垂径定理(导学案)
垂径定理 （共21张PPT）学案
3.3.2垂径定理导学案一、教材79页想一想垂径定理的逆命题是什么？已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，⌒AC=⌒BC师生共同归纳定理1： . 探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，⌒AC=⌒BC 求证：CD⊥AB归纳出：定理2：。
二、教材79页例题例3、赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).1．下列命题中，正确的是( )A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )A．8 B．2 C．10 D．53．已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长2√3 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )A． 1 cm B．2 cm C.√2cm D.√3 cm【方法宝典】利用垂径定理推论进行解答即可。
1.如图所示，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为().A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm2.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是().A.1275πm2B.2550πm2C.3825πm2D.5100πm23.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D ，E ，量出半径OC=5cm ，弦DE=8cm ，则直尺的宽度为( ).A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm4.如图所示，将一个半径为5cm 的半圆O 折叠，使经过点O ，则折痕AF 的长度为( ).A.5cmB.52cmC.53cmD.103cm5.如图所示，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD⊥AB 于点D ，OE⊥AC 于点E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为 ．6.如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m ，拱高PD=18m.(1)求圆弧所在的圆的半径r 的长.(2)当洪水泛滥到跨度只有30m 时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m ，即PE=4m 时，是否要采取紧急措施？参考答案： 当堂检测：1．C 2.A 3.C 4.C5．5cm6．(1)如答图所示，连结OA.由题意得AD=21AB=30(m)，OD=(r-18)(m).在Rt△ADO 中，由勾股定理得r 2=302+(r-18)2，解得r=34.∴圆弧所在的圆的半径r 的长为34m.。
圆第2课垂径定理导学案
圆第2课垂径定理导学案第2课时 24.1.2 垂直于弦的直径［学习目标］1．理解圆的轴对称性；2．掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明.知识链接一、知识链接（阅读课本P81-82完成以下内容）1.圆的对称性：圆既是图形也是图形，对称轴是，有条；对称中心是2.垂径定理:垂直于弦的,并且平分弦所对的弧。
3.垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径二、自主学习[Tip:辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。
]1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）．A．CE=DE B．BC=BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD(图1) (图2) (图3) （图4）2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．83．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（）A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm4．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）二、合作探究1.如图6，AB是O的直径，弦CD^AB，垂足为E，如果AB=20,CD=16,那么线段OE的长为（A. 10B. 8C. 6D.4A （图6）（图7）（图8）（图9）2.如图7，在O中，若AB^MN于点C， AB为直径,试填写出三个你认为正确的结论：，， .3. P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为；最长弦长为．4. 如图8，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP= ．第 1 页共 1 页）5. 泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图9所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?解：连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F【课堂检测】1、如图2-1，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于度.图2-1 图2-22、如图2-2所示，已知AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为M，CD＝8，AM＝2，则OM＝ .3、⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为 .4．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O的半径的长。
导学案 垂径定理
B ACD O M ）课前导学学习目标在明确圆的有关概念的基础上，学习垂径定理，并能初步应用垂径定理解决实际问题。
学习要求自己制作学具：准备一个圆形纸片，通过操作理解垂径定理，不理解的用“？”标记。
学习重点垂径定理及其运用。
学习难点探索垂径定理及利用垂径定理解决一些简单的实际问题。
学法指导 阅读法 探究法 讨论法 练习法学习用具 圆规、三角尺、圆形纸片知识回顾与准备复习：1、说出圆、弦、直径、弧（优弧、劣弧）、等圆、等弧的定义。
2、“弦是直径”这句话正确吗？为什么？。
指导自学自主学习（自学教材P 81----P 82）1.仔细阅读，完成81页探究。
2.结合81页探究，试完成讲学稿检测预习与助学.3．试归纳垂径定理。
4、试完成当堂检测。
检测预习与课堂助学一、动动手：阅读课本81页探究。
通过折叠，我发现： ．我是利用 方法解决圆的对称轴问题的．因此，我可以得到：圆是 图形，其对称轴是 ．二、探究进一步，还可得到：推论------平分弦（不是直径）的直径 弦，并且 弦所对的两条弧．试一试：.填空：如上图，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，则AM= ，AC = .AD=思考：1、在上图中，已知⊙O 的半径与弦AB 的长度，且AB ⊥CD ，如何求出OM 的长度？2、根据垂径定理，利用尺规作图如何作出一个圆的圆心？如何作一条弧所在圆的圆心？三、实际应用：赵州桥主桥拱是圆弧形，他的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？助学：已知弦、拱高，所以做弦AB 的垂直平分线OC, D 为垂足，OC 与弧AB 相交于点C ，再任作一条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点，即为圆心O思路导航：根据垂径定理，D 是AB 的 ，C 是 的中点，CD 就是拱高。
半径都相等，设OA=x 则OD= ，利用Rt △AOD 的三边关系求出半径。
写出解题过程：方法小结：当堂检测（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 （2）写出你发现的图中相等的线段、弧和角？ 相等的线段： 相等的弧： 相等的角： （3）结论 思路导航：∵直径CD 弦AB ，∴CD 平分 及 ． 这样，就得到下面的定理： 垂径定理---------垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧．。
3.3垂径定理导学案2
课题 3.3 垂径定理2 导学案时间：课型：新授【学习目标】1、巩固垂径定理.2、熟练运用垂径定理解决有关问题.【重点难点】重点：垂径定理及应用. 难点：垂径定理的应用.【导学流程】一、知识铺垫：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论：a、垂直于弦 b、直径 c、平分弦 d、平分弦所对的优弧 e、平分弦所对的劣弧这5个，任意2个作为条件，可以推出其余3个结论.二、深入学习：例1、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．例2、如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE 和BF为什么相等吗？课海拾贝我的困惑：我们的困惑：三、迁移运用：1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD = 600m，EF = 100m，求这段弯路的半径．2、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.3、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.4、一工厂的厂门是由一个半圆与矩形组成的。
如图所示，AD＝2.3米，CD＝2米，现有一辆集装箱卡车要开进工厂，卡车高2.5米，宽1.6米，请你通过计算说明这辆卡车能否通过厂门？课后反思A BC DCODEF。
垂径定理推论 导学案
一、自学指导：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
2、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦。
综合：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；当中的任意两条，则可推出其它三条。
（知二得三）二、自学自测：1．已知⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O?到AB的距离为3cm，则⊙O的直径是_____cm．2．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=6，P是弦AB上任意一点，则OP?的取值范围是_______．3．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD=120°，OE=3厘米，则OD=?___cm．4、如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD= 22，BD=3，求AB的长。
5、如图，在⊙O中，点O是∠BAC的平分线上的一点，求证：AB=AC三、当堂达标:1、下列命题中正确的个数是（）① 直径是圆中最长的弦；② 垂直于弦的直径平分弦及其所对的两弧；③ 平分弦的直径垂直于弦；④ 半圆是弧，但弧不是半圆；⑤ 等弧所对的弦相等，圆心角相等；⑥ 圆心角相等，所对的弦相等，弧也相等。
A、2个B、3个C、4个D、5个2、弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm,则⊙O的半径长为________。
3、如图,在半径为2cm的⊙O中有长为的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为( )A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°AB4、如图为圆弧形拱桥，半径OA=10cm ，拱高为4cm，求拱桥跨度AB的长。
四、拓展：如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC，（1）、求证：AC平分∠OAB。
（2）、过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，求PE 的长。
(完整版)新版北师大数学九年级下第三章3.垂径定理导学案
中学导学案 时间：第4题图第5题图学科 数学 课题 3.垂径定理 主备者 参备者 执教者 班级 九、二 学生姓名 学习目标： 1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．重、难点： 垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．学前准备1、等腰三角形是轴对称图形吗？2、如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3、如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画 圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？互 动 课 堂探索合作：1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． 求证：AM =BM ；⌒AC =⌒BC ；⌒AD =⌒BD .垂径定理： 几何语言：∵ ∴注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦． 2、垂径定理逆定理的探索如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.垂径定理逆定理：例：达 标 检 测1、如图，在⊙O 中，已知半径为5，弦AB 的长为8，那么圆心O 到AB 的距离为 _________ ．2、如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（ ）A. 2B. 4C. 6D.83、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8 4、如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 5、如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cm B ．32cm C ．42cm D ．43cm 6、下列命题中，正确的是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7、如图，直径是50cm 圆柱形油槽装入油后，油深CD 为15cm ，求油面宽度ABD OBC A第3题图E BDOCA第2题第1题图。
24.1.2-垂径定理(学案1)
永宁中学九年级数学（上）导学案备课组长：教研组长：教科室：课题垂径定理第 1 课时共3 课时设计人唐伟文学习目标：1、探究垂径定理及推论； 2、会用符号语言描述垂径定理。
学习重点：探究垂径定理及推论、学习过程：一、知识点回顾（知识准备）：圆的对称性：二、探究新知：如图：AB是圆形纸片的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。
沿CD对折纸片，发现：①这个图形是对称图形吗②图中有哪些相等的线段和弧请说明理由。
③你能用一句话概括这些结论吗垂直于弦的直径______________________________(垂径定理)④你能用符号语言表达这个结论吗符号语言：∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB于E∴_____________，__________________，________________⑤由对折以上纸片我们还进一步发现：平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并_________弦所对的两条弧(垂径定理推论)符号语言：∵CD为⊙O的直径，且AE = BE∴_____________，__________________，_______________三、教师引导：垂径定理的题设和结论关系较复杂，从以上探究我们可进一步将其并归结为：一条直线（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
垂径定理就是满足条件（1）、（2）而推出其他结论；推论是满足条件（1）、（3）而推出其他结论。
四、归纳小结：梳理本节所学知识点五、检测与反馈：1、判断下列图形，是否能使用垂径定理(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E2、如图，AB为⊙O的直径，且AB⊥CD于E。
请用符号语言描述垂径定理及其推论。
A OBCDEO BA CEODCBAEODCBAEOBA E1。
垂径定理1导学案
24.1.2 垂直于弦的直径（垂径定理第一课时）【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【导学过程】一．自主学习（一）回顾复习：（独立完成下列各题）1.如图：AB是⊙O______；CD是⊙O______；⊙O中优弧有__________；劣弧有__________。
2.在___圆或____圆中，能够____________叫等弧。
（二）自主探究（一）自主探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
（二）自主探究二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：______________相等的弧： _____=______；_____=______。
二、合作交流（一）你还能用其他的方法给出证明吗？垂径定理：文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
符号语言：∵CD是⊙O_____，AB是⊙O______，且CD__AB于M∴____=_____，_____=______，_____=______。
(二)合作探究二：用垂径定理解决问题已知：⊙O的直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，求：弦AB的长。
归纳：圆中常用辅助线——作弦心距（圆心到弦的距离），构造Rt△.弦（a）半径（r）弦心距（d），三个量关系为。
简“半径半弦弦心距”。
（三）巩固练习1．已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则BC =____，AC =____ ；CE=______2.已知：AB为⊙O的弦，AB=24cm, 圆心O到AB的距离为5cm, 求⊙O的直径3.已知：⊙O的直径AB=20cm，∠B=30°,求：弦BC的长三、展示提升：（1）如图，两圆都以点O为圆心，求证:AC=BD（2）圆中有两条互相平行的弦长分别为6cm、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离四、盘点收获OBCA。
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24.1垂径定理（导学案）
富源县后所镇中学 教师：龚达书 邮编：655505 国培中学数学班 学号：34
活动一：
动手做个圆，剪下来，研究下面的问题：
圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？
活动二：
利用手中的圆做直径CD ⊥弦AB ，垂足为E ．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（3）如果直径CD ⊥弦AB ，垂足为E ，那么AE=BE ，
这个命题试着用语言叙述下来，并判断是否为真命题。
你能完成证明吗？
活动三、以下三个图,是否有 AE=BE , AC=BC , AD=BD ?
活动四 例 1： 如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米， 圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径
(1).在⊙O 中,直径为 10 cm,弦 AB 的长为 8 cm, 求圆心O 到AB 的距离.
(2).在⊙O 中,直径为 10 cm,圆心O 到AB 的距离为 3 cm,
D
D
D
C
D
A
B
O
求弦AB 的长.
(3)圆的半径为R ,弦长为 a ,弦心距为d ,则 R 、a 、d 满足关系式＿＿＿＿＿＿＿＿＿
活动五、课本P7例题，课本P8随堂1
活动六、在练习1图形的基础上：
变式（1） 已知：如图1，若以O 为圆心作一个⊙O 的同心圆，交大圆的弦AB 于C ，D 两点。
求证：AC ＝BD 。
（图1） （图2）
变式（2）再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD 变式（3）隐去（图1）中的大圆，得（图3）连接OA ，OB ，设OA=OB ， 求证：AC ＝BD 。
变式（4）隐去（图1）中的大圆，得（图4）连接OC ，OD ，设OC=OD ， 求证：AC ＝BD 。
选做题、1、如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点， 则线段OM 的长的最小值为____.最大值为____________.
2．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm ， 求弦AB 与CD 之间的距离。
小测：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长．
A
B
_ O
_ A
Ｂ。