数学---福建省漳州市龙海市程溪中学2018届高三(上)期中试卷(文)(解析版)

福建省漳州市龙海市程溪中学2018届高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）若=b+i，则复数a+b i在复平面内表示的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）实数集R，设集合P={x|x2﹣4x+3≤0}，Q={x|x2﹣4＜0}，则P∪（∁R Q）=（）A．[2，3] B．（1，3）C．（2，3] D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）3．（5分）下列函数中，定义域为（0，+∞）的是（）A．y=x﹣2B．y=x4C．D．y=x4．（5分）若四边形ABCD满足+=0，（﹣）•=0，则该四边形一定是（）A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形5．（5分）下列说法错误的是（）A．“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是真命题B．“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题C．如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题D．“”是“θ=30°”的充分不必要条件6．（5分）设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α7．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪襃、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？意思是：今有大夫、不更、簪襃、上造、公士凡五人，他们共猎获5只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少，若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪襃、上造这三人共分得鹿肉斤数为（）A．200 B．300 C．D．4008．（5分）已知函数y=A sin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=49．（5分）已知实数x，y满足不等式组，若z=﹣x+2y的最大值为3，则a的值为（）A．1 B．C．2 D．10．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）A．y=log3x+4log x3 B．y=e x+4e﹣xC．y=sin x+（0＜x＜π）D．y=x+11．（5分）给出下列命题：（1）函数y=sin（﹣2x）是偶函数；（2）函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上的值域是；（3）直线x=是函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴；（4）将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，得出函数y=cos2x的图象．其中正确命题是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（3）（4）12．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]二、填空题13．（5分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1的交点为P（x，），则cos2α=．14．（5分）设各项均不为0的数列{a n}满足a n+1=a n（n≥1），若a2a4=2a5，则a3=．15．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为．16．（5分）若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，2S n=3a n﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}的前n项和为T n，且满足b1=a1，b7=b1•b2，求T n．18．（10分）如图，我军军舰位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6海里，海盗船以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向逃跑，若我军军舰从B处出发沿北偏东α的方向以14海里/小时的速度追赶海盗船．（1）求我军军舰追上海盗船的时间；（2）求cosα的值．19．（12分）已知向量，若f（x）=m•n．（I）求f（x）的单调递增区间；（II）己知△ABC的三内角A，B，C对边分别为a，b，c，且a=3，f，sin C=2sin B，求A，c，b的值．20．（12分）如图，三棱锥中A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（1）求证：CD⊥平面ABD；（2）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥M﹣ABC的体积．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分别为A1C1和BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．22．（12分）已知函数f（x）=ln x+a（1﹣x）（1）当a=1时求f（x）的极值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．A【解析】由=，得，即a=4，b=3．∴复数a+b i在复平面内表示的点的坐标为（4，3），所在的象限是第一象限．故选：A．2．D【解析】实数集R，集合P={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，Q={x|x2﹣4＜0}={x|﹣2＜x＜2}，∴∁R Q={x|x≤﹣2或x≥2}，∴P∪（∁R Q）={x|x≤﹣2或x≥1}=（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．故选：D．3．C【解析】对于A，函数的定义域是{x|x≠0}，对于B，函数的定义域是R，对于C，函数的定义域是{x|x＞0}，对于D，函数的定义域是{x|x≠0}，故选：C．4．C【解析】四边形ABCD为平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形．故选：C．5．D【解析】x，y互为相反数⇒x+y=0，故A成立；∵“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”是真命题，故它的逆否命题一定是真命题，故B成立；命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则p是假命题，q是真命题，故C成立；“”不能推出“θ=30°”，故D不成立．故选D．6．B【解析】A．若l∥α，α∩β=m，．则l，m平行或异面，只有l⊂β，才有l∥m．故A错；B．若l⊥α，l∥β，则由线面平行的性质定理，l⊂γ，γ∩β=m，则l∥m，又l⊥α，故m⊥α，由面面垂直的判定定理得，α⊥β，故B正确；C．若l∥α，m∥α，则由线面平行的性质可得l，m平行、相交、异面，故C错；D．若l∥α，m⊥l，则m与α平行、相交或在平面内，故D错．故选B．7．B【解析】按其爵级高低依次递减相同的量来分配，故该数列以公差为d的等差数列，设簪襃得a，则大夫、不更、簪襃、上造、公士凡以此为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，故a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=500，解得a=100，则不更、簪襃、上造可得a﹣d+a++a+d=3a=300，故选：B8．C【解析】如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+，φ=2kπ﹣，∵，∴φ=，故选C．9．A【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（a﹣2，a），当直线z=﹣x+2y即过点A（a﹣2，a）时，截距最大，z取得最大值3，即3=﹣a+2+2a，解得a=1．故选：A．10．B【解析】A.0＜x＜1时，y＜0，不正确B．∵e x＞0，∴=4，当且仅当x=ln2时取等号，正确．C．令sin x=t∈（0，1），则y=f（t）=t+，y′=1﹣＜0，因此函数f（t）在（0，1）上单调递减，∴f（t）＞f（1）=5，不正确．D．x＜0时，y＜0，不正确．故选：B．11．B【解析】对于（1），函数y=sin（﹣2x）=cos2x，它是偶函数，正确；对于（2），x∈[﹣，]时，x+∈[﹣，]，∴sin（x+）∈[﹣，1]；∴函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上的值域是[﹣，1]，（2）错误；对于（3），x=时，sin（2×+）=﹣1，∴直线x=是函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴，（3）正确；对于（4），将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，得y=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）的图象，∴（4）错误；综上，正确命题的序号是（1）（3）．故选：B．12．D【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．二、填空题13．﹣【解析】∵角α的终边与单位圆x2+y2=1的交点为P（x，），∴OP2=x2+=1，∴x=±，cosα=x=±，则cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故答案为：﹣．14．4【解析】根据题意，数列{a n}满足a n+1=a n（n≥1），则数列{a n}是以为公比的等比数列，设其首项为a1，若a2a4=2a5，则有a1qa1q3=2a1q4，解可得：a1=2，则a3=a1q2=4，故答案为：4．15．【解析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，P A⊥底面ABC，CD⊥AB．∴该几何体的表面积S=+++=3+．故答案为：3+．16．（0，1）【解析】f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），⇒⇒∴1﹣a•2x=a﹣2x，∴a=1；∴f（x）=1+，①x＞0时，x增大时，2x﹣1增大，从而f（x）减小；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；解得0＜x＜1；②x＜0时，2x﹣1＜0，∴f（x）＜1；∴不满足f（x）＞3；综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．三、解答题17．解：（Ⅰ）由，得a n+1=3a n，且a1=3，则数列{a n}为以3为首项公比为3的等比数列，故（Ⅱ）设等差数列{b n}的公差为d，则由b1=a1=3，b7=b1•b2，得3+6d=3（3+d），解得d=2，又b1=a1=3，∴b n=2n+1，∴．18．解：（1）设我军军舰t小时追上海盗船，则AC=10t，BC=14t，∠BAC=120°，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°，∴196t2=36+100t2+60t，解得t=1．∴我军军舰追上海盗船的时间为1小时．（2）在△ABC中，AB=6，AC=14，∠BCA=α，由正弦定理得：=，∴sinα==，∴cosα=．19．解：（I）f（x）=（sin x﹣cos x）sin（+x）+=（sin x﹣cos x）cos x+=sin x cos x﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．（II）∵f（+）=sin（A﹣）=，且﹣＜A﹣＜，∴A﹣=，即A=．∵sin C=2sin B，∴c=2b，又a=3，由余弦定理得cos A===，解得b=，∴c=2．综上，A=，b=，c=2．20．（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；（2）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，∴S△ABD=，∵M为AD中点，∴S△ABM=S△ABD=，∵CD⊥平面ABD，∴V M﹣ABC=V C﹣ABM=S△ABM•CD=．21．证明：（1）∵BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥BB1 又AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1而AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1（2）取AC的中点G，连结C1G、FG，∵F为BC的中点，∴FG∥AB又E为A1C1的中点∴C1E∥AG，且C1E=AG ∴四边形AEC1G为平行四边形，∴AE∥C1G∴平面C1GF∥平面EAB，而C1F⊂平面C1GF，∴C1F∥平面EAB．22．解：（Ⅰ）根据题意，当a=1时，f（x）=ln x+（1﹣x），其定义域为（0，+∞），其导数f′（x）=﹣1=，分析可得，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，则当x=1时，f（x）取得极大值，且其极大值f（1）=ln1=0，（Ⅱ）函数f（x）=ln x+a（1﹣x），其导数数f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，当x＞时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，则当a＞0时，函数f（x）在（0，）上递增，（，+∞）上递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，当a＞0时，函数f（x）在（0，）上递增，（，+∞）上递减；f（x）有最大值f（）=﹣ln a+a﹣1，若f（x）的最大值大于2a﹣2，即﹣ln a+a﹣1＞2a﹣2，变形可得ln a+a﹣1＜0，令g（a）=ln a+a﹣1，则有g′（a）=+1，g（a）在（0，+∞）单调递增，且g（1）=0，则当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．。