2010线代期末复习

T A P
T
dr 0
d1 P
0 0 r 1 T T dr P P d2 P P P 0 n 1 0n 2 0n r
P 0
3、若向量个数“多”的向量组可由个数“少”的线性表出 则“多”的向量组必线性相关。
4、整体无关，则部分无关。（部分相关则整体相关）。
5、维数小于个数的向量组必线性相关。
1, 2, …, n线性无关
若x11+ x22+ …+ xmm =0，则 R(1, 2, …, n)=n;
R A n （ ）
线性代数单元检测题二
x1 x2 x3 x4 1 六已知齐次线性方程组 4 x1 3 x2 5 x3 x4 1 . ax x 3 x bx 1 3 4 1 2 有三个线性无关的解.(1)证明方程组系数矩阵A的秩R( A) 2; (2)求a , b的值及方程组的解.
T T
从而A是可逆的（即满秩）
9、设A、B是同阶正定矩阵，证明：det( A-B) 0的根都是正根。
证明： A正定， 存在可逆阵P，使
PT AP I
由 A-B 0 PT A-B P 0 I-PT BP 0
B是正定， P BP也是正定的
T
即 I-P T BP 0的根全为正数
x y5 z 此直线方程为： 1 2 2
联立此直线方程和平面方程可求得交点即为待求之圆心：
x 2 y 2 z 19 0 x y5 z 1 2 2
解之，得： x 1, y 7, z 2
2 2
圆心到球面球心距离为：1 ＋ 7－5 ＋22＝3
diag (1 , 2 ,, n ) 既相似又合同！
用正交变换化实二次型为标准形
定理: 对任实二次型f(X),都存在正交变换X=CY, 使
f(X) X T AX X = CY
y y y
2 1 1 2 2 2
2 n n
其中 1 ，2 ，…，n是A 的特征值.
）；
）；

特别地：I 3 A 2 A 的特征值（ 1 3 2
1
1

）

1 2 n a11 a22 ann
12 n A .
特征向量的性质：
1
若1 ,... r 是A 的对应于的特征向量则 k11 ..... kr r ( 0)也是A对应于的特征向量。
, 有 x1= x2= …= xm=0
A=(1, 2, …, n)
AX = 0 只有零解.
线性方程组解的存在性：
设A =(1, 2, …, n),
1、AX = 0 有非零解 A的列向量组 1, 2, …, n线性相关 R( A) n
2. AX = 0 只有零解 A的列向量组 1, 2, …, n线性无关
15、求圆
x 2 y 2 z 2 10 y 的圆心和半径。 x 2 y 2 z 19 0
解：x 2 y 2 z 2 10 y表示以A(0, 5, 0)为球心， 5为半径的球面。
过A点做一条直线和x 2 y 2z 19 0所表平面垂直，
其中 d i 0 i 1, , r
4、设二次型
（注意：此题没要求求正交变换！） 2 2 f x12 x2 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
2 2 经正交变换X=CY化为f y2 2 y3 , 其中X ( x1 , x2 , x3 )T , Y ( y1 , y2 , y3 )T ,
1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 5 A 4 3 5 1 0 0 4 2 a b 4a 5 a 1 3 b
分析：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 2a 0 b 4a 5 0
线性代数单元检测题三
( A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关； ( B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关； (C ) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关； ( D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关；
（2004年考研题一）
选择题： 设有三张不同平面的方程 ai1 x ai 2 y ai 3 z bi , (i 1, 2,3)它们组成的 线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩 Ｂ 为2，则这三平面可能的位置关系为（ ）。
2
值为
0 ， 5， 5
(2002级期末考试题)
选择题: 下列矩阵中，正定矩阵是（
C）.
1 2 3 1 2 3 （A） 2 7 5 （B） 2 4 5 ； 3 5 0 3 5 7
5 2 0 （C） 2 6 2 ；（D） 0 2 4
C是3阶正交矩阵，求常数， .
1 解：A 1

1

1 k 1 1 , kI A k 1 1 1 k 1
(k 1)3 2 (k 1)(1 2 2 )
又0，2为其特征值，于是： 1，
5、用正交变换化实二次型为标准形。 或化二次方程为标准方程 或用正交矩阵将实对称矩阵对角化(方阵的k次幂）。 或已知实对称阵A的特征值、特征向量，求A。 或判定实二次型的正定性。
证明题：
1、向量组的线性相关性.
2、矩阵的可逆性.
3、矩阵的特征值与特征向量. 4、其它。
n 阶方阵A可逆的充要条件：
2 矩阵 A 不同特征值对应的特征向量线性无关 . 3 实对称矩阵 A 不同特征值对应的特征向量相互正交。
向量组的线性相关性：
1、若1, 2, …, s线性无关， ,1, 2, …, s线性相关， 则 可由1, 2, …, s线性表出，且表达式唯一。 2、若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则 R(Ⅰ）≤R(Ⅱ)
A可逆 AB I A 0 R A n （ ） A与I 行等价；
A可表示为有限个初等矩阵的乘积；
AX 0只有零解或AX b只有唯一解；
A的列（行）向量组线性无关 A的特征值非零；
矩阵的特征值与特征向量： 设n阶方阵A满足： A 0 , 则 （1）AT的特征值为（ ）；
1 2 (1 2 2 ) 0 0 2 0 1 2 (1 2 2 ) 0
0
7、设A为n阶实对称矩阵，证明：A满秩的充要条件是 存在实矩阵B，使 AB+BT A为正定矩阵。
“ 证明： ”若A满秩， B=A-1， 令
k （2）kA的特征值为（ ）； （3）Ak的特征值为（ ）； k 特 1 -1的特征值为（ 征 （4）A可逆时，A 向 A （5）A可逆时，A*的特征值为（ 量 为 k （6）设 f ( A) a0 I a1 A ak A 则f(A)的特征值为（ f ( ) ）
设A，B为n阶实对称矩阵，则 A与B合同 的充要条件为（ D ）。
( A) A与B有相同的特征值； ( B) A与B有相同的秩； (C) A与B有相同的行列式； ( D) A与B有相同的正,负惯性指数；
七.设A为n阶矩阵, 1 , 2 ,... n为n唯列向量, n 0, A 1 2 , A 2 3 ,... A n-1 n , A n 0, 求证 : A不能对角化.
0 1 0 A( 1 , 2 ,... n ) ( 1 , 2 , ... n ) 1 1 0
分析：
第六章习题解答
P 244
1、证明：秩为r的对称矩阵可以表示成r个秩等于1 的对称矩阵之和 证明： 设对称矩阵A的秩为r，则有可逆矩阵P使得： d1 (见P213定理1）
此时AB+BT A=2I 是正定矩阵
" " 若AB BT A正定， x 0 则
x ( AB B A) x xT ABx xT BT Ax
T T
( Ax) Bx ( Bx) Ax 0, T 即 ( Bx) Ax 0, x 0,Ax 0, 即AX 0只有零解
于是圆半径为 52－32＝4
19、已知二次曲面方程 x 2 ay 2 z 2 2bxy 2 xz 2 yz 4 x 可以经过正交变换 y C 化为椭圆柱面方程 2＋4 2 4, z 求a , b的值和正交矩阵C 1 b 1 解：该二次曲面对应二次型的矩阵为：A b a 1 1 1 1 1， 由题意可知 A的特征值为0，4

R( A) n
( n为A的列数！ n亦为方程未知量的个数！）
3、AX = b 有解 b可由1, 2, …, n线性表出
R(A R(A r ) )
(此时当 r n 时，有无穷多个解；当 r n 时有唯一解）
空间解析几何：
1、向量的加、减、数乘、内积、外积、混合积。 2、平面及直线的方程及位置关系。 3、三类二次曲面的标准方程及图形, 柱面方程与 旋转面方程及图形.
线性代数答疑安排
• • • • 1月11日上午：9—12点 1月12日上午：9—12点 1月12日下午：2:30— 5:30点 地点：A412
线性代数期末考试要点
题型分析： 填空题、选择题 15-30%
基本计算题
证明题
75-50%
10-20%
务必掌握的计算：
1、三、四阶行列式、 n 阶行列式、 箭形行列式、 范德蒙行列式的计算。 2、解非齐次线性方程组（含参数）。 或向量组的线性表出问题。 3、求矩阵的秩（向量组的秩与最大无关组） 、 求矩阵的逆（如 解矩阵方程）。 4、求平面与直线的方程及位置关系。