姚孟臣概率统计第六章
概率论第6章
样本的二重性 ● 假设 X1, X2, …, Xn 是总体X中的样本，在一 次具体的观测或试验中，它们是一批测量值, 是已经取到的一组数。这就是说，样本具有 数的属性。． ● 由于在具体试验或观测中，受各种随机因素 的影响，在不同试验或观测中，样本取值可 能不同。因此，当脱离特定的具体试验或观 测时，我们并不知道样本 X1,X2,…,Xn 的具 体取值到底是多少。因此，可将样本看成随 机变量。故，样本又具有随机变量的属性。.
又如：为研究某种安眠药的药效，让 n个病人 同时服用这种药，记录服药者各自服药后的睡 眠时间比未服药时增加睡眠的小时数 X1,X2,…,Xn， 则这些数字就是样本。 那么，什么是总体呢? 设想让某个地区(或某国家，甚至全世界) 所有患失眠症的病人都服用此药，则他们所增 加睡眠的小时数之全体就是研究问题的总体。
X ～ N (μ , σ
2
/ n ).
定理应用
●
样本均值分布函数的近似计算
X −μ 因 近似～ N ( 0 ,1), 所以 ∀ a ∈ R , σ/ n
总有
⎧ X −μ a−μ ⎫ P{ X ≤ a} = P ⎨ − ∞ < ≤ ⎬ σ / n σ / n⎭ ⎩
⎛ a−μ ⎞ ≈ Φ⎜ ⎟. ⎝σ / n ⎠
例 3 (例 l 续)：在例 l中，若农户年收入以万 元计，假定 N户的收入X只取以下各值: 0.5, 0.8, l.0, 1.2和1.5。取上述值的户数分别n1, n2, n3, n4和n5 (n1+n2+n3+n4+n5=N)。则X为离散型 分布，分布律为:
X pk
0.5 n1/N
0.8 n2/N
§6.2 总体与样本
6.2.1 总体、个体与样本 在数理统计中，称研究问题所涉及对象的 全体为总体，总体中的每个成员为个体。 例如: 研究某工厂生产的某种产品的废品 率，则这种产品的全体就是总体，而每件产品 都是一个个体。
概率论与数理统计第六章
概率论与数理统计第六章一、估计及其性质“估计”在中文里既可以作名词，也可以作动词。
用英文的话，可以表示成不同的单词：estimate：所谓的“估计”（动词）就是根据样本预测总体分布中的未知参数。
例如，已知总体服从正态分布[公式] ，但总体均值[公式] 未知，我们通过某个函数“估计”总体均值，[公式] 。
estimator：“估计量”（名词）[公式] 实际上是一个统计量，它是通过一个不含未知参数的样本函数计算出来的结果。
一般使用[公式] 表示总体的参数，[公式] 表示参数的估计量。
estimation：“估计法”（名词）表示寻找函数[公式] 的过程，可以理解为一种估计方法。
例如：Maximum Likelihood Estimation，最大似然估计法。
随着样本不同，同一估计法得到的结果可能是不一样的，因此“估计量”也是一个随机变量。
对于同一个参数，有不同的估计方法，而且看起来都是合理的。
如何比较它们的优劣呢？（1）均方误差MSE Mean Square Error评价一个估计量的好坏，很自然地会想到：衡量“估计量”与“真实值”之间的距离，距离越小表示估计量的性能越好。
也就是所谓的“均方误差”函数：[公式] 也就是距离平方的期望值，如果将其进一步展开：[公式]注意：[公式] 和[公式] 均为数值，[公式] 表示参数的真实值，[公式] 表示估计量的数学期望。
由此看见，均方误差由两部分组成：一是估计量的方差（Variances），即[公式] ；二是估计量的系统偏差（Bias）的平方，即[公式] 。
从“马同学”处借来此图，它可以帮助理解“方差”与“偏差”：备注：靶心表示“真实值”，红叉表示“估计值”“方差”衡量估计值的分散程度，“偏差”衡量估计值的期望与真实值的距离。
左上图：估计值落在靶心四周，此时“方差”较大但“偏差”较小；右上图：估计值落在靶心邻近，此时“方差”、“偏差”均较小；左下图：估计值离靶心较远，呈分散状，此时“方差”、“偏差”均较大；右下图：估计值离靶心较远，落点集中，此时“偏差”较大但“方差”较小。
概率论与数理统计A第6章-文档资料
样本标准差
样本k阶原点矩
1 k A Xi k=1,2,… k n i1
样本k阶中心矩
n
它反映了总体k 阶矩的信息
1 k M (X X ) k i ni 1
n
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
统计量的观察值
1n x xi; n i1
2
tx 1 ( x ) e t dt , x 0 0
2
来定义.
1 2 2 (1 )就是 , 2 分布 . 由定义 X ~ (1 ), 注 已知 i 2 n 1 n 2 2 2 即 Xi ~ 可加性知 Xi ~ ,2.再由 ,2. i 1 2 2
x 是一个样本的观察值 , 则 g ( x ,x , x ) 也是统 n 1 2 n
几个常见统计量
它反映了 1 n 样本平均值 总体均值 X Xi n i 1 的信息 n 1 2 2 样本方差 S (X X ) i n 1i 1 它反映了总体 方差的信息
1 n 2 2 X n X i n 1 i 1
这就是矩估计法的理论 根据 .
经验分布函数
设 X ,X , ,X 是总体 F 的一个样本， s ( x )x 1 2 n
表示 x ,x , ,x 中不大于 x 的随机变量的 . 1 2 n
定义 经验分布函数为
1 F (x ) s (x ) x n n 例设总体 F 具有一个样本值 1 ， 1 ， 2 ，则经验分布函
顺序统计量
极差: 最直接也是最简单的方法，即最大值－最小 值（也就是极差）来评价一组数据的离散度。
MPA入学考试综合知识应试指导与模拟试题·数学分册姚孟臣北京大学出版社
研究生入学考试应试指导丛书2002 年M P A入学考试综合知识应试指导与模拟试题(数学分册)姚孟臣编著北京大学出版社·北京·图书在版编目(CIP)数据MPA入学考试综合知识应试指导与模拟试题·数学分册/ 姚孟臣编著. - 北京: 北京大学出版社,2002 .6(研究生入学考试应试指导丛书)ISBN7-301-05662-1Ⅰ. M⋯Ⅱ. 姚⋯Ⅲ. 数学-研究生-入学考试-自学参考资料Ⅳ. G643中国版本图书馆CIP数据核字(2002) 第034556 号内容简介本书是公共管理硕士( M P A) 全国统一联考“综合知识”考试科目微积分和概率论与数理统计初步的复习指导书。
本书作者参加有关MP A入学考试辅导班的教学,深知考生的疑难与困惑。
作者把他们的教学经验结合考试实际加以细化、归纳和总结, 整理成书奉献给广大读者, 旨在提高考生的数学水平与考试成绩。
本书紧扣《2002 年M PA联考考试大纲》, 贴切考试实践, 内容丰富。
全书共分五章。
内容包括: 函数和极限、导数与微分、不定积分与定积分、多元函数微分学、概率论与数理统计初步等。
本书结构新颖, 每一节按照考试内容、考试要求、典型例题分析、练习题四部分编写。
本书对典型例题逐题进行详细地分析,并对考生容易出错、混淆的概念题和计算题重点给出评注,从多侧面、不同角度、用多种方法进行讲解, 注重对考生基本概念的理解、多种类型基础题目的训练和综合解题能力的培养。
本书第二部分为考生配置了四套模拟试题, 以帮助读者进行考前模拟测验, 检查学习效果。
本书可作为M P A入学考试“综合知识”数学科目的复习指导书, 对于在校的管理类大学生及自学考试者, 本书也是一本较好的学习参考用书。
书名: MPA入学考试综合知识应试指导与模拟试题( 数学分册)著作责任者: 姚孟臣编著责任编辑: 刘勇标准书号: ISBN7- 301 -05 66 2-1/ G·0731出版者: 北京大学出版社地址: 北京市海淀区中关村北京大学校内100871网址: http:/ / .c n电话: 出版部62752015 发行部62754140 邮购部62752019电子信箱: zpup@.c n印刷者: 北京飞达印刷厂发行者: 北京大学出版社经销者: 新华书店787×1092 16 开本10 .5印张250 千字2002 年6 月第1 版2002 年6 月第1 次印刷定价: 18 .00 元前言公共管理硕士( M PA)全国统一联考中“综合知识”是必考科目之一“, 综合知识”科目由逻辑、数学与语文三个部分组成, 数学部分包括微积分和概率论与数理统计初步。
概率论第六章
P( X1 = x1 , X2 = x2 ,, Xn = xn )记作 f ( x1 , x2 ,, xn ) = P( X1 = x1 ) P( X2 = x2 )P( Xn = xn ) = f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) = ∏ f ( xi )
i =1 n
(1)
(2)当总体 X是连续型随机变量 且具有概率 当总体 是连续型随机变量,且具有概率 密度函数 f ( x) 时 ,则样本 ( X1 , X2 ,, Xn ) 的联 则样本 合概率密度为
的分布函数为F(x)，则称总体的分布函数为 若X的分布函数为 的分布函数为 ，则称总体的分布函数为F(x) 。
对总体进行研究时， 对总体进行研究时，对总体中每个个体逐一 进行考察，这在实际中往往是行不通的， 进行考察，这在实际中往往是行不通的，一是试 验具有破坏性，二是需花费大量的人力物力； 验具有破坏性，二是需花费大量的人力物力； 常用的方法是： 常用的方法是：从总体中随机地抽取若干个 个体， 个体，根据对这部分个体的研究结果推判总体某 方面的特征。 方面的特征。 二、样本 从总体X中随机地抽取 个个体， 中随机地抽取n个个体 定义 从总体 中随机地抽取 个个体，称之为 的样本。 总体X的一个样本容量为 的样本 的一个样本容量 总体 的一个样本容量为n的样本。
解 总体 X 的分布律为 P{ X = k } = p k (1 p )1 k
所以 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的分布律为
f ( x1 , x 2 , , x n ) = ∏ f ( x i ) =
n i =1
( k = 0, 1)
= p i =1 (1 p )
∑ xi
n
n
i =1
概率论与数理统计第六章总结
概率论与数理统计第六章总结概率论与数理统计是数理学科中的重要分支，其应用广泛，涉及到许多领域，如工程、物理、自然科学、医学、经济学等等。
第六章主要讲述了离散型随机变量的概率分布、期望值、方差及其应用。
首先我们了解到离散型随机变量是指取值有限或者可以无限但是可以和自然数一一对应的随机变量，即不连续的随机变量。
其中概率分布的概念是很重要的，它告诉我们每种随机变量取值的可能性大小，从而可以计算一些重要的数值。
比如期望值，期望值是随机变量取值的平均值，它可以用概率分布函数计算得到。
期望值可以给我们一个随机变量所处于某个状态的平均位置，或者它对某个事件发生的平均贡献。
方差也是一个非常重要的概念，它是随机变量值与其期望值之差的平方的期望值。
方差表示了随机变量的分布范围，也就是它们取值的变化程度。
方差越大，代表随机变量距离其期望值越远，该随机变量取值的范围也相应较大。
求期望值和方差的过程中有一些公式会显著提高计算效率，比如线性变换的公式、缩放变换的公式、Chebyshev不等式等等。
这些公式的应用有助于简化计算，并且能帮助我们更容易地理解问题。
我们还讨论了一些常见离散型随机变量的概率分布，比如伯努利分布、二项分布、泊松分布等等。
这些分布的出现在实际问题中都有着很重要的意义，比如伯努利分布描述了实验只有两种可能结果的概率分布，比如是/否、头/尾等等。
而二项分布则描述了实验中成功的概率和试验次数的关系，给我们解决实际问题提供了基础。
除了离散型随机变量，我们还可以研究连续型随机变量的概率分布以及相应的数学理论。
这些知识在实际应用中也具有重要意义。
比如在统计财务账目时，需要研究一些连续型随机变量的概率分布，以便预测下一期客户付款时间的分布情况。
又比如在流量预测中，需要研究一些连续型随机变量的概率分布，以便预测某个时间段内的网络流量。
总之，离散型随机变量理论是概率论的核心内容，对于理解整个概率论课程和进行实际应用都有着重要的意义。
概率论与数理统计第六章总结
概率论与数理统计第六章总结一、概述在概率论与数理统计的第六章中，主要介绍了随机变量的概率分布以及常见的概率分布模型。
本章内容是概率论与数理统计的重点和难点之一，对于理解和应用概率统计的基本理论和方法具有重要意义。
二、随机变量的概率分布1. 随机变量及其概率分布的概念•随机变量是对随机试验结果的数值化描述，它的取值不仅依赖于随机试验的结果，还受到机会因素的影响。
•概率分布描述了随机变量可能取值的概率大小。
常用的概率分布有离散型和连续型两种。
2. 离散型随机变量及其概率分布•离散型随机变量的取值是有限或可列的，它的概率分布可以用概率质量函数来描述。
•常见的离散型随机变量包括伯努利随机变量、二项分布、泊松分布等。
3. 连续型随机变量及其概率分布•连续型随机变量的取值是无限的，它的概率分布可以用概率密度函数来描述。
•常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布等。
三、常见概率分布模型1. 二项分布•二项分布是指在 n 重伯努利试验中，成功的次数服从的概率分布。
其概率质量函数为二项式系数与成功概率的乘积。
•二项分布在实际应用中常用于描述成功次数的分布情况，如抽样调查中的样本中某一特征出现的次数。
2. 泊松分布•泊松分布是定义在非负整数集上的概率分布，它描述了在一段时间或空间内事件发生的次数。
其概率质量函数为事件发生率与时间（或空间）长度的乘积。
•泊松分布常用于描述罕见事件发生的次数，如单位时间内电话呼叫次数、一段时间内事故发生次数等。
3. 正态分布•正态分布是最重要的连续型概率分布模型之一，也称为高斯分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，对称于均值。
•正态分布在实际应用中广泛存在，如身高体重、测量误差、考试成绩等符合正态分布的情况较多。
4. 指数分布•指数分布是定义在非负实数集上的连续型概率分布，它描述了连续时间间隔或空间间隔内事件发生的情况。
其概率密度函数呈指数下降曲线。
•指数分布在实际应用中常用于描述无记忆性随机事件的发生情况，如设备失效时间、极端天气事件的间隔等。
概率统计第六章习题参考解答
《概率论与数理统计》第六章习题exe6-1解：10()0x b f x b ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他01()()2bb E X xf x dx x dx b +∞-∞==⋅=⎰⎰ 令11μ=A ，即2b X =，解得b 的矩估计量为ˆ2b X = 2ˆ2(0.50.60.1 1.30.9 1.60.70.9 1.0) 1.6899bx ==++++++++= exe6-2解：202()()()3x E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞-==⋅=⎰⎰令11μ=A ，即,3θ=X 解得θ的矩估计量为ˆ3X θ= Exe6-3解：（1）由于12222()()()()(1)()E X mpE X D X E X mp p mp μμ==⎧⎨==+=-+⎩ 令 ⎩⎨⎧==.2211μμA A求解得221111p m p μμμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，p, m 的矩估计量为22211(1)ˆ11ˆˆA A n S pA nX X m p ⎧--=-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Exe6-4解：（1）()E X λ= 令11μ=A ，即,λ=X 解得λ的矩估计量为ˆX λ= {}),2,1,0(!===-x e x x X P xλλ{}),2,1,0(!===-i i xi x e x x X P iλλ似然函数11111(){}()!!niii x n nx n i ni i i ii eL P X x e x x λλλλλ=--===∑====∏∏∏11ln ()()ln ln(!)nni i i i L n x x λλλ===-+-∑∑1ln ()0nii x d L n d λλλ==-+=∑解得λ的最大似然估计值为 11ˆni i x x n λ===∑ （2）由（1）知1ˆ(6496101163710)7.210x λ==+++++++++= Exe6-5解：（1）似然函数1(1)111(){}(1)(1)ni i i nnx x ni i i L p P X x p p p p =--==∑===-=-∏∏∑-==-ni i nx np p 1)1(1ln ()ln (1)ln ni i L p n p x p ==+-⋅∑)1ln()(ln 1p n x p n ni i --+=∑=1(1)ln ()01ni i x d L p n dp p p =-=-=-∑01)(ln 1=---=∑=pn x p ndp p L d ni i 解得p 的最大似然估计值为 11ˆnii npxx===∑ （2）155ˆ5174926px ===++++ Exe6-6解：由2()2()x f x μσ--=（1）2σ已知，似然函数221()()2211()(,)ni i i x nx n nii i L f x eμμσσμμ=----==∑===∏2211ln ())()2nii L n x μμσ==---∑21ln ()1(22)02nii d L x d μμμσ==--=∑即11()0nniii i x n xμμ==-=-=∑∑解得μ的最大似然估计值 1ˆnii xx nμ===∑（2）μ已知，似然函数为212222)(222)(12122121),()(σμσμπσσπσσ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛====----==∏∏ni i i x nx ni n i i e ex f L21222)(21)ln(2)2ln(2)(ln μσσπσ-∑---==n i ix n n L 0)()(212)(ln 2122222=-+-=∑=μσσσσni i x n L d d 解得∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ，故2σ的最大似然估计值为 .)(1ˆ122∑=-=n i i i x x n σ Exe6-7解：（1）矩估计量2220()()()(3)2xt x xt xx E X xf x dx x e dx e dx t e dt θθθθθθθθ=--+∞+∞+∞+∞--∞==⋅===Γ=⎰⎰⎰⎰令2X θ=，得ˆ/2X θ= 似然函数211()(,)ix n nii i i x L f x eθθθθ-====∏∏1111ln ()(ln 2ln )ln 2ln nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑ 令21ln ()210ni i d L n x d θθθθ==-+=∑解得θ的最大似然估计值为111ˆ22n ii x x n θ===∑ （2）2311()(,)2ixnni i i i x L f x e θθθθ-====∏∏331111ln ()[2ln ln(2)]2ln ln(2)nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑令2321ln ()1602nii d L n xd θθθθθ==-⋅-=∑013)(ln 1223=+⋅-=∑=ni ixn d L d θθθθθ解得θ的最大似然估计值为 111ˆ33ni i x x n θ===∑ （3） ),(~p m B X ，m 已知{}∏∏=-=-===ni x m x x m ni i i i ip p C x X P p L 11)1()(1111ln ()[ln ln ()ln(1)]ln ln ln(1)()i inx m i i i nnnx m i i i i i L p C x p m x p C p x p nm x =====++--=++--∑∑∑∑令 11ln ()01n ni ii i x nm x d L p dp p p==-=-=-∑∑即1111(1)1n nniiii i i x xxnmppp p p===+==---∑∑∑ 解得p 的最大似然估计值为 1ˆnii xxpmnm===∑ Exe6-8解：(1)似然函数为{}{}{})1(2)1(2121)(522θθθθθθθ-=⋅-⋅==⋅=⋅==X P X P X P L)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L 令 0115)(ln =--=θθθθL d d 解得θ的最大似然估计值为.65ˆ=θ Exe6-9解：2121222222)()(22)(12)(111212121),,(),,(),(σβαβασβασβασπσπσπβαβαβα∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=====+-+---+--=---===∏∏∏∏ni i n i i i i i i y x ny ni x ni n i i Y n i i X e eey f x f L))()((21ln 2)2ln(),(ln 21212βαβασσπβα+-∑+--∑---===ni i ni i y x n n L0))()((22),(ln 112=+-+--=∂∂∑∑==βαβασβααni i n i i y x L 0)()((22),(ln 112=+----=∂∂∑∑==βαβασβαβn i i n i i x x L 联立 解得,2ˆ,2ˆyx y x -=+=βα故βα,的最大似然估计量为 .2ˆ,2ˆYX Y X -=+=βαExe6-10解：（1）由1/2EX μθ==，得θ的矩估计量ˆ2X θ= ˆ()2()2()22E E X E X θθθ===⋅= 故θ的矩估计量ˆ2X θ=是θ的无偏估计量。
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（二）
最大似然估计法
2. 最大似然估计法 (3)似然方程组为 Əln������ 1 ������ = 2 ∑ ������������ -nμ = 0, Ə������ ������ ������ =1 ������ Əln������ ������ 1 2 = + ∑ ( ������ μ ) = 0, ������ 2 2 2 2 Ə������ 2������ 2(������ ) ������ =1
＾ ＾
称 θ ������ = θ ������ (������1 ,������2 ,…,������������ )
(r = 1,2,…,k)
＾
为θr(r=1,2,…,k)的矩估计量,而称 θ ������ (x1,x2,…,xn)为θ
r(r=1,2,…,k)的矩估计值.
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（一）
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（一）
矩法
所谓矩法就是利用样本各阶原点矩(或中心矩)与相应的 总体矩,建立估计量应满足的方程,从而求出未知参数估 计量的方法. 考虑到在许多分布中所含的参数都是总体矩的函数,因此 很自然地会想到用样本矩代替总体矩,从而得到总体分布 中未知参数的一个估计.这种方法称为矩估计法,简称矩法. 设总体X的分布函数为F(x;θ),θ=(θ1,θ2,…,θk)∈Θ是未知参 数(k为未知参数的个数,k=1,2,…),X1,X2,…,Xn是来自X的 样本,x1,x2,…,xn是样本观测值,则矩法构造未知参数估计 量的步骤如下:
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（一） 定义6.1
矩法
设总体 X 的分布函数为 F(x;θ),θ=(θ1,θ 2, … , θ k) ∈Θ是未知参数 ,X1,X2, … ,Xn 是来自 X 的样 本 ,x1,x2, … ,xn 是 样 本 观 测 值 . 选 取 一 个 统 计 量
＾ ＾ ＾ ＾ ＾
θ=θ(X1,X2,…,Xn),以数值θ(x1,x2,…,xn)估计θ,则称 θ(X1,X2,…,Xn)是θ的一个估计量,称θ(x1,x2,…,xn)是 θ的估计值. 在不至于混淆的情况下,统称估计量和估计值为估计.
2. 最大似然估计法
求参数μ,σ2 的最大似然估计.
(1)样本的似然函数为 ������ 1 1 2 2 ������(������,������ ) = ∏ exp ( ������ μ ) ������ ������ =1 2������ 2 2πσ ������ ������ ������ 1 -2 2 2 -2 = (2π) (������ ) exp ∑ ( ������ μ ) ; 2������ 2 ������ =1 ������ (2)对似然函数取对数得 ������ ������ ������ 1 2 2 2 ln������(������,������ )=- ln(2π)- ln������ ∑ ( ������ μ ) ; ������ 2 2 2������ 2 ������ =1
������ =1 ������
为样本的似然函数,简记为 L(θ). 当总体 X 为离散型随机变量时,p(x;θ)为 X 的分布律; 当总体 X 为连续型随机变量时,p(x;θ)为 X 的概率密度.
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（二）
最大似然估计法
2. 最大似然估计法
求最大似然估计量的步骤如下:
(1)根据总体 X 的分布律或概率密度 p(x;θ),写出似然函数 ������(������) = ∏ ������(������������ ;θ).
（二）
最大似然估计法
2. 最大似然估计法
其中,xi=0 或 1,i=1,2,„,85,故得似然函数为
85
������(������) = ������(������1 ,…,������85 ;p) = ������ 从而有 ln������(������) = dln������(������) = d������ 令
＾
a = X- 3S,
−
~
＾
b = X + 3S,
−
~
������ ~ − 1 2 其中S = ∑ (Xi-X)2,而S= ������ ������ =1 ~
������ − 1 2 ∑ (������������ -X) . ������ ������ =1
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（二）
最大似然估计法
＾ X ������
−
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（一）
例3
矩法
设总体 X 在[a,b]上服从均匀分布,其概率密度为 1 , ������ ≤ ������ ≤ ������, ������(������;������,������) = ������-������ 0, 其他, 其中,a,b 是未知参数.试求 a,b 的矩估计量. 解 我们知道,均匀分布的期望和方差分别为 1 1 2 ������(������) = (a + b), D(X) = (b-a) . 2 12 现设 X1,X2,…,Xn 为总体 X 的样本,于是,有
������ =1 ������
(2)对似然函数取对数 lnL(θ)= ∑ lnp(xi;θ).
������ =1 ������
(3)写出似然方程 dln������ =0 d������
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或
Əln������ = 0. Ə������
（二）
例 4 解
最大似然估计法
设 X1,X2,…,Xn 为取自正态总体 X~N(μ,σ2)的样本. 由题意可知,X 的概率密度为 ������(������;������,������ 2 ) = 1 2πσ exp 1 2 ( x μ ) . 2������ 2
解得 μ =
＾ 1 ������ ∑ ������������ ������ ������ =1
= x,
＾ −
−
＾
σ2 =
＾
因此,μ ,σ 2 的最大似然估计量为 μ = X,
~
− 2 1 ������ ∑ (������������ -x) . ������ ������ =1
σ 2 = S2 .
＾
σ2 =
（一）
例2 解
矩法
设总体 X~B(n,p),其中 n 已知,求 p 的矩估计量.
我们知道,二项分布的 ������(������) = ������������. 设 X1,X2,…,Xn 为总体 X 的样本,于是有 1 ������ ������(������) = ������������ = ∑ ������������ , ������ ������ =1 解方程得 p 的矩估计量为 p = .
第六章 参数估计
1
点估计
2
3 4
估计量的评价标准
区间估计 正态总体均值与方差的区间估计
5 6
非正态总体的区间估计
本章小结
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6.1
点估计（一）（二）源自矩法最大似然估计法
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点估计问题的一般提法
设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已知 ,
是待估参数 . X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样本 ,
则 P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p (i=1,2,…,85).由于 ������(������������ ;p) = P(������������ = ������������ ) = ������ ������ ������ (1-p)1-������ ������ ,
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∑ ������������
∑ ������������ -85p 85 1 1 -(85- ∑ ������������ ) = ������ =1 . ������ 1-������ ������(1-������) ������ =1 p 的最大似然估计值为
−
1 2 ∑ (������ -X) , ������ ������ =1 ������
������ 1 ∑ ������������ , ������ ������ =1 ������ −
得到μ,σ2 的矩估计量分别为
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μ = X,
������ − 1 2 ∑ (������ -X) . ������ ������ =1 ������
所谓最大似然估计法就是当我们用样本的函数值估计总体 参数时,应使得当参数取这些值时,所观测到的样本出现的 概率最大.最大似然估计法是最重要的一种点估计方法,所 求的估计量有许多优良的性质.
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（二）
最大似然估计法
1. 似然函数
定义6.2
设总体 X 的分布律或概率密度为 p(x;θ),θ=(θ1,θ2,…,θk) 是未知参数,X1,X2,…,Xn 是总体 X 的样本,则称 X1,X2,…,Xn 的联 合分布律或概率密度函数 ������(������1 ,������2 ,…,������������ ;θ) = ∏ ������(������������ ;θ)
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（二）
最大似然估计法
2. 最大似然估计法
例5 解
设一批产品中含有次品,且从中随机抽取 设次品率为 p,则 0<p<1.设
85 件,发现次品 10 件.试估计这批产品的次品率. 1, 0, 第������次取得次品, 第������次取得合格品,
������������ =
i = 1,2,…,85,
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（一）
矩法
1 ������ 1 ∑ ������ = E(X) = (a + b), ������ ������ =1 ������ 2 − 1 ������ 1 2 2 ∑ (������������ -X) = D(X) = (b-a) . ������ ������ =1 12 由上式可得 a,b 的矩估计量分别为