山东省淄博第一中学2017-2018学年高一1月月考数学试题

淄博一中2017级高一学年第一学期1月检测数学试题命题人：高一数学组 审核人：高一数学组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟。

参考公式：S 圆台侧=π(r ＋r ')L ；S 圆锥侧=πrL ；V 球面=4πr 2；V 锥体=13sh ；V 台体=h3(s ＋s '＋ss ')； V 圆柱=πr 2h ；V 圆锥=13πr 2h ；V 圆台=πh3(r 2＋r '2＋rr ') 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1,3,5,7}，则C U A=（ ） (A) {2,4,6,8} (B) {1,3,5} (C) {2,4,8} (D) {4,6,8}2、已知不共线的四点A(1,2)，B(1,3),C(2,1),D(2,4),则直线AC 与BD 的关系是( ) (A) AC ∥BD (B) AC ⊥BD (C) AC 与BD 重合 (D) AC 与BD 相交但不垂直3、在长方体A 'C 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA '＝3,则直线CD '和BB '所成的角是( ) A.300 B.600 C.450 D.900 4、在空间中，下列命题成立的是( )A.一条直线和一个点，能确定一个平面B.没有公共点的两条直线是平行直线C.两组对边相等的四边形是平行四边形D.梯形是平面图形5、函数f(x)＝x 2＋2x ＋3,x ∈的值域为( ) (A) 4，62，63，＋∞)6、如图，点P 、Q 、R 、S 是正方体所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的是（ ）PQ SRPQSRPQS RPQS R(A) (B) (C) (D)7、如图，平面α∥β，直线AB 交平面α、β分别于点B 、C ，且AB=2,BC=4, 点A 到平面α的距离等于1，则点A 到平面β的距离等于（ ） (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)不确定8、如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角 （圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°9、函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(1,2)D.(0,1) 10、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ）A.23B.32C.6D.611、已知2x =3y =36z ，且x 、y 、z 均为正数,则下列结论成立的是( )(A) 1x ＋1y =1z (B) 2x ＋2y =1z (C) 1x ＋2y =1z (D) 1x ＋1y =2z12、如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=5, AA 1=3,AD=4,点M 、N 是C 1D 1上的两个动点，且MN=2，P 是BC 上的动点，则三棱锥A －MNP 的体积的最大值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6αβ AB C A BC PDA1B1C1D1M N第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。

13、计算：lg2＋lg5－log 23·log 34＝14、已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为15、设a 、b 为不重合的直线，α、β、γ是不重合的平面，以下命题： ⑴ 若α⊥β,β⊥γ，则α∥γ；⑵ 若a ∥β，b ∥β,a ⊂α,b ⊂α,则α∥β； ⑶ 若a ⊥β，α⊥β，a ⊄α，则a ∥α； ⑷ 若a ∥b, a ⊥α，a ⊥β，则b ⊥β，α∥β所有正确命题的序号是16、如图，已知二面角α－l －β为600，点A ∈α，AC ⊥l ,垂足为C ，点B ∈β，BD ⊥l ,垂足为D ，且AC=2，CD=3，DB=2,则AB=三、解答题：本大题共6个小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分） 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点. 求证：(1) B ，C ，H ，G 四点共面； (2) 平面EFA 1∥平面BCHG .α l ACBD β18、（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，O 为正方形的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点.求证：（1）PA ∥平面BDE ；（2）PC ⊥BD19、（本小题满分12分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD,E 、F 分别是线段AB 上两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB,AB=12,AD=5,BC=42,DE=4.现将△DAE,△CFB 分别沿DE,CF 折起，使A,B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG.(1) 求证：平面DEG ⊥平面CFG ；（2）求多面体CDEFG 的体积.20、（本小题满分12分）如图，若四面体P —ABC 的所有棱长都等于1，有一截面EFMN 与PB 、AC 都平行. ⑴ 证明四边形EFMN 是矩形； ⑵ 求矩形EFMN 面积的最大值。

21、（本小题满分13分）如图，在三棱柱AED －BFC 中，AD=2DE=2，FC ⊥平面ABCD ，侧E GCDF EFEABCDF A B CDPEOFAB CPMNE面ABCD 为菱形，∠BAD=600.求：(1) FB 与平面ABCD 所成角的正切值；（2）二面角B －AF －C 的平面角的正切值。

22、（本小题满分13分）已知函数f(x)=log a 1-mxx-1 (a>0，且a ≠1，m ≠1)是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）探究函数f(x)在(1,＋∞)上的单调性； （3）若a=2，试求函数f(x)在上的值域.淄博一中2017级高一学年第一学期1月检测数学参考答案一、选择题：ABADC CACDB DB二、填空题：13、－1；14、1：3；15、⑶⑷；16、13三、17、证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．…………………5分(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB，且A1G=EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.…………………12分18、证明：（Ⅰ）连接O、E两点…………1分因为O是AC的中点，E是PC的中点所以OE∥AP………………3分又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE所以PA∥平面BDE. ………………6分（Ⅱ）因为PO⊥底面ABCD，BD⊂平面BDE所以PO⊥BD………………………7分又因为四边形ABCD是正方形，AC与BD是对角线所以AC⊥BD…………………8分且AC PO O=所以BD⊥平面PAC…………………10分因为PC⊂平面PAC 所以BD⊥PC，即PC⊥BD. ………………………12分19、EG CDFH（1）证明：∵ DE ⊥EF ，CF ⊥EF ∴ 四边形CDEF 为矩形，又 ∵ GD=5,DE=4, ∴ GE= GD 2-DE 2=3,又∵ GC=42,CF=4, ∴ FG=GC 2-CF 2=4, ∴ EF=5, ∴在△EFG 中，有EF 2=GE 2＋GF 2,∴ EG ⊥GF 又 ∵ CF ⊥FE ， CF ⊥FG ，FE ∩FG=F ，∴ CF ⊥平面EFG, ∴ CF ⊥EG,CF ∩FG=F ，∴ EG ⊥平面CFG,EG ⊂平面DEG, ∴ 平面DEG ⊥平面CFG …………………7分 (2) 结合(1)可知，在平面EGF 中，过点G 作GH ⊥EF 于点H ，则GH=EG·GF EF =125. ∵ 平面CDEF ⊥平面EFG ， GH ⊂平面EFG ∴ GH ⊥平面CDEF, ∴ V CDEFG = 13S 矩形CDEF ×GH=16…………12分20、（1）证明：∵ PB ∥截面EFMN ，BP ⊂平面ABP ，平面ABP ∩截面EFMN=MN ，∴ PB ∥MN ，同理 PB ∥EF ，∴ MN ∥EF 又 ∵ AC ∥截面EFMN ， ∴ 同理可得 MF ∥NE ∴ 四边形EFMN 是平行四边形. 取AC 中点为K ，连接PK,BK ，∵ PA=PC=BA=BC ，则AC ⊥PK,AC ⊥BK, PK ∩BK=K, ∴ AC ⊥平面PKB 而PB ⊂平面PKB ∴ AC ⊥PB ∴ MN ⊥NE, ∴ 四边形EFMN 是矩形. ……………………………7分（2）∵ 四面体P —ABC 的所有棱长都等于1，且四边形EFMN 是矩形，∴ 设MF=x ，则MN=1－x,∴ S EFMN =x(1－x),0<x<1∴ 当x=12，即M 、N 、E 、F 均为中点时，矩形EFMN 面积得最大值为14……………12分21、解：（1） ∵ FC ⊥平面ABCD ，∴ ∠FBC 为FB 与平面ABCD 所成的角，∴ tan ∠FBC=FCCB =12∴ FB 与平面ABCD 所成角的正切值为12…………………5分AB CP MNE KEFK（2）连接BD,交AC 与O 点，∵ 侧面ABCD 为菱形，则BD ⊥AC, 易知 BD ⊥FC, ∵ AC ∩FC=C, ∴ BD ⊥平面FCA ，∴ FA ⊥BO. 过O 作OK ⊥AF 于K ，连接BK,则FA ⊥平面OKB ，∴ ∠OKB 为二面角B －AF －C 的平面角，∵ sin ∠FAC=OKOA =FC FA ∵ 在Rt △FCA 中，AF=13 ∴ OK 3=113∴ OK=313∴ tan ∠OKB=OB OK =3OK =13 ∴ 二面角B －AF －C 的平面角的正切值等于13………………13分22、解：(1) ∵ f(－x)=－f(x)， ∴ log a 1+mx -x-1=－log a 1-mx x-1=log a x-11-mx ∴ 1+mx -x-1=x-11-mx∴ 1－m 2x 2=1－x 2 ∴ (m 2－1)x 2=0 ∵ 对定义域内的每一个x 都成立，∴ m 2－1=0∴ m=±1 ∵ m ≠1 ∴ m=－1 …………………4分 （2） 由（1）知，f(x)=log a 1+x x-1，令g(x)=1+x x-1=1＋2x-1，设x 1>x 2>1，则g(x 1)－g(x 2)=(1＋2x 1-1)－(1＋2x 2-1)=2x 1-1－2x 2-1=2(x 2-x 1)(x 1-1)(x 2-1)<0 ∴ g(x 1)<g(x 2)∴ ① 当a>1时，h(x)=log a x 在(0,＋∞)上是增函数，∴ log a g(x 1)<log a g(x 2)即log a 1+x 1x 1-1<log a 1+x 2x 2-1 ∴ f(x)=log a 1+xx-1在(1,＋∞)上是减函数；② 当0<a<1时，h(x)=log a x 在(0,＋∞)上是减函数，∴ log a g(x 1)>log a g(x 2) ∴ f(x)=log a 1+xx-1在(1,＋∞)上是增函数. …………………10分(1) 由(2)知，f(x)=log 21+x x-1在上是减函数，∴ f(5)≤f(x)≤f(3) ∴ log 232≤f(x)≤1 即函数f(x)在上的值域为. …………………13分。