导数的应用典型错误解析
导数在高中数学中的应用误区
导数在高中数学中的应用误区万琨摘要: 导数是高中数学新增内容,它是中学数学与高等数学的连接点,所以学好导数有利于高中毕业生进入高等学府后的再教育。
但是从每年的高考试题分析来看,相当一部分的学生在有关导数的试题上失分较多，实际上这些试题并不太难.原因在哪里呢？本文试图对近几年出现的一些具体题型加以分析。
关键词: 导数; 误区; 极值; 最值; 单调性1.引言导数的思想最初是由法国著名的数学家费马为研究极值问题提出来的。
微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分。
一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用。
另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的。
在上个世纪，导数曾经编入中学数学教材，但是由于教育改革，步入上个世纪九十年代，导数在中学数学教材中又删去了。
但是我们知道导数对于考察同学们的数学思维有着其他高中数学内容所无法替代的作用。
因此随着时代的发展，随着经建设的日益提高、随着高校对人才的选拔需、随着新课程改革的进一步深入、随着西方的现代教育思想的引如、随着体现教育以人为本的思想、导数又重新选编入中学数学教材。
它的选如恰似一股春风吹如人的心田，使人清爽气颐、它的选入犹如犹如长期处于黑暗之中的人见到光明一样，心中充满期待与高兴，它的选入犹如一股新鲜的血液注入人的体内，使人精神焕发，朝气蓬勃。
导数是高中数学和高等数学衔接的纽带，它有利于克服中学数学与高等数学脱节的现象，有利于克服中学尖子生进入高校后对数学产生厌恶之感的现象，使进入高校的新生不在对高等数学有畏惧的心理。
导数作为新内容引入中学数学教材，使广大师生、教研员、命题爱好者为之精神振奋。
尽管它属于高三选修的内容，但因为它对考察学生的数学思维具有积极的推动的作用，因此有关导数的一类新题型深受命题者的青睐。
导数应用易错点分析、归纳
导数应用易错点分析、归纳作者：纪颖伟来源：《成才之路》2009年第05期导数作为高中数学新教材中的新增内容，为解决函数单调性、最(极)值、取值范围等问题提供了新的工具。
但学生在学习导数时，由于对导数基本概念、理论的理解存在着误区，应用时常常出错，下面，对有关的易错点举例加以分析、归纳。
一、忽视了“过某点的切线”与“在某点的切线”的差别例1:求经过点A（-1，4）的曲线y= x3-5 x2+6x的切线方程错解：y'=3x2-10x+6， y'|x=-1=19。
故过点A（-1，4）的曲线的切线方程为y-4=19（x+1）,即19x-y+23=0。
分析：由导数的几何意义知f'（x0）是曲线在点（x0，f（x0））处的切线的斜率，其中点（x0，f（x0））在曲线上，而点A（-1，4）显然不在曲线上，故不正确。
正解：设切点坐标P（x0，y0），则 y0=x03-5x02+6x0 ，则过点p的切线方程为y-y0=（3x02-10x0+6）（x-x0），即y=（3x02-10x0+6）x-2x03+5x02 。
因其经过点A（-1，4），代入上面切线方程，可求得x0 =1，或x0=-，将 x0的值分别代入切线方程，得到三条切线方程：y=-x+3，y=（21-10 ）x+25-10和 y=（21+10 ）x+25+10。
二、误解了“导数为零”与“有极值”的逻辑关系利用导数求极值的算法可为三步：⑴求导数f'（x），⑵求方程f'（x）=0的根，⑶检验f'（x）在方程f'（x）=0的根的左右两边的符号，确定极值。
例2：函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b值。
错解：f'（x）=3x2+2ax+b，由题意知：f'（1）=0 且 f（1）=10，即2a+b+3=0且a2+a+b+1=10，解之得a=4，b=-11 或a=-3，b=3。
分类例析求解导数问题时的常见错误_朱琳
对其计上心来． 但在解题过程中难免会因各
种原因，使解题者与正确答案失之交臂． 现就
教学过程中 学 生 做 题 时 出 现 的 问 题，结 合 实
例与大家共飨．
一、忽视函数的定义域．
例 1 已知函数 f（ x） = ln x － 1 － x2 ，求 2
函数的单调区间．
错解 f '（x） = 1 － x = 1 － x2 ．
∴ m = 2 或 － 1．
∴ 切点为（2，2） 或（ － 1，2） ，故切线为 9x
－ y － 16 = 0 或 y = 2．
所以，在 今 后 的 解 题 过 程 中 一 定 要 注 重
每一步的等价性，做到万无一失．
·43·
，∴ y' | x = 2 = 9， ∴ 切线方程为 y － 2 = 9（ x － 2） ，即 9x －
y － 16 = 0．
辨析 上述解答错误地认为只有点 P 是
切点，而题中并没有告知谁是切点，此时就应
该设出切点（ m，m3 － 3m） ，则
3m2 － 3 = m3 － 3m － 2， m －2
∴ （m + 1）（m － 2）2 = 0，
g（ x）
=
1 ex
，对
任
意
x1
∈
［1 2
，2 ］，存 在
x2
∈
［1 2
，2］，使
f
'（ x1 ）
≤
g（ x2 ）
成立，求实数
a
的
取值范围．
错解 f '（ x） = x2 + 2x + a，∴ f '（ x） 在
［1 ，2］上的最大值为 f '（2） = 8 + a． 2
导数应用常见九种错解剖析
导数应用常见九种错解剖析导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区。
一、对导数的定义理解不清致错例1、已知函数，则Ａ－１ B 0 C D 2错解：，从而选；或剖析：防错的关键是认真理清导数的定义特别是要分清导数定义中“”与“”的对应形式的多样性。
正解：原式=,从而应选Ｃ。
点评：=,函数在某一点x0处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是－2，等。
在导数定义中应特别注意“”与“”的对应形式的多样性，但不论哪种形式都应突现“”与“”的一致性。
二、对“连续”与“可导”定义理解不清致错。
例2、函数y=f(x)在x=x0处可导是函数y=f(x)在x=x0处连续的（）Ａ、充分不必要条件 B必要不充分条件Ｃ、充要条件Ｄ、既不充分也不必要条件错解：认为“连续”与“可导”是同一个概念而错选Ｃ。
或者对充分、必要条件的概念不清而导致错选Ｂ。
剖析：防错关键是（１）理清充分、必要条件的概念；（２）函数y=f(x)在x=x0处可导必在x=x0处连续，函数y=f(x)在x=x0处连续不一定在x=x0处可导。
如函数在x=０处连续但在x=０处不可导。
在x=０处连续，当时，的左右极限不相等，所以其极限不相等，因此函数在x=０处不可导。
从而本题应选Ａ。
三、对为极值的充要条件理解不清致错。
例3、函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b的值。
错解：=3x2+2ax+b,由题意知 =0,且f(1)=10,即2a+b+3=0,且a2+a+b+1=10,解之得a=4,b=－11 ,或a=－3b=3剖析：错误的主要原因是把为极值的必要条件当作了充要条件，为极值的充要条件是=0且x0附近两侧的符号相反.，所以后面应该加上：当a=4,b=－11时=3x2+8x－11=（3x+11）(x－1),在x=1附近两侧的符号相反， a=4,b=－11.当a=－3 b=3时f l(x)=3（x－1）2, 在x=1附近两侧的符号相同，所以a=－3 b=3舍去。
导数中的常见错误例析 通用精品课件
剖析：根据曲线切线的定义，曲 线的切线与曲线的交点个数未必 为1。一般地，若点A在曲线上时， 以点A为切点的切线是一条，过 点A的切线可能有多条；若点A 不在曲线上时，则只能求出过点 A的切线。
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正解：经过点P（1,3）的曲线的切 线方程有两种情形。 1、以P点为切点时，易知切线方程为
2x y 1 0;
此题就是错在对函数在x=1处是否连 续没有进一步研究，显然函数在x=1处 是连续的，所以函数的单调递增区间是 （0,+ ∞）。
18
正确答案：（0,+ ∞）
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本题小结： 本题说明在研究问题时要全 面考虑、实事求是，不能死 搬教条。
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五、求切线方程时，把在某点处的 切线与过某点的切线混淆
求函数y=f(x)的图像的切线方程是导数的 重要应用之一。当点P在曲线y=f(x)上时， 求过点P的切线方程有以下两种可能情 形：一是P点就是切点，二是切线以曲 线y=f(x)上另一点为切点，但该切线经 过点P。注意：曲线在点P处的切线，就 是只指前一种情形。
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2、P点不为切点时，设切点为Q(x0,y0)
其中（ x0 1），则有
y0
x03
x0
3
3x02
1
y0 x0
3 1
解得
x0
1 2
,
y0
27 8
,
或
x0 y0
1, 3.
（舍）
26
此时切线方程为： x 4 y 13 0.
在已求的两种情况下，
f是(1不) 是
为极值。
新课标下高中数学概念教学-导数应用常见错解剖析
新课标下高中数学概念教学---导数中的易混概念例析导数是高中数学新课程新增的重点内容，也是近年高考命题的热点内容。
导数在求函数的单调性、极值、最值以及求曲线的切线斜率等方面，有着广泛的应用，但在实际应用时常会出现一些误区。
本文对导数应用常见的错解进行分类剖析，仅供参考。
关键词：导数 错解 剖析一、对导数的定义理解不透彻例1．已知函数63241)(34+-=x x x f ，则x f x f x ∆-∆+→∆2)1()1(lim 0等于（ ）。
A.1- B.0 C.21- D.2 错解：由23'2)(x x x f -=，得原式1)1('-==f ，从而答案应选A. 剖析：导数的定义式xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )(00000'表示函数在0x 处的导数，即函数在0x 处的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于0时的极限，分子与分母中变量增量必须保持一致。
正解：⨯=∆-∆+→∆212)1()1(lim 0x f x f x 21)1(211)1()1()1(lim '0-==-∆+-∆+→∆f x f x f x ，即应选C 。
二、对导数的几何意义理解有误例2．求曲线33:x x y C -=过点)2,2(-A 的切线方程。
错解：因点A 在曲线C 上，所以过A 点的切线斜率9)2('-==f k ，所以过点A 的切线方程是)2(92--=+x y ，即0169=-+y x 。
剖析：导数的几何意义是：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率。
解题过程遗漏了切线方程02=+y 。
原因是把过点A 的切线理解成在点A 处的切线，认为切线是和曲线仅有一个公共点的直线。
正解：设切点为),(00y x M ，则过点M 处的切线方程是))(33(0200x x x y y --=-，因为A 在直线上，所以)2)(33(20200x x y --=--①，又因为M 在曲线C 上，所以30003x x y -=②，由①②得，20=x 或10-=x 。
导数试题中的易错易误点归类剖析
ʏ贵州省遵义市第四中学 刘德文长期以来,高中数学中导数板块的内容都是同学们学习的痛点㊂虽说运用导数解决问题是一种十分优美的方式,但是不少同学在实际解题过程中会出现因为对导数的工具性认识不足,理解不够透彻,掉进命题人设置的各种各样的陷阱里面,进而造成在考试中出现失分的现象㊂针对上述情况,本文从以下八个容易出现错误的题型入手,分析常见错解情况,再剖析同学们出错的原因,最后给出正确解答,从而帮助大家一起厘清概念,精准理解,高效解题㊂易错点一㊁对导数定义理解不清例1 已知函数f (x )=14x 4-23x 3+6,则l i m Δx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx=( )㊂A.-1 B .0 C .-12D .2错解:因为f '(x )=x 3-2x 2,所以l i mΔx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx =f '(1)=-1㊂故选A ㊂错因分析:该题致错的主要原因在于同学们未能准确理解函数在某点处的导数的含义,实际上,最原始的导数表达式为f '(x )=l i m Δx ң0Δy Δx =l i mΔx ң0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ,自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy 必须对应一致㊂正解:因为f '(x )=x 3-2x 2,所以l i mΔx ң0f (1+Δx )-f (1)2Δx=l i mΔx ң012㊃f (1+Δx )-f (1)(1+Δx )-1=12f '(1)=-12㊂故选C ㊂易错点二㊁忽略函数的定义域例2 函数f (x )=x +4x-3l n x 的单调递减区间是( )㊂A.(-1,4) B .(0,1)C .(4,+ɕ) D .(0,4)错解:对f (x )求导得f '(x )=1-4x2-3x =(x +1)(x -4)x 2,令f '(x )<0,解得-1<x <4,所以函数f (x )的单调递减区间是(-1,4)㊂故选A ㊂错因分析:求函数的单调递增区间时,由f'(x )>0解出x ,再与定义域求交集才是函数的单调递增区间;求函数的单调递减区间时,由f '(x )<0解出x ,再与定义域求交集才是函数的单调递减区间㊂同学们要牢记函数单调区间的求法,一定要定义域优先㊂正解:前面同错解得-1<x <4㊂又因为函数f (x )的定义域是(0,+ɕ),所以函数f (x )的单调递减区间是(0,4)㊂故选D ㊂易错点三㊁误以为导数不存在,切线就不存在例3 函数y =3x 2的图像在点(0,0)处的切线方程为㊂错解1:由已知得y '=23x -13,易知函数在x =0处的导数值不存在,所以曲线在该点处没有切线㊂错解2:由已知得y '=23x -13,易知函数在x =0处的导数值不存在,所以曲线在该点处的切线为y =0㊂错因分析:错解1主要是未能厘清导数与切线㊁切线斜率之间的关系,误以为导数不存在,切线就不存在;错解2考生混淆切线斜率为0与斜率不存在㊂实际上,大家要准确理解斜率不存在,可以理解为该切线为x =x 0,结合过原点(0,0),其实切线方程就是x 42 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.=0㊂正解:由已知得y'=23x-13,易知函数在x=0处的导数值不存在,所以曲线在该点处的切线的斜率不存在,即函数y=3x2的图像在点(0,0)处的切线方程为x=0㊂易错点四㊁对曲线切线的定义理解有误例4已知曲线C:y=f(x)=13x3+ 43,曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y= 4x-4㊂试问:该切线与曲线C是否还有其他公共点若有,求出公共点的坐标;若没有,请说明理由㊂错解:由于直线y=4x-4与曲线C相切,因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点㊂错因分析:对于圆㊁椭圆等封闭的几何图形来说, 切线与曲线有唯一公共点 ,就是说直线与这些曲线的交点只有切点,没有其他点,但对一般曲线来说是不一定成立的,同学们可以画出三次函数的草图试一试㊂正解:联立y=4x-4,y=13x3+43,消去y整理得x3-12x+16=0,即(x-2)(x2+2x-8) =0,即(x-2)2(x+4)=0,解得x=2或x=-4,所以交点的坐标为(2,4),(-4, -20),所以该切线与曲线的公共点除了切点还有点(-4,-20)㊂易错点五㊁混淆单调区间为D与在区间D上单调例5已知函数f(x)=l n x+x2+a x 的单调递减区间为12,1,则()㊂A.aɪ(-ɕ,-3]B.a=3C.a=-3D.aɪ(-ɕ,3]错解:因为函数的单调递减区间为12,1,所以f'(x)=1x+2x+aɤ0在12,1上恒成立,即aɤ-1x+2x m i n,易知y=1x+2x在12,22上单调递减,在22,1上单调递增,故y=1x+2x的最大值在端点处取得,计算可知最大值为f(1)=3,所以aɤ-3㊂故选A㊂错因分析:未能准确理解 函数的单调区间为D 与 函数在区间D上单调 两者的区别㊂准确来说,函数在区间D上单调,函数的单调区间不一定就是D㊂错解求出的结果实为函数在区间12,1上单调递减时的答案㊂若函数f(x)=l n x+x2+a x存在单调递减区间,则存在实数x,使得f'(x)=1x+2x+a<0,即a<-1x+2xm a x=-22㊂正解:因为数的单调递减区间为12,1,所以f'(x)=1x+2x+a=0的两个根为12和1㊂代入方程,解得a=-3㊂故选C㊂易错点六㊁误以为导数为0的点一定取得极值例6已知函数f(x)=x3+3m x2+n x+m2在x=-1处取得极值0,则m+n=()㊂A.4B.11C.4或11D.3或9错解:对f(x)求导得f'(x)=3x2+6m x+n,则f'(-1)=0,f(-1)=0,即3-6m+n=0,-1+3m-n+m2=0,解得m=1,n=3,或m=2,n=9,所以m+n=4或11㊂故选C㊂错因分析:若函数在x=x0可导,则f'(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的必要条件,而非充要条件㊂如y=x3在x=0处的导数值为0,但0不是该函数的极值点㊂因此,需要将求出的m㊁n的值代入导函数中检验㊂正解:对f(x)求导得f'(x)=3x2+52解题篇易错题归类剖析高考数学2023年5月Copyright©博看网. All Rights Reserved.6m x +n ,则f'(-1)=0,f (-1)=0,即3-6m +n =0,-1+3m -n +m 2=0, 解得m =1,n =3,或m =2,n =9㊂当m =1,n =3时,f '(x )=3x 2+6x +3=3(x +1)2ȡ0,函数f (x )在R 上单调递增,与函数f (x )在x =-1处取得极值0矛盾,不合题意,舍去;当m =2,n =9时,f'(x )=3x 2+12x +9=3(x +1)(x +3),函数在x =-1处取得极小值0,符合题意,所以m +n =11㊂易错点七㊁混淆极值与最值例7 求函数f (x )=x 3-2x 2+x 在[-3,3]上的最值㊂错解:对f (x )求导得f '(x )=3x 2-4x+1=(3x -1)(x -1)㊂令f '(x )=0,解得x =1或x =13㊂因为f (1)=0,f13=427,所以函数f (x )的最大值为427,最小值为0㊂错因分析:函数并不一定在极值点处取最值,最值是针对函数的整个区间而言,是整体性质,而极值是局部性质,是两个不同的概念㊂对于闭区间而言,需要将极值与端点处的函数值进行比较,才能得出函数的最值㊂正解:对f (x )求导得f '(x )=3x 2-4x+1=(3x -1)(x -1)㊂令f '(x )=0,解得x =1或x =13㊂因为f (1)=0,f 13=427,f (-3)=-48,f (3)=12,所以函数f (x )的最大值为12,最小值为-48㊂易错点八㊁对极值理解有偏差例8 已知函数f (x )=exx+k (l n x -x ),若x =1是函数f (x )的唯一极值点,则实数k 的取值范围是( )㊂A.(-ɕ,e ] B .(-ɕ,e)C .(-e ,+ɕ) D .[-e ,+ɕ)错解:对f (x )求导得f '(x )=e x(x -1)x2+k 1x -1=x -1x e xx-k㊂因为f (x )有唯一极值点x =1,所以f '(x )=0有唯一根x =1,所以exx-k =0无解,即y =k 与g (x )=e xx 无交点㊂令g '(x )=e x(x -1)x2=0,解得x =1㊂当x ɪ(0,1)时,g '(x )<0,g (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,g'(x )>0,g (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以g (x )m i n =g (1)=e ,所以k <e ㊂故选B ㊂错因分析:首先,f (x )有唯一极值点x =1并不能说明f '(x )=0有唯一根x =1,因为可能会存在两侧导数不变号的根,此时的根并不是极值点;其次,若x =1是函数f (x )的唯一极值点,并不能推出exx-k =0无解,因为可能还会存在exx-k =0有解且解为x =1的情况,所以需要进行分类讨论;最后,并没有检验在x =1的两侧导数是否变号㊂正解:对f (x )求导得f '(x )=e x(x -1)x 2+k1x-1=x -1x e xx -k㊂(1)若方程exx-k =0有解,则方程的解为x =1,解得k =e ,此时f '(x )=x -1x ㊃exx-e㊂当x ɪ(0,1)时,f '(x )<0,f (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,f '(x )>0,f (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以x =1是函数f (x )的极小值点㊂(2)若方程exx-k =0无解,则y =k 与g (x )=exx无交点㊂令g '(x )=e x(x -1)x2=0,解得x =1㊂当x ɪ(0,1)时,g '(x )<0,g (x )在(0,1)上单调递减;当x ɪ(1,+ɕ)时,g '(x )>0,g (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂所以g (x )m i n =g (1)=e ,所以k <e ㊂综上所述,k ɤe㊂故选A ㊂(责任编辑 王福华)62 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
导数常见错误剖析
导数常见错误剖析作者：刘宇琪来源：《高中生学习·高二版》2017年第04期导数是研究函数的重要的方法，理解导数的概念、掌握导数研究函数的方法至关重要. 在学习中，我们利用导数研究函数问题时常会犯一些错误，从根本上认识这些错误的原因，追根溯源，才能更好地掌握导数.复合函数的导数的理解问题例1 已知[y=（1+cos2x）2]，则[y=] .错解 [y=-2sin2x（1+cos2x）]分析对复合函数求导数的计算不熟练，[2x]与[x]系数不一样，也是一个复合的过程，有的同学忽视了它而导致错解.正解设[u=1+cos2x]，[y=u2]，则[yx=yuux=2u（1+cos2x）=2u⋅（-sin2x）⋅（2x）][=2u⋅（-sin2x）⋅2=-4sin2x（1+cos2x）.][∴][y=-4sin2x（1+cos2x）].导数的几何意义的理解问题例2 已知曲线[S：y=-23x3+x2+4x]及点[P（0，0）]，求过点[P]的曲线[S]的切线方程.错解由题意得，[y=-2x2+2x+4].[∴]过点[P]的切线斜率[k=y|x=0=4].[∴]过点[P]的曲线[S]的切线方程为[y=4x].分析曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义. 在本题中，点[P]凑巧在曲线[S]上，求过点[P]的切线方程，却并非说切点就是点[P]，上述解法混淆了求过点[P]的切线方程和求曲线在点[P]处的切线方程，认识不到位.正解设过点[P]的切线与曲线[S]切于点[Q（x0，y0）]，则过点[P]的曲线[S]的切线斜率为 [k=y|x=0=-2x20+2x0+4].又[kPQ=y0x0]，[∴-2x20+2x0+4=y0x0].①[∵]点[Q]在曲线[S]上，[∴y0=-23x30+x20+4x0]. ②将②代入①得，[-2x20+2x0+4=-23x30+x20+4x0x0.]化简得，[43x30-x20=0].[∴x0=0]，或[x0=34].若[x0=0]，则[k=4]，过点[P]的切线方程为[y=4x].若[x0=34]，则[k=358]，过点[P]的切线方程为[y=358x].[∴]过点[P]的曲线[S]的切线方程为[y=4x]，或[y=358x.]导数判断单调性的理解问题例3 已知函数[f（x）=mx2+lnx-2x]在定义域内是增函数，求实数[m]的取值范围.错解由题意得，[f（x）>0]，即[2mx+1x-2>0]恒成立，解之得，[m>12].分析“函数[y=f（x）]为增函数”与“[f（x）>0]”并不是互为充要条件的.（1）[f（x）>0⇒][y=f（x）]为增函数；（2）[f（x）（3）[y=f（x）]为增函数[⇒f（x）≥0]；（4）[y=f（x）]为减函数[⇒f（x）≤0].正解由題意得，[f（x）≥0]，即[2mx+1x-2≥0]恒成立，解得，[m≥12-12（1x-1）2≥12].极值点和变量的理解问题例4 已知函数[fx=4x3-3x2cosθ+316cosθ]，其中[x∈R，θ]为参数，且[0≤θ≤2π].（1）当[cosθ=0]时，判断函数[fx]是否有极值；（2）要使函数[f（x）]的极小值大于零，求参数[θ]的取值范围.错解（1）当[cosθ=0]时，[f（x）=12x2].令[f（x）=0]，则[x=0].（2）随[x]的变化，[f（x）]的符号及[f（x）]的变化情况如下表.因此，函数[f（x）]在[x=cosθ2]处取得极小值[f（cosθ2）]，且[f（cosθ2）=-14cos3θ+316cosθ].要使[f（cosθ2）>0]，必有[-14cosθ（cos2θ-34）>0]，解得，[0由于[0≤θ≤2π]，故[π6分析（1）对极值点定义理解不清. ①不可导函数，在某点处的导数不存在，但可以是极值点. 如函数[y=|x|]在点[x=0]处有极小值[f（0）=0]，可是这里的[f（0）]根本不存在. ②可导函数的极值点的求法分为两步：第一步求[f（x）=0]的[x]值，第二步必须判断导数为0的点左右两边导数的符号不同. 如函数[f（x）=x3]的导数[f（x）=3x2]，在点[x=0]处有[f（0）=]0，而[f （x）]在[（-∞，+∞）]上为增函数可知，点[x=0]不是[f（x）]的极值点.（2）没有考虑到[cosθ]的符号，直接作答. 对于参数问题一定要考虑到范围问题.正解（1）当[cosθ=0]时，[f（x）=4x3]，则[f（x）]在[（-∞，+∞）]上是增函数，故无极值.（2）[f（x）=12x2-6xcosθ]，令[f（x）=0]得，[x1=0，x2=cosθ2].下面分两种情况讨论.①当[cosθ>0]时，随[x]的变化，[f（x）]的符号及[f（x）]的变化情况如下表.因此，函数[f（x）]在[x=cosθ2]处取得极小值[f（cosθ2）]，且[f（cosθ2）=-14cos3θ+316cosθ].要使[f（cosθ2）>0]，必有[-14cosθ（cos2θ-34）>0]，解得，[0又[0≤θ≤2π]，故[π6②当[cosθ若[f（0）>0]，则[cosθ>0]. 与[cosθ所以当[cosθ综合①②知，要使函数[f（x）]在[（-∞，+∞）]上的极小值大于零，参数[θ]的取值范围为[（π6，π2）⋃（3π2，11π6）].。
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导数的应用典型错误解析
广东东莞市常平新星高级中学 夏文凯
导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极植、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区。
一、导数的定义理解不清
例1. 已知函数f x x a ()log =+1，求lim ()()∆∆∆x f x f x
→--0121 错解：因为f x x a ()log =+1 ∴f x x
e a '()log =1 ∴lim ()()'()log ∆∆∆x a
f x f x
f e →--==01211 剖析：错误的主要原因是由于对导数的定义理解不清，导数
f x y x f x x f x x
x x '()lim lim ()()00000==+-→→∆∆∆∆∆∆ 函数在某一点x 0处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量△x 必
须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是-2∆x ，12
∆x 等。
∴lim ()()∆∆∆x f x f x
→--0121 ()=----⎡⎣⎢⎤⎦
⎥=----=-=-→→lim ()()()lim ()'()
log ∆∆∆∆∆∆x x a f x f x f x f x
f e
001212221212212·
二、f x '()0为极值的充要条件理解不清
例2. 函数f x x ax bx a ()=+++322在x =1处有极值10，求a 、b 的值。
错解：f x x ax b '()=++322，由题意知
f '()10=，且f ()110=
即230a b ++=，且a a b 2110+++=
解之得a b ==-411，或a b =-=33，
剖析：错误的主要原因是把f x '()0为极值的必要条件当作了充要条件，
f x '()0为极值的充要条件是f x '()00=
且x 0附近两侧的符号相反，所以后面应该加上：
当a b ==-411，时
()()f x x x x x '()=+-=+-381131112
在x =1附近两侧的符号相反，
∴，a b ==-411
当a b =-=33，时，()f x x '()=-312
在x =1附近两侧的符号相同，
所以a b =-=33，舍去。
∴（a b ==-411，时，
f x x x x ()=+-+3241116的图象见下面左图，
a b =-=33，时， f x x x x ()=-++32339的图象见下面右图。
）
三、函数的单调区间不完善
例3. 求函数f x x x x ()ln()()=-+>10的单调增区间。
错解：由题意得f x x x '()=-+>1211
0 ∴∴x x x 22101
-+>≠ 又因为函数的定义域是()0，+∞
所以函数的单调递增区间是（0，1）和（1，+∞）。
剖析：错解错在对函数在x =1处是否连续没有研究，显然函数在x =1处是连续的，所以函数的单调递增区间是()0，+∞。
（函数的图象见下图）对于f x '()>0（或f x '()<0）的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不能草率下结论。
四、函数单调的充要条件理解不清
例4. 已知函数f x ax x ()=++12
在()-+∞2，内单调递减，求实数a 的取值范围。
错解：f x a x '()()=
-+2122
，由函数f x ()在()-+∞2，内单调递减知f x '()≤0在()-+∞2，内恒成立 即21202a x -+≤()在()-+∞2，内恒成立 因此a ≤12
剖析：错误的主要原因是由于对函数f x ()在D 上单调递增（或递减）的充要条件是f x '()≥0（或f x '()≤0）且f x '()在D 任一子区间上不恒为零没有理解。
而当a =12
时f x '()=0在()-+∞2，恒成立，所以不符合题意，舍去。
五、求函数的最值没有考虑函数的不可导点。
例5. 求f x x x ()()=-2232在[]-13，上的最大值和最小值。
错解：由题意得f x x x x '()=--431223·
令f x '()=0得x =1
∵，，f f f ()()()-===19113933
∴当x =-1和3时，函数的最大值是93
当x =1时，函数的最小值是1 剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的最值可以在导数为零的点或不可导点或区间的端点处取得。
所以后面应该加上：在定义域内不可导的点为：x x 1202==，
∵，，，f f f f f ()()()()()-=====191139002033
∴当x =-1和3时，函数的最大值是93
当x =0或2时，函数的最小值是0 函数f x ()的图象如图
六、求函数的极值没有考虑函数的不可导点
例6. 求f x x x ()()=-2232在[]-13，上的极值。
错解：由题意得f x x x x
'()=--431223·
令f x '()=0，得x =1 当x =1时，f x '()在x =1附近两侧的符号相反，左正右负
∴x =1，是函数的极大值点。
剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的极值可以在定义域内导数为零的点或不可导点取得。
所以后面还应该加上：在定义域内不可导的点为：x x 1202==，
经计算，f x '()在x 10=附近两侧的符号相反，左负右正
f x '()在x 22=附近两侧的符号相反，左负右正
∴x 10=和x 22=是函数的两个极小值点
∴函数的极大值为f ()11=
极小值为f f ()()020==
（函数的图象见上图）。