2018学年高中数学必修5课件：2.2 第一课时 等 差 数 列 精品
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高中数学必修5课件：第2章2-1-2数列的性质和递推关系
n 3n＋1
为递
增数列．
数学 必修5
第二章 数列
方法二：∵n∈N*，∴an>0，
n＋1
∵
an＋1 an
＝
3n＋4 n
＝
n＋13n＋1 3n＋4n
＝
3n2＋4n＋1 3n2＋4n
＝1＋
1 3n2＋4n
3n＋1
>1，∴an＋1>an，∴数列3nn＋1为递增数列．
数学 必修5
第二章 数列
方法三：令f(x)＝3x＋x 1(x≥1)，则 f(x)＝133x3＋x＋1－1 1＝131－3x＋1 1， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列3nn＋1是递增数列．
数学 必修5
第二章 数列
(2)∵bn＝aan＋n 1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58. 故b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
数学 必修5
第二章 数列
数列的单调性问题
已知数列{an}的通项公式为an＝
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝
an an＋1
构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}
的前4项．
数学 必修5
第二章 数列
解析： (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
4分 6分 8分
10分
12分
数学 必修5
第二章 数列
高中数学第二章数列2.2.1等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教B版必修5
【导学号：18082024】
第二十三页，共42页。
【解】 由题意可知，，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项 a1＝200，公差 d ＝－20.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20) ＝－20n＋220. 若 an<0，则该公司经销这一产品将亏损， 由 an＝－20n＋220<0，解得 n>11， 即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损.
解得
a1＝1， d＝3
或
a1＝16， d＝－3，
∴d＝3 或－3.
第三十一页，共42页。
法二：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48，及 a2＋a24＝a3＋a23＝2a13. 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34，及 a3＋a4＝a2＋a5 得 2(a2＋a5)＝34， 即 a2＋a5＝17. 解aa22＋·a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝＝41.3， ∴d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－－2a2＝4－313＝－3.
第十九页，共42页。
【自主解答】 由题图可知，从第 1 年到第 6 年平均每个养鸡场出产的鸡
数成等差数列，记为{an}，公差为 d1，且 a1＝1，a6＝2；从第 1 年到第 6 年的养 鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为 d2，且 b1＝30，b6＝10；从第 1 年到 第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则 cn＝anbn.
第九页，共42页。
4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________. 【解析】 在等差数列{an}中，由于 a7＋a9＝a4＋a12，所以 a12＝(a7＋a9)－ a4＝16－1＝15. 【答案】 15
第二十三页，共42页。
【解】 由题意可知，，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项 a1＝200，公差 d ＝－20.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20) ＝－20n＋220. 若 an<0，则该公司经销这一产品将亏损， 由 an＝－20n＋220<0，解得 n>11， 即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损.
解得
a1＝1， d＝3
或
a1＝16， d＝－3，
∴d＝3 或－3.
第三十一页，共42页。
法二：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48，及 a2＋a24＝a3＋a23＝2a13. 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34，及 a3＋a4＝a2＋a5 得 2(a2＋a5)＝34， 即 a2＋a5＝17. 解aa22＋·a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝＝41.3， ∴d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－－2a2＝4－313＝－3.
第十九页，共42页。
【自主解答】 由题图可知，从第 1 年到第 6 年平均每个养鸡场出产的鸡
数成等差数列，记为{an}，公差为 d1，且 a1＝1，a6＝2；从第 1 年到第 6 年的养 鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为 d2，且 b1＝30，b6＝10；从第 1 年到 第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则 cn＝anbn.
第九页，共42页。
4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________. 【解析】 在等差数列{an}中，由于 a7＋a9＝a4＋a12，所以 a12＝(a7＋a9)－ a4＝16－1＝15. 【答案】 15
2018学年高中数学人教B版必修5课件：2-1-1 数列 精品
[再练一题] 1．给出下列数列： (1)2006 ～ 2013 年 某 市 普 通 高 中 生 人 数 ( 单 位 ： 万 人 ) 构 成 数 列 82,93,105,119,129,130,132,135. (2)无穷多个 3构成数列 3， 3， 3， 3，…. (3)－2 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________， 常数列是________，摆动数列是________．
[再练一题] 2．写出下列数列的一个通项公式： 【导学号：33300033】 (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…； (4)1,11,111,1 111，….
【解】 (1)观察数列中的数，可以看到 0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24 ＝25－1，…，所以它的一个通项公式是 an＝n2－1(n∈N*)．
1．数列的概念及一般形式
2．数列的分类
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1,7,0,11，－3，…，－1 000 不构成数列．( ) (2){an}与 an 是一样的，都表示数列．( ) (3)数列 1,0,1,0,1,0，…是常数列．( ) (4)数列 1,2,3,4 和数列 1,2,4,3 是同一个数列．( )
【自主解答】 设 f(n)＝9n29－n29－n＋1 2 ＝33nn－ －1133nn－ ＋21＝33nn－ ＋21. (1)令 n＝10，得第 10 项 a10＝f(10)＝2381. (2)令33nn－ ＋21＝19081，得 9n＝300. 此方程无正整数解，所以19081不是该数列中的项．
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
6.等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列{an}中的任意两项 an,am(n,m∈N*,m≠n),
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
2018版高中数学人教B版必修5课件：221等差数列
9
解:设第三个数为 a,公差为 d,则这 5 个数分别为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由已知得
(a 2d ) (a d ) a (a d ) (a 2d ) 5,
(a
2d )2
(a
d )2
a2
(a
d )2
(a
2d )2
85 , 9
5a 5,
a 1,
所以
5a2
10d 2
由①:a= 13 代入②得 d=± 3 .
2
2
所以四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.
方法技巧
在设等差数列时,适当地注意对称性可有效地减少运算
量,如三个数成等差数列,可设为a-d,a,a+d,四个数成等差数列可设为
a-3d,a-d,a+d,a+3d.
变式训练4-1:已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为 85 ,求这5个数.
a75=a1+74d=-11+74=63.
类型四 等差数列的设法 【例4】 四个数成等差数列,四个数之和为26,第二数和第三数之积为40, 求这四个数.
解:设四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d
则
(a (a
3d) (a d)(a d
d) (a ) 40,
d
)
(a
3d
)
26,
① ②
思路点拨:要求通项公式,可转化为求a1与d.
解:设{an}公差为 d,据题意,d<0. 因为 a2+a4=2a3, 所以 3a3=12,a3=4.
所以
aa22a4
12, a4 8,
即
(4 a1
解:设第三个数为 a,公差为 d,则这 5 个数分别为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由已知得
(a 2d ) (a d ) a (a d ) (a 2d ) 5,
(a
2d )2
(a
d )2
a2
(a
d )2
(a
2d )2
85 , 9
5a 5,
a 1,
所以
5a2
10d 2
由①:a= 13 代入②得 d=± 3 .
2
2
所以四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.
方法技巧
在设等差数列时,适当地注意对称性可有效地减少运算
量,如三个数成等差数列,可设为a-d,a,a+d,四个数成等差数列可设为
a-3d,a-d,a+d,a+3d.
变式训练4-1:已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为 85 ,求这5个数.
a75=a1+74d=-11+74=63.
类型四 等差数列的设法 【例4】 四个数成等差数列,四个数之和为26,第二数和第三数之积为40, 求这四个数.
解:设四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d
则
(a (a
3d) (a d)(a d
d) (a ) 40,
d
)
(a
3d
)
26,
① ②
思路点拨:要求通项公式,可转化为求a1与d.
解:设{an}公差为 d,据题意,d<0. 因为 a2+a4=2a3, 所以 3a3=12,a3=4.
所以
aa22a4
12, a4 8,
即
(4 a1
人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
证明．在求{an}通项公式时，要用到{an－2}是等差数列，先求 1
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
高中数学必修5课件：第2章2-2-1等差数列
第二章 数列
解析： (1)证明：bn＋1－bn＝an＋11－2－an－1 2 ＝4－a41n－2－an－1 2＝2aan－n 2－an－1 2 ＝2aann－－22＝12. 又b1＝a1－1 2＝12， ∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．
数学 必修5
第二章 数列
(2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n. ∵bn＝an－1 2，∴an＝b1n＋2＝2n＋2. ∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋2.
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] 方法一：设等差数列{an}的前三项分别为
a1，a2，a3.依题意得aa11·＋a2a·a23＋＝a63＝6，18，
∴a31a·1＋a1＋3dd＝·1a81，＋2d＝66，
2分
解得ad1＝＝－115 或ad1＝＝51.，
6分
数学 必修5
第二章 数列
∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0. 故取a1＝11，d＝－5， ∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16. 即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16. 令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10. ∴－34是数列{an}的项，且为第10项.
由aa190<>11，， 得221155＋＋98dd><11，，
解得785<d<235.
故选 C. 【错因】 在解决本题时，必须深刻理解“从第10项起开
始比1大”的含义．尤其是“开始”这个词，它不仅表明 “a10>1”，而且还隐含了“a9≤1”这一条件，所对上述两个错 解都未从题干中彻底地挖掘出隐含条件．
第二章 数列
4．已知三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方 和为116，求这三个数．
北师大版高中数学必修5：等差数列_课件2(2)
若a2＝1，a6＝9, 则d＝2，∴an＝2n－3； 若a2＝9，a6＝1，则d＝－2.∴an＝13－2n. 故an＝2n－3或an＝13－2n.
(2)方法一：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 方法二：因为{an}为等差数列，设首项为a1，
等差数列性质的应用 (1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6
＝45，求数列的通项公式； (2)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝
450， 求a2＋a8.
(1)先利用等差数列的性质转化为求a2、a6，再 求出首项a1和公差d，得出通项公式；
组成公差为 md 的等差数列
1．下列说法中，正确的是( )
A．若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列 B．若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列 C是．等若差存数在列自然数n使2an＋1＝an＋an＋2，则{an}
D2a．n＋若1＝{aann}＋是a等n＋差2 数列，则对任意正整数n都有 答案： D
等差数列的性质
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规 律．
2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用． 4．掌握等差中项的概念与应用.
1．灵活应用等差数列的性质，求数列中的项 (或通项)(重点，难点)
2．利用等差中项及性质设元或列方程解题(重 点)
3．常与函数、方程结合命题，三种题型均可 出现，多为中低档题.
1(n≥2，且n∈N＋)． (2)要证三个数a，b，c成等差数列，只需证
2b＝a＋c即可，若已知三个数a，b，c成等 差数列，则有2b＝a＋c.
(2)方法一：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 方法二：因为{an}为等差数列，设首项为a1，
等差数列性质的应用 (1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6
＝45，求数列的通项公式； (2)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝
450， 求a2＋a8.
(1)先利用等差数列的性质转化为求a2、a6，再 求出首项a1和公差d，得出通项公式；
组成公差为 md 的等差数列
1．下列说法中，正确的是( )
A．若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列 B．若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列 C是．等若差存数在列自然数n使2an＋1＝an＋an＋2，则{an}
D2a．n＋若1＝{aann}＋是a等n＋差2 数列，则对任意正整数n都有 答案： D
等差数列的性质
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规 律．
2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用． 4．掌握等差中项的概念与应用.
1．灵活应用等差数列的性质，求数列中的项 (或通项)(重点，难点)
2．利用等差中项及性质设元或列方程解题(重 点)
3．常与函数、方程结合命题，三种题型均可 出现，多为中低档题.
1(n≥2，且n∈N＋)． (2)要证三个数a，b，c成等差数列，只需证
2b＝a＋c即可，若已知三个数a，b，c成等 差数列，则有2b＝a＋c.
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当aa42＝＝111， 时，a1＝16，d＝－5. an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21. 当aa42＝＝111， 时，a1＝－4，d＝5. an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.
[类题通法] 三数 a，b，c 成等差数列的条件是 b＝a＋2 c(或 2b＝a＋c)， 可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若 证{an}为等差数列，可证 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
解得ad1＝＝－192，.
∴an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
(2)设等差数列{an}的公差为 d，由已知得 a1＝1， 1＋2d＝1＋d2－4， 解得ad1＝＝±12，. 当 d＝2 时，an＝1＋(n－1)×2＝2n－1； 当 d＝－2 时，an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3.
4．已知 1，x，y,10 构成等差数列，则 x，y 的值分别为________．
解析：由已知，x 是 1 和 y 的等差中项，即 2x＝1＋y，① y 是 x 和 10 的等差中项，即 2y＝x＋10, ② 由①②可解得 x＝4，y＝7. 答案：4,7
5．在等差数列{an}中： (1)已知 a5＝－1，a8＝2，求 a1 与 d； (2)已知 a1＋a6＝12，a4＝7，求 a9. 解：(1)由题意，知aa11＋＋58－－11dd＝＝－2，1， 解得ad1＝＝1－. 5， (2)由题意，知aa11＋＋a41＋－16－d＝17d，＝12， 解得ad1＝＝21.， ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. ∴a9＝2×9－1＝17.
即aa19≤ 0＞11， ⇔221155＋ ＋19－0－11d≤d＞11，， 解得785＜d≤235，即公差 d 的取值范围是785，235.
[随堂即时演练]
1．已知等差数列{an}的首项 a1＝2，公差 d＝3，则数列{an}的
通项公式为
()
A．an＝3n－1
B．an＝2n＋1
C．an＝2n＋3
D．an＝3n＋2
解析：an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1.
答案：A
2．等差数列的前 3 项依次是 x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为
A．an＝2n－5 C．an＝2n－1
B．an＝2n－3 D．an＝2n＋1
()
解析：∵x－1，x＋1,2x＋3 是等差数列的前 3 项，
3．鞋的尺码，按照国家规定，有 22,22.5,23，23.5，24,24.5，…. 问题 1：上面三组数能构成数列吗． 提示：能． 问题 2：若上面三组数构成数列，试观察它们从第 2 项 起，每一项与前一项的差有什么特点．
提示：各等于同一常数．
[导入新知] 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等 差数列的 公差 ，通常用字母 d 表示．2.2等差数列第一课时 等 差 数 列
[提出问题]
等差数列的定义
1．有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位：cm)
依次为 16,32,48,64,80,96,112,128，…，320.
2．2012 年伦敦奥运会女子举重共设置 7 个级别，其中较轻
的 4 个级别体重(单位：kg)分别为 48,53,58,63.
[易错防范] 1．忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，误认为 n＝ 24 也满足条件． 2．由通项公式计算时，易把公式写成 an＝a1＋nd，导致结 果错误．
[成功破障]
一个等差数列的首项为215，公差 d＞0，从第 10 项起每一 项都大于 1，求公差 d 的范围．
解：设等差数列为{an}， 由 d＞0，知 a1＜a2＜…＜a9＜a10＜a11<…， 依题意，有1a＜ 1＜aa102＜ ＜a…11＜＜a…9≤，1，
[解] 由等差数列 an＝a1＋(n－1)d 列方程组： a1＋10d＝－26， a1＋50d＝54， 解得ad1＝＝2－. 46， ∴a14＝－46＋13×2＝－20. ∴an＝－46＋(n－1)×2＝2n－48. 令 an≥0，即 2n－48≥0⇒n≥24. ∴从第 25 项开始，各项为正数．
已知等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d.
递推公式 _a_n_－__a_n－__1_＝d(n≥2)
通项公式 an＝ a1＋(n－1)d (n∈N*)
[化解疑难] 由等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 可得 an＝dn＋(a1－ d)，如果设 p＝d，q＝a1－d，那么 an＝pn＋q，其中 p，q 是常数．当 p≠0 时，an 是关于 n 的一次函数；当 p＝0 时，an＝q，等差数列 为常数列．
[活学活用] 已知等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，数列{bn}中，bn＝3an ＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？请说明理由． 解：数列{bn}是等差数列． 理由：∵数列{an}是首项为 a1，公差为 d 的等差数列， ∴an＋1－an＝d(n∈N*)． ∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d. ∴根据等差数列的定义知，数列{bn}是等差数列.
解析：由 an－1＋an＋1 ＝2an (n≥2)知，数列{an}是等差数列， ∴a2，a5，a8 成等差数列． ∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21. 答案：21
3.由数列通项确定n或d中的误区
[典例] 已知等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，且 a11＝ －26，a51＝54，求 a14 的值．你能判断该数列从第几项开始为正 数吗？
[活学活用] 1．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，求 a1.
解：设等差数列{an}的公差为 d，由等差数列的通项公式，得
a2＝a1＋d＝－5，
①
a6＝a1＋5d，a4＝a1＋3d.
∵a6＝a4＋6，∴a1＋5d＝a1＋3d＋6.
②
联立①②解得 a1＝－8.
2．－401 是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是， 是第几项？ 解：由 a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4， 得这个数列的通项公式为 an＝－5－4(n－1)＝－4n－1， 由题意知，－401＝－4n－1. 得 n＝100，即－401 是这个数列的第 100 项.
课时跟踪检测见课时达标检测(七)
[活学活用] 1．已知数列 8，a,2，b，c 是等差数列，则 a，b，c 的值分别
为________，________，________.
解析：因为 8，a,2，b，c 是等差数列，
8＋2＝2a， 所以a＋b＝2×2，
2＋c＝2b.
a＝5， 得b＝－1，
c＝－4.
答案：5 －1 －4
2．已知数列{an}满足 an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且 a2＝5，a5＝13， 则 a8＝________.
等差数列的判定与证明
[例 1] 判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{an}中 an＝3n＋2； (2)在数列{an}中 an＝n2＋n. [解] (1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由 n 的 任意性知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数， 所以这个数列不是等差数列．
[类题通法] 1．应用等差数列的通项公式求 a1 和 d，运用了方程的思想．一 般地，可由 am＝a，an＝b， 得aa11＋ ＋nm－－11dd＝＝ba，， 求出 a1 和 d，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项 am，an，求通项公式或其他 项时，则运用 am＝an＋(m－n)d 较为简捷．
[化解疑难] 1．“从第 2 项起”是指第 1 项前面没有项，无法与后续条件 中“与前一项的差”相吻合． 2．“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且 后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻． 3．定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于 同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
等差数列的通项公式 [提出问题] 若一等差数列{an}的首项为 a1，公差是 d. 问题 1：试用 a1，d 表示 a2，a3，a4. 提示：a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d. 问题 2：由此猜想等差数列的通项公式 an. 提示：an＝a1＋(n－1)d.
[导入新知]
等差数列的通项公式
等差中项 [例 3] 已知等差数列{an}，满足 a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66. 求数列{an}的通项公式．
[解] 在等差数列{an}中， ∵ a2＋a3＋a4＝18， ∴3a3＝18，a3＝6. 即aa22·＋a4a＝4＝111，2， 解得aa24＝ ＝111， 或aa24＝ ＝111，.
[类题通法] 定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步 骤为： (1)作差 an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当 an＋1－an 是一个与 n 无关的常数时，数列{an}是等差数 列；当 an＋1－an 不是常数，是与 n 有关的代数式时，数列{an}不是 等差数列．
等差中项 [提出问题] 问题：观察“知识点一”中的三个数列，每个数列的任意连 续三项之间有什么样的关系？
提示：前一项与后一项的和是中间项的 2 倍．
[导入新知]
等差中项 如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么 A叫做 a 与 b 的等差 中项．这三个数满足的关系式是 A＝a＋2 b .
[化解疑难] 1．A 是 a 与 b 的等差中项，则 A＝a＋2 b或 2A＝a＋b，即两 个数的等差中项有且只有一个． 2．当 2A＝a＋b 时，A 是 a 与 b 的等差中项.
等差数列的通项公式
[例 2] (1)在等差数列{an}中，已知 a5＝11，a8＝5，求通项 公式 an；