7.4-三向应力状态分析
合集下载
工力第13章-应力状态分析
单辉祖：工程力学
22
主平面与主应力
σ2 σ1 σ3
主平面－切应力为零的截面 主平面－ 相邻主平面相互垂直， 相邻主平面相互垂直，构成一 正六面形微体 － 主平面微体 主应力－ 主应力－主平面上的正应力 主应力符号与规定－ 按代数值） 主应力符号与规定－ σ1≥σ2≥σ3（按代数值）
单辉祖：工程力学 23
应力状态分类 单向应力状态： 单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态： 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态 三向应力状态：
二向与三向应力状态，统称复杂应力状态 二向与三向应力状态，统称复杂应力状态
单辉祖：工程力学 24
纯剪切与扭转破坏
适用范围：各向同性材料， 适用范围：各向同性材料，线弹性范围内
单辉祖：工程力学 34
广义胡克定律（三向应力状态） 广义胡克定律
σ ε′ = x x
E
ε′′=− x
µσy
E
µσ ε′′′=− z x
E
1 εx = [σx − µ(σy +σz )] E 1 εy = [σy − µ(σz +σx )] E 1 εz = [σz − µ(σx +σy)] E
σz σ
解： 画三向应力圆 ：
σ1=σC =96.1M a σ2 =σD=3.09M a σ3=σE =−40M a P P P σ −σ σmax =σ1=96.1M a P P τmax = 1 3 =68.1M a
2
单辉祖：工程力学 32
§5 广义胡克定律
广义胡克定律（平面应力） 广义胡克定律（平面应力） 广义胡克定律（三向应力） 广义胡克定律（三向应力） 例题
应力状态分析
x y tan 2 2 xy
0
max, min
x y 2 xy 2 max min 2
2
38
2013-7-24
结论：(1)当倾角α转到 对应有 max 二者大小相等，均为
0
和 90 面时
0
max , min
x y
2
x y 2 xy 2
2
在二向应力状态下，三个主应力中有一个 为零，将这三个主应力按如下顺序排序：
σ1σ2 σ3
2013-7-24 36
max , min
x y
2
x y 2 xy 2
1
Mz Wz
3
x
z
2 3
T
Mx 4 Wp
Mz x4 Wz
2
Mx 3 Wp
17
由 Fsy 产生的切 应力忽略。
2013-7-24
在单元体内的各个面上，切应力为零的平 面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。 一般来说，通过受力构件的任意点皆可以找 到三个互相垂直的主平面，因此每个点都有三个 主应力，分别用 1 , 2 , 3 表示，并按其代数值 排序。
0 .6
3
60MPa
01 15.5
02 15.5 90 105.5
（3）主应力单元体：
01
1
2013-7-24
44
三、平面应力状态分析——图解法
图解法即用一个平面图形——应力圆将一点 的应力状态完整的图示。应力圆又称莫尔圆 （Mohr.O，1835-1918，德国）。 方法是将α 作为参数，建立σα与τα的函数关系。
第七章应力和应变分析
2
tg20
2 xy x
y
mm
ax in
x
y
±
（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力！
明德 砺志 博学 笃行
max在剪应力相对的项限内，
且偏向于x 及y大的一侧。
y
2
主 单元体
x
令:d d
0
1
tg212xxy y
y
xy 1
Ox
mmainx
± （x
y
2
）2 2 xy
014 , 即极值剪应力面与主面 成450
（4）最大切应力
max
1
2
2
22.1MPa
明德 砺志 博学 笃行
§7-4 二向应力状态分析——图解法
y
n
x
2
y
x
2
y
c
os2
xysin2
y
xy
x
x
2
y
s
in2
xyc
os2
Ox
对上述方程消去参数（2），得：
x
y
xy
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
n
明德 砺志 博学 笃行
y n 二、应力圆的画法
明德 砺志 博学 笃行
例 分析受扭构件的破坏规律。
解：确定危险点并画其原
C
yx
始单元体
M
C
xy
x y 0
xy
T WP
xy
求极值应力
y
yx
m m
ax in
tg20
2 xy x
y
mm
ax in
x
y
±
（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力！
明德 砺志 博学 笃行
max在剪应力相对的项限内，
且偏向于x 及y大的一侧。
y
2
主 单元体
x
令:d d
0
1
tg212xxy y
y
xy 1
Ox
mmainx
± （x
y
2
）2 2 xy
014 , 即极值剪应力面与主面 成450
（4）最大切应力
max
1
2
2
22.1MPa
明德 砺志 博学 笃行
§7-4 二向应力状态分析——图解法
y
n
x
2
y
x
2
y
c
os2
xysin2
y
xy
x
x
2
y
s
in2
xyc
os2
Ox
对上述方程消去参数（2），得：
x
y
xy
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
n
明德 砺志 博学 笃行
y n 二、应力圆的画法
明德 砺志 博学 笃行
例 分析受扭构件的破坏规律。
解：确定危险点并画其原
C
yx
始单元体
M
C
xy
x y 0
xy
T WP
xy
求极值应力
y
yx
m m
ax in
第七章应力状态分析(一)
nP tαασατP α第七章应力和应变分析强度理论第一节应力状态的概述同一截面上不同点的应力各不相同。
任一点应力是该点坐标的函数。
前面已经学习。
2cos , sin 2σσσατα==轴向拉压时，斜截面上的应力cos 2, sin 2σσσσατα=+=轴向拉压除外。
,N A σ=p T I ρτ=,z MyI σ=同一点的不同方向面上应力各不相同。
任一截面上的应力是截面倾角的函数。
本章学习内容。
构件在复杂受力情况下，某截面上同时存在正应力和切应力时，危险截面如何确定？分析三种基本变形时，认为危险截面就是横截面，横截面上只存在正应力σ或者切应力τ的作用。
构件实际破坏并不一定发生在横截面上。
轴向拉压变形的杆：PPAσσAσσA扭转变形的轴：mmAτAττ'这些单元体都是特殊方位的单元体左右侧面都是横截面。
受扭转和拉伸共同作用的圆杆PPmm24dP A N πσ==316p T m w dτπ==στ该构件的危险截面是否还是横截面？强度条件是否还是：σ≤[σ]、τ≤[τ] ？六个侧面如何确定？重点：构件任意斜截面上的应力状态如何？怎样计算？哪一个截面是危险截面？倾斜角度是多少？最大应力是多少？一、单元体：研究某一点应力状态时，通常是围绕该点截取一个尺寸为无穷小的正六面体。
（围绕一点可以截取无数个）二、点的应力状态：研究通过某一点的各个不同方位截面上的应力变化情况。
（过一点可以切取无数个斜面）三、单元体的特点：•⑴、认为单元体的侧面上应力都是均布的，相互平行的侧面上正应力是相等的。
•⑵、围绕某点的单元体可以有无数个，由截面方位决定单元体方位，通常用特殊方位截取单元体。
•⑴、认为单元体的侧面上应力都是均布的，相互平行的侧面上正应力是相等的。
•⑵、围绕某点的单元体可以有无数个，由截面方位决定单元体方位，通常用特殊方位截取单元体。
方便计算。
•⑶、单元体相互垂直的两个侧面符合剪应力互等定理。
这是重点啊。
材料力学应力状态分析
的就是主应力；但除此之外，
图a所示单元体上平行于xy平面 的面上也是没有切应力的，所 以该截面也是主平面，只是其 上的主应力为零。
24
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第七章 应力状态和强度理论
在弹性力学中可以证明， 受力物体内一点处无论是什么 应力状态必定存在三个相互垂 直的主平面和相应的三个主应 力。对于一点处三个相互垂直
垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状
态(state of stress)可用一个单元体(element)及其上的应力 来表示。
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第七章 应力状态和强度理论
p cos 0 cos2 0 p sin sin 2
1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第七章 应力状态和强度理论
§7-1 概述
在第二章和第三章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面
杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出： 一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处 的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根 据从该点处取出的微小正六面体── 单元体的三对相互
的主应力，根据惯例按它们的
代数值由大到小的次序记作1，
2，3。图b所示应力圆中标
出了1和2，而3=0。
25
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第七章 应力状态和强度理论
当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态； 平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是
1，也可能是2或3，这需要确定不等于零的两个主应力
状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力
圆(莫尔圆)(Mohr’s circle for stresses)来表示。 先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项 移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：
材料力学-7-应力状态分析
7.1 应力状态的基本概念
y
y
1 1 4
z
4
Mz
x
x
l
S FP
2
3
Mx
z
3
a
第7章 应力状态分析
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
一、方向角与应力分量的正负号约定
x
正应力
x
x
拉为正
压为负
x
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
？
第7章 应力状态分析 7.1 应力状态的基本概念
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法 7.4 应力圆及其应用——图解法
7.5 三向应力状态的特例分析
7.6 广义胡克定律
7.7 应变能密度
第7章 应力状态分析
tan 2q p＝－ 2 τ
xy
x y
主平面（principal plane）：切应力q＝0的方向面，用 qp表示。 主应力（principal stress）：主平面上的正应力。 主方向（principal directions）：主平面法线方向，用方 向角qp表示。
7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法
第7章 应力状态分析
第7章 应力状态分析
1
3
2
max
max
拉压、弯曲正应力 扭转、弯曲切应力
这些强度问题的共同特点是：
1、危险截面上的危险点只承受正应力 或切应力； 2、都是通过实验直接确定失效时的极限应力，并以此为依据建立强度 设计准则。 复杂受力：危险截面上危险点同时承受正 应力和切应力，或者危险点的其他面上同 时承受正应力或切应力。 → 强度条件
应力状态广义胡克定律
应力的点的概念与面的概念
应力
哪一个面上？ 哪一点？
指明
哪一点？ 哪个方向面？
应力状态:
——过同一点不同方向面上应力的集合，称 为这一点的应力状态；
TSINGHUA UNIVERSITY
二、为什么要研究应力状态？
请看下列实验现象：
低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验
两种材料的拉伸试验
杆件承受轴向拉伸时，
y'
其上任意一点均为单向应力
状态。
TSINGHUA UNIVERSITY
x' 平面应力状态任意斜截面上 的正应力和切应力公式
x
x
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
x
y
2
sin2
xycos2
y'
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
x'
α
x
y
2
sin2
xycos2
x
x
y＝0，yx＝0。
二应力圆的画法应力圆的画法11点面对应点面对应22转向对应转向对应33二倍角对应二倍角对应转向对应二倍角对应与二倍角对应建立坐标系建立坐标系由面找点由面找点确定圆心和半径确定圆心和半径建立坐标系建立坐标系由面找点由面找点确定圆心和半径确定圆心和半径再将上述过程重复一次再将上述过程重复一次在应用过程中应当将应力圆作为思考分在应用过程中应当将应力圆作为思考分析问题的工具而不是计算工具
2、受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁 上任意一点的纵、横两个截面中： 。
A：纵、横两截面均不是主平面； B：横截面是主平面、纵截面不是主平面； C：纵、横二截面均是主平面； D：纵截面是主平面，横截面不是主平面；
应力状态分析 (2)
x
2
y
2
2 xy
设特征值为，则有 展开行列式
x xy
xy
y
的特征值和特征矢量
x xy
xy
参见《线性代数》
0
y
2
( x
y
)
( x
y
2 xy
)
0
方程的两个根
可以证明，应力矩阵的特征矢量就是主方向
2020/4/27
20
2. 极值剪应力
x
y
2
sin 2 xy cos 2
（5） 以C为圆心、CD为半径画圆，就是莫尔 圆（应力圆）。
问题：如果已知主应力，如何作应力圆？
2020/4/27
O
D
C
D
29
证明：
D ( x, xy )
OC OD2 D2C
OD2
1 2
D2 D1
y
1 2
(
x
y)
x y
2
O
圆心得证
D2
D' ( y, -xy )
圆心
C
D1
x
2
y
,
0
CD CD1 2 (D1D)2
80 MPa
30
b 60°
ab
x
y
2
x
y
2
40
cos(60) xy sin(60)
20 60 0.5 30 0.866 76 MPa
ab
x
y
2
sin(60) xy cos(60)
60 (0.866) 30 0.5 37 MPa
25
i j
x y
2 20 602