)与目标；②切勿掉入题后数据误导的陷阱．
(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．
(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98
10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04
10.05 9.95
经计算得
＝，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2，…，
16.
用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用
估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数
据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)． 附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.
解决正态分布问题有4个关键点
(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性求指定范围内的概率值，由μ，σ分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率；(4)曲线与x轴之间面积为1.。