天津理工大学概率论与数理统计第六章习题答案详解

E( X ) 的 无 偏 估 计 ， 且 有 效 性 从 大 到 小 的 顺 序 为
ˆ2 ˆ1 ˆ3 ˆ1 , ˆ2 , ˆ 3 都 是 E( X ) 的 无 偏 估 计 ， 且 有 效 性 从 大 到 小 的 顺 序 为 C、 ˆ3 ˆ2 ˆ1 ˆ1 , ˆ2 , ˆ 3 不全是 E ( X ) 的无偏估计，无法比 D、
第六章
一.填空题
数理统计的基本概念
1.若 1 , 2 , , n 是取自正态总体 N ( , 2 ) 的样本，
1 n ) . 则 i 服从分布 N (, n i 1 n (n 1) 2 χ 2 (n 1) 2.样本 ( X1 , X2 , , Xn ) 来自总体 X ~ N(, 2 ) 则 ； S ~ n 2 1 n n 2 (X X )2 。 ( X ) ~ _ t(n 1) __。其中 X 为样本均值， Sn n 1 i 1 Sn
X X2 所以 1 ~ F (1,1). X3 X4 9.判断下列命题的正确性：( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”)
(1) 若 总 体 的 平 均 值 与 总 体 方 差 2 都 存 在 ， 则 样 本 平 均 值 x 是 的 一 致 估 计。 ( 对 )
51
( A ) X 与
n
(X
i1 n i1
n
i
X ¡ )2 独 立
( B )X
i
与X 与X
j
独 立 ( 当
独 立 ( 当
i j )
i j)
来自总
( C ) 6.
体Y
X i 与 X i2 独 立
i1
( D )X
i
2 j
设
X1 , X 2 , , X n1 ，
2
来自总体 X, X
二、选择题 1、设总体 服从正态分布 N ( N , 2 ) ，其中 已知， 未知，1 , 2 , 3 是取自总体 的一个样本，则非统计量是( D ). B、 1 2 2 D、
1 A、 (1 2 3 ) 3
C、 max(1 , 2 , 3 )
49
7. 设 X1 , X 2 ,
, X n 是总体 N (0,1) 的样本, 则统计量
(需写出分布的自由度).
1 n X k2 服从的分布为 n 1 k 2 X 12
F (n 1,1)
解：由 X i ~ N (0,1), i 1, 2,
X
k 1
n
, n 知 X ~ (1), X k2 ~ 2 (n 1) , 于是
, x9 ) 和
U
x1 x2
2 y12 y2
x9
2 y9
~
t (9)
.
5. 设 X ~ N (0,16), Y ~ N (0,9), X , Y 相互独立, X1 , X 2 , 为 X 与 Y 的一个简单随机样本, 2 X 2 X2 X 92 则 12 服从的分布为 2 Y1 Y22 Y16
C、
n 1 的 t 分布的随机变量是( B ). A、 B、 S1 / n 1 S2 / n 1

S3 / n
D、

S4 / n
3、设 ~ N (1,2 2 ) ， 1 , 2 , n 为 的样本，则( C ).
~ N (0.1) 4 2 1 1 C、 D、 ~ N (0,1) ~ N (0,1) 2/ n 2/ n 4、设 1 , 2 , n 是总体 ~ N (0,1) 的样本， , S 分别是样本的均值和样本标准差，
7 i 1
3、设 X 1 , X 2 , X 7 为总体 X ~ N (0,0.52 ) 的一个样本，求 P( X i2 4) .
解： X ~ N (0,0.5 )
2
2 X i ~ N (0,1)
P( X i2 4) P( 4 X i2 16) 0.025
( C )

2 n 1S1 n1 2 1

n 2S 2 2n 2 2 2
~ 2 (n 1 n 2 2)
( D )

n1 n 2 2
~ t (n1 n 2 2)
7. 设 X 1 , X 2 , X n 是取自总体 N (0, 2 ) 的样本，则可以作为 2 的无偏估计量是 ( A ).
1 n Xi n 1 i 1 1 3 1 ˆ1 X 1 X 2 X 3 ， 8. 3、设 X 1 , X 2 , X 3 是来自母体 X 的容量为 3 的样本， 5 10 2 1 1 5 1 1 1 ˆ2 X1 X 2 X 3 ， ˆ3 X1 X 2 X 3 ， 则 下 列 说 法 正 确 的 是 3 4 12 3 6 2
2
2
X X2 2 解：由 X1 X 2 ~ N (0, 2 ) , 有 1 ~ (1) , 2
又
X X4 2 X 3 X 4 ~ N (0, 2 ) , 故 3 ~ (1), 2
2
2
X X2 X3 X4 因为 1 与 独立, 2 2
3.设 X1 , X2 , X3 , X4 是来自正态总体 N(0.2 2 ) 的简单随机样本，
2 X a( X 1 2 X 2 ) 2 b(3 X 3 4 X 4 ) ，则当 a
2
a
2
1 1 时， b b 100 20
.
时，统计量 X 服从 X 分布，其自由度为
2
4. 设随机变量 与 相互独立, 且都服从正态分布 N (0,9) , 而 ( x1 , x2 , ( y1 , y2 , , y9 ) 是分别来自总体 和 的简单随机样本, 则统计量
)。
(Yi, Y) 2 ,
i 1
2 1 2 2 n1 n 2 ~ N(0,1)
则如下结论中错误的是 ( D ( A )
[(X Y) (1 2 )]
2 S1 n1 (n 2 1) 2 n 2 ( B ) 2 2 1 ~ F(n1 1, n 2 1) n 2 (n1 1) 1 S2n 2
2
2
2
ˆ ) 0 则 称 为 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( (2) 若 E(
错
)
(3) 设总体 X 的期望 E(X)，方差 D(X)均存在， x1 , x2 是 X 的一个样本 ， 1 2 则统计量 x1 x2 是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 ) 3 3
ˆ ˆ ˆ ˆ 2 (4) 若 E(1 ) E( 2 ) 且 D(1 ) D( 2 ) 则 以 估 计 较 以 1估
2 1 2 k 2
n
2 k
(n 1)
X12 /1
1 n X k2 ~ F (n 1,1). n 1 k 2 X12
( X 1 X 2 )2 服 ( X 3 X 4 )2
8. 总体 X ~ N (1, 22 ), X1 , X 2 , X 3 , X 4 为总体 X 的一个样本, 设 Z 从 F(1,1) 分布(说明自由度)
1
2
(12 22 32 )
2
2、 设 1 , 2 , n 是来自正态总体 N ( , 2 ) 的简单随机样本 S1
2 S2
1 n ( i ) 2 ， n 1 i 1
1 n 1 n 1 n 2 2 2 2 ( ) S ( ) S ( i ) 2 ，则服从自由度为 ， ， i 3 i 4 n i 1 n 1 i 1 n i 1
, X 9 与 Y1 , Y2 ,
F (9,16).
, Y16 分别
6. 设随机变量 X ~ N (0,1) , 随机变量 Y ~ 2 (n) , 且随机变量 X 与 Y 相互独立, X 令T , 则 T 2 ~ F(1,n) 分布. Y n X2 X 2 解：由 T , 得T . 因为随机变量 X ~ N (0,1) , 所以 X 2 ~ 2 (1). Y Y n n X2 2 T ~ F (1, n). 再由随机变量 X 与 Y 相互独立, 根据 F 分布的构造, 得 Y n
2 ~ N(1 , 1 ), Y1 , Y2 ,, Yn 2
£ , Y ~ N(
n1
, 2 2 ) ， 且 X 与 Y 独 立。 X
n 21
1 n1 1 X i, , Y n1 i1 n2
Yi, ,
i 1
n2
2 S1 n1
1 1 (X i , X) 2 , S 2 2n 2 n1 i1 n2
解：因 2 未知，不能用 X N (1000, 而T ~ t (8) S 3
X ~ t ( n 1) S n
T
P( X 940) P(
X 940 ) 而 S 100, 1000 S S 3 3 ， (940 1000) 3 ) P(T 1.8) P(T 1.8) P( X 940) P(T 100 由表查得 P( X 940) P(T 1.8) 0.056
1 n Xi X 是总体 X 中2 的有偏估计。 （ 对 n i 1


2
10.设 X1 , X2 , X3 是取自总体 X 的一个样本，则下面三个均值估计量 5X 3 1 3 1 1 1 1 3 1 ˆ1 X 1 X 2 X 3 , u ˆ2 X 1 X 2 ˆ3 X 1 X 2 X 3 ,u 5 10 2 3 4 12 3 4 12 都 ˆ2 是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则 最有效.