中考数学解析版试卷分类汇编专题 动态问题
中考数学复习考点知识与题型归类解析50---动态型问题(解析版)
中考数学复习考点知识与题型归类解析50---动态型问题一、选择题9.（2020·湖北孝感）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，AB=4，BC=6，∠BAD=30°，（第9题）动点P 沿路径A →B →C →D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向点D 运动，过点P 作PH ⊥AD ，垂足为H ，设点P 运动的时间为x(单位：s)，△APH 的面积为y ，则y 关于x 的函数图像大致是( ){答案}D{解析}当点P 在AB 上移动时，AP=x ，∵∠A=30°，则AH=√32x ，PH=12x ，∴y=√32x ×12x ÷2=√38x 2，y 是x 的二次函数,当x=4时，y=2√3；当点P 在BC 上移动时，即4＜x ≤10时，y=x-4+2√3，y 是x 的一次函数，当x=10时，y=6+2√3； 当点P 在CD 上移动时，当10＜x ≤12时，y=(6+2√3)(12-x)=-( 6+2√3)x+12×（6+2√3），y 是x 的一次函数，y 随x 的增大而减小.故选D.9．（2020·南通） 矩形ABCD 中，E 为AD 边上的一点，动点P 沿着B －E －D 运动，到D 停止，动点Q 沿着B －C 运动到C 停止，它们的速度都是1cm/s ，设它们的运动时间为x s ，△BPQ 的面积记为y cm 2，y 与x 的关系如图所示，则矩形ABCD 的面积为A ．96B ．84C ．72D ．56{答案}C{解析}由已知可得当点P 运动到与E 点重合时，x ＝10，过点E 作EH ⊥BC 于H ，11103022y BQ EH EH =⨯=⨯⨯=，得EH ＝AB ＝6，在Rt △ABE 中，由勾股定理求得AB ＝6，由右图可知当x ＝14时，点Q 与点C 重合，所以BC ＝14，所以矩形ABCD 的面积＝12×6＝72，故选C ．（2020·本溪）10．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）y/cmA．B．C．D．{答案}{解析}根据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，可得AB＝4，根据CD⊥AB于点D．可得AD＝BD＝2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，∴AB＝4，∠A＝45°，∵CD⊥AB于点D，∴AD＝BD＝2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵点P运动的路程为x，∴AP＝x，x，则AE＝PE＝x•sin45°=√22x，∴CE＝AC﹣AE＝2√2−√22∵四边形CEPF 的面积为y ，∴当点P 从点A 出发，沿A →D 路径运动时， 即0＜x ＜2时， y ＝PE •CE =√22x （2√2−√22x ） =−12x 2+2x=−12（x ﹣2）2+2，∴当0＜x ＜2时，抛物线开口向下； 当点P 沿D →C 路径运动时， 即2≤x ＜4时，∵CD 是∠ACB 的平分线， ∴PE ＝PF ，∴四边形CEPF 是正方形， ∵AD ＝2，PD ＝x ﹣2， ∴CP ＝4﹣x ，y =12（4﹣x ）2=12（x ﹣4）2． ∴当2≤x ＜4时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y 与x 之间函数关系的图象是A ．9．（2020·东营）如图1，点P 从△ABC 的顶点A 出发，沿A →B →C 匀速运动到点C ，图2是点P 运动时线段CP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中点Q 为曲线部分的最低点，则△ABC 的边AB 的长度为（ ）A.12B. 8C.10D.13{答案}C{解析}本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题的关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．当P 点分别与A 、B 重合时，PC=13，由此可推出：△ABC 是等腰三角形，AC=BC=13； 当CP ⊥AB 时，PC 的值最小，即△ABC 中，AB 上的高为12，此时P 点恰好运动至AB 的中点， ∴2213125AP，∴210AB AP ．9．（2020·威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB ＝40cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．25cm 2B ．1003cm 2 C ．50cm 2 D ．75cm 2【分析】如图：设OF ＝EF ＝FG ＝x ，可得EH ＝2√2x ＝20，解方程即可解决问题． 【解析】：如图：设OF ＝EF ＝FG ＝x ，ABC∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，EH＝2√2x，由题意EH＝20cm，∴20＝2√2x，∴x＝5√2，∴阴影部分的面积＝（5√2）2＝50（cm2）故选：C．11．（2020·淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12 B．24 C．36 D．48【解析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC=2−BP2=√102−82=6，△ABC的面积=12×AC×BP=12×8×12＝48，故选：D ．二、填空题15．（2020·鄂州）如图，半径为2cm 的O 与边长为2cm 的正方形ABCD 的边AB 相切于E ，点F 为正方形的中心，直线OE 过F 点．当正方形ABCD 沿直线OF 以每秒(2-的速度向左运动__________秒时，O 与正方形重叠部分的面积为22cm 3π⎛- ⎝．{答案}1或1163．{解析}本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情况讨论是本题的解题关键．将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到OF 的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论． 解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA ，OB ，AB 交OF 于点E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为S 扇形OAB -S △OAB 由题意可知：OA ＝OB ＝AB ＝2，OF ⊥AB ∴△OAB 为等边三角形 ∴∠AOB ＝60°，OE ⊥AB在Rt △AOE 中，∠AOE ＝30°，∴AE ＝112OA =，OE ∴S 扇形OAB -S △OAB 260π212=23π336023∴OF ＝1∴点F 向左运动3(31)23个单位所以此时运动时间为3=123秒②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC ，OD ，CD 交OF 于点E此时正方形与圆的重叠部分的面积为S 扇形OCD -S △OCD 由题意可知：OC ＝OD ＝CD ＝2，OF ⊥CD ∴△OCD 为等边三角形 ∴∠COD ＝60°，OE ⊥CD在Rt △COE 中，∠COE ＝30°，∴CE ＝1OC 12，OE ∴S 扇形OCD -S △OCD 260π212=23π336023∴OF ＝1∴点F 向左运动3(31)43个单位所以此时运动时间为43=116323秒 综上，当运动时间为1或1163秒时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为22π3(cm )3故答案为：1或1163．17．（2020•湘西州）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与△ABO 重叠部分的面积为则矩形CODE 向右平移的距离为 ．（第17题图）{答案}2{解析}本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．∵点A （6，0），∴OA ＝6，∵OD ＝2，∴AD ＝OA ﹣OD ＝6﹣2＝4，∵四边形CODE 是矩形，∴DE ∥OC ，∴∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD ＝8，ED ===，∵OD ＝2，∴点E 的坐标为（2，；由平移的性质得：O ′D ′＝2，E ′D ′＝，ME ′＝OO ′＝t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，∴∠E ′FM ＝∠ABO ＝30°，∴在Rt △MFE ′中，MF ＝2ME ′＝2t ，FE ′===t ，∴S △MFE ′12=ME ′•FE ′12=⨯t22=，∵S 矩形C ′O ′D ′E ′＝O ′D ′•E ′D ′＝2×=S ＝S 矩形C ′O ′D ′E ′﹣S △MFE ′＝t 1=2，t 2=-2（舍去），因此本题答案是2．17．（2020·通辽）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC ＝x ，P A +PE ＝y ．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a +b 的值为 ．{答案}7{解析}∵点E 是边AB 的中点，∴AE =BE =12AB ．从图象中可以看出，当x 的值最大时，所对应的函数值是P 恰与点B 重合．此时P A +PE ＝AB +12AB =32AB =AB ==AC，AE =BE E 关于BC 的对称点F ，连结AF 交BC 于点P ，此时P A +PE 有最小值，即是AF 长，连结BF ．∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC =∠C =30°，由轴对称可得BF =BE ，∠ABC =∠FBP =30°，∴∠EBF =60°，∴△EBF 是等边三角形，∴EF =BE ，∵AE =BE ，∴AE =BE = EF ，易证△ABF 是直角三角形，∴AF =AB ·sin ∠ABF==，即a =3，在△ABF 中，∠AFB =90°，∠ABF =60°，∴∠BAF =30°，∵∠BAC ＝120°，∴∠P AC =∠BAC －∠BAF =90°，∴cos C =cos30°=ACPCPC223=4，即b =4，∴a +b =7．三、解答题24．（2020·温州）如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝∠C ＝90°,DE ,BF 分别平分∠ADC ,∠ABC ,并交线段AB ,CD 于点E ,F (点E ,B 不重合).在线段BF 上取点M ,N (点M 在BN 之间),使BM ＝2FN .当点P 从点D 匀速运动到点E 时,点Q 恰好从点M 匀速运动到点N .记QN ＝x ,PD ＝y ,已知6125y x =-+,当Q 为BF 中点时245y =.(1)判断DE 与BF 的位置关系,并说明理由. (2)求DE ,BF 的长.E(3)若AD＝6.①当DP＝DF时,通过计算比较BE与BQ的大小关系.②连结PQ,当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时,求所有满足条件的x的值.{解析}这是一道四边形动点综合题。
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动态问题一、选择题1．（2013江苏苏州，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则P A ＋PC 的最小值为（ ）．A B C D ．【答案】B ．【解析】如图，作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时P A ＋PC 的值最小，求出AM ，求出AD ，求出DN 、CN ，根据勾股定理求出CD ，即可得出答案．解：如图，作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时P A ＋PC 的值最小．∵DP =P A ，∴P A ＋PC =PD ＋PC =CD ．∵B （3，∴AB ，OA =3，∠B =60°．由勾股定理得：OB ．由三角形面积公式得：12×OA ×AB =12×OB ×AM ，即12×3=12×AM ．∴AM =32．∴AD =2×32=3．∵∠AMB =90°，∠B =60°， ∴∠BAM =30°，∵∠BAO =90°，∴∠OAM =60°． ∵DN ⊥OA ，∴∠NDA =30°，∴AN =12×AD =32．由勾股定理得：DN=2． ∵C （12，0），∴CN =3－12－32=1．在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC 2．即P A ＋PC 所以应选B ．【方法指导】本题考查了三角形的内角和定理，轴对称的最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置，题目比较好，难度适中． 【易错警示】弄不清楚最小值问题，赵不到最短距离而出错．2．（2013山东临沂，14，3分）如图，正方形ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动．设运动时间为t (s )，△OEF 的面积为S (cm 2)，则S (cm 2)与t (s )的函数关系可用图象表示为（ ）【答案】：B ．3（2013四川南充，10，3分）如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s ．设P ，Q 出发秒时，△BPQ 的面积为y cm 2，已知y 与的函数关系的图象如图2（曲线OM 为抛物线的一部分）．则下列结论： ①AD=BE=5cm ；②当0＜≤5时，252t y =；③直线NH 的解析式为2725+-=t y ； ④若△ABE 与△QBP 相似，则429=t 秒．其中正确结论的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】：B ．【解析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P 到达点E 时点Q 到达点C ，从而得到BC 、BE 的长度，再根据M 、N 是从5秒到7秒，可得ED 的长度，然后表示出AE 的长度，根据勾股定理求出AB 的长度，然后针对各小题分析解答即可． 【方法指导】本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出A ．D ．DF点P 到达点E 时，点Q 到达点C 是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大． 4．(2013湖北荆门，12，3分)如图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右匀速(注：“匀速”二字为录入者所添加)平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是( )【答案】A【解析】为计算的方便，不妨设AB ＝CD，AD ＝1，∠ABC ＝45°．分别过点A ，D 向BC 作垂线，垂足依次为E ，F ，如图3，设动直线l 移动的速度为x ．①当0≤x ＜1时，S ＝12x 2，其图象是开口向上的抛物线的一部分；②当1≤x ＜2时，S ＝12＋1×(x －1)＝x －12，其图象是直线的一部分；③当2≤x ≤3时，S ＝2－12(3－x )2，其图象是开口向下的抛物线的一部分．综上所述，选A ．【方法指导】判断函数大致图象的试题，一般应先确立函数关系解析式，再根据函数图象及性质做出合理的判断．解答分段函数的图象问题一般遵循以下步骤：①根据自变量的取值范围对函数进行分段；②求出每段的解析式；③由每段的解析式确定每段图象的形状． 5 (2013山东烟台，12,3分)如图1．E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE-—ED —DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止．它们的运动速度都是1cm /s .若点P ,Q 同时开始运动，设运动时间为t (s )，⊿BPQ 的面积y (cm 2).已知y 与t 的函数关系图像如图2，则下面结论错误的是（ ）A . cm AE 6=B . 54sin =∠EBC C . 当100≤<t 时，252t y =D .当s t 12=时，PBQ ∆是等腰三角形A ．B ．C ．D ．(第12题)图3【答案】A【考点解剖】本题是一道典型的动点问题，主要考查了三角函数、等腰三角形的判定、二次函数的解析式、三角形的面积公式，解决本题的关键是能够根据图形中点的位置与相应线段、面积的变化来理解函数图象表达的意义，数形结合，化静为动，从而正确的解决问题. 【解析】如图：利用数形结合思想方法，结合图1、图2分别求出BE =BC =10cm ，DE =4cm ，AE =6cm ；然后利用勾股定理求出AB ，即可求出sin ∠EBC =54；当100≤<t 时，根据△BPF ∽△EBA 可求出BQ 边上的高PF t 54=，然后利用三角形面积公式即可求出y 与t 的函数关系式y =⨯t 21t 54252t =，最后利用排除法即可选D .【方法指导】点的运动问题，主要表现在运动路径与时间之间的图象关系.解决动点问题时，对题意的理解要清晰，关键是正确获取或处理题中的信息，明确哪些是变化的量，哪些是不变的量.二、填空题1.（2013杭州4分）射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切值（单位：秒）【思路分析】求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接P A，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，当当⊙P于AC切于C点时，连接PC，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；③如图1，当⊙P切BC于N′时，连接PN′3则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．【方法指导】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．．2(2013浙江湖州,16,4分)如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC⊥x =-于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，轴于点M，交直线y x则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是__▲__．【答案】【解析】（1）首先，需要证明线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0B n∽△AON，求出线段B0B n的长度，即点B运动的路径长．OM=N在直线y=-x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，=．如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（起点）时，点B的位置为B n，连接B0B n．∵AO⊥AB0，AN⊥AB n，∴∠OAC=∠B0AB n，又∵AB0=AO•tan30°，AB n=AN•tan30°，∴AB0：AO=AB n：AN=tan30°，∴△AB0B n∽△AON，且相似比为tan30°，∴B0B n=ON•tan30°=B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B i，连接AP，AB i，B0B i．∵AO⊥AB0，AP⊥AB i，∴∠OAP=∠B0AB i，又∵AB0=AO•tan30°，AB i=AP•tan30°，∴AB0：AO=AB i：AP，∴△AB0B i∽△AOP，∴∠AB0B i=∠AOP．又∵△AB0B n∽△AON，∴∠AB0B n=∠AOP，∴∠AB0B i=∠AB0B n，∴点B i在线段B0B n上，即线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0B n，其长度为．【方法指导】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B 的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中3．（2013山东菏泽，14，3分）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE时， EP +BP =____________.【答案】12．【解析】延长BQ 角射线EF 于M.∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF//BC ，即EM//BC.∴△EQM ∽△EQB ，∴123132===CE CECQ EQ BC EM ， 即26=EM ，∴EM=12.∵∠CBP 的平分线交CE 于Q ，∴∠PBM=∠CBM ， ∵EM//BC ，∴∠EMB=∠CBM ，∴∠PBM=∠EMB ，∴PB=PM ，所以EP +BP =EM=12.【方法指导】本题考查三角形相似、三角形中位线性质、角平分线意义等.本题是一道动点型问题，解题时要善于从“动中求静，联想关联知识”.三、解答题1.（2013杭州4分）射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm的速度向右移动，B（第14题）经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值（单位：秒）【思路分析】求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接P A，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，当当⊙P于AC切于C点时，连接PC，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；③如图1，当⊙P切BC于N′时，连接PN′3则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．【方法指导】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．2．（2013湖北孝感，25，12分）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．①AE=EF是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．，的坐标为3（2013·济宁，23，?分）如图，直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．考点：一次函数综合题．（1）根据直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，分析：得出==，据此可以求得点P的运动速度；（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．解答：解：（1）∵直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，∴==，当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，∵EP∥BO，∴==，∴AP=2t，∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则OQ=FQ=t，P A=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，∴8－3t=t，解得：t=2，如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，∵OQ=t，P A=2t，∴OP=8－2t，∴QP=t－（8－2t）=3t－8，∴t=3t－8，解得：t=4；（3）如图1，当Q在P点的左边时，∵OQ=t，P A=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，当t=－=时，S矩形PEFQ的最大值为：=4，如图2，当Q在P点的右边时，∵OQ=t，P A=2t，∴QP=t－（8－2t）=3t－8，∴S矩形PEFQ=QP•QE=（3t－8）•t=3t2－8t，∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴0≤t≤4，当t=－=时，S矩形PEFQ的最小，∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42－8×4=16，综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P ，Q 不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．4．（2013·潍坊，24，13分）如图，抛物线c bx ax y ++=2关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛232，D 在抛物线上，直线是一次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值．（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）因为抛物线关于直线x ＝1对称，AB ＝4，所以A(－1，0)，B(3，0)， 由点D(2，1．5)在抛物线上，所以⎩⎨⎧=++=+-5.1240c b a c b a ，所以3a ＋3b ＝1．5，即a ＋b ＝0．5，又12=-a b，即b ＝－2a ，代入上式解得a ＝－0．5，b ＝1，从而c ＝1．5，所以23212++-=x x y ．（2）由（1）知23212++-=x x y ，令x ＝0，得c(0，1．5)，所以CD//AB ， 令kx －2＝1．5，得l 与CD 的交点F(23,27k )，令kx －2＝0，得l 与x 轴的交点E(0,2k)，根据S 四边形OEFC ＝S 四边形EBDF 得：OE ＋CF ＝DF ＋BE ，即,511),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得 （3）由（1）知,2)1(21232122+--=++-=x x x y所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为221x y -=假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO ＝∠NPO ，所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1， 所以1111PN PM NN MM =，………………(1) 不妨设M(x M ，y M )在点N(x N ，y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上， 则（1）式变为NMN M y t y t x x --=-，又y M ＝k x M －2， y N ＝k x N －2， 所以（t ＋2）(x M ＋x N )＝2k x M x N ，……(2) 把y ＝kx －2(k ≠0)代入221x y -=中，整理得x 2＋2kx －4＝0， 所以x M ＋x N ＝－2k ， x M x N ＝－4，代入（2）得t ＝2，符合条件， 故在y 轴上存在一点P （0，2），使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称．考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大．点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。
中考数学试题汇编及解析动态几何型综合题试题
2021年中考数学试题汇编及解析动态几何型综合题纵观近5年全国各地的中考数学试卷，动态几何型综合题常常出如今一张试卷的压轴题位置，估计这一趋势在今后几年的中考中会越来越明显，这类试题往往综合性较强，往往涉及到函数、直线型、圆等初中数学的重点考察对象中的好几个，应加大训练的力度。
1、〔2021〕如图①，有两个形状完全一样的直角三角形ABC和EFG叠放在一起〔点A 与点E重合〕，AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．如图②，假设整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停顿运动，△EFG也随之停顿平移．设运动时间是为x〔s〕，FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y〔cm2)〔不考虑点P与G、F重合的情况〕．〔1〕当x为何值时，OP∥AC ?〔2〕求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．〔3〕是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？假设存在，求出x的值；假设不存在，说明理由．〔参考数据：1142＝12996，1152＝13225，1162＝13456或者4.42＝19.36，4.52＝20.25，4.62＝21.16〕[解析] 〔1〕∵Rt △EFG ∽Rt △ABC ，∴BC FG AC EG =，684FG=． ∴FG ＝864⨯＝3cm ．∵当P 为FG 的中点时，OP ∥EG ，EG ∥AC ， ∴OP ∥AC ．∴ x ＝121FG＝21×3＝1.5〔s 〕．∴当x 为1.5s 时，OP ∥AC ．〔2〕在Rt △EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm ． ∵EG ∥AH ， ∴△EFG ∽△AFH ．∴FH FG AF EF AH EG ==． ∴FHx AH 3554=+=． ∴ AH ＝54〔 x ＋5〕，FH ＝53〔x ＋5〕．过点O 作OD ⊥FP ，垂足为 D ． ∵点O 为EF 中点， ∴OD ＝21EG ＝2cm ． ∵FP ＝3－x ，∴S 四边形OAHP ＝S △AFH －S △OFP＝21·AH ·FH －21·OD ·FP ＝21·54〔x ＋5〕·53〔x ＋5〕－21×2×〔3－x 〕 ＝256x 2＋517x ＋3〔0＜x ＜3）．〔3〕假设存在某一时刻x ，使得四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24．那么S 四边形OAHP ＝2413×S △ABC ∴256x 2＋517x ＋3＝2413×21×6×8 ∴6x 2＋85x －250＝0 解得 x 1＝25， x 2＝ －350〔舍去〕． ∵0＜x ＜3， ∴当x ＝25〔s 〕时，四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24． 2、〔2021〕如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停顿运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间是为t 〔秒〕．〔1〕设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； 〔2〕t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？〔3〕是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？假设存在，求出t 的值；假设不存在，请说明理由；〔4〕通过观察、画图或者折纸等方法，猜测是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？假设存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间是段内〔0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4〕；假设不存在，请简要说明理由．[解析] 〔1〕由题意知 CQ ＝4t ，PC ＝12－3t ，∴S △PCQ =t t CQ PC 246212+-=⋅．PCQB∵△PCQ 与△PDQ 关于直线PQ 对称， ∴y=2S △PCQ t t 48122+-=． 〔2〕当CQCP CA CB=时，有PQ ∥AB ，而AP 与BQ 不平行，这时四边形PQBA 是梯形， ∵CA =12，CB =16，CQ ＝4t ， CP ＝12－3t ， ∴16412312tt =-，解得t ＝2． ∴当t ＝2秒时，四边形PQBA 是梯形．〔3〕设存在时刻t ，使得PD ∥AB ，延长PD 交BC 于点M ，如下列图，假设PD ∥AB ，那么∠QMD =∠B ，又∵∠QDM =∠C =90°，∴Rt △QMD ∽Rt △ABC ， 从而ACQDAB QM =， ∵QD =CQ =4t ，AC ＝12，AB20，∴QM =203t ． 假设PD ∥AB ，那么CP CMCA CB=，得20412331216t t t +-=， 解得t ＝1211． ∴当t ＝1211秒时，PD ∥AB ． 〔4〕存在时刻t ，使得PD ⊥AB ．时间是段为：2＜t ≤3．3、〔2021〕如图1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°11AC D ∆和22BC D ∆两个三角形〔如图2所示〕.将纸片11AC D ∆沿直线2D B 〔AB 〕方向平移〔点12,,,A D D B 始终在同一直线上〕，当点1D 于点B 重合时，停顿平移.在平移过程中，11C D 与2BC 交于点E,1AC 与222C D BC 、分别交于点F 、P.CQBM(1) 当11AC D ∆平移到如图3所示的位置时，猜测图中的1D E 与2D F 的数量关系，并证明你的猜测；(2) 设平移间隔 21D D 为x ，11AC D ∆与22BC D ∆重叠局部面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；〔3〕对于〔2〕中的结论是否存在这样的x 的值，使重叠局部的面积等于原ABC ∆面积的14. 假设存在，求x 的值；假设不存在，请说明理由.[解析] 〔1〕12D E D F =.因为1122C D C D ∥，所以12C AFD ∠=∠. 又因为90ACB ∠=︒，CD 是斜边上的中线，所以，DC DA DB ==，即112221C D C D BD AD === 所以，1C A ∠=∠，所以2AFD A ∠=∠ 所以，22AD D F =.同理：11BD D E =.又因为12AD BD =，所以21AD BD =.所以12D E D F =〔2〕因为在Rt ABC ∆中，8,6AC BC ==，所以由勾股定理，得10.AB = 即1211225AD BD C D C D ====又因为21D D x =，所以11225D E BD D F AD x ====-.所以21C F C E x == 在22BC D ∆中，2C 到2BD 的间隔 就是ABC ∆的AB 边上的高，为245. CB D A 图1PE FAD 1BC 1D 2C 2图3C 2D 2C 1BD 1A图2设1BED ∆的1BD 边上的高为h ，由探究，得221BC D BED ∆∆∽，所以52455h x-=. 所以24(5)25x h -=.121112(5)225BED S BD h x ∆=⨯⨯=- 又因为1290C C ∠+∠=︒，所以290FPC ∠=︒.又因为2C B ∠=∠，43sin ,cos 55B B ==. 所以234,55PC x PF x == ，22216225FC P S PC PF x ∆=⨯=而2212221126(5)22525BC D BED FC P ABC y S S S S x x ∆∆∆∆=--=---所以21824(05)255y x x x =-+≤≤(3) 存在. 当14ABC y S ∆=时，即218246255x x -+=整理，得2320250.x x -+=解得，125,53x x ==.即当53x =或者5x =时，重叠局部的面积等于原ABC ∆面积的14.4、〔2021〕如图1，以矩形OABC 的两边OA 和OC 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，A 点的坐标为(3)C ，0，点的坐标为(04)，．将矩形OABC 绕O 点逆时针旋转，使B 点落在y 轴的正半轴上，旋转后的矩形为11111OA B C BC A B ，，相交于点M ． 〔1〕求点1B 的坐标与线段1B C 的长；〔2〕将图1中的矩形111OA B C 沿y 轴向上平移，如图2，矩形222PA B C 是平移过程中的某一位置，22BC A B ，相交于点1M ，点P 运动到C 点停顿．设点P 运动的间隔 为x ，矩形222PA B C 与原矩形OABC 重叠局部的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；〔3〕如图3，当点P 运动到点C 时，平移后的矩形为333PA B C ．请你考虑如何通过图形变换使矩形333PA B C 与原矩形OABC 重合，请简述你的做法．3C[解析]〔1〕如图1，因为15OB OB ===，所以点1B 的坐标为(05)，．11541B C OB OC =-=-=．〔2〕在矩形111OA B C 沿y 轴向上平移到P 点与C 点重合的过程中，点1A 运动到矩形OABC 的边BC 上时，求得P 点挪动的间隔 115x =． 当自变量x 的取值范围为1105x <≤时，如图2，由2122B CM B A P △∽△， 得1334x CM +=，此时，2221113334(1)224B A P B CM xy S S x +=-=⨯⨯-⨯+△△．即23(1)68y x =-++〔或者23345848y x x =--+〕．当自变量x 的取值范围为1145x ≤≤时，求得122(4)3PCM y S x '==-△〔或者221632333y x x =-+〕． 〔3〕局部参考答案：①把矩形333PA B C 沿3BPA ∠的角平分线所在直线对折．②把矩形333PA B C 绕C 点顺时针旋转，使点3A 与点B 重合，再沿y 轴向下平移4个单位长度．③把矩形333PA B C 绕C 点顺时针旋转，使点3A 与点B 重合，再沿BC 所在的直线对折． ④把矩形333PA B C 沿y 轴向下平移4个单位长度，再绕O 点顺时针旋转，使点3A 与点A 重合．5、〔2021〕如图1，Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ． 〔1〕求PA 的长；〔2〕以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由； 〔3〕如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．假设r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围． [解析] 〔1〕在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==，，210AC BC ∴==．AE BC ∥，APE CPB ∴△∽△．::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=，3101542PA ⨯==． 〔2〕BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中，AB =，15AE =，CABCＤ图1图2tan 353AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，， BE ∴与⊙A 相切．〔3〕因为553AD AB ==，，所以r 的变化范围为553r <<当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，所以R 的变化范围为10535R -<<； 当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R 的变化范围为151053R <<+ 6、〔2021〕如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式;(2)假设S 梯形OBCD 43,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.假设存在,恳求出所有符合条件 的点P 的坐标;假设不存在,请说明理由.[解析] 〔1〕直线AB 解析式为：y=33-x+3． 〔2〕方法一：设点Ｃ坐标为〔x ，33-x+3〕，那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x 〔舍去〕 ∴ Ｃ〔２，33〕方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ． 由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD ×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33．∴ AD=１，OD ＝２．∴C 〔２，33〕． 〔３〕当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①假设△BOP ∽△OBA ，那么∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P 〔3，33〕． ②假设△BPO ∽△OBA ，那么∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1． ∴2P 〔1，3〕． 当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23．∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°，∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P 〔43，433〕．方法二：设Ｐ〔x ，33-x+3〕，得OM ＝x ，PM ＝33-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．∵tan ∠POM==OMPM=x x 333+-，tan ∠ABOC=OBOA =3．∴33-x+3＝3x ，解得x ＝43．此时，3P 〔43，433〕． ④假设△POB ∽△OBA(如图)，那么∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°．∴ PM ＝33OM ＝43． ∴ 4P 〔43，43〕〔由对称性也可得到点4P 的坐标〕．7、〔2021课改〕图14－1至图14－7的正方形霓虹灯广告牌ABCD 都是20×20的等距网格〔每个小方格的边长均为1个单位长〕，其对称中心为点O ．如图14－1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH 的对称中心也是点O ，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大〔即点O 不动，正方形EFGH 经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；……〕，直到充满正方形ABCD ，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ 从如图14－1所示的位置开场，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD 的内侧边缘按A →B →C →D →A 挪动〔即正方形MNPQ 从点P 与点A 重合位置开场，先向左平移，当点Q 与点B 重合时，再向上平移，当点M 与点C 重合时，再向右平移，当点N 与点D 重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式挪动〕．正方形EFGH 和正方形MNPQ 从如图14－1的位置同时开场运动，设运动时间是为x 秒，它们的重叠局部面积为y 个平方单位．〔1〕请你在图14－2和图14－3中分别画出x 为2秒、18秒时，正方形EFGH 和正方图14-7B ADQ形MNPQ 的位置及重叠局部〔重叠局部用阴影表示〕，并分别写出重叠局部的面积；〔2〕①如图14－4，当1≤x ≤3.5时，求y 与x 的函数关系式；②≤x ≤7时，求y 与x 的函数关系式；③如图14－6，当7≤x ≤10.5时，求y 与x 的函数关系式； ④≤x ≤13时，求y 与x 的函数关系式．〔3〕对于正方形MNPQ 在正方形ABCD 各边上挪动一周的过程，请你根据重叠局部面积y 的变化情况，指出y 获得最大值和最小值时，相对应的x 的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．[解析] 〔1〕相应的图形如图2-1，2-2．当x =2时，y =3； 当x =18时，y =18．图14-6B A DQ图14-2图14-3B A D B AD 图14-4 BADQ图14-1 BA (P ) D Q图14-5 B A DQ〔2〕①当1≤x ≤3.5时，如图2-3，延长MN 交AD 于K ，设MN 与HG 交于S ，MQ 与FG 交于T ，那么MK =6＋x ，SK =TQ =7－x ，从而MS =MK －SK =2x －1，MT =MQ －TQ =6－〔7－x 〕= x －1． ∴y=MT ·MS =〔x －1〕〔2x －1〕=2x 2－3x ＋1． ②≤x ≤7时，如图2-4，设FG 与MQ 交于T ，那么TQ =7－x ，∴MT =MQ －TQ =6－〔7－x 〕=x －1．∴y=MN ·MT =6〔x －1〕=6x －6．③当7≤x ≤10.5时，如图2-5，设FG 与MQ 交于T ，那么TQ=x －7，∴MT =MQ －TQ =6－〔x －7〕=13－x ．∴y = MN ·MT =6〔13－x 〕=78－6x ．④≤x ≤13时，如图2-6，设MN 与EF 交于S ，NP 交FG 于R ，延长NM 交BC 于K ，那么MK =14－x ，SK =RP =x －7，∴SM =SK －MK=2x －21，从而SN =MN －SM =27－2x ，NR =NP －RP =13－x ．图2-4BA D图2-5BA D 图2-6BAD图2-3BADQ图2-2BA D 图2-1 BA DQ∴y=NR·SN=〔13－x〕〔27－2x〕=2x2－53x＋351．〔3〕对于正方形MNPQ，①在AB边上挪动时，当0≤x≤1及13≤x≤14时，y获得最小值0；当x=7时，y获得最大值36．②在BC边上挪动时，当14≤x≤15及27≤x≤28时，y获得最小值0；当x=21时，y获得最大值36．③在CD边上挪动时，当28≤x≤29及41≤x≤42时，y获得最小值0；当x=35时，y获得最大值36．④在DA边上挪动时，当42≤x≤43及55≤x≤56时，y获得最小值0；当x=49时，y获得最大值36．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
全国各地中考数学试卷解析版分类汇编 动态问题
动态问题一、选择题1. （2014•山东潍坊，第8题3分）如图，已知矩形ABCD 的长AB 为5，宽BC 为4．E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥上EF ,EF 交CD 于点F ．设BE =x ,FC =y ，则点 E 从点B 运动到点C 时，能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是（ ）考点：动点问题的函数图象．分析：易证△ABE ∽△ECF ，根据相似比得出函数表达式，在判断图像. 解答：因为△ABE ∽△ECF ，则BE ：CF =AB ：EC ，即x ：y =5：（4－x ）y ， 整理，得y =－51（x －2）2+54， 很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是（2，54）的抛物线．对应A 选项． 故选：A ．点评：此题考查了动点问题的函数图象，关键列出动点的函数关系，再判断选项． 2. （2014•山东烟台，第12题3分）如图，点P 是▱ABCD 边上一动点，沿A →D →C →B 的路径移动，设P 点（ ）经过的路径长为x ，△BAP 的面积是y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是A ．B ．C ．D .考点：平行四边形的性质，函数图象．分析：分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．解答：点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．故选：A．点评：本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．3.（2014•甘肃兰州,第15题4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）B二、填空题1. （2014•江苏徐州,第18题3分）如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△P AQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为y=﹣3x+18．考点：动点问题的函数图象．12999数学网分析：根据从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，求出正方形的边长，再利用三角形的面积公式得出EF所在的直线对应的函数关系式．解答：解：∵点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；点Q沿边AB、BC 从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．∴当P点到AD的中点时，Q到B点，从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，∴9=×（AD）•AB，∵AD=AB，∴AD=6，即正方形的边长为6，当Q点在BC上时，AP=6﹣x，△APQ的高为AB，∴y=（6﹣x）×6，即y=﹣3x+18．故答案为：y=﹣3x+18．点评：本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是求出正方形的边长．三、解答题1. （2014•四川巴中，第31题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC 于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，得到方程组，解方程组即可求出抛物线的解析式；（2）由于点M到达抛物线的对称轴时需要3秒，所以t≤3，又当点M到达原点时需要2秒，且此时点H立刻掉头，所以可分两种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，由△AMP∽△AOC，得出比例式，求出PM，AH，根据三角形的面积公式求出即可；②当2＜t≤3时，过点P作PM⊥x轴于M，PF⊥y轴于点F，表示出三角形APH的面积，利用配方法求出最值即可．解答：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，∴，解得：，∴抛物线的解析式是：y=x2﹣x﹣4，（2）分两种情况：①当0＜t≤2时，∵PM∥OC，∴△AMP∽△AOC，∴=，即=，∴PM=2t．解方程x2﹣x﹣4=0，得x1=﹣2，x2=4，∵A（﹣2，0），∴B（4，0），∴AB=4﹣（﹣2）=6．∵AH=AB﹣BH=6﹣t，∴S=PM•AH=×2t（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9，当t=2时S的最大值为8；②当2＜t≤3时，过点P作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，则△COB∽△CFP，又∵CO=OB，∴FP=FC=t﹣2，PM=4﹣（t﹣2）=6﹣t，AH=4+（t﹣2）=t+1，∴S=PM•AH=（6﹣t）（t+1）=﹣t2+4t+3=﹣（t﹣）2+，当t=时，S最大值为．综上所述，点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是S=，S的最大值为．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．2．（2014•湖南怀化，第24题，10分）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B 三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB 的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．，=4+﹣4+，=4+﹣4+﹣4+3．（2014•湖南张家界，第25题，12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，﹣），以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是⊙A上一动点（不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想m•n的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．，．，﹣）x x==5=﹣×﹣，，﹣），．4. (2014年贵州黔东南24．（14分）)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△P AC为直角三角形时点P的坐标．考点：二次函数综合题．12999数学网分析：（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）根据直线AB的解析式，可求得直线AC的解析式y=﹣x+b，已知了点A的坐标，即可求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式，可求得C点的坐标；解答：解：（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx﹣4上，∴，∵c=6，∴a=2，b=﹣8，∴y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）设直线AC的解析式为y=﹣x+b，把A（，）代入得：=﹣+b，解得：b=3，∴直线AC解析式：y=﹣x+3，点C在抛物线上，设C（m，2m2﹣8m+6），代入y=﹣x+3得：2m2﹣8m+6=﹣m+3，整理得：2m2﹣7m+3=0，解得；m=3或m=，∴P（3，0）或P（，）．点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识；5.（2014•十堰）25．（12分）已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．解得：解得：．=．==．．．解得：，解得：==≥=．=．解得：6.（2014•娄底26．（10分））如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B （x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．7.（2014•娄底27．（10分））如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？，得出==，得出，===，即=5=，=，（，最大值为cm=，=，＜s==，=，，即=5=或或8. ( 2014年河南) (11分）如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1,0),B(5,0）两点，直线y=－34x+3与y轴交于点C，，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。
中考数学试题分类动态问题
第44章 动态问题一、选择题1. 2011安徽,10,4分如图所示,P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点,过P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点,设AC =2,BD =1,AP =x ,△AMN 的面积为y ,则y 关于x 的函数图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．答案C2. 2011山东威海,12,3分如图,在正方形ABCD 中,AB =3cm,动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动,同时动点N 自A 点出发沿折线AD —DC —CB 以每秒3cm 的速度运动,到达B 点时运动同时停止,设△AMN 的面积为y cm 2,运动时间为x 秒,则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是答案B3. 2011甘肃兰州,14,4分如图,正方形ABCD 的边长为1,E 、F 、G 、H 分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH 的面积为S,AE 为x,则S 关于x 的函数图象大致是A ．B ．C ．D ．答案B 二、填空题 三、解答题A BC DEFGHx y -1 O 1x y1 O 1 x yO 1 xy1O 1 11. 2011浙江省舟山,24,12分已知直线3+=kx y k ＜0分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动,速度为每秒1个单位长度,过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ,设运动时间为t 秒．1当1-=k 时,线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动,它与点P 以相同速度同时出发,当点P 到达点A 时两点同时停止运动如图1．① 直接写出t ＝1秒时C 、Q 两点的坐标；② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似,求t 的值． 2当43-=k 时,设以C 为顶点的抛物线n m x y ++=2)(与直线AB 的另一交点为D 如图2, ① 求CD 的长；② 设△COD 的OC 边上的高为h ,当t 为何值时,h 的值最大答案1①C 1,2,Q 2,0．②由题意得：Pt ,0,Ct ,－ｔ＋3,Q 3－t ,0, 分两种情形讨论：情形一：当△AQC ∽△AOB 时,∠AQC=∠AOB ＝90°,∴CQ ⊥OA , ∵CP ⊥OA ,∴点P 与点Q 重合,OQ =OP ,即3－t =t ,∴t=．情形二：当△ACQ ∽△AOB 时,∠ACQ=∠AOB ＝90°,∵O Ａ=O Ｂ＝3,∴△AOB 是等腰直角三角形,∴△ACQ 是等腰直角三角形,∵CQ ⊥OA ,∴AQ=2CP ,即t =2－t ＋3,∴t=2．∴满足条件的t 的值是秒或2秒． 2 ①由题意得：Ct ,－34t ＋3,∴以C 为顶点的抛物线解析式是23()34y x t t =--+, 由233()3344x t t x --+=-+,解得x 1=t ,x 2=t 34-；过点D 作DE ⊥CP 于点E ,则∠DEC=∠AOB ＝90°,DE ∥OA ,∴∠EDC=∠OAB ,∴△DEC ∽△AOB ,∴DE CDAO BA=, ∵AO =4,AB =5,DE =t －ｔ－34=34．∴CD =35154416DE BA AO ⨯⨯==．②∵CD =1516,CD 边上的高=341255⨯=．∴S △COD =11512921658⨯⨯=．∴S △COD 为定值； 要使OC 边上的高h 的值最大,只要OC 最短．第24题图2第24题图1因为当OC ⊥AB 时OC 最短,此时OC 的长为125,∠BCO ＝90°,∵∠AOB ＝90°,∴∠COP ＝90°－∠BOC ＝∠OBA ,又∵CP ⊥OA ,∴Rt △PCO ∽Rt △OAB ,∴OP OC BO BA =,OP =123365525OC BO BA ⨯⨯==,即t =3625, ∴当t 为3625秒时,h 的值最大．2. 2011广东东莞,22,9分如图,抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于点A ,过点A 的直线与抛物线交于另一点B ,过点B 作BC ⊥x 轴,垂足为点C 3,0. 1求直线AB 的函数关系式；2动点P 在线段OC 上,从原点O 出发以每钞一个单位的速度向C 移动,过点P 作⊥x 轴,交直线AB 于点M ,抛物线于点N ,设点P 移动的时间为t 秒,MN 的长为s 个单位,求s 与t 的函数关系式,并写出t 的取值范围；3设2的条件下不考虑点P 与点O ,点G 重合的情况,连接CM ,BN ,当t 为何值时,四边形BCMN 为平等四边形问对于所求的t 的值,平行四边形BCMN 是否为菱形说明理由.解1把x=0代入2517144y x x =-++,得1y = 把x=3代入2517144y x x =-++,得52y =,∴A 、B 两点的坐标分别0,1、3,52设直线AB 的解析式为y kx b =+,代入A 、B 的坐标,得1532b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得112b k =⎧⎪⎨=⎪⎩所以,112y x =+2把x=t 分别代入到112y x =+和2517144y x x =-++ 分别得到点M 、N 的纵坐标为112t +和2517144t t -++∴MN=2517144t t -++-112t +=251544t t -+即251544s t t =-+∵点P 在线段OC 上移动, ∴0≤t ≤3.3在四边形BCMN 中,∵BC ∥MN∴当BC=MN 时,四边形BCMN 即为平行四边形 由25155442t t -+=,得121,2t t == 即当12t =或时,四边形BCMN 为平行四边形 当1t =时,PC=2,PM=32,PN=4,由勾股定理求得CM=BN=52, 此时BC=CM=MN=BN,平行四边形BCMN 为菱形； 当2t =时,PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=5, 此时BC ≠CM,平行四边形BCMN 不是菱形； 所以,当1t =时,平行四边形BCMN 为菱形．3. 2011江苏扬州,28,12分如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90o,AB<AC,M 是BC 边的中点,MN ⊥BC 交AC 于点N,动点P 从点B 出发沿射线BA 以每秒3厘米的速度运动;同时,动点Q 从点N 出发沿射线NC 运动,且始终保持MQ ⊥MP;设运动时间为t 秒t>01△PBM 与△QNM 相似吗以图1为例说明理由； 2若∠ABC=60o,AB=43厘米; ① 求动点Q 的运动速度；② 设Rt △APQ 的面积为S 平方厘米,求S 与t 的函数关系式； 3探求BP 2、PQ 2、CQ 2三者之间的数量关系,以图1为例说明理由;答案解：1△PBM 与△QNM 相似；∵MN ⊥BC MQ ⊥MP ∴ ∠NMB=∠PMQ=∠BAC =90o ∴∠PMB=∠QMN, ∠QNM=∠B =90o －∠C ∴ △PBM ∽△QNM2①∵∠ABC=60o,∠BAC =90o,AB=43,BP=3t ∴AB=BM=CM=43,MN=4 ∵ △PBM ∽△QNM ∴MN BM NQ BP = 即：3434==NQ BP ∵P 点的运动速度是每秒3厘米, ∴ Q 点运动速度是每秒1厘米; ② ∵ AC=12,CN=8∴ AQ=12-8+t=4+t, AP=43－3t∴ S=)334()4(21t t -⨯+⨯=)16(232--t 3 BP 2+ CQ 2 =PQ 2证明如下： ∵BP=3t, ∴BP 2=3t 2 ∵CQ=8-t ∴CQ 2=8-t 2=64-16t+t 2 ∵PQ 2=4+t 2+34-t 2=4t 2-16t+64 ∴BP 2+ CQ 2 =PQ 24. 2011山东德州23,12分在直角坐标系xoy 中,已知点P 是反比例函数）＞0(32x xy =图象上一个动点,以P 为圆心的圆始终与y 轴相切,设切点为A ．1如图1,⊙P 运动到与x 轴相切,设切点为K ,试判断四边形OKP A 的形状,并说明理由． 2如图2,⊙P 运动到与x 轴相交,设交点为B ,C ．当四边形ABCP 是菱形时： ①求出点A ,B ,C 的坐标．②在过A ,B ,C 三点的抛物线上是否存在点M ,使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．若存在,试求出所有满足条件的M 点的坐标,若不存在,试说明理由．答案解：1∵⊙P分别与两坐标轴相切,∴P A⊥OA,PK⊥OK．∴∠P AO=∠OKP=90°．又∵∠AOK=90°,∴∠P AO=∠OKP=∠AOK=90°．∴四边形OKP A是矩形．又∵OA=OK,∴四边形OKP A是正方形．……………………2分2①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为x 32．过点P作PG⊥BC于G．∵四边形ABCP为菱形,∴BC=P A=PB=PC．∴△PBC为等边三角形．在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=P A=x,PG=x 32．AP 23yx=xyKO图1OA P 23yx=xyB C图2GMsin ∠PBG =PBPG,即2x x =． 解之得：x =±2负值舍去．∴ PG,P A =B C=2．……………………4分 易知四边形OGP A 是矩形,P A =OG =2,BG =CG =1, ∴OB =OG －BG =1,OC =OG +GC =3．∴ AB 1,0C 3,0．……………………6分 设二次函数解析式为：y =ax 2+bx +c ．据题意得：0930a b c a b c c ⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩解之得：a=3, b=3-, c∴二次函数关系式为：233y x x =-9分 ②解法一：设直线BP 的解析式为：y =ux +v ,据题意得：2u v u v +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解之得：uv=-∴直线BP的解析式为：y =-．过点A 作直线AM ∥PB ,则可得直线AM的解析式为：y =+解方程组：233y y x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩得：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；227x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 过点C 作直线CM ∥PB ,则可设直线CM的解析式为：y t =+． ∴0=t ．∴t =-∴直线CM的解析式为：y =-．解方程组：2y y x x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得：113x y =⎧⎨=⎩ ；224x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 综上可知,满足条件的M 的坐标有四个,分别为：12分 解法二：∵12PAB PBC PABCS S S ∆∆==,∴AC 3,0显然满足条件．延长AP 交抛物线于点M ,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM =P A ． 又∵AM ∥BC , ∴12PBM PBA PABCS S S ∆∆==．∴点M又点M 的横坐标为AM =P A +PM =2+2=4． ∴点M点7,综上可知,满足条件的M 的坐标有四个,分别为：12分解法三：延长AP 交抛物线于点M ,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM =P A ． 又∵AM ∥BC , ∴12PBM PBA PABCS S S ∆∆==．∴点M2x x =． 解得：10x =舍,24x =． ∴点M 的坐标为点7,综上可知,满足条件的M 的坐标有四个,分别为：12分 5. 2011山东菏泽,21,9分如图,抛物线y ＝12x 2＋bx －2与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点,且A －1,0． 1求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； 2判断△ABC 的形状,证明你的结论；3点Mm ,0是x 轴上的一个动点,当MC ＋MD 的值最小时,求m 的值．解：1把点A －1,0的坐标代入抛物线的解析式y ＝12x 2＋bx －2, 整理后解得32b =-, 所以抛物线的解析式为 213222y x x =--． 顶点D 325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭．2∵AB =5,AC 2=OA 2＋OC 2=5,BC 2=OC 2＋OB 2=20,∴AC 2＋BC 2=AB 2．∴△ABC 是直角三角形． 3作出点C 关于x 轴的对称点C′,则C′ 0,2,OC′=2． 连接C′D 交x 轴于点M ,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC ＋MD 的值最小． 设抛物线的对称轴交x 轴于点E ． △C′OM ∽△DEM ． ∴OM OC EM ED '=．∴232528m m =-．∴m =2441． 6. 2011山东济宁,23,10分如图,在平面直角坐标系中,顶点为4,1-的抛物线交y 轴于A 点,交x 轴于B ,C 两点点B 在点C 的左侧. 已知A 点坐标为0,3.1求此抛物线的解析式；2过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D , 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切,请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系,并给出证明；3已知点P 是抛物线上的一个动点,且位于A ,C 两点之间,问：当点P 运动到什么位置时,PAC ∆的面积最大并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.答案1解：设抛物线为2(4)1y a x =--. ∵抛物线经过点A 0,3,∴23(04)1a =--.∴14a =. ∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. ……………………………3分 2 答：l 与⊙C 相交. …………………………………………………………………4分 证明：当21(4)104x --=时,12x =,26x =. ∴B 为2,0,C 为6,0.∴AB =设⊙C 与BD 相切于点E ,连接CE ,则90BEC AOB ∠=︒=∠. ∵90ABD ∠=︒,∴90CBE ABO ∠=︒-∠.又∵90BAO ABO ∠=︒-∠,∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆. ∴CE BCOB AB =.∴2CE =.∴2CE =>.…………………………6分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =,∴C 点到l 的距离为2.∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. ……………………………………………7分 3 解：如图,过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .可求出AC 的解析式为132y x =-+.…………………………………………8分 设P 点的坐标为m ,21234m m -+,则Q 点的坐标为m ,132m -+.∴2211133(23)2442PQ m m m m m =-+--+=-+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时,PAC ∆的面积最大为274.x第23题此时,P 点的坐标为3,34-. ……………………………10分7. 2011山东威海,25,12分如图,抛物线2y ax bx c =++交x 轴于点(3,0)A -,点(1,0)B ,交y 轴于点(0,3)E -．点C 是点A 关于点B 的对称点,点F 是线段BC 的中点,直线l 过点F 且与y 轴平行．直线y x m =-+过点C ,交y 轴于点D ．1求抛物线的函数表达式；2点K 为线段AB 上一动点,过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ,与抛物线交于点G ,求线段HG 长度的最大值；3在直线l 上取点M ,在抛物线上取点N ,使以点A ,C ,M ,N 为顶点的四边是平行四边形,求点N 的坐标．图① 备用图答案 解：1设抛物线的函数表达式(1)(3)y a x x =-+ ∵抛物线与y 轴交于点(0,3)E -,将该点坐标代入上式,得1a =． ∴所求函数表达式(1)(3)y x x =-+,即223y x x =+-． 2∵点C 是点A 关于点B 的对称点,点(3,0)A -,点(1,0)B , ∴点C 的坐标是(5,0)C ．将点C 的坐标是(5,0)C 代入y x m =-+,得5m =． ∴直线CD 的函数表达式为5y x =-+．AxyBOCD第23题EPQ设K 点的坐标为(,0)t ,则H 点的坐标为(,5)t t -+,G 点的坐标为2(,23)t t t +-． ∵点K 为线段AB 上一动点, ∴31t -≤≤．∴222341(5)(23)38()24HG t t t t t t =-+-+-=--+=-++． ∵3312-≤-≤, ∴当32t =-时,线段HG 长度有最大值414．3∵点F 是线段BC 的中点,点(1,0)B ,点 (5,0)C , ∴点F 的坐标为(3,0)F ． ∵直线l 过点F 且与y 轴平行, ∴直线l 的函数表达式为3x =． ∵点M 在直线l 上,点N 在抛物线上 ,∴设点M 的坐标为(3,)M m ,点N 的坐标为2(,23)N n n n +-． ∵点(3,0)A -,点 (5,0)C ,∴8AC =． 分情况讨论： ①若线段AC 是以点A ,C ,M ,N 为顶点的四边是平行四边形的边,则须MN ∥AC ,且MN ＝AC ＝8．当点N 在点M 的左侧时,3MN n =-． ∴38n -=,解得5n =-． ∴N 点的坐标为(5,12)N -．当点N 在点M 的右侧时,3MN n =-． ∴38n -=,解得11n =． ∴N 点的坐标为(11,40)N ．②若线段AC 是以点A ,C ,M ,N 为顶点的平行四边形的对角线,由“点C 与点A 关于点B 中心对称”知：点M 与点N 关于点B 中心对称．取点F 关于点B 对称点P ,则点P 的坐标为(1,0)P -．过点P 作NP ⊥x 轴,交抛物线于点N ．将1x =-代入223y x x =+-,得4y =-． 过点N ,B 作直线NB 交直线l 于点M ． 在△BPN 和△BFM 中,∵90NPB MBF BF BP BPN BFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△BPN ≌△BFM ． ∴NB ＝MB ．∴四边形点ANCM 为平行四边形． ∴坐标为(1,4)--的点N 符合条件．∴当点N 的坐标为(5,12)-,(11,40),(1,4)--时,以点A ,C ,M ,N 为顶点的四边是平行四边形．8. 2011山东烟台,26,14分如图,在直角坐标系中,梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上,底边CD 的端点D 在y 轴上.直线CB 的表达式为y =－43x +163,点A 、D 的坐标分别为－4,0,0,4.动点P 自A 点出发,在AB 上匀速运行.动点Q 自点B 出发,在折线BCD 上匀速运行,速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点P 运动t 秒时,△OPQ 的面积为s 不能构成△OPQ 的动点除外. 1求出点B 、C 的坐标； 2求s 随t 变化的函数关系式；3当t 为何值时s 有最大值并求出最大值.答案解：1把y ＝4代入y ＝－43x ＋163,得x ＝1. ∴C 点的坐标为1,4. 当y ＝0时,－43x ＋163＝0, ∴x ＝4.∴点B 坐标为4,0.2作CM ⊥AB 于M ,则CM ＝4,BM ＝3. ∴BC ＝22CM BM +＝2234+＝5. ∴sin ∠ABC ＝CM BC ＝45. ①当0＜t ＜4时,作QN ⊥OB 于N , 则QN ＝BQ ·sin ∠ABC ＝45t. 备用图2O xyABCDO xyABCD备用图1 OxyABCD PQ∴S＝12OP·QN＝124－t×45t＝－25t2＋85t0＜t＜4.②当4＜t≤5时,如备用图1, 连接QO,QP,作QN⊥OB于N.同理可得QN＝4 5 t.∴S＝12OP·QN＝12×t－4×45t. ＝25t2－85t4＜t≤5.③当5＜t≤6时,如备用图2, 连接QO,QP.S＝12×OP×OD＝12t－4×4＝2t－85＜t≤6.3①在0＜t＜4时,当t＝8522()5⨯-＝2时,S最大＝28()524()5-⨯-＝85.②在4＜t≤5时,对于抛物线S＝25t2－85t,当t＝－85225-⨯＝2时,S最小＝25×22－85×2＝－85.∴抛物线S＝25t2－85t的顶点为2,－85.∴在4＜t≤5时,S随t的增大而增大.∴当t ＝5时,S 最大＝25×52－85×5＝2. ③在5＜t ≤6时,在S ＝2t －8中,∵2＞0,∴S 随t 的增大而增大. ∴当t ＝6时,S 最大＝2×6－8＝4.∴综合三种情况,当t ＝6时,S 取得最大值,最大值是4.说明：3中的②也可以省略,但需要说明：在2中的②与③的△OPQ ,③中的底边OP 和高CD 都大于②中的底边OP 和高.所以③中的△OPQ 面积一定大于②中的△OPQ 的面积.9. 2011四川南充市,22,8分抛物线y =ax 2+bx+c 与x 轴的交点为A m －4,0和B m ,0,与直线y =－x +p 相交于点A 和点C2m －4,m －6.1求抛物线的解析式；2若点P 在抛物线上,且以点P 和A,C 以及另一点Q 为顶点的平行四边形ACQP 面积为12,求点P,Q 的坐标； 3在2条件下,若点M 是x 轴下方抛物线上的动点,当⊿PQM 的面积最大时,请求出⊿PQM 的最大面积及点M 的坐标;答案解：1∵点Am-4,0和C2m-4,m-6在直线y =-x +p 上 ∴0(4)6(24)m p m m p =--+⎧⎨-=--+⎩解得：31m p =⎧⎨=-⎩∴A-1,0 B3,0, C2,-3 设抛物线y =ax 2+bx+c =ax-3x+1, ∵C2,-3 ∴a=1∴抛物线解析式为：y =x 2-2x-32AC=32,AC 所在直线的解析式为：y =-x -1,∠BAC=450∵平行四边形ACQP 的面积为12. ∴平行四边形ACQP 中AC 边上的高为2312=22过点D 作DK ⊥AC 与PQ 所在直线相交于点K,DK= 22,∴DN=4 ∵ACPQ,PQ 所在直线在直线ACD 的两侧,可能各有一条, ∴PQ 的解析式或为y =-x +3或y =-x -5∴2233y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩解得：1130x y =⎧⎨=⎩或2225x y =-⎧⎨=⎩2235y x x y x ⎧=--⎨=--⎩,此方程组无解. 即P 13,0, P 2-2,5∵ACPQ 是平行四边形 ,A-1,0 C2,-3 ∴当P3,0时,Q6,-3 当P-2,5时,Q1,2∴满足条件的P,Q 点是P 13,0, Q 16,-3或 P 2-2,5,Q 21,2 （1）设M t ,t 2-2t-3,-1＜t ＜3,过点M 作y 轴的平行线,交PQ 所在直线雨点T,则Tt,-t+3MT=-t+3- t 2-2t-3=- t 2+t+6过点M 作M S ⊥PQ 所在直线于点S, MS=22MT=22 - t 2+t+6=- 22t-212+8225∴当t=21时,M 21,-415,⊿PQM 中PQ 边上高的最大值为822510．2011 浙江杭州,24, 12图形既关于点O 中心对称,又关于直线AC ,BD 对称,AC ＝10,BD ＝6,已知点E ,M 是线段AB 上的动点不与端点重合,点O 到EF ,MN 的距离分别为1h ,2h ．△OEF 与△OGH 组成的图形称为蝶形． 1求蝶形面积S 的最大值；2当以EH 为直径的圆与以MQ 为直径的圆重合时,求1h 与2h 满足的关系式,并求1h 的取值范围．答案1 如图,设EF 与AC 交于点K,由△OEF ∽△ABD,得AK EF AO BD =,1556h EF-=, O DCBAyxLK SEROABM16(5)5EF h =-,1111622(5)225S OK EF h h =⨯•=⨯•-,整理得216515()522S h =--+,当152h =时,蝶形面积S 的最大,最大值为152．2 如图,设MN 与AC 交于点L,由1得16(5)5EF h =-,则13(5)5EK h =-,23(5)5ML h =-由OK 2+EK 2＝OE 2,OL 2+ML 2＝OM 2,得OK 2+EK 2＝OL 2+ML 2,2222112233(5)(5)55h h h h ⎡⎤⎡⎤+-=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,整理得[]1212()17()450h h h h -+-=,当点E,M 不重合时,120h h -≠,124517h h +=．当OE ⊥AB 时,14534h =,所以145017h << 2当点,E M 重合时,则12h h =,此时1h 的取值范围为105h <<.解法二：1由题意,得四边形ABCD 是菱形. 由//EF BD ,得ABDAEF ∆∆,1565h EF -∴=,即()1655EF h =- ()2111166515255522OEFS S EF h h h h ∆⎛⎫∴==⨯=-⨯=--+ ⎪⎝⎭所以当152h =时,max 152S =. 2根据题意,得OE OM =.如图,作OR AB ⊥于R , OB 关于OR 对称线段为OS ,1当点,E M 不重合时,则,OE OM 在OR 的两侧,易知RE RM =.225334AB =+=,34OR ∴=221533434BR ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭由////ML EK OB ,得,OK BE OL BMOA AB OA AB== 2OK OL BE BM BR OA OA AB AB AB ∴+=+=,即1295517h h +=124517h h ∴+=,此时1h 的取值范围为145017h <<且14534h ≠ 2当点,E M 重合时,则12h h =,此时1h 的取值范围为105h <<.11. 2011 浙江湖州,24,14如图1．已知正方形OABC 的边长为2,顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上,M 是BC 的中点．P 0,m 是线段OC 上一动点C 点除外,直线PM 交AB 的延长线于点D ． 1 求点D 的坐标用含m 的代数式表示； 2 当△APD 是等腰三角形时,求m 的值；3 设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ,过点O 作直线ME 的垂线,垂足为H 如图2．当点P 从点O 向点C 运动时,点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过 的路径长．不必写解答过程答案解：1由题意得CM=BM ,∵∠PMC ＝∠DMB ,∴Rt △PMC ≌Rt △DMB ,∴DB ＝PC ,∴DB ＝2－m,AD ＝4－m,∴点D 的坐标为2,4－m.2分三种情况：①若AP ＝AD ,则224(4)m m +=-,解得32m =. ② 若PD ＝P A ,过P 作PF ⊥AB 于点F 如图,则AF ＝FD,11(4)22AF FD AD m ===-,又OP ＝AF ,∴1(4)2m m =-,解得43m =, ③ 若DP ＝DA ,∵△PMC ≌△DMB ,∴11(4)22PM PD m ==-,∵222PC CM PM +=,∴221(2)1(4)4m m -+=-, 解得122,23m m ==（舍去）. 综上所述,当△APD 是等腰三角形时,过m 的值为342233或或. 3点H 5. 12. 2011宁波市,26,10分如图．平面直角坐标系xOy 中,点B 的坐标为－2,2,点B 的坐标为6,6,抛物线经过A 、O 、B 三点,线段AB 交y 轴与点E ． 1求点E 的坐标； 2求抛物线的函数解析式；3点F 为线段OB 上的一个动点不与O 、B 重合,直线EF 与抛物线交与M 、N 两点点N 在y 轴右侧,连结ON 、BN ,当点F 在线段OB 上运动时,求∆BON 的面积的最大值,并求出此时点N 的坐标；4连结AN ,当∆BON 的面积的最大时,在坐标平面内使得∆BOP 与∆OAN 相似点B 、O 、N 对应的点P 的坐标．答案26．解：1设直线AB的函数解析式为y＝mx＋n将点A－2,2,B6,6代入得：错误!得m＝错误!,n＝3∴y＝错误!x＋3当x＝0时y＝3 ∴E0,3设抛物线的函数解析式为y＝ax＋bx将A－2,2B6,6代入得错误!解得a＝错误!,b＝－错误!∴抛物线的解析式为y＝错误!x2－错误!x3过点N做x轴的垂线NG,垂足为G,交OB于点Q,过B作BH⊥x轴于H,设Nx, 错误!x2－错误!x 则Qx,x则S∆BON＝S∆BON＋S∆BON＝错误!×QN×OG＋错误!×QN×HG＝错误!×QN×OG＋HG＝错误!×QN×OH＝错误!〔x－错误!x2－错误!x〕×6＝－错误!x2＋错误!x＝－错误!x－32＋错误!0＜x＜6∴当x ＝3时,∆BON 面积最大,最大值为错误! 此时点N 的坐标为3, 错误! 4过点A 作AS ⊥GQ 于S ∵A －2,2,B 6,6,N 3, 错误!∴∠AOE ＝∠OAS ＝∠BOH ＝45°,OG ＝3,NG ＝错误!,NS ＝错误!,AS ＝5 在Rt ∆SAN 和Rt ∆NOG 中 ∴tan ∠SAN ＝ tan ∠NOG ＝错误! ∴∠SAN ＝∠NOG∴∠OAS －∠ASN ＝∠BOG －∠NOG ∴∠OASN ＝∠BON∴ON 的延长线上存在一点P ,使∆BOP ～∆OAN ∵A －2,2, N 3, 错误! 在Rt ∆ASN 中 AN ＝错误!＝错误!当∆BOP ～∆OAN 时 错误!＝错误! ∴错误!＝错误! ∴OP ＝错误! 过点P 作PT ⊥x 轴于点T∴∆OPT ～∆ONG ∴错误!＝错误!＝错误! 设P 4t ,t 在在Rt ∆POT 中,有4t 2＋t 2＝错误!2 ∴t 1＝错误! ,t 2＝－错误!舍 ∴点P 的坐标为15,错误!将∆OBP 沿直线OB 返折,可得出另一个满足条件的点P '错误!,15,由以上推理可知,当点P 的坐标为15,错误!或错误!,15时∆BOP 与∆OAN 相似．13. 2011浙江衢州,24,12分已知两直线12l l 、分别经过点()1,0A ,点()3,0B -,并且当两条直线同时相交于y 轴正半轴的点C 时,恰好有12l l ⊥,经过点A B C 、、的抛物线的对称轴于直线1l 交于点K ,如图所示. 求点C 的坐标,并求出抛物线的函数解析式.抛物线的对称轴被直线1l ,抛物线,直线2l 和x 轴依次截得三条线段,问这三条线段有何数量关系请说明理由. 当直线2l 绕点C 旋转时,与抛物线的另一个交点为M .请找出使MCK 为等腰三角形的点M .简述理由,并写出点M 的坐标.答案1解法1：由题意易知(1,.3C 0BOC COA CO AO CO BO CO COCO ∴==∴=∴即点的坐标是~由题意,可设抛物线的函数解析式为2y ax bx =++把(1,0),(3,0)A B -的坐标分别代入2y ax bx =++得{0930.a b a b +-解这个方程组,得a b ⎧⎪⎨⎪⎩∴抛物线的函数解析式为233y x x =--+ 解法2：由勾股定理,得2222222()().OC OB OC OA BC AC AB +++=+= 又314OB OA AB ===，，(.OC C ∴=∴点的坐标是由题意可设抛物线的函数解析式为()()13.y a x x =-+把(C 0代入函数解析式得a =所以抛物线的函数解析式为)()13.y x x =-+ 2解法1：截得三条线段的数量关系为.KD DE EF == 理由如下：可求得直线1l的解析式为y =+直线2l的解析式为3y x =,抛物线的对称轴为直线1x =-.由此可求得点K的坐标为(-,点D的坐标为1,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,点E的坐标为1,3⎛- ⎝⎭,点F 的坐标为()1,0-. ,333.KD DE EF KD DE EF ∴===∴==解法2：截得三条线段的数量关系为.KD DE EF == 理由如下：由题意可知Rt 3060ABC ABC CAB ∠=︒∠=︒中，，，则可得tan 30=tan 603EF BF KF AF =⨯︒=⨯︒. 由顶点D的坐标为1,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得3DF =, 3KD DE EF ∴===3解法1：i 以点K 为圆心,线段KC 长为半径画圆弧,交抛物线于点1M ,由抛物线的对称性可知点1M 为点C 关于直线1x =-的对称点.∴所以点1M的坐标为(-,此时,1M CK 为等腰三角形.ii 当以点C 为圆心,线段KC 长为半径画圆弧时,与抛物线交点为点1M 和点A ,而三点A C K 、、在同一直线上,不能构成三角形.iii 作线段KC 的中垂线l ,由点D 是KE 的中点,且12l l ⊥,可知l 经过点D ,.KD DC ∴=此时,有点2M 即点D坐标为(1,3-,使2M CK 为等腰三角形. l 与抛物线的另一交点即为1M综上所述,当点M 的坐标为(1,3--时,MCK 为等腰三角形 解法2：当点M 的坐标分别为 理由如下：i 链接BK ,交抛物线于点G ,易知点G的坐标为(- .又点C的坐标为,则//.GC AB可求得4AB BK ==,且60ABK ∠=︒,即ABK ∆为正三角形.CGK ∴∆为正三角形∴当2l 与抛物线交于点G ,即2//l AB 时,符合题意,此时点1M的坐标为(- ii 连接CD ,由230KD CK CG CKD ===∠=︒，,易知KDC ∆为等腰三角形 当2l 过抛物线顶点于点D 时,符合题意,此时点2M 的坐标为(1,)3-. iii 当点M 在抛物线对称轴右边时,只有点M 与点A 重合时,满足CM CK =,但此时,三点A C K 、、在同一直线上,不能构成三角形.综上所述,当点M的坐标分别为(1,3--时,MCK ∆为等腰三角形. 14. 2011浙江绍兴,24,14分抛物线21(1)34y x =--+与y 轴交于点A ,顶点为B ,对称轴BC 与x 轴交于点C . 1如图1,求点A 的坐标及线段OC 的长；2点P 在抛物线上,直线//PQ BC 交x 轴于点Q ,连接BQ .①若含45°角的直线三角板如图2所示放置,其中,一个顶点与C 重合,直角顶点D 在BQ 上,另一顶点E 在PQ 上,求直线BQ 的函数解析式；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C 重合,直角顶点D 在直线BQ 上,另一个顶点E 在PQ 上,求点P 的坐标.答案解：1把0x=代入21(1)34y x =--+得114y =, ∴点11(0,)4A , BC 为对称轴,(1,3)B ,1OC ∴=.2①如图1,过点D 作DM x ⊥轴,交x 轴于点M , 过点D 作DN PQ ⊥,交PQ 于点N ,//PQ BC90DMQ DNQ MDN ∴∠=∠=∠=︒ ∴四边形MDNQ 为矩形,90,,,,,CDE MDN CDM EDN DC DE DCM DEN DM DN ∠=∠=︒∴∠=∠=∴∆≅∆∴=∴四边形MDNQ 为正方形,45DQC ∴∠=︒，BCQ ∴∆为等腰直角三角形, 34CQ BC OQ ∴==∴=，，设直线BQ 的函数解析式为y kx b =+, 直线上两点的坐标为(1,3),(4,0)B Q , 代入求得1,4k b =-=,∴直线BQ 的函数解析式为4y x =-+.②当点P D DM x ⊥x M D DN PQ ⊥PQ N (,0)Q m 90,Rt Rt ,,,,//,,31,CDM MDE EDN MDE CDM EDN CD DMCDM EDN DE DNCD DMDN MQ DE MQ DM BCPQ BC MQ CQCD DE m ∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠∴∆∆∴==∴=∴=∴=-， 15. 2011浙江台州,24,14分已知抛物线n m x a y +-=2)(与y 轴交于点A,它的顶点为B,点A 、B 关于原点O 的对称点分别是点C 、D;若点A 、B 、C 、D 中任何三点都不在一直线上,则称四边形ABCD 为抛物线的伴随四边形,直线AB 为抛物线的伴随直线;1如图1,求抛物线1)2(2+-=x y 的伴随直线的解析式；2如图2,若n m x a y +-=2)(m>0的伴随直线是y=x －3,伴随四边形的面积为12,求此抛物线的解析式； 3如图3,若抛物线n m x a y +-=2)(的伴随直线是y =－2x+bb>0,且伴随四边形ABCD 是矩形; ① 用含b 的代数式表示m,n 的值；② 在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBD 是一个等腰三角形若存在,请直接写出点P 的坐标用含b 的代数式；若不存在,请说明理由;答案解：1设直线AB 的解析式为y=kx+b.由题意,得:A0,5,B2,1 ∴⎩⎨⎧=+=125b k b ∴k=-2 ,b=5∴直线AB 的解析式为y=-2x+52 由伴随直线是y=x －3,得：A0,-3,C0,3 ∴ AC=6 由伴随四边形的面积为12,得：△ABC 的面积为6=m AC ⨯⨯21∴m=±2 ∵m>0 ∴m=2当m=2时,y=-1,顶点为2,-1, 且过点C0,3 ∴抛物线的解析式为y=1)2(212---x ; 3 ① 如图,作BE ⊥x 轴,由题意,得：A0,b,C 0,-b∵抛物线的顶点Bm,n 在y=－2x+bb>0上, ∴n=-2m+b Bm, -2m+b 在矩形ABCD 中,OC=OB ∴OC 2=OB 2即：222)b -2m (++=m b ∴m5m-4b=0 ∴m 1=0舍去,m 2=b 54 ∴n=-2m+b=b 53∴ b m 54=,b n 53=； ② 存在,有4个点：b 54,b 57, b 54,b 59, b 54,b 1516, b 54,b 513-16. 2011浙江义乌,24,12分已知二次函数的图象经过A 2,0、C 0,12 两点,且对称轴为直线x =4. 设顶点为 点P ,与x 轴的另一交点为点B .1求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；2如图1,在直线 y=2x 上是否存在点D ,使四边形OPBD 为等腰梯形若存在,求出点D 的坐标；若不存在,请说明理由；3如图2,点M 是线段OP 上的一个动点O 、P 两点除外,以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动,过点M 作直线MN ∥x 轴,交PB 于点N. 将△PMN 沿直线MN 对折,得到△P 1MN. 在动点M 的运动过程中,设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ,运动时间为t 秒. 求S 关于t 的函数关系式.答案1设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==-0241242c b a c a b 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==1281c b a∴二次函数的解析式为y = x 2－8x +12 点P 的坐标为4,－42存在点D ,使四边形OPBD 为等腰梯形. 理由如下：当y =0时,x 2-8x +12=0 ∴x 1=2 , x 2=6 ∴点B 的坐标为6,0设直线BP 的解析式为y =kx +m 则⎩⎨⎧-=+=+4406m k m k 解得⎩⎨⎧-==122m k∴直线BP 的解析式为y =2x －12D xA OBCPyO PC BAxy图1图2MOAxPNCBy∴直线OD ∥BP∵顶点坐标P 4, －4 ∴ OP =42 设Dx ,2x 则BD 2=2x 2+6－x 2当BD =OP 时,2x 2+6－x 2=32解得：x 1=52,x 2=2 当x 2=2时,OD =BP =52,四边形OPBD 为平行四边形,舍去∴当x =52时四边形OPBD 为等腰梯形 ∴当D 52,54时,四边形OPBD 为等腰梯形3① 当0＜t ≤2时,∵运动速度为每秒2个单位长度,运动时间为t 秒, 则MP =2t ∴PH =t ,MH =t ,HN =21t ∴MN =23t ∴S =23t ·t ·21=43t 2 ② 当2＜t ＜4时,P 1G =2t －4,P 1H =txP 1 MAO BCPNyH∵MN ∥OB ∴ EF P 1∆∽MN P 1∆∴211)(11H P G P S S MNP EF P =∆∆ ∴22)42(431t t t S EF P -=∆ ∴ EF P S 1∆=3t 2－12t +12∴S =43t 2－3t 2－12t +12= －49t 2+12t －12 ∴ 当0＜t ≤2时,S=43t 2当2＜t ＜4时,S =－49t 2+12t －12 ;17. 2011四川重庆,26,12分如图,矩形ABCD 中,AB ＝6,BC ＝2错误!,点O 是AB 的中点,点P 在AB 的延长线上,且BP ＝3．一动点E 从O 点出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速动动,到达A 点后,立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线P A 匀速动动,点E 、F 同时出发,当两点相遇时停止运动．在点E 、F 的运动过程中,以EF 为边作等边△EFG ,使△EFG 和矩形ABCD 在射线P A 的同侧,设动动的时间为t 秒t ≥0． 1当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时,求运动时间t 的值；2在整个运动过程中,设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ,请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；3设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ,是否存在这样的t ,使△AOH 是等腰三角形若存在,求出对应的t 的值；若不存在,请说明理由．xP 1M A OB CPNG HE F y答案1当等边△EFG的边FG恰好经过点C时如图,∠CFB＝60°,BF＝3－t,在Rt△CBF中,BC＝2错误!,∴tan∠CFB ＝错误!,∴tan 60°=错误!,∴BF＝2,∴t＝3－t ＝2,∴t＝1．2当0≤t＜1时,S= 2错误!t＋4错误!；当1≤t＜3时,S=错误!t 2+3错误!t＋错误!；当3≤t＜4时,S= －4错误! t＋20错误!；当4≤t＜6时,S= 错误!t2－12错误!t＋36错误!．3存在,理由如下：在Rt△ABC中,tan∠CAB＝错误!=错误!,∴∠CAB=30°．又∵∠HEO=60°,∴∠HAE=∠AHE=30°．∴AE=HE=3－t或t－3．ⅰ当AH=AO=3时如图②,过点E作EM⊥AH于M,则AM=错误!AH=错误!．在Rt△AME中,cos∠MAE＝错误!,即cos 30°=错误!,∴AE=错误!,即3－t=错误!或t－3=错误!,t=3－错误!或3＋错误!．ⅱ当HA=HO时如图③,则∠HOA=∠HAO=30°,又∵∠HEO=60°,∴∠EHO=90°．∴EO=2HE=2AE．又∵AE＋EO=3,∴AE＋2AE=3．∴AE=1．即3－t=1或t－3=1,t=2或4．ⅲ当OH=OA时如图④,则∠OHA=∠OAH=30°,∴∠HOB=60°=∠HEB．∴点E和O重合,∴AE=3．即3－t=3或t－3=3,t=6舍去或t=0．综上所述,存在5个这样的值,使△AOH是等腰三角形,即：t=3－错误!或t=3＋错误!或t=2或t=4或t=0．18. 2011浙江省嘉兴,24,14分已知直线3+=kx y k ＜0分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动,速度为每秒1个单位长度,过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ,设运动时间为t 秒．1当1-=k 时,线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动,它与点P 以相同速度同时出发,当点P 到达点A 时两点同时停止运动如图1．① 直接写出t ＝1秒时C 、Q 两点的坐标；② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似,求t 的值． 2当43-=k 时,设以C 为顶点的抛物线n m x y ++=2)(与直线AB 的另一交点为D 如图2, ① 求CD 的长；② 设△COD 的OC 边上的高为h ,当t 为何值时,h 的值最大答案1①C 1,2,Q 2,0．②由题意得：Pt ,0,Ct ,－ｔ＋3,Q 3－t ,0, 分两种情形讨论：情形一：当△AQC ∽△AOB 时,∠AQC=∠AOB ＝90°,∴CQ ⊥OA , ∵CP ⊥OA ,∴点P 与点Q 重合,OQ =OP ,即3－t =t ,∴t=．情形二：当△ACQ ∽△AOB 时,∠ACQ=∠AOB ＝90°,∵O Ａ=O Ｂ＝3,∴△AOB 是等腰直角三角形,∴△ACQ 是等腰直角三角形,∵CQ ⊥OA ,∴AQ=2CP ,即t =2－t ＋3,∴t=2．∴满足条件的t 的值是秒或2秒． 2 ①由题意得：Ct ,－34t ＋3,∴以C 为顶点的抛物线解析式是23()34y x t t =--+, 由233()3344x t t x --+=-+,解得x 1=t ,x 2=t 34-；过点D 作DE ⊥CP 于点E ,则∠DEC=∠AOB ＝90°,DE ∥OA ,∴∠EDC=∠OAB ,∴△DEC ∽△AOB ,∴DE CDAO BA=, ∵AO =4,AB =5,DE =t －ｔ－34=34．∴CD =35154416DE BA AO ⨯⨯==．②∵CD =1516,CD 边上的高=341255⨯=．∴S △COD =11512921658⨯⨯=．∴S △COD 为定值； 要使OC 边上的高h 的值最大,只要OC 最短． 因为当OC ⊥AB 时OC 最短,此时OC 的长为125,∠BCO ＝90°,∵∠AOB ＝90°,∴∠COP ＝90°－∠BOC ＝∠OBA ,第24题图2第24题图1又∵CP ⊥OA ,∴Rt △PCO ∽Rt △OAB ,∴OP OC BO BA =,OP =123365525OC BO BA ⨯⨯==,即t =3625, ∴当t 为3625秒时,h 的值最大．19. 2011福建泉州,25,12分在直角坐标系xoy 中,已知点P 是反比例函数）＞0(32x xy =图象上一个动点,以P 为圆心的圆始终与y 轴相切,设切点为A ．1如图1,⊙P 运动到与x 轴相切,设切点为K ,试判断四边形OKP A 的形状,并说明理由． 2如图2,⊙P 运动到与x 轴相交,设交点为B ,C ．当四边形ABCP 是菱形时： ①求出点A ,B ,C 的坐标．②在过A ,B ,C 三点的抛物线上是否存在点M ,使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．若存在,试求出所有满足条件的M 点的坐标,若不存在,试说明理由．答案解：1∵⊙P 分别与两坐标轴相切, ∴ P A ⊥OA ,PK ⊥OK ． ∴∠P AO =∠OKP =90°． 又∵∠AOK =90°,∴ ∠P AO =∠OKP =∠AOK =90°． ∴四边形OKP A 是矩形． 又∵OA =OK ,∴四边形OKP A 是正方形．……………………2分 2①连接PB ,设点P 的横坐标为x ,则其纵坐标为x32． 过点P 作PG ⊥BC 于G ．AP23y x=xyKO第25题 图1∵四边形ABCP 为菱形, ∴BC =P A =PB =PC ． ∴△PBC 为等边三角形．在Rt △PBG 中,∠PBG =60°,PB =P A =x , PG =x32． sin ∠PBG =PBPG,即2332x x =． 解之得：x =±2负值舍去．∴ PG =3,P A =B C=2．……………………4分 易知四边形OGP A 是矩形,P A =OG =2,BG =CG =1, ∴OB =OG －BG =1,OC =OG +GC =3．∴ A 0,3,B 1,0 C 3,0．……………………6分 设二次函数解析式为：y =ax 2+bx +c ．据题意得：09303a b c a b c c ⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩解之得：a =33, b =433-, c =3． ∴二次函数关系式为：2343333y x x =-+．……………………9分 ②解法一：设直线BP 的解析式为：y =ux +v ,据题意得：23u v u v +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解之得：u =3, v =33-．∴直线BP 的解析式为：333y x =-．过点A 作直线AM ∥PB ,则可得直线AM 的解析式为：33y x =+．解方程组：233343333y x y x x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩O AP 23y x=xyB C图2GM。
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中考数学试题分类汇编动态问题动态问题一、选择题1．（2009年长春）如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度大小不变，则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为（ ）2.（2009年江苏省）如图，在55⨯方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）A ．先向下平移3格，再向右平移1格B ．先向下平移2格，再向右平移1格C ．先向下平移2格，再向右平移2格D ．先向下平移3格，再向右平移2格3.（2009年新疆）下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（ ）4.（2009年天津市）在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是()()41A B --，，1，1，将线段AB 平移后得到线段A B ''，若点A '的坐标为()22-，，则点B '的坐标为（ ）A ．()43，B ．()34，C ．()12--，D ．()21--，甲 乙 甲 乙 AB CD甲乙甲乙OS tO S tO S tO S t A P B A ．B ．C ．D ．5.（2009年牡丹江市）ABC △在如图所示的平面直角坐标系中，将ABC △向右平移3个单位长度后得111A B C △，再将111A B C △绕点O 旋转180°后得到222A B C △，则下列说法正确的是（ ） A ．1A 的坐标为()31，B ．113ABB A S =四边形C．2B C = D ．245AC O ∠=°6.（2009年莆田）如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到（ ）A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处7.（2009年茂名市）如图，把抛物线2y x =与直线1y =围成的图形OABC 绕原点O 顺时针旋转90°后，再沿x 轴向右平移1个单位得到图形1111O A B C ，则下列结论错误．．的是（ ） A ．点1O 的坐标是(10)， B ．点1C 的坐标是(21)-，（C ．四边形111O BA B 是矩形D ．若连接OC ，则梯形11OCA B 的面积是38．（2009年湖北十堰市）如图，已知Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，AC = 4，BC=3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ）．A ．π5168B ．π24C ．π584D ．π129．（2009 年佛山市）将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( ) A ．1圈 B ．1.5圈 C ．2圈 D ．2.5圈二、填空题10.（2009年新疆）如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．Oy 1OB1B C1A11A -（，）11C （，）11.（2009年包头）如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．12.（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.13.（2009年河南）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α. (1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．A E C (B 图E A GBC (D图C三、解答题14. (2009年牡丹江市)已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．15.（2009年株洲市）已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；A E FB D图图ADFEC B AD BCE图F（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结 BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC 为定值．16. （2009年北京市）在ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明； ②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC =y ，求y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.17. （2009年北京市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 三个机战的坐标分别为y xQPFEDCB AO()6,0A -，()6,0B ，()0,43C ，延长AC 到点D,使CD=12AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E. （1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。
2020年全国中考数学试卷分类汇编(一)专题40 动态问题(含解析)
动态问题一.选择题1.（2020•湖北孝感•3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】分别求出点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动时的函数表达式，进而求解．【解答】解：①当点P在AB上运动时，y＝AH×PH＝×APsinA×APcosA＝×x2×＝x2，图象为二次函数；②当点P在BC上运动时，如下图，由①知，BH′＝ABsinA＝4×＝2，同理AH′＝2，则y＝×AH×PH＝（2+x﹣4）×2＝2﹣4+x，为一次函数；③当点P在CD上运动时，同理可得：y＝×（2+6）×（4+6+2﹣x）＝（3）（12﹣x），为一次函数；故选：D．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．二.填空题三.解答题1. （2020•江苏省常州市•10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接A C.B C.B D.C D．（1）填空：b＝﹣4；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD ＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．【分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE ＝，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q 坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；（3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由轴对称的性质可得EN＝NF，∠ENB ＝∠FNB＝45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM＝NK＝，MN＝KF，可求CF ＝6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC＝＝3，CD＝＝，BD＝＝2，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠DBC＝＝＝＝tan∠ACE，∴∠ACE＝∠DBC，∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，∴∠ACB＝∠CFD，又∵∠CQD＝∠ACB，∴点F与点Q重合，∴点P是直线CF与抛物线的交点，∴0＝x2﹣4x+3，∴x1＝1，x2＝3，∴点P（3，0）；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，∵CH⊥DB，HF＝QH，∴CF＝CQ，∴∠CFD＝∠CQD，∴∠CQD＝∠ACB，∵CH⊥BD，∵点B（4，3），点D（2，﹣1），∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，∴点F（，0），∴直线CH解析式为：y＝﹣x+，∴，解得，∴点H坐标为（，﹣），∵FH＝QH，∴点Q（，﹣），∴直线CQ解析式为：y＝﹣x+，联立方程组，解得：或，∴点P（，﹣）；综上所述：点P的坐标为（3，0）或（，﹣）；（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，∵点A（0，3），点C（1，0），∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，∴，∴，∴点N坐标为（，﹣），∵点H坐标为（，﹣），∴CH2＝（﹣1）2+（）2＝，HN2＝（﹣）2+（﹣+）2＝，∴CH＝HN，∴∠CNH＝45°，∵点E关于直线BD对称的点为F，∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，∴∠ENF＝90°，∴∠ENM+∠FNM＝90°，又∵∠ENM+∠MEN＝90°，∴∠MEN＝∠FNM，∴△EMN≌△NKF（AAS）∴EM＝NK＝，MN＝KF，∴点E的横坐标为﹣，∴点E（﹣，），∴MN＝＝KF，∴CF＝+﹣1＝6，∵点F关于直线BC对称的点为G，∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，∴∠GCF＝90°，∴点G（1，6），∴AG＝＝．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合性强，求出∠CNH＝45°是本题的关键．2. （2020•江苏省淮安市•12分）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为AM＝BM；[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与。
全国中考数学真题解析120考点汇编 动态专题
全国中考数学真题解析120考点汇编 动态专题一、选择题1.（2011辽宁本溪，8，3分）如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ +PQ 的最小值（ ）CEA ．2B．4C ．D ．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质 专题：探究型分析：作D 作AE 的垂线交AE 于F ，交AC 于D ′，再过D′作AP ′⊥AD ，由角平分线的性质可得出D ′是D 关于AE 的对称点，进而可知D′P ′即为DQ +PQ 的最小值． 解答 解：作D 关于AE 的对称点D ′，再过D ′作D′P ′⊥AD 于P ′，CE∵DD ′⊥AE ，∴∠AFD =∠AFD ′，∵AF=AF ，∠DAE =∠CAE ， ∴△DAF ≌△D′AF ，∴D′是D 关于AE 的对称点，AD′=AD=4， ∴D′P ′即为DQ +PQ 的最小值， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAD ′=45°， ∴AP ′=P′D ′，∴在Rt△AP′D′中，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=22，即DQ+PQ的最小值为22．故选C．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2.（2011重庆市，10，4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M,N（点M在点N 的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4）,则能大致反映S与t的函数关系的图象是考点：动点问题的函数图象；正比例函数的图象；二次函数的图象；三角形的面积；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质．分析：过A作AH⊥X轴于H，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AH，根据三角形的面积即可求出答案．答案：解：过A作AH⊥X轴于H，∵OA=OC=4，∠AOC=60°，∴OH=2，由勾股定理得：AH=2 ，10题图xyA BCOMNltsO242343AtsO242343BtsO242343CtsO242343D①当0≤t≤2 时，ON=t，MN= t，S= ON•MN= t2；②＜t≤6时，ON=t，S= ON•2 = t．故选C．点评：本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函数的图象，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．3.（2011北京，8，4分）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是A B边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象。
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动态问题一、选择题1. （2014•安徽省,第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记P A=x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠P AD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．解答：解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠P AD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠P AD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴=，即=，∴y=，纵观各选项，只有B选项图形符合．故选B．点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．2. （2014•广西玉林市、防城港市，第12题3分）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．解答：解：①t≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y =×1×=，②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x ，高为，y =（2﹣x）×=x ﹣x +，③当x≥2时两个三角形重叠面积为小三角形的面积为0，故选：B．点评：本题主要考查了本题考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体．3．（20XX年山东泰安，第14题3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A B C．D分析：分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．解：当点Q在AC上时，∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=xtan30°=∴y=×AP×PQ=×x×=x2；当点Q在BC上时，如图所示：∵AP=x，AB=16，∠A=30°，∴BP=16﹣x，∠B=60°，∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）．∴==．∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：B．点评：本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．4.（2014•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）二.填空题三.解答题1. （2014•广东，第25题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t 秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF=EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥A D．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．2.（2014•武汉2014•武汉，第24题10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．考点：相似形综合题分析：（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，∴DF==4，∵BC=8，过BC的中点R作直线平行于AC，∴RC=DF=4成立，∴D在过R的中位线上，∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论．点E，F，连结AF，BE相交于点P.（1）若AE=CF.①求证：AF=BE，并求∠APB的度数.的值.②若AE=2，试求AP AF（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.【答案】（1）①证明见解析，120°；②12；（2）43π.【解析】（注：没学习四点同圆和切割线定理的可由△APE∽△ACF得比例式求解）（2）如图，作△ABP外接圆满⊙O，在⊙O的优弧上取一点G，连接AG，BG，AO，BO，过点O作OH⊥AB于点H。
∵由（1）可知∠APB =120°，∴∠AGB =60°. ∴∠AOB =120°，∠AOH =60°.∵AB=6，∴AH=3. ∴AH3AO23 sin AOH sin603=︒==∠.∴1202343 APBπ⋅⋅=.∴点P 43.考点：1.动点问题；2.等边三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5. 切割线定理；6. 锐角三角函数定义；7.特殊角的三角函数值；8.垂径定理；9.弧长的计算. 4．（2014·浙江金华，第24题12分）如图，直角梯形ABCO 的两边OA ，OC 在坐标轴的正半轴上，BC ∥x 轴，OA =OC =4，以直线x =1为对称轴的抛物线过A ，B ，C 三点. （1）求该抛物线线的函数解析式.（2）已知直线l 的解析式为y x m =+，它与x 轴的交于点G ，在梯形ABCO 的一边上取点P .①当m =0时，如图1，点P 是抛物线对称轴与BC 的交点，过点P 作PH ⊥直线l 于点H ，连结OP ，试求△OPH 的面积.②当m 3=-时，过P 点分别作x 轴、直线l 的垂线，垂足为点E ，F . 是否存在这样的点P ，使以P ，E ，F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）21y x x 42=-++；（2）①154；②存在，()0,3 或112,33⎛⎫⎪⎝⎭或()3,2 .【解析】试题分析：（1）由抛物线以直线x =1为对称轴，抛物线过点A ，B ，设顶点式，应用待定系数法求解.（2）①设直线x =1与x 轴交于点M ，与直线y x =交于点N ，过点H 作HD ⊥直线x =1于点D ，根据已知求出PD ，OM ，DH 的长，由OPH OPD DPH S S S ∆∆∆=+求解即可.∵MP =OC =4，OM =MN =1，∴PN =3，DH =32. ∴OPH OPD DPH 11315S S S 3132224∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=②存在.当m 3=-时，直线l 的解析式为y x 3=-，i ）当点P 在OC 边上时，如图2，设点P 的坐标为()()0,p 0p 4≤≤ ，点F 的坐标为()x,x 3- ，过点F 作FI ⊥y 轴于点I .则PE PO p,PI IF === ，即()p 3p x 3x x 2+--=⇒=. ∴()22222p 3p 3p 9EF OF x x 32x 6x 9269222+++⎛⎫=+-=-+-⋅+ ⎪⎝⎭)2p 3PF 2x 2+==.()()27p p7PF2x p2p22-+⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭.iv ）当点P 在AO 边上时，以P ，E ，F 为顶点的三角形不存在.综上所述，以P ，E ，F 为顶点的三角形是等腰三角形时，点P 的坐标为()0,3 或112,33⎛⎫⎪⎝⎭或()3,2 .考点：1.动点问题；2. 待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5. 等腰直角三角形的判定和性质；6.勾股定理；7. 等腰三角形存在性问题；8.转换思想和分类思想的应用.5. （2014·云南昆明，第23题9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(32≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （2-，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最多面积是多少？ （3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使2:5S PBQ CBK =△△：S ，求K 点坐标.考点： 二次函数综合题.分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2考查动点与二次函数最值问题：先写出S 与t 的函数关系式，再确定函数最值； （3）存在所求的K 点，由（2）可求出CBK PBQ ∆∆和的面积，再把CBK ∆分成两个三角形进行面积运算.解答： 解：（1）将A （2-，0）、B （4，0）两点坐标分别代入)0(32≠-+=a bx ax y ，即⎩⎨⎧=-+=--034160324b a b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==4383b aOxyCBAPQ∴抛物线的解析式为：343832--=x x y （2）设运动时间为t 秒，由题意可知： 20<<t过点Q 作AB QD ⊥，垂直为D ， 易证OCB ∆∽DQB ∆，BQBCDQ OC =∴OC =3，OB =4，BC =5，t PB t AP 36,3-==，t BQ =t DQ 53=∴t DQ 53=∴ ∴t t t t DQ PB S PBQ 5910953)36(21212+-=⋅-=⋅=∆ 对称轴1)(210959=-⨯-=t∴当运动1秒时，△PBQ 面积最大，10959109=+-=∆PBQ S ，最大为109， （3）如图，设)34383,(2--m m m K连接CK 、BK ，作轴y KL //交BC 与L ，由（2）知：109=∆PBQ S ， 2:5:=∆PBQ CBK S S ∴49=∆CBK S 设直线BC 的解析式为n kx y +=)3,0(),0,4(-C B⎩⎨⎧-==+∴34nnk，解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==343nk∴直线BC的解析式为343-=xy∴)343,(-mmL28323mmKL-=KLBKLCCBKSSS∆∆∆+=∴)4()8323(21)8323(2122mmmmmm-⋅-⋅+⋅-⋅=)8323(4212mm-⋅⋅=即：49)8323(22=-mm解得：31==mm或∴K坐标为)827,1(-或)815,3(-点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数、一元二次方程、相似三角形性质、动点问题等重要知识点．6. （2014•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．（第1题图）考点：相似形综合题．分析：（1）过点C作CE⊥AB于E，根据CE=BC•sin∠B求出CE，再根据AD=CE即可求出AD；（2）若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则△PCB 必有一个角是直角．分两种情况讨论：①当∠PCB=90°时，求出AP，再根据在Rt△ADP 中∠DP A=60°，得出∠DP A=∠B，从而得到△ADP∽△CPB，②当∠CPB=90°时，求出AP=3，根据≠且≠，得出△PCB与△ADP不相似．（3）先求出S1=x•，再分两种情况讨论：①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=（x﹣1），在Rt△BMN 中，求出BM2=x2﹣x+，最后根据S1=x•BM2代入计算即可．②当0＜x≤2时，S2=x（x2﹣x+），最后根据S=S1+S2=x（x﹣）2+x即可得出S的最小值．解答：解：（1）过点C作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，∵∠B=60°，BC=4，∴CE=BC•sin∠B=4×=2，∴AD=CE=2．（2）存在．若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则△PCB必有一个角是直角．①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，∴AP=AB﹣PB=2．又由（1）知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DP A===，∴∠DP A=60°，∴∠DP A=∠CPB，∴△ADP∽△CPB，∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，∴PB=2，PC=2，∴AP=3．则≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似．（3）如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，则S1=x•（）2=x•，①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．则BM为△PCB外接圆的半径．在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，∴BG=4，∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣x，∴GN=BG﹣BN=x﹣1．在Rt△GMN中，∴MN=GN•tan∠MGN=（x﹣1）．在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，∴S1=x•BM2=x（x2﹣x+）．②∵当0＜x≤2时，S2=x（x2﹣x+）也成立，∴S=S1+S2=x•+x（x2﹣x+）=x（x﹣）2+x．∴当x=时，S=S1+S2取得最小值x．点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论．7. （2014•扬州，第28题，12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（第6题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值．专题：综合题；动点型；探究型．分析：（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP 长，从而求出AB长．（2）由DP=DC=AB=AP及∠D=90°，利用三角函数即可求出∠DAP的度数，进而求出∠OAB的度数．（3）由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长．解答：解：（1）如图1，①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠P AO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠PO C．∵∠D=∠C，∠APD=∠PO C．∴△OCP∽△PD A．②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴====．∴PD=2OC，P A=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴边AB的长为10．（2）如图1，∵P是CD边的中点，∴DP=D C．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠P AO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°．∴∠OAB的度数为30°．（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，．∴△MFQ≌△NF B．∴QF=BF．∴QF=Q B．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=P B．由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2．点评：本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键．8.（2014•滨州，第25题12分）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，OP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．①当t为何值时，DP⊥AC？②设S△APQ+S△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．考点：相似形综合题分析：（1）求证相似，证两对角相等即可，因为平行，易找，易证．（2）①当垂直时，易得三角形相似，故有相似边成比例，由题中已知矩形边长则AP长已知，故t易知．②因为S△APQ+S△DCQ=y，故求S△APQ和S△DCQ是解决问题的关键，观察无固定组合规则图象，则考虑作高分别求取．考虑两高在同一直线上，且相加恰为10，故可由（1）相似结论得，高的比等于对应边长比，设其中一高为h，即可求得，则易表示y=，注意要考虑t的取值．讨论何时y最小，y=不是我们学过的函数类型，故无法用最值性质来讨论，回观察题目问法为“探究P点运动到第几秒到第几秒之间时”，＜1＞并不是我们常规的在确定时间最小，＜2＞时间问的整数秒．故可考虑将所有可能的秒全部算出，再观察数据探究函数的变化找结论．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QPA=∠QDC，∠QAP=∠QCD，∴△APQ∽△CDQ．（2）解：①当DP⊥AC时，∠QCD+∠QDC=90°，∵∠ADQ+∠QCD=90°，∴∠DCA=∠ADP，∵∠ADC=∠DAP=90°，∴△ADC∽△PAD，∴=，∴，解得PA=5，∴t=5．②设△ADP的边AP上的高h，则△QDC的边DC上的高为10﹣h．∵△APQ∽△CDQ，∴==，解得h=，∴10﹣h=，∴S△APQ==，S△DCQ==，∴y=S△APQ+S△DCQ=+=（0≤t≤20）．探究：t=0，y=100；t=1，y≈95.48；t=2，y≈91.82；t=3，y≈88.91；动态问题一、选择题1. （2014•山东潍坊，第8题3分）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4．E是BC边上的一个动点，AE⊥上EF,EF交CD于点F．设BE=x,FC=y，则点E从点B运动到点C 时，能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是（ ）考点：动点问题的函数图象．分析：易证△ABE ∽△ECF ，根据相似比得出函数表达式，在判断图像. 解答：因为△ABE ∽△ECF ，则BE ：CF =AB ：EC ，即x ：y =5：（4－x ）y ， 整理，得y =－51（x －2）2+54， 很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是（2，54）的抛物线．对应A 选项． 故选：A ．点评：此题考查了动点问题的函数图象，关键列出动点的函数关系，再判断选项．2. （2014•山东烟台，第12题3分）如图，点P 是▱ABCD 边上一动点，沿A →D →C →B 的路径移动，设P 点（ ）经过的路径长为x ，△BAP 的面积是y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是A ．B ．C ．D .考点：平行四边形的性质，函数图象．分析：分三段来考虑点P 沿A →D 运动，△BAP 的面积逐渐变大；点P 沿D →C 移动，△BAP 的面积不变；点P 沿C →B 的路径移动，△BAP 的面积逐渐减小，据此选择即可． 解答：点P 沿A →D 运动，△BAP 的面积逐渐变大；点P 沿D →C 移动，△BAP 的面积不变；点P 沿C →B 的路径移动，△BAP 的面积逐渐减小．故选：A ．点评：本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．3.（2014•甘肃兰州,第15题4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：根据三角形的面积即可求出S与t的函数关系式，根据函数关系式选择图象．解答：解：①当0≤t≤4时，S=×t×t=t2，即S=t2．该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B、C错误；②当4＜t≤8时，S=16﹣×（t﹣4）×（t﹣4）=t2，即S=﹣t2+4t+8．该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A错误．故选：D．点评：本题考查了动点问题的函数图象．本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性．二、填空题1. （2014•江苏徐州,第18题3分）如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为y=﹣3x+18．考点：动点问题的函数图象．分析：根据从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，求出正方形的边长，再利用三角形的面积公式得出EF所在的直线对应的函数关系式．解答：解：∵点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；点Q沿边AB、BC 从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．∴当P点到AD的中点时，Q到B点，从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，∴9=×（AD）•AB，∵AD=AB，∴AD=6，即正方形的边长为6，当Q点在BC上时，AP=6﹣x，△APQ的高为AB，∴y=（6﹣x）×6，即y=﹣3x+18．故答案为：y=﹣3x+18．点评：本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是求出正方形的边长．三、解答题1. （2014•四川巴中，第31题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC 于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，得到方程组，解方程组即可求出抛物线的解析式；（2）由于点M到达抛物线的对称轴时需要3秒，所以t≤3，又当点M到达原点时需要2秒，且此时点H立刻掉头，所以可分两种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，由△AMP∽△AOC，得出比例式，求出PM，AH，根据三角形的面积公式求出即可；②当2＜t≤3时，过点P作PM⊥x轴于M，PF⊥y轴于点F，表示出三角形APH的面积，利用配方法求出最值即可．解答：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，∴，解得：，∴抛物线的解析式是：y=x2﹣x﹣4，（2）分两种情况：①当0＜t≤2时，∵PM∥OC，∴△AMP∽△AOC，∴=，即=，∴PM=2t．解方程x2﹣x﹣4=0，得x1=﹣2，x2=4，∵A（﹣2，0），∴B（4，0），∴AB=4﹣（﹣2）=6．∵AH=AB﹣BH=6﹣t，∴S=PM•AH=×2t（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9，当t=2时S的最大值为8；②当2＜t≤3时，过点P作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，则△COB∽△CFP，又∵CO=OB，∴FP=FC=t﹣2，PM=4﹣（t﹣2）=6﹣t，AH=4+（t﹣2）=t+1，∴S=PM•AH=（6﹣t）（t+1）=﹣t2+4t+3=﹣（t﹣）2+，当t=时，S最大值为．综上所述，点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是S=，S的最大值为．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．2．（2014•湖南怀化，第24题，10分）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B 三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB 的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题专题：压轴题．分析：（1）判断出△ABO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°，然后求出AO⊥CO，再根据平移的性质可得AO⊥C′O′，从而判断出△OO′G是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；（2）求出OO′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标，然后设抛物线解析式为y=ax2+bx，再把点B、G的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（3）设点P到x轴的距离为h，利用三角形的面积公式求出h，再分点P在x轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可．解答：解：（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，∴△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵∠yOC=45°，∴∠AOC=（90°﹣45°）+45°=90°，∴AO⊥CO，∵C′O′是CO平移得到，∴AO⊥C′O′，∴△OO′G是等腰直角三角形，∵射线OC的速度是每秒2个单位长度，∴OO′=2x，∴y=×（2x）2=2x2；（2）当x=3秒时，OO′=2×3=6，∵×6=3，∴点G的坐标为（3，3），设抛物线解析式为y=ax2+bx，则，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（3）设点P到x轴的距离为h，则S△POB=×8h=8，解得h=2，当点P在x轴上方时，﹣x2+x=2，整理得，x2﹣8x+10=0，解得x1=4﹣，x2=4+，此时，点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）；当点P在x轴下方时，﹣x2+x=﹣2，整理得，x2﹣8x﹣10=0，解得x1=4﹣，x2=4+，此时，点P的坐标为（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2），综上所述，点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）或（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）时，△POB的面积S=8．点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，（3）要注意分情况讨论．3．（2014•湖南张家界，第25题，12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，﹣），以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是⊙A上一动点（不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想m•n的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．考点：二次函数综合题．分析：（1）用待定系数法即可求得；（2）应用待定系数法以及顶点公式即可求得；（3）连接AE、AM、AF，则AM⊥EF，证得Rt△AOE≌RT△AME，求得∠OAE=∠MAE，同理证得∠BAF=∠MAF，进而求得∠EAF=90°，然后根据射影定理即可求得．（4）分三种情况分别讨论，①当PQ=BQ时，作QH⊥PB，根据直线BC的斜率可知HB：BQ=4：5；即可求得，②当PB=QB时，则10﹣t=t即可求得，③当PQ=PB时，作QH⊥OB，根据勾股定理即可求得．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b，∵直线BC经过B、C，∴，解得：，∴直线BC的解析式为；y=x﹣．（2）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，﹣），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x；∴x=﹣=﹣=5，y=x2﹣x=×52﹣×5=﹣，∴顶点坐标为（5，﹣）；（3）m•n=25；如图2，连接AE、AM、AF，则AM⊥EF，在RT△AOE与RT△AME中∴Rt△AOE≌RT△AME（HL），∴∠OAE=∠MAE，同理可证∠BAF=∠MAF，∴∠EAF=90°，在RT△EAF中，根据射影定理得AM2=EM•FM，∵AM=OB=5，ME=m，MF=n，∴m•n=25；（4）如图3．有三种情况；①当PQ=BQ时，作QH⊥PB，∵直线BC的斜率为，∴HQ：BQ=3：5，HB：BQ=4：5；∵HB=（10﹣t）×，BQ=t，∴=，解得；t=，②当PB=QB时，则10﹣t=t，解得t=5，③当PQ=PB时，作QH⊥OB，则PQ=PB=10﹣t，BQ=t，HP=t﹣（10﹣t），QH=t；∵PQ2=PH2+QH2，∴（10﹣t）2=【t﹣（10﹣t）]2+（t）2；解得t=．点评：本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标的求法，圆的切线的性质，数形结合分类讨论是本题的关键．4. (20XX年贵州黔东南24．（14分）)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）根据直线AB的解析式，可求得直线AC的解析式y=﹣x+b，已知了点A的坐标，即可求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式，可求得C点的坐标；解答：解：（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx﹣4上，∴，∵c=6，∴a=2，b=﹣8，∴y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）设直线AC的解析式为y=﹣x+b，把A（，）代入得：=﹣+b，解得：b=3，∴直线AC解析式：y=﹣x+3，点C在抛物线上，设C（m，2m2﹣8m+6），代入y=﹣x+3得：2m2﹣8m+6=﹣m+3，整理得：2m2﹣7m+3=0，解得；m=3或m=，∴P（3，0）或P（，）．点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识；5.（2014•十堰）25．（12分）已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．。