数字信号处理原理与实践 第3章
数字信号处理—理论与实践(郑国强)章 (3)
号x(t)进行等间隔采样， 若采样间隔为T， 就可以得到只在均
匀间隔的离散时间nT点上取值的信号(n为整数)， 即
(3.1-1)
x(nT)=x(t)|t=nT, －∞<n<+∞
由于实际的信号处理通常是非实时的， 按照时间顺序采 集得到的数字序列先存放在存储器中， 以供分析处理时随时 取用， 因此x(nT)可以看做有序的一组数据， nT仅是表示数 据在序列中前后位置的顺序， 可以直接用x(n)表示第n个时间 点的序列值。
0
对于上式中2π/ω0的不同取值， 正弦序列的周期性对应有以 下三种不同情况：
第 3 章 离散时间信号与系 统
(1) 当2π/ω0为整数时， 只需取k=1， 就能保证正弦序 列是以2π/ω0为最小周期的周期序列。 例如 sin(nπ/8)， 这 里ω0=π/8， 2π/ω0=16， 因此该正弦序列的最小周期为16。
第 3 章 离散时间信号与系 统
已知两序列x(n)和y(n)分别为
x(n)={2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 0≤n≤7
y(n)={－2, 2, 1, 3, 4, 5, 1, 7}, －1≤n≤6
求序列z(n)=x(n) · y(n)。
z(n)如图3-10所示。
第 3 章 离散时间信号与系 统
－1≤n≤7。 x(n)、 y(n)和z(n)三者的波形如图3-9所示。
2.
两序列x(n)和y(n)之间的乘法， 是指两个序列x(n)和y(n)
同序号的序列值逐项对应相乘而得到的一个新序列z(n)， 表示
为z(n)=x(n) · y(n)。
第 3 章 离散时间信号与系 统
图3-9 序列相加
例3-2
数字信号处理第三章习题答案
解 （1） 已知F＝50Hz
Tp min
1 F
1 50
0.02s
（2）
1
1
1
Tmax
fs min
2 fmax
2 103
0.5ms
（3）
N min
Tp T
0.02s 0.5 103
40
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间 扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）.
2
N
2
N
k) k)
N] 2 ,k 2]
0,1,L
,N
1
1 e j0N
或
X7 (k)
1
e
j (0
2 N
k
)
,k
0,1,L
,N
1
(9) 解法一
x9 (n)
cos(0n)RN
(n)
1 [e 2
j0n
e
] j0n
N 1
X9 (k) x9 (n)WNkn n0
0,
,0 k N 1 km
(7)
X7 (k)
N 1
e W j0n kn N
n0
e N 1
j
(0
2 N
k
)n
n0
1 e j
(0
2 N
k
)
N
1
e
j
(0
2 N
k
)
ej
(0
《数字信号处理原理与实践》教学课件3
8
3.2 序列的傅立叶变换的性质(2)
ii) 频域函数的共轭对称分解：
= + ( )
其中
= + ∗ (− )
= − ∗ (− )
9
= + ()
其中
= + ∗ (−)
武汉理工大学
数字图像处理
信息学院
离散时间信号与系统的频域分析
2
3.2 序列的傅立叶变换的性质(2)
1、线性性
2、周期性
3、时移与频移
4、时域卷积定理
5、频域卷积定理
6、帕塞瓦尔定理
7、对称性
3
3.2 序列的傅立叶变换的性质(2)
7、对称性
（1）定义
共轭对称序列定义为：
x e ( n) x e ( n)
()共轭对称序列
= − (−)
=
(−)
7
>
=
<
= + ()
其中 = + ∗ (−)
= − ∗ (−)
3.2 序列的傅立叶变换的性质(2)
例：对序列 = . ()进行奇偶分解
= − ∗ (−)
3.2 序列的傅立叶变换的性质(2)
iii）序列傅里叶变换的共轭对称性质
设：
= + = +
= + = +
数字信号处理(方勇)第三章习题答案
数字信号处理(方勇)第三章习题答案3－1 画出)5.01)(25.01()264.524.14)(379.02()(211211------+--+--=z zz z z z z H 级联型网络结构。
解：23－2 画出112112(23)(465)()(17)(18)z z z H z z z z --------+=--+级联型网络结构。
解：()x n ()y n 243－3 已知某三阶数字滤波器的系统函数为1211252333()111(1)(1)322z z H z z z z -----++=-++，试画出其并联型网络结构。
解：将系统函数()H z 表达为实系数一阶，二阶子系统之和，即：()H z 11122111111322z z z z ----+=+-++ 由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示：)题3-3图3－4 已知一FIR 滤波器的系统函数为121()(10.70.5)(12)H z z z z ---=-++，画出该FIR 滤波器的线性相位结构。
解： 因为121123()(10.70.5)(12)1 1.30.9H z zz z z z z ------=-++=+-+，所以由第二类线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：()x n 1-1-1z -题3-4图3－5 已知一个FIR 系统的转移函数为：12345()1 1.25 2.75 2.75 1.23H z z z z z z -----=+--++求用级联形式实现的结构流图并用MATLAB 画出其零点分布及其频率响应曲线。
解： 由转移函数可知，6=N ，且)(n h 偶对称，故为线性相位系统，共有5个零点，为5阶系统，因而必存在一个一阶系统，即1±=z 为系统的零点。
而最高阶5-z 的系数为+1，所以1-=z 为其零点。
)(z H 中包含11-+z 项。
所以：11()()(1)H z H z z -=+。
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章 离散傅里叶变换及其快速算法 学习要点及习题答案
·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。
因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。
离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。
只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。
学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。
如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。
但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。
对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。
3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。
3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。
(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。
第三章数字信号处理课后答案刘顺兰版
第三章数字信号处理课后答案刘顺兰版第三章部分习题解答（数字信号处理（第二版），刘顺兰，版权归作者所有，未经许可，不得在互联网传播）3.1如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需100μs ，每次复加需20μs ，今用来计算N=1024点的)]([n x DFT ，问用直接运算需要多少时间，用FFT 运算需要多少时间？解：∑?=====101010,21024,)()(N n nk N M N Wn x k X直接运算所需的总时间为s N N s N T d μμ20)1(1002×?+×=秒分62126201023102410010242=≈××+×=s s s μμFFT 运算所需总时间为s NM s M N T F μμ201002×+×=s s s 717.02010102410010102421=××+×××=μμ3.2在基-2FFT 算法中，最后一级或开始一级运算的系数10==N p N W W ，即可以不做乘法运算。
问（1）乘法可节省多少次，所占百分比为多少？解：可节省2N 次，所占百分比为 %100log 1%100log 2222×=×N N N N 如 8=N 则为%3.33%10031≈×3.11以20kHz 的采样率对最高频率10kHz 的带限信号()a x t 采样，然后计算)(n x 的1000N =个采样点的DFT ，即210()()N j nk N n X k x n eπ??==∑，1000N =.（1）试求频谱采样点之间的频率间隔是多少?（2）在()X k 中，200k =对应的模拟频率是多少?（3）在()X k 中，700k =对应的模拟频率是多少?解:（1）频谱采样点之间的频率间隔为:20000201000s f f Hz N Δ=== （2）200k =对应的模拟频率为20000200400041000s k f f k Hz kHz N ==×== （3）因700k =大于N/2,故其对应的模拟频率为 20000()300600061000s k f f N k Hz kHz N =?=×== 3.12 对一个连续时间信号)(t x α采样1s 得到一个4096个采样点的序列：(1) 若采样后没有发生频谱混叠，)(t x α的最高频率是多少？(2) 若计算采样信号的4096点DFT，DFT 系数之间的频率间隔是多少Hz?(3) 假定我们仅仅对Hz f Hz 300200≤≤频率范围所对应的DFT 采样点感兴趣，若直接用DFT，要计算这些值需要多少次复乘？若用按时间抽取FFT 则需要多少次？解：（1）由题意可知：4096s f Hz =，故)(t x α的最高频率/22048h s f f Hz == （2）409614096s f f Hz N Δ=== （3）直接用DFT 计算，所需要的复乘次数为(3002001)1014096413696d M N =?+=×=若用按时间抽取FFT 则需要的复乘次数为10log 204812245762F N M N ==×= 3.17若给定两个实序列)(1n x 、)(2n x ，令：)()()(21n jx n x n g +=，)(kG 为其傅里叶变换，可以利用快速傅里叶变换来实现快速运算，试利用傅里叶变换的性质求出用)(k G 表示的)(1n x 、)(2n x 的离散傅里叶变换)(1k X 、)(2k X 。
数字信号处理课后第三章习题答案
1 e j 0 N
2 j(0 k ) N 1 e
k 0, 1, , N 1
（8） 解法一
直接计算：
1 j 0 n x8 (n) sin(0 n) RN (n) [e e j 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 (n)
n 0
N 1
kn x8 (n)WN
k 0, 1, , N 1
(4)
X (k ) WNkn
n 0
m1
π j ( m1) k 1 WNkm N e 1 WNk
π sin mk N R (k ) N π sin k N
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第３章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
（10） 解法一
X (k )
n 0
N 1
kn nWN
k 0, 1, , N 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n)， 所
以
x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到
1 [e j0 n e j0 n ] e 2 j n 0
数字信号处理第三版西科大课后答案第3和4章
采用数字信号处理技术对生物医学信号进行分析与处理，如心电图、 脑电图等信号的处理与识别。
04
重点难点总结与复习指导
第三章重点难点总结
离散时间信号与系统的时域分析
掌握离散时间信号的定义、性质及分类，理解离散时间系统的描述方式，掌握卷积和的计 算方法。
离散时间信号的频域分析
理解周期信号的傅里叶级数展开，掌握离散时间信号的傅里叶变换及其性质，了解频域采 样理论。
内部奇点的留数和。这种方法适用于X(z)在复平面上有奇点的情况。
系统函数H(z)求解方法
直接法
根据系统差分方程，直接写出系统函 数H(z)的表达式。这种方法简单直接， 但需要注意差分方程的初始条件和边 界条件。
间接法
先求出系统的单位冲激响应h(n)，然 后根据h(n)求出H(z)。这种方法需要 先确定系统的单位冲激响应，计算量 相对较大。
课后习题解答与技巧
熟练掌握z变换的定义和性质，能够灵活运用这些 性质进行信号处理和系统分析。
理解系统函数H(z)的物理意义，掌握其求解方法 ，并能够根据H(z)分析系统的稳定性和频率响应 特性。
掌握z反变换的计算方法，能够根据具体情况选择 合适的方法进行求解。
在解答课后习题时，注意审题和理解题意，明确 题目要求和已知条件，选择合适的公式和方法进 行求解。同时，注意计算过程和结果的准确性， 避免出现计算错误或遗漏重要步骤的情况。
时不变性质
系统对输入信号的响应不随时间推移而改变，即 输入信号延迟或提前一定时间后，输出信号也相 应延迟或提前相同的时间。
稳定性判定
系统对任意有界输入信号的响应也是有界的，即 输出信号的幅度不会无限制地增长。
课后习题解答与技巧
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例3-3 计算例3-2 中的序列x(n)的DTFT 和该序 列8 点的DFT 以及16 点的DFT
解: （1）x(n)的DTFT
（2）x(n)的8点DFT
（2）x(n)的16点DFT
结果如图所示：
3.3.3 离散傅里叶变换的性质
1）线性
其中a、b 为任意常数。需要注意的是:如果x1(n)和 x2(n)具有不同的长度,即它们分别为N1 和N2 点的 序列,那么应该选取N≥max(N1 , N2),并作N 点的DFT。 此时x1(n)和x2(n)都需补零值,补到皆为N 点序列。
例3-1 求下面给出的周期序列的离散 傅里叶级数的系数。
(n) {, 0,1,3,5, 0,1,3,5, 0,1,3,5, } x
解：由题可知，该序列的周期
N 4
，
在matlab中可以使用dfs函数来实现 离散傅里叶级数的正变换。
function[Xk]=dfs(xn,N) n=[0:1:N-1]; k=[0:1:N-1]; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n’*k; WNnk=WN.^nk; Xk=xn*WNnk; 例3-1中的问题可以通过如下语句来实现。 xn=[0,1,3,5];N=4;xk=dfs(xn,N) 程序输出结果为： xk = 9.0000 -3.0000 + 4.0000i -3.0000 - 0.0000i -3.0000 4.0000i
圆周卷积
例3-3
已知有限长序列 计算这两个序列4点的圆周卷积 解：当 n=0 时,
。
当 n=1 时,
当 n=2 时,
当 n=3 时,3.4利用DFT计算线性 Nhomakorabea积
当 N N N
1
2
1
时，
结论：如果 N N1 N2 1 ，则N 点的圆周卷积 能代表线性卷积。
例3-4
3.2.2 离散傅里叶级数的性质
1) 线性
2) 移位特性 3) 调制特性
4) 对称性 5) 周期卷积
如果 则
6)对偶性
若
则
3.3 有限长序列的离散傅里叶变换
3.3.1 离散傅里叶变换的定义
有限长序列的离散傅里叶变换的定义: 正变换: 反变换:
例3-2 设一有限长序列x(n)为
连续时间非周期信号的傅里叶变换对
2). 连续时间周期信号的傅里叶级数
周期为 T 的连续时间周期信号 x(t ) x(t mT0 ) ， 可以用指数形式的傅里叶级数来表示。 傅里叶级数表示形式为：
0
3). 离散非周期序列的傅里叶变换
离散非周期序列的傅里叶变换对：
T
4). 有限长序列的离散傅里叶变换
2）序列的圆周(循环)移位
一个有限长序列x(n)的圆周移位定义为 式中 的移位,即 圆周移位后的序列xm (n) 的DFT为：
(n) x 表示x(n)的周期延拓序列
3）对偶性 若 则
4）设长度为 N的有限长x1(n)和x2(n) ，且
若 则 这个卷积公式称为圆周卷积或循环卷积。
3.2.1离散傅里叶级数的定义 ~ 设 x (n) 是周期为N的一个周期序列，即
式中 N 是序列的基波周期。 周期序列的离散傅里叶级数对：
时域周期序列的离散傅里叶级数在频域也 是一个周期为N 的周期序列，即
函数W N 具有如下性质:
1)共轭对称性
2)周期性 3)可约性 4)正交性
一个域的离散必然造成另一个域的周期延 拓。 离散傅里叶变换是针对有限长序列或者周 期序列才存在的，其实质是对序列的连续 傅里叶变换加以离散化，频率域的离散化 造成时间域也呈周期性，因此将级数限制 在一个周期之内。
离散傅里叶变换对可以表示为：
表3-1 四种傅里叶变换形式
3.2 周期序列的离散傅里叶级数 (DiscreteFourierSeries,DFS)
已知4点序列 x1(n)和x2(n) ：
请用计算圆周卷积的函数circonvt来计算x1(n)和x2(n) 的线性卷积。 解：选择 N N1 N2 1 7 ，有 x1=[1,2,3,4];x2=[5,6,7,8]; y=circonvt(x1,x2,7) 程序运行结果为： y= 5 16 34 60 61 52 32
计算x(n)的4点DFT。 解:用X4(k)表示它的4点DFT,那么
3.3.2 DFT、DTFT和z 变换的关系
已知x(n)为N 点长的有限长序列,即n∈[0,N-1], 则x(n)的z 变换为
x(n)的DTFT为 x(n)的DFT为
即有限长序列x(n)的DTFT就是单位圆上的z 变 换,由于其结果X(ejω)中,ω 是连续变化的,且ω∈[∞,∞],体现了DTFT的结果是以2π为周期的连续、 周期的频谱。
第3章 离散傅里叶变换
数字信号处理原理与实践 (修订版)@NEU
3.1 傅里叶变换的几种形式
傅里叶变换的目的是建立以时间为自变量 的信号与以频率为自变量的频谱函数之间 的某种变换关系，即实现时间域到频率域 的变换。 当时间域和频率域的自变量取连续值或离 散值时，形成各种不同的傅里叶变换对。
1). 连续时间非周期信号的傅里叶变 换
介绍了傅里叶变换的几种形式，以及周期 序列的傅里叶级数、有限长序列的傅里叶 变换和它们的重要性质。 介绍了用DFT计算线性卷积的方法。 介绍了二维傅里叶变换。
3.5 二维离散傅里叶变换
3.5.1二维离散傅里叶变换的定义 X(k,l)表示x(m,n)的二维离散傅里叶变换 简称2DFT
3.5.2二维离散傅里叶变换的性质
1)线性性质
这里要求
x1 (m, n)
和
x2 (m, n)
具有相等的维数。
2）位移性质 若
相应地
本章小结