1.4.2正弦函数、余弦函数的性质①
正弦函数、余弦函数的性质
2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k
2
, k Z时取得最大值1, 当
2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅 当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值 都有 时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数 的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最 及取得最值时自 值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、 周期性 正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性1、(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2、A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．3、由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．知识点三 正弦、余弦函数的单调性[－1,1][－1,1]对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 1、求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．2、下列函数是以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin x ＋2C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －13．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．类型二 三角函数的奇偶性对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．1、判断下列函数的奇偶性．(1) f (x )＝sin(－x )（2）f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (3)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.2、若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( )A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )3、已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．2、已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．3、设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.类型四 求正弦、余弦函数的单调区间用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．1．函数y ＝sin2x 的单调递减区间。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 知识点及习题
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．______时，y min ＝－1一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定 3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π)D ．y ＝cos(x ＋π)7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．9．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______．三、解答题11．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>πB ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C ．2D ．31．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z )作业设计 1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin168°＝sin (180°－12°)＝sin12°， cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80° 由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.] 7.⎣⎡⎦⎤π2，π 8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3.∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2]9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. ∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)由题意得cos2x >0且y ＝cos2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos2x )的增区间为⎝⎛⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴π－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增， ∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β) ⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
∴f(x)为奇函数．
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探究三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[例 4] (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是 π 的函数是( )
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin x|
C．y＝sinπ2＋2x
D．y＝cos32π－2x
[答案] D
∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝ 23.
∴f53π＝
3 2.
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方法技巧 三角函数的周期性、奇偶性都是函数的整体性，两者结合起来，可使 更全面的研究函数图象特征．
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延伸探究 5.(1)若将例 3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变， 结果如何？
而 z＋2π＝2x＋π3＋2π＝2(x＋π)＋π3，所以自变量 x 只要且至少要增加到 x＋π，函
数值才能重复取得，所以函数 f(x)＝sin2x＋π3(x∈R)的最小正周期是 π.
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2．将本例(2)改为：求函数 y＝|1＋sin x|的最小正周期． 解析：∵y＝|1＋sin x|＝1＋sin x，∴T＝2π.
f(5)＝cos53π＝12，f(6)＝cos 2π＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
同理可得，每连续六项的和均为 0，
即周期为 6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝12－12－1＝－1. [答案] －1
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课时作业1：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)一、基础过关1．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 答案 D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20答案 B3．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 答案 B解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．4．下列函数中，不是周期函数的是( )A ．y ＝|cos x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin|x |答案 D解析 画出y ＝sin|x |的图象，易知．5．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫－5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝－f ⎝⎛⎭⎫－π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin π3＝32. 6．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 答案 π解析 T ＝2π2＝π. 7．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )；(2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin xe sin x －e －sin x . 解 (1)x ∈R ，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )．∴该函数是奇函数．(2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域为R .∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴该函数是偶函数．(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x )e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin xe －sin x －e sin x ＝－f (x )，∴该函数是奇函数．二、能力提升8．下列函数中，周期为2π的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2 D ．y ＝|sin 2x |答案 C解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π； y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π； y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为T ＝2π； y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2. 故选C.9．若函数f (x )＝sin(12x －φ)是偶函数，则φ的一个取值为( ) A ．2 010π B ．－π8 C ．－π4 D ．－π2答案 D解析 当φ＝－π2时，f (x )＝sin(12x ＋π2)＝cos 12x 为偶函数，故选D. 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝________. 答案 3 解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＝335⎝⎛⎭⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝sin π3＋sin 23π＋sin π ＝ 3.11．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，f (x )的解析式．解 x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π. 12.已知函数f (x )＝log 12|sin x |. (1)求其定义域和值域；(2)判断其奇偶性；(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期． 解 (1)∵|sin x |>0，∴sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z .∴函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }．∵0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0， ∴函数的值域为{y |y ≥0}．(2)函数的定义域关于原点对称，∵f (－x )＝log 12|sin(－x )| ＝log 12|sin x |＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．(3)∵f (x ＋π)＝log 12|sin(x ＋π)| ＝log 12|sin x |＝f (x )， ∴函数f (x )是周期函数，且最小正周期是π.三、探究与拓展13．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1f (x )(f (x )≠0)． (1)求证：函数f (x )是周期函数．(2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )， ∴f (x )是周期函数，4就是它的一个周期．(2)解 ∵4是f (x )的一个周期． ∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝－1f (－1＋2)＝－1f (1)＝15.。
必修四 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 导学案
1．4.2正弦函数、余弦函数的性质【课标要求】1.了解三角函数的周期性，会求一些三角函数的周期．2.借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质，会讨论一些简单三角函数的奇偶性、单调性、最值等问题．【考纲要求】【学习目标叙写】1.通过自主学习，会求一些三角函数的周期2.通过合作交流，会讨论一些简单三角函数的奇偶性、单调性、最值等问题．【使用说明及方法指导】1.限时10—15分钟，独立完成预习案内容，书写规范。
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
【预习案】1．sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝_______.(k∈Z)2．正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五个关键点为___________________________________．3．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的五个关键点为【探究案】探究一：正、余弦函数的周期性研究正、余弦函数的周期性，可根据定义f(x＋T)＝f(x)，T一般为最小正周期例一求下列函数的周期：(1)y＝sin 2x＋3； (2)y＝2cos(13x－π4)； (3)y＝|sin x|.探究二：正、余弦函数的奇偶性正、余弦函数的奇偶性，要根据奇偶函数的定义、性质和三角诱导公式来判定．例二判断下列函数的奇偶性：(1)y＝sin x＋tan x；(2)f(x)＝sin(3x4＋3π2)；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x； (4)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.【拓展1】 若本例(4)改为f (x )＝1－cos x ，其奇偶性如何？探究三：正、余弦函数的单调性要结合正、余弦函数的图象和周期性，求解单调区间．例三 求函数y ＝2sin(π4－x )的单调区间．【拓展1】 求函数y ＝2sin(x ＋π4)的单调区间．探究四：正、余弦函数的定义域、值域及最值此类问题主要利用它们的有界性：|sin x |≤1，|cos x |≤1(x ∈R)．例四 (1)求函数y ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[π6，π2]的值域；(2)求函数y ＝11＋sin x的定义域、值域和最值．【拓展1】 求函数y ＝cos2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域．【二次备课】。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
跟踪训练
2．判断下列函数的奇偶性： 2x＋5π； (1)f(x)＝ 2sin 2 (2)f(x)＝ 2sin x－1.
解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于 原点对称， 2x＋5π＝ 2cos 2x， 且 f(x)＝ 2sin 2 显然有 f(－x)＝ 2cos(－2x)＝ 2cos 2x＝f(x)， 2x＋5π是偶函数； ∴函数 f(x)＝ 2sin 2
－π＋2kπ，π＋2kπ ，(k∈Z) 增函数 2 2 (k∈Z) 减函数 增函数 减函数
π＋2kπ，3π＋2kπ， 2 2
思考应用 1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦
函数在第一象限是增函数”？
解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函
数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为
2．使 y＝sin x 和 y＝cos x 均为减函数的一个区间是( 0，π π，π A. B. 2 2 π，3π 3π，π C. D. 2 2
)
解析：由y＝sinx，x∈[0,2π]
与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象知：y
＝sin x和y＝cos x的均为减函数的
三角函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin4x－cos4x＋cos 2x；
1－sin x－cos x (2)f(x)＝ . 1＋sin x＋cos x
分析：本题考查函数的奇偶性问题． 解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关 于原点对称， 且f(－x)＝sin4(－x)－cos4(－x)＋cos(－2x)＝sin4x－cos4x ＋cos 2x＝f(x)，
基础梳理 一、正弦函数和余弦函数的单调性
1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)
2π T= = 4π 3) y = 2 sin( x − ), x ∈ R 1 2 6 2 函数y = A sin(ω x + ϕ )及y = A cos(ω x + ϕ ), x ∈ R 2π ( A, ω , ϕ为常数, A ≠ 0, ω > 0)的周期T = ω
π
2π T= =π 2
课堂小结： 课堂小结：
1. 定义法 公式法： 2. 公式法：
周期求法
一般地， 一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数， 为常数， 的周期是: 且 A≠0, ω≠0 ）的周期是:
T= 2π
ω
(ω ≠ 0)
1、求下列函数的周期或函数值 、
利用正弦函数和余弦函数的图象， 例2.利用正弦函数和余弦函数的图象， 利用正弦函数和余弦函数的图象 求满足下列条件的x的集合 的集合： 求满足下列条件的 的集合：
2 (2) cos x ≤ 1 ，x ∈ (0, 5π ) (1) sin x ≥ 2 2 2
例3.求下列函数的定义域： 3.求下列函数的定义域： 求下列函数的定义域
π
2
,1 )
最低点： 最低点： ( 3π
2
,−1)
轴的交点： 与x轴的交点： (0, 0) (π , 0) (2π , 0) 轴的交点
y
-
y = cos x
x ∈ [0, 2π ]
1-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
的图象上，关键点： 在函数 y = cos x, x ∈ [0, 2π ] 的图象上，关键点： 最高点： 最高点： (0,1) (2π ,1) 轴的交点： 与x轴的交点： ( 轴的交点 最低点： 最低点：
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2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0，
试判断f(x)是否为周期函数？
3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)=f(x－1)，
且当x∈[0，2)时，f(x)=x－4，求f(10)的值.
练习
π 1．函数 y＝cos x(x∈R)的图象向左平移2个单位后，得到函数 y ＝g(x)的图象，则 g(x)的解析式应为( A．－sin x 解析 答案 B．sin x C．－cos x )． D．cos x x.
答案：D
练习
3. 已知函数 f(x) ＝ sin(ωx ＋ φ)(ω ＞ 0) 的图象如图所示，则 ω ＝ ________.
T 2 π π 4 解析 由题意设函数周期为 T，则4＝3π－3＝3，故 T＝3π.∴ω 2π 3 ＝ T ＝2. 3 答案 2
练习
π 1．下列函数中，周期为 ( 4. 2的是 x A．y＝sin2 B．y＝sin2x x C．y＝cos D．y＝cos4x 4 )
正弦函数的性质1—周期性
观察正弦函数的图象 x sinx
2
3 2
2
0
2
3 2
2
0
1
0 -1
y
0
1
0 -1
0
y＝sinx -4π -2π 0 2π 4π x
正弦函数的性质1—周期性
(1) 正弦函数的函数值是有规律不断重复出 现的； (2) 规律是：每隔2k重复出现一次（自变量 每增加一个定值，函数值重复出现）； (3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以 说明.
正、余弦函数的周期性
1.f(x)=sinx是周期函数，它的周期是2kπ(kZ,k≠0). 如：2π,4π,…以及﹣2π,﹣4π…都是它的周期。 2.周期函数的周期不止一个，若T为f(x) 周期， 则nT(nZ,n≠0)也是f(x)的周期。 3.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 4.结论:正、余弦函数是周期函数，2kπ(kZ,k≠0) 都是它的周期，最小正周期是2π．
例题讲解
例1. 求下列三角函数的周期：sin 2 x, x R
1 3 y 2 sin( x ), x R 2 6
探究与发现
你能从上面的解答过程中归纳这些函数的周 期与解析式中的哪些量有关？
函数 周期
2 1 2 2
4π π π 4π sinωx－ 3 ＋3＋2＝sinωx＋3－ 3 ω＋2，又
y 与 y1 的图象重
4π 合，则－ 3 ω＝2kπ(k∈Z)．
3 ∴ω＝－2k.又 ω＞0，k∈Z， 答案 C
3 ∴当 k＝－1 时，ω 取最小值为2，故选 C.
由图象的平移得 A
π g(x)＝cosx＋2＝－sin
练习
2．设 ω＞0，函数
π y＝sinωx＋3＋2
4π 的图象向右平移 3 个单位 )．
后与原图象重合，则 ω 的最小值是( 2 A.3 解析
4 3 B.3 C.2 D．3 π 4π y ＝ sin ωx＋3 ＋ 2 向 右 平 移 3 个 单 位 后 得 到 y1 ＝
1.4.2正弦函数、 余弦函数的性质
y
y＝sinx
-4π -2π 0 2π 4π x
复习回顾
1.正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2]的图象中， 五个关键点是哪几个?
3 (0, 0), ( ,1), ( , 0), ( , 1), (2 , 0) 2 2
2.余弦函数y＝cosx，x∈[0, 2]的图象中， 五个关键点是哪几个? 3 (0,1), ( , 0), ( , 1), ( , 0), (2 ,1)
结论：像这样一种函数叫做周期函数.
正弦函数的性质1—周期性
周期函数定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有： f (x＋T)＝f(x).那么函数f(x)就叫做周期函数，非 零常数T叫做这个函数的周期. 思考：
等式sin(30 120) sin30是否成立？如果等式成立，能否 说120是正弦函数y sin x, x R的一个周期？为什么？
2 2
复习回顾
y
1
-4 -3 -2 -
y sin x, x R
2 3 4 5 6
o
-1
x
正弦曲线
y cos x, x R
y
1
-4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
5
6 x
余弦曲线
复习回顾
3.如何利用y＝cosx， x∈[0, 2]的图象，通过图 形变换(平移、翻转等)来得到y=-cosx，x∈[0, 2] 的图象？ 这两个图象关于x轴对称. 4.如何利用y＝cos x，x∈[0, 2]的图象，通过图 形变换(平移、翻转等)来得到y=2-cosx，x∈[0, 2] 的图象？ 先作y=cosx图象关于x轴对称的图形，得到 y=-cosx的图象，再将y=-cosx的图象向上平 移2个单位，得到y=2-cosx的图象.
T 2
T
T 4
2 1 2
结论
2 T | |
推广结论
如果函数y f ( x)的周期是T , 那么 T 函数y f (ωx)的周期是： |ω|
练习
课本P36 第2题
练习
1.已知函数y=f(x)的周期是3，且当x[0,3)时，
f(x)=x2+1， 求f(1),f(5),f(16).