Poission方程在Orlicz-Sobolev空间中的正则性估计
不可压缩流体的动力学方程的解的Gevrey类正则性分析
不可压缩流体的动力学方程的解的Gevrey类正则性分析众所周知,研究流体力学方程的最合适的函数空间是Sobolev空间,因为在Sobolev空间中能量的定义非常简单.可是很多流体力学方程的基本问题在Sobolev空间中还没有满意的工作,比如Prandtl边界层问题在Sobolev空间中在很多情况下是不适定的.另一方面,利用Cauchy-Kovalevskaya定理,在解析函数空间这些方程都是局部可解的.但是解析函数空间不包含紧支集函数,因此不是研究流体力学方程的合适的函数空间.为此自然考虑到Sobolev空间和解析函数空间的过度空间Gevrey空间.本博士论文主要研究了流体力学里的几个齐次的不可压缩流体方程的解的Gevrey正则性问题,这些方程包含不可压缩Navier-Stokes方程、不可压缩Euler方程、理想的不可压缩Magnetohydrodynamic(以下均简称为MHD)方程以及不可压缩Boussinesq方程.在这些模型当中最基本的模型就是不可压缩Navier-Stokes方程,而不可压缩Euler方程与不可压缩Navier-Stokes方程的区别在于黏性项的消失以及相应的边界条件的变化.理想的不可压缩MHD方程与不可压缩Euler方程的区别在于耦合的Maxwell方程,这增强了理想的不可压缩MHD方程的非线性性.不可压缩Boussinesq方程与不可压缩Navier-Stokes方程的区别在于方程的外力项由未知量代替,它可看作用来理解不可压缩Navier-Stokes方程的一些关键性质的简化模型.正是由于这些模型的内在联系,我们把它们放在了一起进行研究.自从C.Foias和R.Temam在他们先驱性的工作[47]一文中首次应用Fourier空间的方法研究不可压缩Navier-Stokes方程的解的Gevrey类正则性以来,这种Gevrey 类范数的技巧已经成为研究耗散型发展方程的解的解析性和解析半径估计的标准工具,例如[17,37,46,57,97].C.D.Levermore 和 M.Oliver 在文献[81]中通过选取合适的解析半径将这种研究方法推广到不可压缩Euler方程这种不具有耗散项的流体力学方程中去,同时他们还得到不可压缩Euler方程的解的解析半径的衰减估计.此后,I.Kukavica 和 V.Vicol 在文献[78]中推广了C.D.Levermore 和 M.Oliver 的工作,他们得到不可压缩Euler方程的解的解析半径是指数地对梯度的无穷模衰减.特别地,I.Kukavica和V.Vicol在文献[79]中还讨论了半空间上的不可压缩Euler方程的解析解的解析半径估计,他们引入了新的方法来研究在带有边界的区域上不可压缩Euler方程的解的Gevrey正则性问题.这篇博士论文的主要工作是受到了上述研究方法的启发.本文将分为六章.第一章,作为引言部分,我们将介绍主要问题的背景和当前的研究进展.在第二章,我们将详细地介绍Gevrey类函数的定义和性质.同时我们还将介绍已知的主要结果和本博士论文的主要结果和创新点.在第三章,我们研究了周期区域上不可压缩Navier-Stokes方程的解在Gevrey类空间的黏性消失极限问题.我们证明了在周期区域上不可压缩Navier-Stokes方程的解在Gevrey范数下强收敛到不可压缩Euler方程的解,这是为了在Gevrey空间研究边界层理论做准备工作.在第四章,我们研究了不可压缩Euler方程在加权Gevrey类函数空间的传输性问题,这一问题是受到非滑动的Prandtl边界层问题的启发.这里,我们以半平面为例考虑二维不可压缩Euler方程.由于Fourier空间的办法不再适用,我们这里使用了了 I.Kukavica和V.Vicol在文献[79]中引入的Sobolev-Gevrey空间的办法.由于权函数的出现,非线性压力项的估计要困难得多,这也是我们这项工作的主要创新点.在第五章,我们研究了理想的不可压缩MHD方程的解的Gevrey传输性,同时我们也给出了解的Gevrey类半径的下界估计.我们的工作与经典的不可压缩Euler方程的结果有类似之处,但是方程的结构和计算过程都要复杂得多.此外,由于Gevrey空间理论在磁流体的边界层理论中也适用,因此这项工作也为研究磁流体的边界层理论做了准备工作.在第六章,我们研究了不可压缩Boussinesq方程的解的解析光滑效应问题.我们的工作与经典的不可压缩Navier-Stokes方程的结果有类似之处,但是方程的结构不同,逼近解的构造也要复杂一些.同时,我们这项工作为在Gevrey类空间上研究相应的边界层理论提供了理论基础.。
Musielak-Orlicz-Sobolev空间中非线性椭圆问题的正则性
Musielak-Orlicz-Sobolev空间中非线性椭圆问题的正则性Musielak-Orlicz-Sobolev空间中非线性椭圆问题的正则性引言：非线性椭圆方程在科学和工程领域中具有重要的应用，如材料科学、流体力学和地质学等。
在这些方程中，线性椭圆问题是最简单的一类，其解具有良好的正则性。
然而，当引入非线性项时，问题的复杂性就会大大增加，解的存在性、唯一性和正则性等问题都需要深入研究。
本文关注的是在Musielak-Orlicz-Sobolev空间中的非线性椭圆问题的正则性。
Musielak-Orlicz-Sobolev空间是一类广义Sobolev空间，其由特定的非线性函数空间及对应的模空间所定义。
非线性函数空间的选择可满足不同问题的需求，适用于描述具有不同增长特性的函数。
非线性椭圆问题的一般形式为：$$-Div(A(x,\nabla u)) + f(x,u,\nabla u) = g(x)$$其中$A(x,\nabla u)$表示包含非线性项$\nabla u$的微分算子，$f(x,u,\nabla u)$表示非线性项，$g(x)$表示源项。
在非线性椭圆方程的正则性研究中，解的存在性和唯一性是首要问题。
根据Sobolev嵌入定理和Lax-Milgram定理，可以得到解存在且唯一。
进一步，我们考虑解的正则性问题。
首先，我们介绍Musielak-Orlicz-Sobolev空间的定义和性质。
Musielak-Orlicz-Sobolev空间是由一族非线性函数和相应的模空间定义的，它继承了Sobolev空间的一些重要性质。
具体地说，Musielak-Orlicz-Sobolev空间中的函数具有适当的正则性和紧嵌入性。
这些性质使得这个空间非常适合描述非线性椭圆问题的解。
其次，我们讨论非线性椭圆问题的解的正则性。
通过适当的能量估计和变分方法，我们可以证明在Musielak-Orlicz-Sobolev空间中非线性椭圆问题的解具有一定的正则性。
Poincare不等式在Poisson方程弱解中的应用
Poincare不等式在Poisson方程弱解中的应用作者：曲莉王蕊来源：《新教育时代·教师版》2019年第36期摘要：本文運用具体实例，给出了Poincare不等式在证明Poisson方程弱解中泛函极值元的存在性、弱解的存在唯一性、全局正则性等方面的应用。
关键词：Poincare不等式存在性唯一性正则性Poisson方程是线性椭圆形方程的理论中的重要组成部分，尤其是在计算Poisson方程的弱解中，Poincare不等式起到了承上启下的作用，特别在处理泛函极值元的存在性、弱解的存在唯一性、全局正则性的证明中都有着十分重要的作用。
一、Poincare不等式设，为一有界区域.（1）若，则。
（2）若满足局部的Lipschitz条件，则其中是依赖于和的常数，，这里我们用表示的测度。
1.Poisson方程设是一有界区域，其边界分片光滑。
在上考虑Poisson方程，其中，为维Laplace算子。
即2.如果对任何，积分等式都成立，则称函数为Poisson方程的弱解。
3.应用举例（1）泛函极值元的存在性.例1：证：设则在上有下界.证明：由的Poincare不等式，若则即带的不等式即，有，为任意常数.若取，使得而，此即在上有下界。
（2）弱解的存在唯一性例2：对任何，Poisson方程的Dirichlet问题其中是一有界区域，其边界分片光滑，算子，而，恒存在唯一的弱解。
证明：（1）根据poisson方程和齐边值条件可得，存在弱解.（2）下面对唯一性进行证明设均为的弱解，由弱解的定义：，由中的稠密性又有，令特别地，，则由此，再由Poincare不等式，也有故，从而即，唯一性得证.（3）全局正则性例3：设则，且①令、，有单位分解于是，，，取②由有③由有由有结语利用Poincare不等式解决Poisson方程弱解的相关问题，会更加的简单方便，例如，当证明泛函极值元存在时，可用Poincare不等式来缩小范围找到下界，即可以解决用单调有界原理不能解决的问题。
sobolev迹定理 傅里叶变换
sobolev迹定理傅里叶变换傅里叶变换是现代数学中非常重要的工具之一，它在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
而傅里叶变换的一个重要应用就是解决偏微分方程问题，其中就包括著名的Sobolev迹定理。
要理解Sobolev迹定理，首先需要了解Sobolev空间。
Sobolev空间是针对函数求导数的函数空间，它定义了一种更一般的函数的空间，使得我们可以对其进行更深入的研究。
而Sobolev迹定理则是描述了在Sobolev空间中对函数边界值的研究定理。
Sobolev迹定理的表述可以简单地理解为，对于定义在某个区域上的函数，如果函数在Sobolev空间中有足够高的导数次数，那么函数在边界上的取值也会有一定的性质。
具体地说，如果函数在Sobolev空间H^s内，其中s为一个非负实数，那么可以得到函数在边界处的取值是离散的，而不是连续的。
这就是Sobolev迹定理的核心内容。
更准确地说，Sobolev迹定理给出了函数在某种意义上的边界取值与其在内部局部行为之间的关系。
具体来说，对于定义在开集Ω上的函数u(x)，如果它在Sobolev空间H^s(Ω)中，那么它在边界上的取值u(Γ)满足一定的限制。
这个限制可以通过一些不等式或者数学公式来描述，比如Hölder不等式或者Poincaré不等式。
值得注意的是，对于一般的边界取值问题，不同的Sobolev空间可能会有不同的迹定理。
对于局部有界的光滑边界，一个典型的Sobolev空间是H^s(Ω)，其中Ω是空间的定义域，s为一个非负实数。
这样的Sobolev空间上的函数在边界处的取值具有不同的性质，而这些性质则是由Sobolev迹定理所描述的。
由Sobolev迹定理可以得到的结论之一是，边界上的取值具有一定的平滑性，这对于边界条件的处理和数值求解非常重要。
总之，Sobolev迹定理是傅里叶变换在偏微分方程问题中的重要应用之一。
它描述了定义在某个区域上的函数在Sobolev空间中的导数次数足够高的条件下，它在边界上的取值具有一定的性质。
sobolev空间范数
sobolev空间范数Sobolev空间范数是数学分析中常用的一种函数空间范数，它在偏微分方程、泛函分析等领域中具有重要的应用。
本文将介绍Sobolev空间范数的定义、性质以及一些常见的应用。
我们来定义Sobolev空间范数。
给定定义在一个开集上的函数f，我们可以定义它的一个特定阶数的Sobolev空间W^{k,p}(Ω)。
其中k是一个非负整数，p是一个大于等于1的实数，Ω是定义域。
对于任意一个在Ω上具有连续的k个偏导数的函数f，我们可以定义它的Sobolev范数为：||f||_{W^{k,p}(Ω)} = \left( \sum_{|\alpha|\leq k} \int_{Ω} |D^{\alpha} f|^p dx \right)^{1/p}这里，α是一个多重指标，D^α是偏导数算子，|α|表示指标α的阶数之和。
Sobolev范数的定义中，我们对函数f的各个阶数的偏导数进行了加权求和，并取这个和的p次方根。
这个范数的定义允许我们度量一个函数在各个阶数的导数上的平滑程度。
Sobolev空间范数的一个重要性质是它是完备的。
也就是说，对于一个在Sobolev空间中的Cauchy序列，存在一个极限函数使得序列中的函数逐点收敛到这个极限函数，并且这个极限函数也属于Sobolev空间。
这个性质使得Sobolev空间成为了一个良好的函数空间，可以用来研究偏微分方程的解的存在性和唯一性。
除了完备性外，Sobolev空间范数还具有嵌入定理的性质。
嵌入定理指出，如果定义域Ω是一个有界开集并且k大于等于定义域的维数n除以p，那么函数f属于Sobolev空间W^{k,p}(Ω)中就意味着它在Ω上的p次方可积。
这个性质使得Sobolev空间成为了研究函数的可积性的一个有力工具。
Sobolev空间范数在偏微分方程的研究中有广泛的应用。
例如，在椭圆型偏微分方程的理论中，我们经常需要研究解的正则性。
通过定义适当的Sobolev空间范数，我们可以得到解的Hölder连续性、可微性等结果。
度量空间上的具有零边界值的Orlicz-Sobolev空间
哈尔滨工业大学硕士学位论文度量空间上的具有零边界值的Orlicz-Sobolev空间姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：付永强20050601。
堕堡堡三些查兰型兰竺；！兰堡篁三：：量摘要随着非多项式增长的非线性问题的出现，ｒ空间表现出很大的局限性，研究者们就在寻找新的空间来代替∥空间，也就是用～般的Ⅳ函数Ｍ（ｕ）来代替幂函数２，，扮演的角色，这样得到的就是％空间。
若把Ｓｏｂｏｌｅｖ空间∥１１９定义中的∥用￡¨来代替，所得的∥１￡．，就是Ｏｒｌｉｃｚ，Ｓｏｂｏｌｅｖ空间。
我们引入具有零边界值的Ｏｒｌｉｃｚ－Ｓｏｂｏｌｅｖ空间，并研究它的性质。
本文证明了具有Ｂｏｒｅｌ正则测度的任一度量空间上的具有零边界值的Ｏｒｌｉｃｚ—Ｓｏｂｏｌｅｖ空间的性质，通过Ｈａｒｄｙ型不等式，Ｏｒｌｉｃｚ．Ｓｏｂｏｌｅｖ函数用在开集外为零的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续函数来表示，最后证明了若ｘ是一正则空间，例如，有界闭集是紧的，若Ｄ是ｘ的满足（ＣＨ）条件的开子集，则吲“（Ｄ）＝喇ｋ（Ｄ）。
关键词度量空间；Ｏｒｌｉｃｚ．Ｓｏｂｏｌｅｖ空间；零边界值ＡｂｓｔｒａｃｔＷｉｔｈｔｈｅａｐｐｅａｒａｎｃｅｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｐｒｏｂｌｅｍｓｗｉｔｈｎｏｎｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｇｒｏｗｔｈ，Ｐｎｅｗｓｐａｃｅｓｋｔｏｓｐａｃｅｓｈａｖｅｍａｎｙｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ．ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓｕｓｅｔｈｅｒｅｐｌａｃｅＬｐｓｐａｃｅｓ，ｉ．ｅ．ｔｈｅｇｅｎｅｒａｌＮｆｕｎｃｔｉｏｎｓＭｆｌ‘）ｔａｋｅｔｈｅｐｌａｃｅｏｆｐｏｗｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｓ“，．ＩｎｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆＳｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅｓＷ‘一，ｓｐａｃｅｓＬｐＷ１ｋ．Ｉｔ’ｓｌ？ｆｆｅｒｅｐｌａｃｅｄｂｙｓｐａｃｅｓＬＭ，ｔｈｅｎｗｅｇｅｔＯｒｌｉｃｚ—ＳｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅｓｖａｌｕｅｓｏｎａｎｙｎｅｃｅｓｓａｒｙｔｏｉｎｔｒｏｄｕｃｅＯｒｌｉｃｚ—ＳｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅｓｗｉｔｈｚｅｒｏｂｏｕｎｄａｒｙｍｅｔｒｉｃｓｐａｃｅｓｅｑｕｉｐｐｅｄｗｉｔｈＢｏｒｅｌｒｅｇｕｌａｒｍｅａｓｕｒｅ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｐｒｏｖｅｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆＯｒｌｉｃｚ－Ｓｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅｓｗｉｔｈｚｅｒｏｍｅａｓｕｒｅ，ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｓｏｎａｎｙｍｅｔｒｉｃｓｐａｃｅｓｅｑｕｉｐｐｅｄｗｉｔｈＢｏｒｅｌｒｅｇｕｌａｒＯｒｌｉｃｚ—ＳｏｂｏｌｅｖｆｕｎｃｔｉｏｎｓｃａｎｂｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄｂｙＬｉｐｓｃｈｉｔｚｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｏｐｅｎｓｅｔｂｙＨａｒｄｙｔｙｐｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｔｈｅｎｗｅｇｅｔｔｈｅｖａｎｉｓｈｉｎｇｏｕｔｓｉｄｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｔｈａｔｉｆＸｉｓａｐｒｏｐｅｒｓｐａｃｅ，ｔｈａｔｉｓｔＯｓａｙａｎｙｂｏｕｎｄｅｄｃｌｏｓｅｄｓｅｔｉｓｃｏｍｐａｃｔ。
sobolev空间中的fredholm二则一定理
sobolev空间中的fredholm二则一定理【Sobolev空间中的Fredholm二则一定理】之论述引言：Sobolev空间作为函数空间的一种重要扩展，其在分析学、偏微分方程和控制论等领域的研究中起到了至关重要的作用。
其中，Fredholm理论是Sobolev空间研究中的重要组成部分之一。
本文将围绕着Sobolev空间中的Fredholm二则一定理展开论述，分析其定义、性质和应用，并逐步引入相关的概念和定理，全面阐述该理论在偏微分方程中的重要性。
第一部分：Sobolev空间与Fredholm理论基础1. Sobolev空间的定义及性质1.1 Sobolev空间的概念引入1.2 Sobolev空间的范数和内积结构1.3 Sobolev空间中的嵌入定理2. Fredholm算子的概念与特征2.1 Fredholm算子的定义和性质2.2 Fredholm算子的核、余核和指数第二部分：Fredholm二则一定理的证明3. Fredholm二则的表述与重要性3.2 Fredholm二则在Sobolev空间中的应用4. Fredholm二则的证明思路和技术4.1 拓扑方法在Fredholm二则证明中的应用4.2 几何方法在Fredholm二则证明中的应用第三部分：Fredholm二则的应用5. Fredholm二则在偏微分方程中的应用5.1 Fredholm二则在椭圆型偏微分方程中的应用5.2 Fredholm二则在抛物型和双曲型偏微分方程中的应用6. Fredholm二则的其他应用领域6.1 Fredholm二则在控制论中的应用6.2 Fredholm二则在实变函数中的应用第四部分：Fredholm二则一定理的进一步研究7. Fredholm二则的拓展与发展7.1 Fredholm二则的推广及新的变体7.2 Fredholm二则的其他空间条件和结果8. Fredholm二则的存在性和唯一性问题8.2 Fredholm二则的唯一性问题研究结论：通过本文的论述，我们对于Sobolev空间中的Fredholm二则一定理有了更加深入和全面的理解。
一类非局部微分方程在Orlicz 空间中吸引子的存在
第28卷第2期江苏理工学院学报JOURNAL OF JIANGSU UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVo l.28，No.2Apr.，20222022年4月设Ω是ℝn 中的有界光滑区域。
本文主要考虑非局部反应扩散方程在Orlicz 空间中全局吸引子的存在性：ìíîïïu t +()-Δσ2u +g ()u =0，()x ，t ∈Ω×ℝ+，u ()x ，t =0，()x ，t ∈∂Ω×ℝ+，u ()x ，0=u 0，x ∈Ω，（1）这里u 0∈L 2()Ω，0<σ<2。
假设g 满足自然的耗散条件：g ∈C 1()ℝ，g ′(s )≥-C 0+k 0|s|q -1，（2）这里q >1，C 0和k 0是正常数。
经典的反应扩散方程（σ=2）常应用于物理学、化学及生物学等领域，一直是无穷维动力系统的重要研究对象，并产生了许多研究成果[1-6]。
这些成果对吸引子问题的研究主要集中在L 2()Ω、L p()Ω和H 10()Ω空间中。
近年来，由于非局部耗散的微分方程，特别是带有分数次Laplace 算子的微分方程，能够更有效地解释物理学、金融学、生态学及地球物理学等学科领域的问题，因而受到广泛关注[5，7-11]。
但是，这些成果对吸引子的研究也大多集中在L p()Ω空间、Sobolev 空间及分数次Sobolev 空间中，对于Orlicz 空间中吸引子的研究相对较少。
本文主要研究在条件（2）下非局部微分方程（1）的长时间动力学行为。
首先，由非线性项确定一个Orlicz 空间；其次，在该Orlicz 空间中证明弱解的存在性；再次，通过L 2-L ∞估计，得到当t >0时，弱解也在L ∞()Ω空间中；然后，通过证明解在L ∞范数下的一致有界性，得到了L ∞()Ω-有界吸收集的存在性，进一步得到在任意给定的Orlicz 空间中有界吸收集的存在性；最后，在Orlicz 空间中建立了半群{S ()t }t ≥0的渐近紧性，进而得到了全局吸引子在Orlicz 空间中的存在性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
哈 尔 滨 师 范 大 学 自然 科 学 学 报
ＮＡ ｒ ＵＲＡ Ｃ ＥＮＣ Ｓ Ｊ ＬＳ Ｉ Ｅ ＯＵＲ ＮＡＬ ０Ｆ ＨＡＲＢ Ｎ ＮＯＲ Ｉ ＭＡＬ ＵＮＩ ＲＳ Ｔ ＶＥ Ｉ Ｙ
Ｖ １２ ， ｏ６２ １ ｏ．６ Ｎ ． ００
第 ６期
Ｐｉ ｉ ｏ ｓ ｎ方 程在 Ｏｌ ｚ Ｓｂｌ ｓｏ ｒｃ — ｏｏ ｖ空 间 中的正 则 性 估 计 木 ｉ ｅ
２
哈尔滨师 范大学 自然科 学学报
２１ ０ ０年
一
Ａ （）＝ ｆ — 一， ）ｙ ｕｘ Ａ厂（ ） Ｙｄ ）
＝
一
△ ＝，， ， ∈ Ｌ ， ｒｃ 空 ｉ 则
Ｊ ８ （ ）ｙ＝ ） Ｚｙｄ
证 明
∈ △２ ｎ
ｓｐ ｆ ￡ｇ ￡ｄ： （ ）≤ １ 是 ／的 Ｏｌｚ ｕ｛ ） （）ｔ ｇ Ｐ ｝ ｒｃ 范 ｉ
数．
的叙述 ， 凸现 了正则 性 理 论 研究 的难 度 与重 要 意
义． Ｐ ｉｓ ｎ方 程 一△ ＝ｆ 当，属 于 Ｌ 当 对 ｏｓｉ ｏ “ ，
对 Ｒ 中一 个 给 定 的 区 域 力 和 一 个 给 定 的 “
０ 引言
弱解 的正则性理 论是 近代 偏微 分方 程领 域极
具挑 战性 从 而倍 受 关 注 的 热点 问题 之 一 ， 研 究 其
（ ， ， ）表示 欧 式空 间 中的 Ｌ ｂ ｓｕ 测 度 ｅ ｅｇ ｅ 空间０＜
＝
＜＋∞ ， 一个 上 的可测 函数 ｆｐ 对 ，
ｆ （ ） ｄ表示ｆ 模． ：｛ ｐ （ ｝＜ ￡）ｔ 的 ｆ ａ ： ｆ
张 洋 ， 陈述 涛 ， 玉 文 王
（ 哈尔 滨 师范 大 学 ）
【 摘要】 对于方程 一△ Ｍ＝ｆ 考虑 当ｆ属于 Ｏ ｌ ｚ ， ｒｃ 空间时 ， 出弱解的正则性 ｉ 给
估计．
关键 词 ： ｏｓｉｎ方程 ； Ｐ ｉｓ ｏ 正则性 ； ｒ ｃ 空 间 Ｏｌｚ ｉ
数 ． ∈ 是 指 Ｎ Ｅ△ ， ∈△ 是 指 满足 Ｍ ：Ｍ ２ｎ △ 且 满足 ． ：
＝
历史悠 久． 早在 １０ ９ ０年在 巴黎 召开 的国 际数学 家 大会上 ， ． ｌｅｔ 出的著 名 的２ 个公 开 问题 中 Ｄ Ｈｉ ｒ提 ｂ ３
就有两个 （ 问题 第 ｌ ９和第 ２ Ｏ个 ） 是对 解 的正则 性
＋ｏ ＞０｝表 示 Ｏ ｌ ｚ 间 ， 中 Ｉ 。ｊＡ ｒｃ 空 ｉ 文 ｌ
ｌ＜ Ｐ＜＋ｏ 。已有 对解 的正则性 的 Ｌ 估 计 ， 。 考虑 当
．
Ｏ ｌｚ函数 Ｍ， ｒｃ ｒｃ ｉ Ｏ ｌ ｚ—Ｓ ｂｌｖ空 间 ｉ ｏｏｅ
（ ）由 ，
厂 于 Ｏ ｌ ｚ 间时 ， 出弱解 正 则 性 的估 计 ． 属 ｒｃ 空 ｉ 给 主
（ ）中的这些 函数 ｕ组 成 ： 满足 Ｉ Ｊ＜ｋ的 对
（）＜ ． 比 …
仿照参考文献［ ，］ ２３ 中给出 的定义
ｒ ＝ ＝ Ｊ厂 —）ｙｄ ｆ Ｄ Ｄ“ （ ｙ （ ｙ ： ｆ ）．
这里 Ⅱ＝ Ｏｕ ＇ 足 不等式
Ｍ（ ） ｕ 对一 切 Ⅱ＞０ 满足 条件 ， 对一 切 Ⅱ＞Ｏ 则 满
设 （ ） （， ， ， １ ）是两个 ０ ｌ ｚ 间 ， ， ｒｃ空 ｉ 这 两个 空间 中的 函数 分别在 ， ｙ上关 于 ， 可测 ，
该文 中 是一个 Ｏ ｌ ｚ函数 ， ｒｃ ｉ
，
ｔ，
对 ｌ ≤ ， ＝ 一 于≤ ｎ Ｄ Ｄ 表 盖
。川ｘ ｌ 村表示 厂的 Ｏ ｌ ｚ— ａ ｌ ＭＩ ｍ ： Ｄ １ ｒｃ ｉ
示 一个 阶为 ｉ Ｊ的微分 算子 ．Ｄ∞… ） ＝“ ＇ ｕ ．
Ｉ Ｉ ． ＣＩ Ｉ Ｉ ｌ ≤ ／Ｉ Ｉ
ｌ Ｉ ）＝Ｊ ｘ— ）（）ｙ （ Ｆ（ ｙｆｙ ｄ：＝
这里 给 出了 Ｐ ｉ ｏ ｏｓ ｎ方程 的解． ｓ
是 自反 的 ０ｌ ｚ ｒｃ 空间 ， ｉ 由命 题 ３ ，
由命题 ４５得 Ｍ（ 对 一切 ￡ ， ） ‘＞０满足 △ 条 ： 件 ， 对一 切 ｕ＞０满 足不 等式 则
（）＞ 。 ｎ
我们 称 是 （ ｔ） Ｘ， 一 （， ｘ １ ）的线性算 子 ， ， 如
果
这样 就有 ，
』 ： Ｊ 二 １ ）： 仃 （
【
一
ｆ ＬｌｇＩ Ｉ 一 ｏ
ｎ ＝２
满足 △ 条 件 是指 ｊｃ＞０ ｊｕ ２ ， ｏ＞０，．． ｓｔ
ｎ ≥３
Ｍ（ｕ ２ ）＜ｃ ｕ ｔ ０ Ｍ（ ）（ ｔ＞Ⅱ）．Ⅳ表示 的余 Ｏ ｌ ｚ ｒｃ ｉ
表 示 拉 普 拉 斯 方 程 的 基 本 解 ．且 在 本 题 中假 设
要应用 Ｍａｃｎ ｗｃ 插 值 方 法 对 Ｐ ｉ ｉｎ方程 弱 ｒｉｋ ｉ ｚ ｏｓ ｏ ｓ
解 的正则 性进 行估 计．
所 有 ， 他们 的广 义导 数 Ｄ 也 属 于 Ｌ ． ＝（ ， 。
，…
，
）是 非 负 整 数 ％ 的一 个 重 组 ，Ｉ Ｉ＝
１ 准备 知识
用 Ｉ ｌ ｌ ｆｌ
Ｓ ｂ ｌｖ范数 ． ｏ ｏｅ
（）＝ Ｊ （）ｔ ｕ ￡ｄ，
０
这 里 （ ） 足下 面三条 ： １ （）是 由连续非 降 ｔ满 （） ｔ 函数． ２ （ ）当 ｔ＞０时 ， ｔ ＞０ ３ （ ） ＝０， （） ．（ ） Ｏ
¨ （） ＝＋ｏ． 毋 ｔ 。
△ ＝８ 在 中 ， 表 示 在 中 的荻 拉 克 测 ， ｏ
度．这 样 在形式 上就 有 ： Ｖ ∈ Ｃ ） 对 （
函数，（）＝ Ｊ （）ｓ （） Ⅳ口 ｓｄ， ｓ 是 （ 的右逆函 咖 ￡ ）
收稿 １ ：０ ０—１ —１ ３期 ２ １ ０ ２ 国家 自然 科 学 基 金 资助 项 目（ １７０ １ １０ １５ ）