新人教版九年级数学上册《配方法》测试题
九年级数学上册 21.2.1 配方法同步测试 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上册数学试
解一元二次方程配方法第1课时用直接开平方法解一元二次方程[见B本P2]1．一元二次方程x2－25＝0的解是( D )A．x1＝5，x2＝0 B．x＝－5C．x＝5 D．x1＝5，x2＝－52．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D )A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－43．若a为一元二次方程(x－17)2＝100的一个根，b为一元二次方程(y－4)2＝17的一个根，且a，b都是正数，则a－b等于( B )A．5 B．6C.83 D．10－17【解析】 (x－17)2＝100的根为x1＝－10＋17，x2＝10＋17，因为a为正数，所以a＝10＋17.(y－4)2＝17的根为y1＝4＋17，y2＝4－17，因为b为正数，所以b＝4＋17，所以a－b＝10＋17－(4＋17)＝6.4．解关于x的方程(x＋m)2＝n，正确的结论是( B )A．有两个解x＝±nB．当n≥0时，有两个解x＝±n－mC．当n≥0时，有两个解x＝±n－mD．当n≤0时，无实数解5．若关于x的方程(3x－c)2－60＝0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为( B )A ．1B ．8C ．16D ．61【解析】 原方程可化为(3x －c )2＝60，3x －c ＝±60，3x ＝c ±60，x ＝c ±603.因为两根均为正数，所以c ＞60＞7，所以整数c B. 6．一元二次方程x 2－4＝0的解是__x ＝±2__．7．当x ＝__－7或－1__时，代数式(x －2)2与(2x ＋5)2的值相等．【解析】 由(x －2)2＝(2x ＋5)2，得x －2＝±(2x ＋5)，即x －2＝2x ＋5或x －2＝－2x －5，所以x 1＝－7，x 2＝－1.8．若x ＝2是关于x 的方程x 2－x －a 2＋5＝0的一个根，则a 的值为__±7__． 【解析】 把x ＝2代入方程x 2－x －a 2＋5＝0得22－2－a 2＋5＝0，即a 2＝7，所以a ＝±7. 9．在实数X 围内定义运算“☆”，其规则为：a ☆b ＝a 2－b 2，则方程(4☆3)☆x ＝13的解为x ＝__±6__．【解析】 4☆3＝42－32＝16－9＝7，7☆x ＝72－x 2， ∴72－x 2＝13.∴x 2＝36.∴x ＝±6.10．如果分式x 2－4x －2的值为零，那么x ＝__－2__．【解析】 由题意得x 2－4＝0且x －2≠0，∴x ＝－2. 11．求下列各式中的x . (1)x 2＝36； (2)x 2＋1＝1.01； (3)(4x －1)2＝225； (4)2(x 2＋1)＝10. 解：(1)x 1＝6，x 2＝－6； (2)x 1，x 2＝－0.1； (3)x 1＝4，x 2＝－72；(4)x 1＝2，x 2＝－2.12．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有两个实数根．则m 的取值X 围是( B )A ．m ≥－34B ．m ≥0C ．m ≥－1D ．m ≥2【解析】 (x ＋1)2－m ＝0，(x ＋1)2＝m ， ∵一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有两个实数根， ∴m ≥0.13．已知等腰三角形的两边长分别是(x －3)2＝1的两个解，则这个三角形的周长是( C )A ．2或4B ．8C ．10D ．8或10【解析】 开方得x －3＝±1，即x ＝4或2，则等腰三角形的三边长只能为4，4，2，C. 14．解下列方程：(1)[2012·永州](x －3)2－9＝0； (2)(2x －3)(2x －3)＝x 2－6x ＋9； (3)(2x ＋3)2－(1－2)2＝0.解：(1)(x －3)2＝9，x －3＝±3，∴x 1＝0，x 2＝6； (2)原方程可化为(2x －3)2＝(x －3)2， 两边开平方得2x －3＝±(x －3)， 即2x －3＝x －3或2x －3＝－(x －3)， ∴x 1＝0，x 2＝2；(3)原方程可化为(2x ＋3)2＝(1－2)2， ∴2x ＋3＝±(1－2)．∴2x ＋3＝1－2或2x ＋3＝－(1－2)． ∴x 1＝－1－22，x 2＝－2＋22. 15．以大约与水平线成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出距离s (单位：米)与标枪出手的速度v (单位：米/秒)之间根据物理公式大致有如下关系：s ＝v 29.8＋2，如果抛出48米，试求标枪出手时的速度(精确到/秒)．解：把s ＝48代入s ＝v 29.8＋2，得48＝v 29.8＋2，v 2， ∴v 1≈，v 2≈－21.2(舍去)． 答：标枪出手时的速度约为米/秒． 16．已知2m －1＝3m，求关于x 的方程x 2－3m ＝0的解． 解：2m －1＝3m，方程两边同时乘m (m －1)， 得2m ＝3(m －1)，解得m ＝3， 经检验m ＝3是原方程的解． 将m ＝3代入方程x 2－3m ＝0， 则x 2－9＝0，解得x ＝±3，即关于x 的方程x 2－3m ＝0的解为x 1＝3，x 2＝－3.17．已知a ＋b ＝4n ＋2，ab ＝1，若19a 2＋150ab ＋19b 2的值为2 012，求n .解：∵19a 2＋150ab ＋19b 2＝19(a ＋b )2－38ab ＋150ab ＝19(a ＋b )2＋112ab ，且a ＋b ＝4n ＋2，ab ＝1，又19a 2＋150ab ＋19b 2的值为2 012， ∴19×(4n ＋2)2＋112×1＝2 012， 即(4n ＋2)2＝100，∴4n ＋2＝±10， 当4n ＋2＝10时，解得n ＝2；当4n ＋2＝－10时，解得nn 为2或－3.第2课时 用配方法解一元二次方程 [见A 本P4]1．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( D ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝22．用配方法解方程13x 2－x －4＝0时，配方后得( C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝394 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝－394C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝574 D ．以上答案都不对【解析】 先把方程化为x 2－3x －12＝0，再移项得x 2－3x ＝12，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝574.3．若一元二次方程式x 2－2x －3 599＝0的两根为a ，b ，且a ＞b ，则2a －b 之值为( D ) A ．－57 B ．63C ．179D ．181【解析】 x 2－2x －3 599＝0，移项得x 2－2x ＝3 599，x 2－2x ＋1＝3 599＋1，即(x －1)2＝3 600，x －1＝60，x －1＝－60，解得x ＝61或x ＝－59.∵一元二次方程式x 2－2x －3 599＝0的两根为a ，b ，且a ＞b ，∴a ＝61，b ＝－59，∴2a －b ＝2×61－(－59)＝181.4．关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋p 2－2p ＋5＝0的一个根为1，则实数p 的值是( C ) A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．－1【解析】 把x ＝1代入原方程有1－5＋p 2－2p ＋5＝0，即p 2－2p ＋1＝0，∴(p －1)2＝0，∴p ＝1.5．把下列各式配成完全平方式： (1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2； (2)x 2±__x __＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x ± 12 2.6．若方程x 2＋6x ＝7可化为(x ＋m )2＝16，则m ＝__3__． 7．当m ＝__±12__时，x 2＋mx ＋36是完全平方式．【解析】 ∵x 2＋mx ＋36＝x 2＋mx ＋62是完全平方式，∴m ＝±2×1×6，∴m ＝±12.8．用配方法解一元二次方程： (1)x 2－2x ＝5；(2)2x 2＋1＝3x ； (3)2t 2－6t ＋3＝0；(4)6x 2－x －12＝0； (5)2y 2－4y ＝4；(6)x 2＋3＝23x ； (7)x 2－2x ＝2x ＋1.解：(1)配方，得(x －1)2＝6， ∴x －1＝±6，∴x 1＝1＋6，x 2＝1－6； (2)移项得2x 2－3x ＝－1， 二次项系数化为1得x 2－32x ＝－12，配方得x 2－32x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＝116，∴x －34＝±14，解得x 1＝1，x 2＝12；(3)移项、系数化为1得t 2－3t ＝－32，配方得t 2－3t ＋94＝－32＋94，即⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＝34， 开方得t －32＝±32，∴t 1＝3＋32，t 2＝3－32.(4)移项，得6x 2－x ＝12， 二次项系数化为1，得x 2－x6＝2，配方，得x 2－x 6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1122＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1122，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1122＝289144， ∴x －112＝±1712，∴x 1＝32，x 2＝－43；(5)系数化为1，得y 2－2y ＝2，配方，得y 2－2y ＋1＝2＋1，即(y －1)2＝3， ∴y －1＝±3；∴y 1＝1＋3，y 2＝1－3； (6)移项，得x 2－23x ＝－3，配方，得x 2－23x ＋(3)2＝－3＋(3)2， 即(x －3)2＝0， ∴x 1＝x 2＝3； (7)移项得x 2－4x ＝1， 配方得x 2－4x ＋22＝1＋22， 即(x －2)2＝5， ∴x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.9．当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<3x －312（x －4）<13（x －4）时，求出方程x 2－2x －4＝0的根． 解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<3x －312（x －4）<13（x －4）求得⎩⎪⎨⎪⎧2<xx <4， 则2<x <4，解方程x 2－2x －4＝0可得x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5 2<5<3，而2<x <4， 所以x ＝1＋ 5.10．已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成下列的( B )A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5【解析】由x2－6x＋q＝0，得x2－6x＋9－9＋q＝0，即(x－3)2－9＋q＝0，∴(x－3)2＝9－q.∴q＝2，p＝3.∴x2－6x＋q＝2即为x2－6x＋2＝2，x2－6x＝0，x2－6x＋9＝9，(x－3)2＝9，即(x－p)2B.11．用配方法解方程：(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.(2)5(x2＋17)＝6(x2＋2x)．解：(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7，4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7，x2－6x＝－8，(x－3)2＝1，x－3＝±1，x1＝2，x2＝4.(2)5(x2＋17)＝6(x2＋2x)，整理得：5x2＋85＝6x2＋12x，x2＋12x－85＝0，x2＋12x＝85，x2＋12x＋36＝85＋36，(x＋6)2＝121，x＋6＝±11，x1＝5，x2＝－17.12．利用配方法比较代数式3x2＋4与代数式2x2＋4x值的大小．解：∵(3x2＋4)－(2x2＋4x)＝3x2＋4－2x2－4x＝x2－4x＋4＝(x－2)2≥0，∴3x2＋4≥2x2＋4x.13．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号⎪⎪⎪ac⎪⎪⎪b d 的意义是⎪⎪⎪ac⎪⎪⎪b d ＝ad －bc .例如：⎪⎪⎪13⎪⎪⎪24＝1×4－2×3＝－2，⎪⎪⎪－23⎪⎪⎪45＝(－2)×5－4×3＝－22.(1)按照这个规定请你计算⎪⎪⎪57⎪⎪⎪68的值；(2)按照这个规定请你计算当x 2－4x ＋4＝0时，⎪⎪⎪x ＋1x －1⎪⎪⎪2x2x －3的值． 解：(1)⎪⎪⎪57⎪⎪⎪68＝5×8－7×6＝－2；(2)由x 2－4x ＋4＝0得x ＝2，⎪⎪⎪x ＋1x －1⎪⎪⎪2x2x －3＝⎪⎪⎪31⎪⎪⎪41＝3×1－4×1＝－1.14．已知关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，求关于x 的方程a (x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解． 解：x 1＝－4，x 2＝－1.15．选取二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2. 根据上述材料，解决下面问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方； (2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y的值． 解：(1)x 2－8x ＋4 ＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x －2)2－4x ；(2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x ＋y 2)2＋34(y －2)2＝0，x ＋y2＝0，y －2＝0，x ＝－1，y ＝2，则x y＝(－1)2＝1.。
九年级数学配方法及公式法检测题
九年级（上册)数学配方法及公式法姓名：◆回顾归纳1．通过配方，把方程的一边化为______,另一边化为_____，然后利用开平方法解方程，这种方法叫配方法，如ax2+bx+c=0（a≠0），配方得a(x+_____）2=244b aca-．2．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,运用公式法求解的方法叫做公式法，•求根公式x=_______．◆课堂测控测试点1 配方法1．（1）x2－2x+_____=（x－1）2; （2）x2+32x+916=（x+_______）2．2．（1）x2+4x+_____=（x+_____）2；（2）y2－_______+9=（y－_____)2．3．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值为（ )A．3 B．9 C．±3 D．±94．已知方程x2－6x+q=0可以配方成（x－p）2=7的形式，那么x2－6x+q=2•可以配方成下列的（） A．（x－p)2=5 B．(x－p）2=9 C．（x－p+2）2=9 D．(x－p+2）2=55．用配方法解下列方程：(1）x2+6x+7=0；（2)2x2－4x=－5；（3）3x2+2x－3=0； (4）12x2－3x+3=0．6．阅读下列解题过程,并解答后面的问题．用配方法解方程2x2－5x－8=0．解：2x2－5x－8=0．∴x2－5x－8=0．①∴x2－5x+（－52)2=8+（－52）2．②∴（x－52）2=574．③∴x1，x2④（1）指出每一步的解题根据：①______；②______;③_______；④_______．（2）上述解题过程有无错误，如有错在第______步，原因是_________．(3）写出正确的解答过程．测试点2 公式法7．方程（x+2）（x+3）=20的解是______．8．方程3x2+2x+4=0中,b2－4ac=_______,则该一元二次方程_______实数根．9．方程x2+4x=2的正根为（）A．2．．－2．－10．用求根公式解下列方程．（1）3x2－x－2=0; (2）12x2+18=－12x；(3)（x+2）（x－2）；（4）3x2+2x=2．11．用公式法解方程12x2+12x+18=0．解:4x2+4x+1=0 ①∵a=4,b=4,c=1，②∴b2－4ac=42－4×4×1=0．③∴=12．④∴x1=x2=－12．（1）以上①步______，②步______，③步_______，④步_______．(2）体验以上解题过程,用公式法解方程:13x2+13x－16=0．◆课后测控1．若关于x的方程2x2+3ax－2a=0有一根为x=2，则关于y的方程y2+a=7的解是______．2．设x,x是方程x2－4x－2=0的两根，那么x=______，x=_____．3．如果（2a+2b+1）（2a+2b－1）=63,那么a+b的值是______．4．将二次三项式2x2－3x－5进行配方，其结果为______．5．若方程ax2+bx+c=0的一个根为－1，则a－b+c=_____；若一根为0,则c=______．6．若│x2－x－2│+│2x2－3x－2│=0，则x=_______．7．一元二次方程x2－2x=0的解是( ）A．0 B．0或2 C．2 D．此方程无实数根11．用适当的方法解下列方程．（1）4x2－7x+2=0; (2）x2－x－1=0；（3）x2－7x+6=0；（4)3（x+1）2－5（x+1）=2．参考答案回顾归纳1．完全平方式 非负数 2ba2（b －4ac ≥0）课堂测控1．（1）1 （2）34 2．（1）4 2 （2)6y 3 3．C 4．B5．（1）x 1=－x 2=－3（2）无解（3）x 1=13-，x 2=13-（4）x 1x 2=36．（1）①把二次项系数化为1 ②移项，•方程的两边加上一次项系数一半的平方③方程左边化为完全平方式 ④直接用开平方法解方程（2)① 常数项和一次项系数未同时除以2（3)正确解答：x 2－52x －4=0，∴x 2－52x+（－54）2=4+（－54）2，∴（x －54）2=8916，∴x 1=54，x 2=54-．7．x 1=－7，x 2=28．－44 没有 9．D10．（1)x 1=1，x 2=－23 （2）x 1=x 2=－12(3）x 1x 2(4)x 1=13-+，x 2=13-11．（1）①把系数化为整数 ②确定二次项系数，一次项系数，常数项 •③求出b 2－4ac 的值 ④求出方程的根(2）2x 2+2x －1=0，∵a=2，b=2，c=－1,∴b 2－4ac=4－4×2×(－1）=12．∴==．∴x 1，x 2 课后测控1．y=±32．x=4422±==2） 3．±4(点拨：令2a+2b=x ，则（x+1）(x －1）=63,∴x=±8，∴a+b=±4）4．2［（x －34）2－4916］ （点拨：2x 2－3x －5=2（x 2－32x －52) =2［x 2－32x+（－34)2－52－916］=2［（x －34）2－4916]） 5．0 0 6．2(点拨：要使等式成立,则必有x 2－x －2=0，且2x 2－3x －2=0，∴x=2）7．B8．A （点拨:x 2+y 2+2x －4y+7=（x+1）2+（y －2）2+2,∵（x+1）2≥0，(y －2)2≥0，∴x 2+y 2+2x －4y+7≥2）9．B （点拨:x 2－16x+60=0的两根为x 1=10，x 2=6，根据三角形三边关系，则10和6都可为第三边长，∴当第三边长为10，则此三角形为直角三角形，则S=24，当第三边长为6时，10．C （点拨:∵x*（x+1）=5，∴x+(x+1）2=5，即x 2+3x －4=0，∴x 1=1,x 2=－4）11．（1）这里a=4，b=－7，c=2．∴△=49－4×4×2=17，∴=．∴x 1=78，x 2=78．（2）x =，x 2 (3）(x －1）（x －6）=0，∴x －1=0或x －6=0．∴x 1=1，x 2=6．（4）令x+1=y ，则原方程变为3y 2－5y －2=0,∴y 1=－13，y 2=2． 当y 1=－13，x 1=－43；y 2=2时，x 2=1． 12．∵（x+1)△x=10,∴（x+1）2+（x+1）x+x 2=10，整理得x 2+x －3=0．解得x 12 13．∵△=4－2(2－m ）=4m －4〉0，∴m>1．将m=2代入方程得x 2+2x=0，∴x 2+2x+1=1，即（x+1)2=1,∴1+x=±1,∴x 1=0，x 2=－2．14．设平均每箱应降价x 元，根据题意得（4－x ）·（20+0.4x ×8）=120． 整理得x 2－3x+2=0，即（x －2）(x －1）=0．∴x=2,x=1．因为要扩大销售量，减少库存，所以应取x=2，将x=1舍去，∴每箱牛奶应降价2元． 拓展创新设道路宽为x 米，列方程为20×32－（20+32）x+x 2=540，∴x 1=2，x 2=50（舍去）,•∴道路宽为2米．。
21 配方法 练习人教版九年级 数学 上册
21.2.1配方法一、选择题。
1.一元二次方程(x ﹣2)2＋1=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.无实数根4．若，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ） A ．3 B ． C ． D ．6 5对于多项式224x x ++，由于()2224133x x x ++=++≥，所以224x x ++有最小值3．已知关于x 的多项式26x x m -+-的最大值为10，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．10-D ．19-6．关于x 的一元二次方程新定义：若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=就是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式22015ax bx -++取的最大值是（ ） A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023二、填空题。
1．将方程26100x x --=化成2()x m n +=（m ，n 为常数）的形式，则m =________．5．一元二次方程y 2﹣y 34-=0配方后可化为________． 三、解答题。
123x -==5914921.用配方法解下列方程：(1)2x 2＋7x －4＝0;(2)－23x 2－13x ＋2＝0； (3)x (x ＋4)＝6x ＋12;(4)3(x －1)(x ＋2)＝x －7.2．若a 为方程2(16x =的一个正根，b 为方程22113y y -+=的一个负根，求+a b 的值．3．已知代数式2231x x --，先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？4.在实数范围内定义一种新运算“※”，其规则为a ※b ＝（a ﹣1）2﹣b 2．根据这个规则，求方程（x +3）※5＝0的解．。
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21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第2课时 配方法基础题知识点1 配方1．下列各式是完全平方式的是( )A ．a 2＋7a ＋7B ．m 2－4m －4C ．x 2－12x ＋116D ．y 2－2y ＋2 2．若x 2＋6x ＋m 2是一个完全平方式，则m 的值是( )A ．3B ．－3C ．±3D ．以上都不对3．(兰州中考)用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得的方程为( )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝24．(河北模拟)把一元二次方程x 2－6x ＋4＝0化成(x ＋n)2＝m 的形式时，m ＋n 的值为( )A ．8B ．6C ．3D ．25．(吉林中考)若将方程x 2＋6x ＝7化为(x ＋m)2＝16，则m ＝________．6．用适当的数或式子填空：(1)x 2－4x ＋______＝(x －______)2；(2)x 2－______＋16＝(x －______)2；(3)x 2＋3x ＋94＝(x ＋______)2； (4)x 2－25x ＋______＝(x －______)2. 知识点2 用配方法解一元二次方程7．如果一元二次方程通过配方能化成(x ＋n)2＝p 的形式，那么(1)当p>0时，方程有____________的实数根，x 1＝__________，x 2＝__________；(2)当p ＝0时，方程有________的实数根，x 1＝x 2＝________；(3)当p<0，方程__________．8．解方程：2x 2－3x －2＝0.为了便于配方，我们将常数项移到右边，得2x 2－3x ＝______；再把二得(x －34)2＝2516，解得方程的两个根为____________________． 9．用配方法解下列方程：(1)x 2－4x －2＝0；(2)2x 2－3x －6＝0；(3)23x 2＋13x －2＝0；(4)x 2－23x ＋1＝0.10．(燕山区一模)在多项式x 2＋9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是( )A ．xB ．3xC ．6xD ．9x11．(长清区期末)用配方法解下列方程时，配方正确的是( )A ．方程x 2－6x －5＝0，可化为(x －3)2＝4B ．方程y 2－2y －2 015＝0，可化为(y －1)2＝2 015C ．方程a 2＋8a ＋9＝0，可化为(a ＋4)2＝25D ．方程2x 2－6x －7＝0，可化为(x －32)2＝23412．若方程4x 2－(m －2)x ＋1＝0的左边是一个完全平方式，则m 等于( )A ．－2B ．－2或6C ．－2或－6D ．2或－613．(聊城中考)用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为() A ．(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2B ．(x ＋b 2a )2＝4ac －b 24a 2C ．(x －b 2a )2＝b 2－4ac4a 2D ．(x －b 2a )2＝4ac －b24a 214．用配方法解下列方程：(1)2x 2＋7x －4＝0；(2)x 2－6x ＋1＝2x －15；(3)x(x ＋4)＝6x ＋12；(4)3(x －1)(x ＋2)＝x －7.15．(河北中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac>0的情况，她是这样做的：由于a ≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－c a，第一步 x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a)2，第二步 (x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2，第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 2a(b 2－4ac>0)，第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步 (1)嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac>0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是________________________；(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0.16．若要用一根长20厘米的铁丝，折成一个面积为16平方厘米的矩形方框，则应该怎样折呢？综合题17．(葫芦岛中考)有n 个方程：x 2＋2x －8＝0；x 2＋2×2x －8×22＝0；……；x 2＋2nx －8n 2＝0. 小静同学解第1个方程x 2＋2x －8＝0的步骤为：“①x 2＋2x ＝8；②x 2＋2x ＋1＝8＋1；③(x ＋1)2＝9；④x ＋1＝±3；⑤x ＝1±3；⑥x 1＝4，x 2＝－2.”(1)小静的解法是从步骤______开始出现错误的；(2)用配方法解第n 个方程x 2＋2nx －8n 2＝0.(用含n 的式子表示方程的根)参考答案基础题1.C2.C3.D4.D5.36.(1)4 2 (2)8x 4 (3)32 (4)125 157.两个不相等 －n －p －n ＋p 两个相等 －n 无实数根 8.2 32 1 32 (34)2 1＋(34)2 x 1＝2，x 2＝－129.(1)(x －2)2＝6，x 1＝6＋2，x 2＝－6＋2.(2)方程无实数根.(3)(x －34)2＝5716，x 1＝3＋574，x 2＝3－574.(4)(x ＋14)2＝4916，x 1＝32，x 2＝－2 中档题10.C 11.D 12.B 13.A 14.(x ＋74)2＝8116，x 1＝12，x 2＝－4.(2)(x －4)2＝0，∴x 1＝x 2＝4.(3)(x －1)2＝13，x 1＝1＋13，x 2＝1－13.(4)(x ＋13)2＝－29，原方程无实数解． 15.(1)四 x ＝－b±b 2－4ac 2a(2)方程x 2－2x －24＝0变形，得x 2－2x ＝24，x 2－2x ＋1＝24＋1，(x －1)2＝25，x －1＝±5，x ＝1±5，所以x 1＝－4，x 2＝6.16.设折成的矩形的长为x 厘米，则宽为(10－x)厘米，由题意，得x(10－x)＝16.解得x 1＝2，x 2＝8.∴矩形的长为8厘米，宽为2厘米．综合题17．(1)⑤(2)x 2＋2nx －8n 2＝0，x 2＋2nx ＝8n 2，x 2＋2nx ＋n 2＝8n 2＋n 2，(x ＋n)2＝9n 2，x ＋n ＝±3n ，x ＝－n±3n ，∴x ＝－4n ，x ＝2n.后序亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。
人教版九年级数学上册《配方法》能力提升卷
人教版九年级数学上册《配方法》能力提升卷一、选择题（共10小题，3*10=30）1．y 2－y －34＝0配方后可化为( )A ．(y ＋12)2＝1B ．(y －12)2＝1C ．(y ＋12)2＝34D ．(y －12)2＝342．若x 2－6x ＋m 2是一个完全平方式，则m 的值是( )A ．3B ．－3C ．±3D ．以上都不对3．对于任意实数x ，多项式x 2－3x ＋3的值是一个( )A ．整数B ．负数C ．正数D ．无法确定4．下列配方有错误的是( )A ．x 2－2x －3＝0化为(x －1)2＝4B ．x 2＋6x ＋8＝0化为(x ＋3)2＝1C ．x 2－4x －1＝0化为(x －2)2＝5D ．x 2－2x －124＝0化为(x －1)2＝1245．不论x ，y 为何实数，代数式x 2＋y 2＋2x －4y ＋7的值( )A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数6. 用配方法解下列方程时，配方正确的是( )A ．方程x 2－6x －5＝0，可化为(x －3)2＝4B ．方程y 2－2y －2 022＝0，可化为(y －1)2＝2 022C ．方程a 2＋8a ＋9＝0，可化为(a ＋4)2＝25D ．方程2x 2－6x －7＝0，可化为⎝⎛⎭⎫x －322＝2347．若关于x 的方程4x 2－(m －2)x ＋1＝0的左边是一个完全平方式，则m 等于() A ．－2 B ．－2或6 C ．－2或－6 D ．2或－68．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p)2＝7的形式，那么p ＋q 的值为() A ．5 B ．－1 C ．2 D ．127A．M<N B．M＝N C．M>N D．不能确定10．若三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为( )A．14B．12C．12或14D．以上都不对二．填空题（共8小题，3*8=24）11．若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝________.12. 填空：x2＋10x＋＝(x＋)2；13．解方程3x2－9x＋1＝0，两边都除以3得__ __，配方后得___．14．已知三角形一边长为12，另两边长是方程x2－18x＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__ __，这个三角形的面积为__ __．15．当y＝__ __时，式子y2＋2y＋5有最__ __值为__ __16．一元二次方程x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式，其中a，b为整数，则a＋b的值为__ __.17．规定：a☆b＝(a＋b)b，如：2☆3＝(2＋3)×3＝15，若2☆x＝3，则x＝________．18．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则△ABC的形状为_______________.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 用配方法解方程：(1)x2＋10x＋9＝0.(2)3x2＋6x＋2＝0.20．(6分) )配方法求一元二次方程x 2＋6x ＝－7的实数根．21．(6分) 先阅读，后解题．若m 2＋2m ＋n 2－6n ＋10＝0，求m 和n 的值．解：由已知得m 2＋2m ＋1＋n 2－6n ＋9＝0，即(m ＋1)2＋(n －3)2＝0.∵(m ＋1)2≥0，(n －3)2≥0，∴(m ＋1)2＝0，(n －3)2＝0.∴m ＋1＝0，n －3＝0.∴m ＝－1，n ＝3.利用以上解法，解答下面的问题：已知x 2＋5y 2－4xy ＋2y ＋1＝0，求x 和y 的值．22．(6分) 当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜3x －3，12（x －4）＜13（x －4）时，求出方程x 2－2x －4＝0的根．23．(6分) 若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b ＋|c －1－2|＝10a ＋2b －4－22，试判断△ABC 的形状．24．(8分) 选取二次三项式ax 2＋bx ＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x 或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方；(2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值．25．(8分) 已知实数x 满足x 2＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝0，求x ＋1x的值．参考答案1-5BCCDA 6-10DBAAB11. －1或712. 25，513. x2-3x+13=0，(x -32)2=231214. 5和13，3015. －1，小，416．2017. 1或－318．等边三角形19. (1)解：x 2＋10x ＋25＝－9＋25，(x ＋5)2＝16，x ＋5＝±4，解得x 1＝－1，x 2＝－9.(2)解：3(x 2＋2x ＋1)＝1，3(x ＋1)2＝1，(x ＋1)2＝13， x ＋1＝±33， 解得x 1＝33－1，x 2＝－33－1. 20. 解：∵x 2＋6x ＝－7，∴x 2＋6x ＋9＝－7＋9，即(x ＋3)2＝2，则x ＋3＝±2，∴x ＝－3±2，即x 1＝－3＋2，x 2＝－3－ 2.21. 解：∵x 2＋5y 2－4xy ＋2y ＋1＝0，∴x 2－4xy ＋4y 2＋y 2＋2y ＋1＝0.∴(x －2y)2＋(y ＋1)2＝0.∴x －2y ＝0，y ＋1＝0.解得x ＝－2，y ＝－1.⎧x ＋1＜3x －3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ＜4.∴2＜x ＜4， 解方程x 2－2x －4＝0可得x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.∵2＜5＜3，∴3＜5＋1＜4，－2＜1－5＜－1，∴x ＝1＋523. 解：原等式可变形为(a 2－10a ＋25)＋(b －4－2b －4＋1)＋|c －1－2|＝0. ∴(a －5)2＋(b －4－1)2＋|c －1－2|＝0.∴a －5＝0，b －4－1＝0，c －1－2＝0.∴a ＝5，b ＝5，c ＝5.∴a ＝b ＝c.∴△ABC 是等边三角形．24. 解：(1)x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x －2)2－4x(2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0可化为(x 2＋xy ＋14y 2)＋(34y 2－3y ＋3)＝0， 即(x ＋12y)2＋34(y －2)2＝0， 又∵(x ＋12y)2≥0，34(y －2)2≥0， ∴x ＋12y ＝0，y －2＝0， ∴x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝125. 解：将已知等式两边同时加上2，得x 2＋1x2＋2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝2，即⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝2. 设x ＋1x＝y ，则⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝2可化为y 2＋2y ＝2. 配方，得y 2＋2y ＋1＝2＋1，∴(y ＋1)2＝3.直接开平方，得y ＋1＝± 3.解得y 1＝3－1，y 2＝－3－1.即x ＋1x ＝3－1或x ＋1x＝－3－1. 经检验，不存在实数x 使x ＋1x＝3－1，故舍去． 1。
人教版九年级上册配方法同步习题
21．2 解一元二次方程21.2.1 配方法第1课时直接开平方法1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝__±a___(a≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__两个一元一次方程___．3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝__±p___或mx＋n＝__±p___．知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法1．方程x2－16＝0的根为( C )A．x＝4 B．x＝16C．x＝±4 D．x＝±82．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( D )A．m＞0 B．m≥0C．m＜0 D．m≤03．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C )A．0个B．1个C．2个D．3个4．若4x2－8＝0成立，则x的值是．5．解下列方程：(1)3x2＝27；解：x1＝3，x2＝－3(2)2x2＋4＝12；解：x1＝2，x2＝－2(3)5x2＋8＝3.解：没有实数根知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D )A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－47．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D )A．k＜1 B．k＜－1C．k≥1 D．k＞18．一元二次方程(x－3)2＝8的解为__x＝3±22___．9．解下列方程：(1)(x－3)2－9＝0；解：x1＝6，x2＝0(2)2(x－2)2－6＝0；解：x1＝2＋3，x2＝2－ 3(3)x2－2x＋1＝2.解：x1＝1＋2，x2＝1－ 210．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝__1___．11．若x2－4x＋2的值为0，则x＝__2___．12．由x2＝y2得x＝±y，利用它解方程(3x－4)2＝(4x－3)2，其根为__x＝±1___．13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，方程(x＋2)*5＝0的根为__x1＝3，x2＝－7___．14．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( C )A．x2－3＝0 B．(x－1)2－4＝0C．x2＋2x＝0 D．(x－1)2＝(2x＋1)215．(2014·枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( A ) A．x1小于－1，x2大于3B．x1小于－2，x2大于3C．x1，x2在－1和3之间D．x1，x2都小于316．若(x2＋y2－3)2＝16，则x2＋y2的值为( A )A．7 B．7或－1C．－1 D．1917．解下列方程：(1)3(2x＋1)2－27＝0；解：x1＝1，x2＝－2(2)(x－2)(x＋2)＝10；解：x1＝23，x2＝－2 3(3)x2－4x＋4＝(3－2x)2；解：x1＝1，x2＝53(4)4(2x－1)2＝9(2x＋1)2.解：x1＝－52，x2＝－11018．若2(x2＋3)的值与3(1－x2)的值互为相反数，求x＋3x2的值．解：由题意得2(x2＋3)＋3(1－x2)＝0，∴x＝±3.当x＝3时，x＋3x2＝23；当x＝－3时，x＋3x2＝019．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．解：(1)ab－4x2(2)依题意有ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代入，得x2＝3，解得x1＝3，x2＝－3(舍去)，即正方形的边长为 3第2课时配方法1．通过配成__完全平方形式___来解一元二次方程的方法叫做配方法．2．配方法的一般步骤：(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；(2)配方：方程两边同时加上__一次项系数的一半的平方___，使左边配成一个完全平方式，写成__(mx ＋n)2＝p___的形式；(3)若p__≥___0，则可直接开平方求出方程的解；若p__＜___0，则方程无解．知识点1：配方1．下列二次三项式是完全平方式的是( B )A．x2－8x－16 B．x2＋8x＋16C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋162．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( C )A．3 B．－3C．±3 D．以上都不对3．用适当的数填空：x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；m2__±3___m＋94＝(m__±32___)2.知识点2：用配方法解x2＋px＋q＝0型的方程4．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( D ) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝95．下列配方有错误的是( D )A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝1246．(2014·宁夏)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是( C )A．x1＝x2＝1B．x1＝1＋2，x2＝－1－ 2C．x1＝1＋2，x2＝1－ 2D．x1＝－1＋2，x2＝－1－ 27．解下列方程：(1)x2－4x＋2＝0；解：x1＝2＋2，x2＝2－ 2(2)x2＋6x－5＝0.解：x1＝－3＋14，x2＝－3－14知识点3：用配方法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的方程8．解方程3x2－9x＋1＝0，两边都除以3得__x2－3x＋13＝0___，配方后得__(x－32)2＝2312___．9．方程3x2－4x－2＝0配方后正确的是( D ) A．(3x－2)2＝6 B．3(x－2)2＝7C．3(x－6)2＝7 D．3(x－23)2＝10310．解下列方程：(1)3x2－5x＝－2；解：x1＝23，x2＝1(2)2x2＋3x＝－1.解：x1＝－1，x2＝－1211．对于任意实数x ，多项式x 2－4x ＋5的值一定是( B )A ．非负数B ．正数C ．负数D ．无法确定12．方程3x 2＋2x ＝6，左边配方得到的方程是( B )A ．(x ＋26)2＝－3718B ．(x ＋26)2＝3718C ．(x ＋26)2＝3518D ．(x ＋26)2＝611813．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p)2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成下列的( B )A ．(x －p)2＝5B ．(x －p)2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝514．已知三角形一边长为12，另两边长是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三角形的面积为__30___．15．当x ＝__2___时，式子200－(x －2)2有最大值，最大值为__200___；当y ＝__－1___时，式子y 2＋2y ＋5有最__小___值为__4___．16．用配方法解方程： (1)23x 2＝2－13x ；解：x1＝32，x2＝－2(2)3y2＋1＝23y.解：y1＝y2＝3 317．把方程x2－3x＋p＝0配方得到(x＋m)2＝12，求常数m与p的值．解：m＝－32，p＝7418．试证明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，无论a为何值，该方程都是一元二次方程．解：∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≠0，∴无论a取何值，该方程都是一元二次方程19．选取二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x2－4x＋2＝(x－2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－2)2＋(22－4)x，或x2－4x＋2＝(x＋2)2－(4＋22)x；③选取一次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(2x－2)2－x2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x2－8x＋4的两种不同形式的配方；(2)已知x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求x y的值．解：(1)x2－8x＋4＝x2－8x＋16－16＋4＝(x－4)2－12；x2－8x＋4＝(x－2)2＋4x－8x＝(x－2)2－4x(2)x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，(x2＋xy＋14y2)＋(34y2－3y＋3)＝0，(x＋12y)2＋34(y－2)2＝0，又∵(x＋12y)2≥0，34(y－2)2≥0，∴x＋12y＝0，y－2＝0，∴x＝－1，y＝2，则x y＝(－1)2＝1 先制定阶段性目标—找到明确的努力方向每个人的一生,多半都是有目标的,大的目标应该是一个十年、二十年甚至几十年为之奋斗的结果,应该定得比较远大些,这样有利于发挥自己的潜能。
人教版数学九年级上册21.2.1 配方法 练习(含答案)
21.2.1 配方法一、选择题1．用配方法解一元二次方程x 2﹣4x ﹣6＝0，变形正确的是（ ） A ．（x ﹣2）2＝0 B ．（x ﹣4）2＝22C ．（x ﹣2）2＝10D ．（x ﹣2）2＝82．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x 为( ) A ．x=12±B ．x ＝±1C ．±D ．3．将一元二次方程x 2+6x+7＝0进行配方正确的结果应为（ ） A ．（x+3）2+2＝0 B ．（x ﹣3）2+2＝0C ．（x+3）2﹣2＝0D ．（x ﹣3）2﹣2＝04．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣10＝0时，下列变形正确的为( ) A ．(x+3)2＝1 B ．(x ﹣3)2＝1 C ．(x+3)2＝19 D ．(x ﹣3)2＝195.如果二次三项式4x 2+mx+1/9是一个完全平方式，那么m 的值是（ ） A .34 B .34－ C .34± D .±436．用配方法解方程2520x x ++=时，四个学生在变形时，得到四种不同的结果，其中配方正确的是（ ） A ．2517()24x += B ．2521()24x += C ．2525()24x +=D ．2533()24x +=7．新定义，若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a xb x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式22018ax bx ++能取的最小值是（ ） A ．2011 B ．2013C ．2018D ．20238．下列各命题中正确的是（ ）①方程x 2=-4的根为x 1=2，x 2=-2②∵（x-3）2=2，∴x-3=，即③∵x 2，∴x=±4 ④在方程ax 2+c=0中，当a ＞0，c ＞0时，一定无实根 A ．①② B ．②③C ．③④D ．②④9．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定10．方程2410x x ++=的解是（ ）A ．1222x x ==B ．1222x x ==-C ．1222x x =-+=-D ．1222x x =-=二、填空题11．解方程：9x 2﹣6x+1＝0， 解：9x 2﹣6x+1＝0，所以（3x ﹣1）2＝0， 即3x ﹣1＝0，解得x 1＝x 2＝ ．12．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且a 、b 满足2264130a a b b -+-+=，c 为奇数，则△ABC 的周长为______．13．用配方法解方程23650x x +-=，则配方后的方程是________14．用配方法解下列方程：（1）x 2+4x ﹣5＝0，解：移项，得x 2+4x ＝ ，方程两边同时加上4，得x 2+4x+4＝ ，即（x+2）2＝ ，所以x+2＝ 或x+2＝ ，所以x 1＝ ，x 2＝ ．（2）2y 2﹣5y+2＝0，解：方程两边同除以2，得y 2﹣y ＝ ，方程两边同加上（）2，得y 2﹣y+（）2＝ ，所以（ ）2＝ ，解得y 1＝ ，y 2＝ ．15．对于有理数,a b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b ≥时，}{min ,a b b =；当a b ≤时，}{min ,a b a =.若}{22min 13,6413m n m n---=，则nm的值等于____．三、解答题16．用配方法解下列方程： （1）225x x -=； （2）22103x x -+=；（3）22360x x --=； （4）2212033x x +-=；（5）)3x x =； （6）(23)(6)16x x +-=．17．解方程：2232mx x -=+()1m ≠18．若代数式233x x -的值与2(1)x -的值互为相反数，求x 的值？19.已知一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的一个根是1，且a ，b 满足b ＝+﹣3，求关于y 的方程y 2﹣c ＝0的根．20．已知：x 2+4x+y 2－6y+13=0，求222x y x y -+的值．21．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当a ＞0，b ＞0时：∵）2=a ﹣b ≥0∴a +b a =b 时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x的最大值为 ； （2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值；（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．22．实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？ 模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表②如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果． 探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果． 探究三：从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果． 归纳结论：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果． 问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额． 拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．答案一、选择题1． C 2． C 3． C 4． D 5. C 6． A 7． B 8． D 9． A 10． C 二、填空题 11．12． 8 13． 28(1)3x +=14． （1）x 2+4x ﹣5＝0，解：移项，得x 2+4x ＝ 5 ，方程两边同时加上4，得x 2+4x+4＝ 9 ，即（x+2）2＝ 9 ，所以x+2＝ 3 或x+2＝ ﹣3 ，所以x 1＝ 1 ，x 2＝ ﹣5 ．（2）2y 2﹣5y+2＝0，解：方程两边同除以2，得y 2﹣y ＝ ﹣1 ， 方程两边同加上（）2，得y 2﹣y+（）2＝，所以（ y ﹣ ）2＝ ，解得y 1＝ 2 ，y 2＝．15．19三、解答题16． （1）1211x x ==（2）原方程无实数根；（3）123344x x +-==（4）123,22x x ==-；（5）12x x =；（6）129944-==x x ．17． 当1m 时，原方程的解是x =，当1m <时，原方程无实数解18． 解：因为代数式233x x -的值与2(1)x -的值互为相反数所以233x x -+2(1)x -=0，整理的2125=636x -（），解得1221,3x x ==- 19. y ＝±2． 20． 813-21． （1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．22． 探究一：（3）7；（4）23n -（3n ≥，n 为整数）；探究二：（1）4,（2）38n - ；探究三：415,n -归纳结论：21an a -+ （n 为整数，且3n ≥，1＜a ＜n ）；问题解决：476；拓展延伸：（1）29个或7个；（2）()211a n a +-+．。
人教版初中数学九年级上册第二十一章《配方法解一元二次方程》 同步练习题(解析版)
九年级上册第二十一章?配方法解一元二次方程?同步练习题一、选择题〔每题只有一个正确答案〕1．用配方法解方程x2−4x−2=0变形后为()A．(x−2)2=6B．(x−4)2=6C．(x−2)2=2D．(x+2)2=62．将方程x2+8x+9=0左边变成完全平方式后，方程是〔〕A．(x+4)2=7B．(x+4)2=25C．(x+4)2=−9D．(x+4)2=−7 3．假设方程x2﹣8x+m=0可以通过配方写成〔x﹣n﹣2=6的形式，那么x2+8x+m=5可以配成〔〕A．﹣x﹣n+5﹣2=1B．﹣x+n﹣2=1C．﹣x﹣n+5﹣2=11D．﹣x+n﹣2=11 4．对二次三项式x2－10x＋36，小聪同学认为：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11；小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为( )A．小聪对，小颖错B．小聪错，小颖对C．他们两人都对D．他们两人都错5．假如一元二次方程x2-ax+6=0经配方后，得〔x+3﹣2=3，那么a的值为〔〕A．3 B．-3 C．6 D．-6二、填空题6．方程x2﹣2x﹣2﹣0的解是____________.7．总结配方法解一元二次方程的步骤是：(1)化二次项系数为__________；(2)移项，使方程左边只有__________项；(3)在方程两边都加上__________平方；(4)用直接开平方法求出方程的根.8．〔1〕x2+6x+9=(x+____)2，〔2〕x2-_______+p24=(x−p2)2.9．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是____________；假设多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，那么a=_________.10．x²-3x+____=(x-___)².三、解答题11．解方程：x2−2x=4﹣12．用配方法解方程：2x2−3x+1=0﹣13．用配方法说明：不管x取何值，代数式2x2+5x-1的值总比代数式x2+7x-4的值大，并求出两代数式的差最小时x的值．14．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，第 1 页〔1〕求k的取值范围；〔2〕当k=2时，请用配方法解此方程．15．大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项系数化为1，再进展配方．现请你先阅读如下方程〔1〕的解答过程，并按照此方法解方程〔2〕．方程〔1〕2x2−2√2x−3=0．解：2x2−2√2x−3=0，(√2x)2−2√2x+1=3+1，(√2x−1)2=4，√2x−1=±2，x1=−√22，x2=3√22．方程〔2〕3x2−2√6x=2．参考答案1．A【解析】【分析】在此题中，把常数项-2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方．【详解】把方程x2-4x-2=0的常数项移到等号的右边，得到x2-4x=2,方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-4x+4=2+4,配方得〔x-2〕2=6．应选：A【点睛】配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．2．A【解析】【详解】﹣x2+8x+9=0﹣﹣x2+8x=−9﹣﹣x2+8x+16=−9+16﹣﹣(x+4)2=7.应选A.【点睛】配方法的一般步骤：〔1〕将常数项移到等号右边；〔2〕将二次项系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方.3．D【解析】分析：方程x2﹣8x+m=0可以配方成〔x﹣n〕2=6的形式，把x2﹣8x+m=0配方即可第 1 页得到一个关于m的方程，求得m的值，再利用配方法即可确定x2+8x+m=5配方后的形式．详解：∵x2﹣8x+m=0，∴x2﹣8x=﹣m，∴x2﹣8x+16=﹣m+16，∴〔x﹣4〕2=﹣m+16，依题意有：n=4，﹣m+16=6，∴n=4，m=10，∴x2+8x+m=5是x2+8x+5=0，∴x2+8x+16=﹣5+16，∴〔x+4〕2=11，即〔x+n〕2=11．应选D．点睛：考察理解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．D【解析】【分析】通过配方写成完全平方的形式，用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．再说明他的说法错误．【详解】当x2-10x+36=11时；x2-10x+25=0﹣﹣x-5﹣2=0﹣x1=x2=5﹣所以他们两人的说法都是错误的，应选D.【点睛】此题考察了配方法解一元二次方程，纯熟掌握配方法的一般步骤是解题的关键.配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1﹣﹣3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．D【解析】【分析】可把〔x+3〕2=3按完全平方式展开，比照即可知a的值．【详解】根据题意，〔x+3〕2=3可变为：x2+6x+6=0，和一元二次方程x2-ax+6=0比拟知a=-6．应选：D【点睛】此题考核知识点：此题考察了配方法解一元二次方程，是根底题．6．x1﹣1﹣√3﹣x2﹣1﹣√3【解析】分析: 首先把常数-2移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可.详解:x2-2x-2=0，移项得：x2-2x=2，配方得：x2-2x+1=2+1，〔x-1〕2=3，两边直接开平方得：x-1=±√3，那么x1=√3+1，x2=-√3+1．故答案为：x1＝1＋√3，x2＝1－√3.点睛: 此题主要考察了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数. 7．1二次项及一次一次项系数一半的【解析】分析：根据配方法的步骤解方程即可．详解：总结配方法解一元二次方程的步骤是：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边只有二次项及一次项；(3)在方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)用直接开平方法求出方程的根.点睛：此题考察了配方法，配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．第 3 页8．3 px【解析】【详解】根据完全平方公式得，x 2+6x +9=(x +3)2﹣x 2-px +p 24=(x −p 2)2. 故答案为3﹣px .9．3(x −13)2=103﹣2或6.【解析】【分析】首先把一元二次方程3x 2-2x -3=0提出3,然后再配方即可;【详解】根据题意,一元二次方程3x 2-2x -3=0化成,括号里面配方得,,即; ∵多项式x 2-ax+2a -3是一个完全平方式,,∴解得a=2或6.故答案为﹣(1). 3(x −13)2=103﹣ (2). 2或6.【点睛】此题考察了配方法解一元二次方程,解题的关键是纯熟掌握用配方法解一元二次方程的步骤.10． 94, 32 【解析】分析：根据配方法可以解答此题．详解：∵x 2﹣3x +94=〔x ﹣32〕2， 故答案为：94，32．点睛：此题考察了配方法的应用，解题的关键是纯熟掌握配方法．11．x 1=1+√5，x 2=1−√5．【解析】【分析】第 5 页两边都加1，运用配方法解方程.【详解】解：x 2−2x +1=5，(x −1)2=5，x −1=±√5，所以x 1=1+√5，x 2=1−√5．【点睛】此题考核知识点：解一元二次方程. 解题关键点：掌握配方法.12．x 1=12，x 2=1．【解析】【分析】利用配方法得到〔x ﹣34〕2=116，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】x 2﹣32x =﹣12， x 2﹣32x +916=﹣12+916， 〔x ﹣34〕2=116x ﹣34=±14， 所以x 1=12，x 2=1． 【点睛】此题考察理解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成〔x +m 〕2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．13．详见解析.【解析】【分析】用求差法比拟代数式2x 2+5x-1的值总与代数式x 2+7x-4的大小，即2x 2+5x-1-〔x 2+7x-4〕=2x 2+5x-1-x 2-7x+4=x 2-2x+3=〔x-1〕2+2；当x=1时，两代数式的差最小为2．【详解】解：2x 2+5x-1-〔x 2+7x-4〕=2x 2+5x-1-x 2-7x+4=x 2-2x+3=〔x-1〕2+2，∵〔x-1〕2≥0，∴〔x-1〕2+2＞0，即2x 2+5x-1-〔x 2+7x-4〕＞0，∴不管x 取任何值，代数式2x 2+5y-1的值总比代数式x 2+7x-4的值大，当x=1时，两代数式的差最小为2．【点睛】此题考核知识点：配方.解题关键点：用求差法和配方法比拟代数式的大小.14．〔1〕k ≥﹣1且k ≠0；〔2〕x 1=√3−12，x 2=−√3−12． 【解析】试题分析：﹣1〕当k =0时，是一元一次方程，有解；当k ≠0时，方程是一元二次方程，因为方程有实数根，所以先根据根的判别式﹣≥0，求出k 的取值范围；﹣2〕当k =2时，把k 值代入方程，用配方法解方程即可．解：〔1〕∵一元二次方程kx 2+2x ﹣1=0有实数根，∴22+4k ≥0，k ≠0，解得，k ≥﹣1且k ≠0；〔2〕当k=2时，原方程变形为2x 2+2x ﹣1=0，2〔x 2+x 〕=1，2〔x 2+x +〕=1+，2〔x +〕2=，〔x +〕2=x +=±， x 1=，x 2=． 15．x 1=√6+2√33 ，x 1=√6−2√33. 【解析】【分析】参照范例的步骤和方法进展分析解答即可.【详解】原方程可化为：(√3x)2−2×√3×√2x +(√2)2=2+(√2)2，﹣ (√3x −√2)2=4，∴ √3x−√2=±2，∴x1=√6+2√33，x2=√6−2√33.【点睛】读懂范例中的解题方法和步骤是解答此题的关键.第 7 页。
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《配方法》测试题1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝__±a___(a≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__两个一元一次方程___．3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝__±p___或mx ＋n＝__±p___．知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法1．方程x2－16＝0的根为( C)A．x＝4B．x＝16C．x＝±4 D．x＝±82．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( D)A．m＞0 B．m≥0C．m＜0 D．m≤03．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C)A．0个B．1个C．2个D．3个4．若4x2－8＝0成立，则x的值是__±2___．5．解下列方程：(1)3x2＝27；解：x1＝3，x2＝－3(2)2x2＋4＝12；解：x1＝2，x2＝－2(3)5x2＋8＝3.解：没有实数根知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D)A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－47．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D)A．k＜1 B．k＜－1C．k≥1 D．k＞18．一元二次方程(x－3)2＝8的解为__x＝3±22___．9．解下列方程：(1)(x－3)2－9＝0；解：x1＝6，x2＝0(2)2(x－2)2－6＝0；解：x1＝2＋3，x2＝2－ 3(3)x2－2x＋1＝2.解：x1＝1＋2，x2＝1－ 210．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1___．11．若x 2－4x ＋2的值为0，则x ＝__2___．12．由x 2＝y 2得x ＝±y ，利用它解方程(3x －4)2＝(4x －3)2，其根为__x ＝±1___．13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b ＝a 2－b 2，根据这个规则，方程(x ＋2)*5＝0的根为__x 1＝3，x 2＝－7___．14．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( C ) A ．x 2－3＝0 B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2x ＝0D ．(x －1)2＝(2x ＋1)2 15．(2014·枣庄)x 1，x 2是一元二次方程3(x －1)2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( A )A ．x 1小于－1，x 2大于3B ．x 1小于－2，x 2大于3C ．x 1，x 2在－1和3之间D ．x 1，x 2都小于316．若(x 2＋y 2－3)2＝16，则x 2＋y 2的值为( A ) A ．7 B ．7或－1 C ．－1 D ．19 17．解下列方程： (1)3(2x ＋1)2－27＝0； 解：x 1＝1，x 2＝－2(2)(x －2)(x ＋2)＝10； 解：x 1＝23，x 2＝－2 3(3)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2；解：x 1＝1，x 2＝53(4)4(2x －1)2＝9(2x ＋1)2.解：x 1＝－52，x 2＝－11018．若2(x 2＋3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，求x ＋3x2的值．解：由题意得2(x 2＋3)＋3(1－x 2)＝0，∴x ＝±3.当x ＝3时，x ＋3x 2＝23；当x ＝－3时，x ＋3x2＝019．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．解：(1)ab－4x2(2)依题意有ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代入，得x2＝3，解得x1＝3，x2＝－3(舍去)，即正方形的边长为 3第2课时配方法1．通过配成__完全平方形式___来解一元二次方程的方法叫做配方法．2．配方法的一般步骤：(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；(2)配方：方程两边同时加上__一次项系数的一半的平方___，使左边配成一个完全平方式，写成__(mx＋n)2＝p___的形式；(3)若p__≥___0，则可直接开平方求出方程的解；若p__＜___0，则方程无解．知识点1：配方1．下列二次三项式是完全平方式的是( B)A．x2－8x－16B．x2＋8x＋16C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋162．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( C)A．3 B．－3C．±3 D．以上都不对3．用适当的数填空：x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；m2__±3___m＋94＝(m__±32___)2.知识点2：用配方法解x2＋px＋q＝0型的方程4．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( D) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝95．下列配方有错误的是( D)A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝1246．(2014·宁夏)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是( C)A．x1＝x2＝1B．x1＝1＋2，x2＝－1－ 2C．x1＝1＋2，x2＝1－ 2D．x1＝－1＋2，x2＝－1－ 27．解下列方程：(1)x2－4x＋2＝0；解：x1＝2＋2，x2＝2－ 2(2)x2＋6x－5＝0.解：x1＝－3＋14，x2＝－3－14知识点3：用配方法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的方程8．解方程3x 2－9x ＋1＝0，两边都除以3得__x 2－3x ＋13＝0___，配方后得__(x －32)2＝2312___．9．方程3x 2－4x －2＝0配方后正确的是( D ) A ．(3x －2)2＝6 B ．3(x －2)2＝7C ．3(x －6)2＝7D ．3(x －23)2＝10310．解下列方程： (1)3x 2－5x ＝－2；解：x 1＝23，x 2＝1(2)2x 2＋3x ＝－1.解：x 1＝－1，x 2＝－1211．对于任意实数x ，多项式x 2－4x ＋5的值一定是( B ) A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．无法确定12．方程3x 2＋2x ＝6，左边配方得到的方程是( B )A ．(x ＋26)2＝－3718B ．(x ＋26)2＝3718C ．(x ＋26)2＝3518D ．(x ＋26)2＝611813．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p)2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成下列的( B )A ．(x －p)2＝5B ．(x －p)2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝514．已知三角形一边长为12，另两边长是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三角形的面积为__30___．15．当x ＝__2___时，式子200－(x －2)2有最大值，最大值为__200___；当y ＝__－1___时，式子y 2＋2y ＋5有最__小___值为__4___．16．用配方法解方程： (1)23x 2＝2－13x ； 解：x 1＝32，x 2＝－2(2)3y 2＋1＝23y.解：y 1＝y 2＝3317．把方程x 2－3x ＋p ＝0配方得到(x ＋m)2＝12，求常数m 与p 的值．解：m ＝－32，p ＝7418．试证明关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，无论a 为何值，该方程都是一元二次方程．解：∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4≠0，∴无论a 取何值，该方程都是一元二次方程19．选取二次三项式ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方； (2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值． 解：(1)x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x－2)2－4x (2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x 2＋xy ＋14y 2)＋(34y 2－3y ＋3)＝0，(x ＋12y)2＋34(y －2)2＝0，又∵(x ＋12y)2≥0，34(y －2)2≥0，∴x ＋12y ＝0，y －2＝0，∴x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝121．2.2 公式法1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当__b 2－4ac ≥0___时，x ＝－b±b 2－4ac2a，这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的__求根公式___．2．式子__b 2－4ac___叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__没有实数根___．知识点1：根的判别式1．下列关于x 的方程有实数根的是( C )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝0 2．(2014·兰州)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B )A ．b 2－4ac ＝0B ．b 2－4ac ＞0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≥03．一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根4．利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)9x 2－6x ＋1＝0；解：∵a ＝9，b ＝－6，c ＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数根(2)8x 2＋4x ＝－3；解：化为一般形式为8x 2＋4x ＋3＝0，∵a ＝8，b ＝4，c ＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根(3)2(x 2－1)＋5x ＝0.解：化为一般形式为2x 2＋5x －2＝0，∵a ＝2，b ＝5，c ＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根知识点2：用公式法解一元二次方程5．方程5x ＝2x 2－3中，a ＝__2___，b ＝__－5___，c ＝__－3___，b 2－4ac ＝__49___． 6．一元二次方程x 2－x －6＝0中，b 2－4ac ＝__25___，可得x 1＝__3___，x 2＝__－2___．7．方程x 2－x －1＝0的一个根是( B )A ．1－ 5B .1－52C ．－1＋ 5D .－1＋528．用公式法解下列方程： (1)x 2－3x －2＝0；解：x 1＝3＋172，x 2＝3－172(2)8x 2－8x ＋1＝0；解：x 1＝2＋24，x 2＝2－24(3)2x 2－2x ＝5.解：x 1＝1＋112，x 2＝1－1129．(2014·广东)关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B )A ．m ＞94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜－9410．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( C )A ．k ＞－1B ．k ＜1且k ≠0C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠011．已知关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．12．关于x 的方程(a ＋1)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足的条件是__a ≥－5___．13．用公式法解下列方程：(1)x(2x －4)＝5－8x ；解：x 1＝－2＋142，x 2＝－2－142(2)(3y －1)(y ＋2)＝11y －4.解：y 1＝3＋33，y 2＝3－3314．当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜3x －3，12（x －4）＜13（x －4）时，求出方程x 2－2x －4＝0的根． 解：解不等式组得2<x<4，解方程得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，∴x ＝1＋ 515．(2014·梅州)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)a ＝12，另一个根为x ＝－32(2)∵Δ＝a 2－4(a －2)＝(a －2)2＋4＞0，∴无论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根16．关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实数根．(1)求a 的最大整数值；(2)当a 取最大整数值时，求出该方程的根．解：(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤709且a≠6，∴a的最大整数值为7(2)当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝－（－8）±282＝4±7，即x1＝4＋7，x2＝4－717．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a －c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－121．2.3 因式分解法1．当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化为__两个一次因式___的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．2．解一元二次方程，首先看能否用__直接开平方法___；再看能否用__因式分解法___；否则就用__公式法___；若二次项系数为1，一次项系数为偶数可先用__配方法___．知识点1：用因式分解法解一元二次方程1．方程(x ＋2)(x －3)＝0的解是( C )A ．x ＝2B ．x ＝－3C ．x 1＝－2，x 2＝3D ．x 1＝2，x 2＝－32．一元二次方程x(x －5)＝5－x 的根是( D )A ．－1B ．5C ．1和5D ．－1和53．(2014·永州)方程x 2－2x ＝0的解为__x 1＝0，x 2＝2___．4．方程x 2－2x ＋1＝0的根是__x 1＝x 2＝1___．5．用因式分解法解下列方程：(1)x 2－4＝0；解：x 1＝2，x 2＝－2(2)x 2－23x ＝0；解：x 1＝0，x 2＝2 3(3)(3－x)2－9＝0；解：x 1＝0，x 2＝6(4)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2.解：x 1＝1，x 2＝53知识点2：用适当的方法解一元二次方程6．解方程(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6＝0时，我们可以将x ＋1看成一个整体，设x ＋1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋6＝0，解得y 1＝2，y 2＝3.当y ＝2时，即x ＋1＝2，解得x ＝1；当y ＝3时，即x ＋1＝3，解得x ＝2，所以原方程的解为x 1＝1，x 2＝2.利用这种方法求方程(2x －1)2－4(2x －1)＋3＝0的解为( C )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝－1，x 2＝－3C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝－17．用适当的方法解方程：(1)2(x －1)2＝12.5；解：用直接开平方法解，x 1＝3.5，x 2＝－1.5(2)x 2＋2x －168＝0；解：用配方法解，x 1＝12，x 2＝－14(3)2x 2＝2x ；解：用因式分解法解，x 1＝0，x 2＝ 2(4)4x 2－3x －2＝0.解：用公式法解，x 1＝3＋418，x 2＝3－4188．方程x(x －1)＝－x ＋1的解为( D )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x 1＝0，x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－19．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A )A ．(2x ＋2)(3x ＋4)＝0化为2x ＋2＝0或3x ＋4＝0B ．(x －3)(x ＋1)＝1化为x －3＝1或x ＋1＝1C ．(x －2)(x －3)＝2×3化为x －2＝2或x －3＝3D ．x(x －2)＝0化为x －2＝010．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程(x －2)(x －4)＝0的根，则这个三角形的周长是( C )A ．11B ．11或13C ．13D ．以上都不对11．(2014·陕西)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－52ax ＋a 2＝0的一个根，则a 的值是( B )A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－412．已知x ＝1是关于x 的方程(1－k)x 2＋k 2x －1＝0的根，则常数k 的值为__0或1___．13．已知(x 2＋2x －3)0＝x 2－3x ＋3，则x ＝__2___．14．用因式分解法解下列方程：(1)x 2－3x ＝x －4；解：x 1＝x 2＝2(2)(x －3)2＝3(x －3)．解：x 1＝3，x 2＝615．用适当的方法解下列方程：(1)4(x －1)2＝2；解：x 1＝2＋22，x 2＝－2＋22(2)x 2－6x ＋4＝0； 解：x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5(3)x 2－4＝3x －6；解：x 1＝1，x 2＝2(4)(x ＋5)2＋x 2＝25.解：x 1＝－5，x 2＝016．一跳水运动员从10 m 高台上跳下，他离水面的高度h(单位：m )与所用时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到入水所用的时间为2 s17．先阅读下列材料，然后解决后面的问题：材料：因为二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以方程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.问题：(1)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为__－15，－6，0，6，15___；(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__7___．专题训练(一) 一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8； 解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程：(1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程：(1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程：(1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0.解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程：(1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用(一)最大(小)值 6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－p___，x 1x 2＝__q___．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－b a___，x 1x 2＝__c a___． 3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax 2＋bx ＋c ＝0___；(2)二次方程，即__a ≠0___；(3)有根，即__b 2－4ac ≥0___．知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( C )A ．0B ．2C ．－2D ．42．(2014·昆明)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于( C )A ．－4B ．－1C ．1D ．43．已知方程x 2－6x ＋2＝0的两个解分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为( D )A ．－8B ．－4C ．8D ．44．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －4＝0的两个实数根，则(x 1－2)(x 2－2)＝__－6___．5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1)x 2＋3x ＋1＝0；解：x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝1(2)2x 2－4x －1＝0；解：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－12(3)2x 2＋3＝5x 2＋x.解：x 1＋x 2＝－13，x 1x 2＝－1 6．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 12＋x 22； (2)1x 1＋1x 2. 解：(1)x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝11(2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－3知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值7．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根互为相反数，则( B )A ．b ＞0B ．b ＝0C ．b ＜0D ．c ＝08．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根和c 分别为( C )A ．1，2B ．2，4C ．4，8D ．8，169．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则b ＋c 的值是( A )A ．－10B ．10C ．－6D ．－110．(2014·烟台)关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( D )A ．－1或5B ．1C ．5D ．－111．若关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．解：由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4①，x 1x 2＝k －3②，又∵x 1＝3x 2③，联立①③，解方程组得⎩⎨⎧x 1＝3，x 2＝1，∴k ＝x 1x 2＋3＝3×1＋3＝612．已知一元二次方程x 2－2x ＋2＝0，则下列说法正确的是( D )A ．两根之和为2B ．两根之积为2C ．两根的平方和为0D ．没有实数根13．已知α，β满足α＋β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是( B )A ．x 2＋6x ＋8＝0B ．x 2－6x ＋8＝0C ．x 2－6x －8＝0D ．x 2＋6x －8＝014．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为( B ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－115．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( C )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或216．(2014·呼和浩特)已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则m 2－mn ＋3m ＋n ＝__8___．17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，1，则这个方程为__x 2－9x ＋8＝0___．18．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，求(x 1＋x 2)2÷(1x 1＋1x 2)的值．解：由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，∴(x 1＋x 2)2÷(1x 1＋1x 2)＝x 1x 2(x 1＋x 2)＝419．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2＋2＝2(1－x)有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数k 的取值范围；(2)若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)方程整理为x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0，由题意得Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴k ≤12(2)由题意得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∵|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，∴|2(k －1)|＝k 2－1，∵k ≤12，∴－2(k －1)＝k 2－1，整理得k 2＋2k －3＝0，解得k 1＝－3，k 2＝1(舍去)，∴k ＝－320．设x 1，x 2是方程x 2－x －2015＝0的两个实数根，求x 13＋2016x 2－2015的值．解：x 2－x －2015＝0，∴x 2＝x ＋2015，x ＝x 2－2015.又∵x 1，x 2是方程x 2－x －2015＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，∴x 13＋2016x 2－2015＝x 1·x 12＋2016x 2－2015＝x 1·(x 1＋2015)＋2016x2－2015＝x12＋2015x1＋2016x2－2015＝x1＋2015＋2015x1＋2016x2－2015＝2016(x1＋x2)＋2015－2015＝2016。