计算物理习题

4.3 半圆形薄板，半径为 0 ，板面绝热，边界直径上温度保持零度，圆周上保持 定状态下的板上温度分布。 4.4 矩形膜的振动。定解问题是：
ρ
u0 ，求稳
(0 ≤ x ≤ c, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ t ) ⎧utt = a 2 (u xx + u yy ) ⎪ u ( x = a, y, t ) = 0 ⎪ u ( x = 0, y, t ) = 0 ⎨ u ( x , y = b, t ) = 0 ⎪ u ( x, y = 0, t ) = 0 πy ⎪ u , ( ) sin Ax x c − ( , , 0) u x y t = = t ( x, y , t = 0) = 0 ⎩ b 为求数值解，任取 a=1,b=1,c=2,A=1, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 求解区域可取 。
为一个 IFS 吸引子。 三角形画法： 将等边三角形的各边中点联结， 得到 4 个相等的小三角形， 舍去中间小三角形， 保留周围的三个， 此后将这三个较小三角形按上述分割与舍去法则操作 下去，得到一种介于线段与面之间的几何图形。
第五次练习
1. 无限长细杆的热传导问题用付里叶变换求得的解是
+ ∞
u ( x,t) =
其中初始位移 与初始速度分别取 7π 3l 4l ⎧ , ( ≤x≤ ) ⎪ sin ϕ ( x) = ⎨ l 7 7 , ψ ( x) = 0 ⎪ ⎩0, (其余)
和 ϕ ( x) = 0,
ψ ( x) = ⎨
⎧1 3l 4l ⎪ ( ≤x≤ ) 7 7 , ⎪0 (其余) ⎩
3. 已知圆线圈的半径为 a，通有电流 I，计算并画出环形电流生成的磁感应强度 B。 4. 画电流流过直导线所生成的磁场 5. 画通电长螺旋管的磁场
i i i i i wi ( x, y ) = (a11 x + a12 y + b1i , a21 x + a22 y + b2 ), i = 1, 2,..., n 以 及 相 应 的 一 组 概 率 p1 ,... pn ( p1 + ... + pn = 1, pi > 0). 对于任意选取的初始值 Z 0 = ( x0 , y0 ) ， 以概率 pi 选取 wi 变 换做迭代：Z n +1 = ( xn +1 , yn +1 ) = wi ( xn , yn ), n = 0,1,... 则点列 Zn， n=0,1,…收敛的极限图形称
F=
要求：(1)画出 α 粒子在不同初始条件下的轨道，通过改变初始条件来研究影响散射角的因 素。 (2)学习根据解决问题的需要来选择坐标系，本题就是选择直角坐标系而不是极坐标系。 (3)将粒子的运动画成动画形式 3.水星近日点的运动 研究水星近日点的进动。 由于广义相对论对万有引力定律的修正， 引起水星运动轨道的进动， 水星的空间轨道不再是闭合的椭圆轨道。 广义相对论对万有引力的修正可以归结为在原来的 2 运动方程中增加一个小的修正项 ε ，其中 ε = 3Gm02mh 是小量， G 为万有引力常量， m0 为 c r4
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(答案在最后)
第一次练习
1.输入 a=e 和 A=π,查看在指令窗口,内存窗口,历史指令窗口所出现的变量，并比较 e 和 π 的大小。 2.构造 3×3 的随机数矩阵 A，求它的逆矩阵 B，计算 C=B*A 和 D=B.*A，然后计算 C 的方 根 E 及 E 的绝对值。在每次运算后，查看在数据显示方式 short, long, short e, long e, short g, long g 下这些结果显示的差别。 3.查看 Start 图标下的 DEMO/MATLAB/Desktop~environment 演示，详细了解操作界面各窗 口的功能。 4.学习使用帮助系统查找不熟悉的指令，例如用 help ops 查看所有的运算符号。
1.画复数迭代 Zk+1 =Z +C 的 Mandelbrot 集与 Julia 集,其中给定初始点 Z0， 迭代序列 可能有界，也可能发散到无穷。令 J C 是使得迭代序列
∞ k =0
n k
{Z k }
∞ k =0
有
{Z k }
∞ k =0
有界的所有初值 Z0 构成的集
J = {Z 0 | 迭代序列{Z k } 有界} J 。我们称 C 在复平面上构成的几何为 Julia 集，对不同的 合，: C 参数 C，Julia 集的形状也会不同。特别的，C=0 对应的 Julia 集为单位圆盘。如果固定初值
k ， k 为由库仑定律确定的常量。 r2
太阳质量， m 为水星质量，c 为真空中的光速，h 为水星掠面速度的两倍。 要求： 画出水星运动轨道。 验证只要质点在有心力场中所受的力与平方反比引力有微小偏离， 其轨道就不是闭合的椭圆， 从而证明广义相对论对万有引力定律的修正将引起椭圆轨道的进 动。
第七次练习
e
π
第二次练习
1.已知质点的运动方程是 x=sin(ω1*t), y=sin(ω2*t),画出质点的运动轨迹图， 要求频率比 ω1/ω2 分别是有理数和无理数. 2.画出四种本征函数系 sin(nπx/l), cos(nπx/l), sin((n+1/2)πx/l), cos((n+1/2)πx/l)的图形， 其中 n 取 1，2，3，4。
第三次练习
1. 画四种本征函数系 sin(nπx/l), cos(nπx/l), sin((n+1/2)πx/l), cos((n+1/2)πx/l) 乘以时间因子 cos(nπat/l)所得的驻波图形， 其中 n 取 1，2，3，4 2.画复变函数图形(四维数据的图形)，如 (z-0.5) , ez,lnz 等，注意观察多值函数的图形。 3.画两端固定的弦的级数解图形,
∞
其中初位移 φ 和初速度 ψ 分别为
7π 3l 4l ⎧ , ( ≤x≤ ) ⎪ sin ϕ ( x) = ⎨ l 7 7 , ψ ( x) = 0 ⎪ ⎩0, (其余) ⎧1 3l 4l ⎪ ( ≤x≤ ) ψ ( x) = ⎨ 7 和 ϕ ( x) = 0, 7 , ⎪0 (其余) ⎩
第四次练习
第六次练习
1.画出行星轨道.研究质点在平方反比引力场中的运动， 例如行星绕太阳的运动。 设质量为 m0 的质点位于力心且固定不动，质量为 m 的质点在 m0 产生的引力场中运动，当 m 与 m0 相距 r 时，质点所受万有引力为 F =
Gm0 m ，G 为引力常量。 r2
要求：(1)当质点总能量大于、等于和小于零时，画出质点在平方反比引力场中的运动轨迹。 (2)当质点总能量小于零且保持不变时，改变角动量的大小，画出质点相应的运动轨迹。 (3)学习将极坐标变换成直角坐标的方法以及利用对称性画曲线的方法。 2.粒子散射.研究平方反比斥力场中粒子的运动。以 α 粒子在重核场中的运动为例，设重核 位于力心且固定不动， α 粒子的质量为 m ，它到重核的距离为 r ，所受到库仑斥力为
⎪ ⎩0, (其余)
⎪0 ⎩ (其余)
2.用差分方法解一维热传导问题,初始温度为 ϕ (x)= ⎧1,(0<x<1)
⎨ ⎩0, (x<0,x>1)
第八次练习
1.自激振动,研究范• •德•波耳(Van der pol)方程 d 2 x − μ ( x 2 − x 2 ) dx + w2 x = 0 ,所描述的非线性有阻尼 下面简称范•德•波耳方程为 VDP 的自激振动系统， 其中 μ 是一个小的正的参量，x0 是常数。 方 程 。 在 VDP 方 程 中 ， 增 加 外 驱 动 力 V cos wt 项 所 得 到 的 方 程 d 2x dx 2 − μ ( x02 − x 2 ) + w0 x + V cos wt = 0 称强迫 VDP 方程，其中外驱动力的振幅、角频率分别 2 dt dt 是 v 和 w 。试研究强迫 VDP 方程的行为。 要求 ：(1)演示 VDP 方程所描述的系统在非线性能源供给下，从任意初始条件出发都能产 生稳定的周期性运动。 (2)采用庞加莱映像， 演示强迫 VDP 方程在不同参数下所存在四种吸引子， 即周期 1 吸引子、 周期 2 吸引子、不变环面吸引子和奇怪吸引子。 (3)对于强迫 VDP 方程，在 v 和 w 为定值条件下，逐渐增大 μ 值，将出现周期倍分岔和混沌 现象。
和初速度都是为零,定解问题是：
⎧utt − a 2u xx = 0 ⎪ ⎨ u ( x = 0) = 0, ⎪ u (t = 0) = 0, ⎩
u ( x = l ) = A sin wt ut (t , 0) = 0
。求弦的振动。
u| = A cos ϕ u| = A + Bsin ϕ 4.2 在圆形域内求解 Δu = 0 是满足边界条件① ρ = ρ0 ，② ρ = ρ0 。
− ∞
∫
ϕ (ξ ) ⎢
⎡ ⎢ ⎣ 2 a
1
π t
e
−
( x − ε ) 4 a 2t
2
⎤ ⎥d ξ ⎥ ⎦
其中取初始温度分布如下：
ϕ(x) ={ 1 0
(0≤x≤1) ( x≤0,x≥1)
。
用动画表示杆上温度随时间的变化。 2. 画出达; at u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ψ (ξ )d ξ 2 2a ∫x − at
Z0，则对不同的参数 C，迭代序列
{Z k }
∞ k =0
的有界性也不相同。另 M Z 是使得迭代序列
0
{Z k }
∞ k =0
有
界的所有参数值 C 构成的集合，即：
M Z0 = {C | 迭代序列{Z k } 有界}
k =0