极限概念的引入：割圆术
同济大学高等数学数列的极限-2023年学习资料
-N定义：imxn=a→-1n->o0-Vε>0，N>0,使n>N时，恒有xn-a<e.-其中V:每一个或 给的；3：至少有一个或存在-几何解释：-28-a-8-a+8-X2 XI XN+1-尤N+2-当n>N时， 有的点x,都落在a-s,a+s内，-只有有限个（至多只有N个）落在其外-上页-返回
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法-例1证明i-n+-1-=1.-n->oo-xn-1=-n+-1"三-任给e>0,要xn-1<8,只要-。或2-所以，取N=,-则当n>N时，-就有-+-1-1<-即i-n -1”--1n→o-上页-返回
例2设xn=CC为常数，证明imx,=C.-证任给s>0,对于一切自然数n,-xn-C=C-C=0<ε成立 -所以，-lim x =C.-1n→oo-说明：常数列的极限等于同一常数-小结：用定义证数列极限存在时，关 是任意给-定ε>0，寻找N,但不必要求最小的N.-上页-返
2、截丈问题：-“一尺之棰，日截其半，万世不竭”-第一天截下的杖长为X1=-第二天截下的杖长总和的X,-2 2-I八-11八-第天裁下的杖长总和为X,-2是+A-Xn=1-12-→1-上页-返回
二、数列的定义-定义：按自然数1,2,3，∧编号依次排列的一列数-x称为数-列的项xn称为通项（一般项）.数列1记为xn}.-例如-2,4,8,Λ，2"， ；-{2"-111-248A2A-上页-返回
1,-1,1,Λ，-1"+1，Λ；{-1”--A;+-1-n-√3，V3+3,△，V3+V3+√Λ+3，Λ 注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一-动点在数轴上依次取x1,x2,∧，xn,A·-x3x1x2北 xn-2.数列是整标函数xn=fn.-上页-返回
极限是一个重要的概念
极限是一个重要的概念极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。
首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。
为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1<A<An+2[(An+1)-An](n=1，2，3....)得到圆周率=3927/1250约等于3.1416数列极限：设是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，an无限接近（或趋近）于a，则称数列收敛，a称为数列的极限，或称数列收敛于a，记为liman=a。
或：an→a，当n→∞。
数列极限的性质：1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。
几个常用数列的极限：an=c 常数列极限为can=1/n 极限为0an=x^n 绝对值x小于1 极限为0函数极限的专业定义:设函数f(x)在点x。
的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。
|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。
时的极限。
函数极限的通俗定义：1、设函数y=f(x)在(a,+∽)内有定义，如果当x→+∽时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∽时函数f(x)的极限。
记作lim f(x)＝A ，x→+∽。
2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。
记作lim f(x)=A ，x→a。
函数的左右极限：1：如果当x从点x=x0的左侧（即x〈x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x→x0-limf(x)=a.2:如果当x从点x=x0右侧（即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x→x0+limf(x)=a.函数极限的性质：极限的运算法则（或称有关公式）：lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 )lim(f(x))^n=(limf(x))^n以上limf(x) limg(x)都存在时才成立lim(1+1/x)^x =ex→∞lim(1+1/x)^x =ex→0无穷大与无穷小：两个重要极限：1、lim sin(x)／x ＝1 ，x→02、lim （1 + 1／x）^x ＝e ，x→0 （e≈2.7182818...，无理数）举两个例子说明一下一、0.999999 (1)谁都知道1/3＝0.333333……，而两边同时乘以3就得到1＝0.999999……，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。
1.2 极限的概念
正 6 2 n 1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
一、数列的极限
②截杖问题： 战国时代《庄子》中有一句话：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.
这句话说明了一个什么样的数学问题？
13
一、数列的极限
1 第一天剩下： 2 1 第二天剩下： 2 2 1 第三天剩下： 3 2 …… 1 第n天剩下： n 2 ……
由此得到一列数：
1 1 1 , 2, 3, 2 2 2
数列
1 , n, 2
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一、数列的极限
（二）数列的定义 一般地，按正整数顺序1,2,3,…排列的无穷 多个数，称为数列.
y1 , y2 , y3 , 记法：
, yn ,
，或简记为{ yn }
数列的每个数称为数列的项，依次称为第一 项，第二项，….第n项, yn 称为通项或一般项. 例如:
一、数列的极限
①割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
一、数列的极限
①割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
一、数列的极限
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x) A( x x0 )
（1）在定义极限当 lim f ( x) 时，函数f ( x) 在 x0 点
可以有定义，也可以没有定义.
（2）极限当 lim f ( x) 是否存在，与函数 f ( x) 在 x0 点是否有定义及有定义时的函数值 f ( x0 ) 无关.
《数学分析》第二章 数列极限
xn的 限 或 称数 xn 收 于 ,记 极 , 者 列 敛 a 为
lim xn = a, 或xn → a (n → ∞).
n→∞
如果数列没有极限,就说数列是发散的 如果数列没有极限 就说数列是发散的. 就说数列是发散的 注意: 注意:.不等式 x n a < ε刻划了 x n与a的无限接近 ; 1
则当n > N时有 a b = ( x n b ) ( x n a )
ε ≤ x n b + x n a < ε + ε = 2ε.
故收敛数列极限唯一. 上式仅当a = b时才能成立 . 故收敛数列极限唯一
例5 证明数列 x n = ( 1) n + 1 是发散的. 1 由定义, 证 设 lim x n = a , 由定义 对于ε = , n→ ∞ 2 1 则N , 使得当 n > N时, 有 x n a < 成立, 2 1 1 即当n > N时, x n ∈ (a , a + ), 区间长度为1. 2 2 而x n 无休止地反复取1, 1两个数 , 不可能同时位于长度为 的 不可能同时位于长度为1的区间内. 长度为
注意: 数列对应着数轴上一个点列.可看作一 注意: 数列对应着数轴上一个点列 可看作一 1.数列对应着数轴上一个点列 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n = f (n). 数列是整标函数
三,数列的极限
( 1)n1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 {1 + n
2,唯一性 ,
定理2 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 每个收敛的数列只有一个极限.
1.2数列的极限0
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn 2n (n )
两者
否 之间
定 的距
xn (1)n1 趋势不定
离
思考1
再研究：自变量n无限增大时，因变量 无限接近
于某个确定的常数a，如何寻求精确的数学语言来
描述这个现象？
例如,
xn
n
(1)n1 n
1
(n )
|
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例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n > N
时,有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
为通项(一般项) .
研究：自变量n无限增大时，因变量 是否无限接
近于某个确定的常数a?（配合数轴，画点图；或画
散点图）
例如, 1 , 2 , 3 , , n , 2 3 4 n1
xn
n n 1
割圆术及极限方法
第三讲割圆术及极限方法实验目的1．介绍刘徽的割圆术．2．理解极限概念.3．学习matlab求函数极限命令。
实验的基本理论及方法1．割圆术中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率．刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积．“割之弥细，所失弥少．割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想．刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，...，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。
2．斐波那奇数列和黄金分割,,3．学习matlab命令.matlab求极限命令可列表如下:表2.1matlab代数方程求解命令solve调用格式.Solve(函数) 给出的根.4．理解极限概念.数列收敛或有极限是指当无限增大时，与某常数无限接近或趋向于某一定值，就图形而言，也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线.例2.1.观察数列当时的变化趋势.解:输入命令:>>n=1:100；xn=n./(n+1)得到该数列的前100项，从这前100项看出，随的增大，与1非常接近，画出的图形.stem(n，xn)或for i=1:100;plot(n(i),xn(i),’r’)hold onend其中for … end语句是循环语句,循环体内的语句被执行100次,n(i)表示n的第i个分量.由图可看出，随的增大，点列与直线无限接近，因此可得结论:.对函数的极限概念，也可用上述方法理解.例2.2.分析函数，当时的变化趋势.解:画出函数在上的图形.>>x=-1:0.01:1;y=x.*sin(1./x);plot(x,y)从图上看，随着的减小，振幅越来越小趋近于0，频率越来越高作无限次振荡.作出的图象.hold on；plot(x，x，x，-x)例2.3.分析函数当时的变化趋势.解:输入命令:>>x=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y)从图上看，当时，在-1和1之间无限次振荡，极限不存在.仔细观察该图象，发现图象的某些峰值不是１和-１，而我们知道正弦曲线的峰值是１和-１，这是由于自变量的数据点选取未必使取到１和-１的缘故，读者可试增加数据点，比较它们的结果．例2.4.考察函数当时的变化趋势.解:输入命令:>>x=linspace(-2*pi,2*pi,100);y=sin(x)./x;plot(x,y)从图上看，在附近连续变化，其值与1无限接近，可见.例2.5.考察当时的变化趋势.解:输入命令:>>x=1:20:1000;y=(1+1./x).^x;plot(x,y)从图上看，当时，函数值与某常数无限接近，我们知道，这个常数就是. 5．求函数极限例2.6.求.解:输入命令:>>syms x;f=1/(x+1)-3/(x^3+1);limit(f,x,-1)得结果ans=-1.画出函数图形.>>ezplot(f);hold on;plot(-1,-1,’r.’)例2.7.求解:输入命令:>>limit((tan(x)-sin(x))/x^3)得结果:ans=1/2例2.8.求解:输入命令:>>limit(((x+1)/(x-1))^x,inf)得结果:ans=exp(2)例2.9.求解:输入命令:>>limit(x^x,x,0,’right’)得结果:ans =1例2.10.求解:输入命令:>>limit((cot(x))^(1/log(x)),x,0,’right’)得结果:ans=exp(-1)。
《高等数学》极限的概念
，求 lim f (x) x0
。
解：令 1 u x
当 x 0 时， u ， 2u 0， 即 lim f (x) 0 x0
当 x 0 时， u ， 2u ， 即
lim f (x)
x0
因为右极限 lim f (x) x0
不存在，所以极限
lim
x0
f
(x)
不存在。
《高等数学》 1.3 极限的概念
《高等数学》 1.3 极限的概念
x
x ?
x0
x x
x0 x0
x
xx
n
f (x) 1 x 2
xn
1 2
n
数列 {xn}: xn f (n) ，整标函数，其自变量n只在正整数范围内取值，故只有一种变化
趋势：n无限增大，用 n 来表示。
《高等数学》 1.3 极限的概念
【练习1】判别下列极限是否存在, 如果存在求出其值：
x
-1
从图上观察当
x 0， x 0， x 0
时，图像上的点的运动情况，以及相应的函 数值的变化情况。有
1）当x 0时，sgn x 1， 2）当x 0时，sgn x 1， 1）当x 0时，sgn x ？，
lim sgn x 1
x0
lim sgn x 1
x0
（左极限） （右极限）
lim sgn x不存在
隐藏哲学含义——量变到质变
《高等数学》 1.3 极限的概念
2.描述性定义
定义1.3.1 在自变量 x 的某个变化过程中 （ x ? ），如果对应的函数值 f (x) 无限
接近于某个确定的常数 A ，则常数 A 就称为函数 f (x) 在自变量的上述变化过程中的极限。
3第一章数列极限
从而 xn有 a
xna xn a
xn
a a
1 a
故 ln i m xn a.
四、数列极限的性质
1.有界性
定 义 : 对 数 列xn, 若 存 在 正 数 M, 使 得 一 切 自 然 数 n, 恒 有xn M成 立 , 则 称 数 列xn有 界 ,
否 则 , 称 为 无 界 .
例3 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证 若q=0则上式显然成立 下证q≠0的情形
任给 0, （不妨设ε＜1）
xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N[ln]1,
lnq
则n 当 N时 ,
就q 有 n0, lim qn0. n
取N
1
则当n ＞N时，有
|xn0| 得ln 证 i m xn0
利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式
|xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。
若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N
放大的原则： ①放大后的式子较简单 ②放大后的式子以 n ;有界 n1
数x 列 n2n.无界
数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 xn都 落 在 闭 区 间 [M,M]上 .
定理1 收敛的数列必定有界. 证 设 ln i m xna, 由定义, 取1, 则 N ,使 n 得 N 时 当 x n 恒 a 1 ,有
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问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察: 当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近 对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的