2017届高考数学大一轮复习第二章基本初等函数、导数及其.
大高考2017版高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第七节函数与方程课件理
小，则实数a的取值范围为________.
解析 设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，则f(1)＜0，所以1＋a2－1 ＋a－2＜0，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.
答案 －2＜a＜1
突破判定函数零点个数的方法 判断函数零点个数的常见方法
(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零
(2)若 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根， 即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点， e2 作出 g(x)＝x＋ x (x>0)的大致图象如图.
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2. ∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，
最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，
⇔f(x)图象与 x 轴交点的横坐标]若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 有两个 零点为 1，2，则 a＋b＝________.
解析 由题知方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2.
有1＋2＝－a，1×2＝b，即a＝－3，b＝2，所以a＋b＝－1. 答案 －1
知识点二
二次函数的零点分布及二分法
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点分布
(1)[函数的零点是一个实数，不是点]函数f(x)＝2x＋1的零点
是________.
解析 1 1 由 f(x)＝2x＋1＝0 得 x＝－2，即函数零点为－2.
答案
1 － 2
(2)[由零点存在定理，当f(a)· f(b)＜0时，f(x)在(a，b)内存在零
点，若f(a)· f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上零点个数不确定，但f(x)
有交点来判断.
【例2】 设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间( A.(－1，0) B.(0，1)
高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第1讲函数及其表示文北师大版
及其应用 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、
分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛
应用．
第二章 基本初等函数、导数及其应用
知识点
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1.了解导数概念的实际背景，通过函数图象直 观理解导数的几何意义．
变化率与导 数、导数的
运算
2．能根据导数的定义求函数 y＝C(C 为常数)， y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ x的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的
如果按某一个确定的
对应关系 f，使对于 集合 A 中的__任__意____ 一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元
素 y 与之对应
名称 记法
函数
映射
称f：A→B为从集合A到 集合B的一个函数
称对应f：A→B为 从集合A到集合B的
一个映射
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一 个映射
2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围 A 叫作函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值，函 数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．显然，值域是集合 B 的子集． (2)函数的三要素：_定__义__域___、__值__域____和__对__应__关__系____． (3)相等函数：如果两个函数的_定__义__域___和__对__应__关__系___完全 一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：_解__析___法__、图象法、列表法．
象，了解它们的变化情况.
函数的图 象
会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．
函数与方 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联
大高考2017版高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第一节函数的概念课件理
(5)f(x)＝tan x 的定义域为x|x∈R，且x≠π2 ＋kπ，k∈Z. (6)f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)的定义域为{x|x>0}. (7)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束，要 具体问题具体分析. (8)分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集. (9) 若 已 知 f(x) 的 定 义 域 为 [a ， b] ， 则 f(g(x)) 的 定 义 域 可 由 a≤g(x)≤b 求出；若已知 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定 义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域.
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【例 2】 (1)(2016·山东青岛一中检测)奇函数 f(x)在(0，＋∞)上的 表达式 f(x)＝x＋ x，则在(－∞，0)上的 f(x)表达式为 f(x)＝ ________.
第一节 函数的概念
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知识点一 函数的概念及表示方法
1.函数与映射的概念
函数
映射
两集合 设A，B是两个非空 数集 设A，B是两个非空 集合
A、B
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对应关 系 f： A―→B
如果按照某种确定 的对应关系 f，使对 于集合 A 中的任意 一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的 数 f(x)和它对应
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知识点二 分段函数与复合函数 1.分段函数
若函数在定义域的不同子集上对应关系不同，可用几个解析式 来表示，这种形式的函数叫分段函数，它是一类重要的函数. 2.复合函数
若y是u的函数，u又是x的函数，即y＝f(u)，u＝g(x)，若 x∈(a ， b) ， u ∈ (m ， n) ， 那 么 y 关 于 x 的 函 数 y ＝ f[g(x)] ， x∈(a，b)叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值 范围是g(x)的值域.
(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 文
第二章函数与基本初等函数Ⅰ【知识网络】
【考情分析】
象；二是分段函数与抽象函数的应用；三是指数函数与对数函数的性质及应用；四是利用导数来研究函数的性质.三年中，总体分值基本接近，2015年略有提升.
【备考策略】
1.重视灵活应用定义解题，如利用定义可以直接判断一个对应是否为映射或函数，也可以证明或判断函数的单调性和奇偶性等.
2.掌握函数的图象与性质是掌握函数的基础，判断、证明和应用函数的定义域、值域、单调性和奇偶性是高考的重点.紧扣“定义域优先”的原则，即研究任何函数的任何性质都必须在其定义域内进行.
3.学会用换元法、配方法、待定系数法等数学方法解题.
4.函数与方程是紧密联系在一起的，函数可以和方程相互转化，所以在解题过程中要始终贯彻函数思想.
5.巧妙利用“数形结合”思想解题.“数”具有抽象性，“形”具有直观性.只要是能作出图形的问题我们一定要作出图形，即使不能作出完整的图形，我们也要作出部分图形，这样才可以让解题更简捷.。
数学(理)一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲 二次函数与幂函数
第4讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R）的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2,y＝x3,y＝x错误!，y＝x－1.（2)性质①幂函数在（0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点（1，1）和(0，0),且在(0,＋∞）上单调递增；③当α〈0时，幂函数的图象都过点(1，1），且在（0，＋∞）上单调递减．2．二次函数(1）二次函数解析式的三种形式①一般式:f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）．②顶点式:f（x）＝a(x－m）2＋n（a≠0)．③零点式:f（x)＝a（x－x1）(x－x2）（a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f（x）＝ax2＋bx＋c(a〉f（x)＝ax2＋bx＋0)c(a<0）图象定义域(－∞，＋∞）（－∞，＋∞）值域错误!错误!单调性在错误!上单调递减；在错误!上单调递增在错误!上单调递增；在错误!上单调递减对称性函数的图象关于x＝－错误!对称1．辨明两个易误点（1）对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数,就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．(2）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．会用两种数学思想（1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,讨论二次方程根的大小等．1.错误!幂函数y＝f(x）经过点(2，错误!），则f(9）为( )A．81 B．错误!C。
错误!D．3D 设f（x）＝xα，由题意得错误!＝2α，所以α＝错误!。
2017届高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 文 北师大版
【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 文 北师大版第1课时 函数及其表示1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单的应用．1．函数的概念及表示2.分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 3．映射的定义(1)两个非空集合A 与B 间存在着对应关系f ，而且对于A 中的每一个元素x ，B 中总有唯一的一个元素y 与它对应，就称这种对应为从A 到B 的映射，记作f ：A →B .A 中的元素x 称为原像，B 中的对应元素y 称为x 的像，记作f ：x →y .(2)一一映射一一映射是一种特殊的映射，它满足：①A 中每一个元素在B 中都有唯一的像与之对应；②A 中的不同元素的像也不同；③B 中的每一个元素都有原像． [基础自测]1．(教材改编题)下列各组函数是同一个函数的是( ) A ．y ＝|x |x与y ＝1B ．y ＝|x －1|与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >11－x ，x <1C ．y ＝|x |＋|x －1|与y ＝2x －1D ．y ＝x 3＋xx 2＋1与y ＝x解析：A 中定义域不同，B 中定义域不同，C 中两个函数对应关系不同，D 中定义域均为R ，对应关系均为y ＝x ，故选D. 答案：D2．设f ，g 都是从A 到A 的映射(其中A ＝{1,2,3})，其对应关系如下表：则f (g (3))等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．不存在解析：∵g (3)＝1，∴f (g (3))＝f (1)＝3，故选C. 答案：C3．(教材改编题)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3 C．－1 D ．±1 解析：∵f (－1)＝－－＝1，f (a )＋f (－1)＝2，∴f (a )＝1，∴当a >0时，a ＝1解得a ＝1.当a <0时，－a ＝1解得a ＝－1.∴a ＝±1. 答案：D4．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为________．解析：当x 取0,1,2,3时，对应的函数y 的值依次为0，－1，0,3，所以其值域为{－1,0,3}． 答案：{－1,0,3}5．设集合A ＝{x |y ＝x －2}，集合B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B ＝________. 解析：已知A ＝{x |x －2≥0}＝{x |x ≥2}，B ＝{y |y ≥0}， ∴A ∩B ＝{x |x ≥2}．答案：{x |x ≥2}考点一 函数、映射的概念与求函数值[例1] (1)(2014·高考江西卷)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x －1 x表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________．审题视点 (1)将求函数的定义域问题转化为解不等式问题．(2)从函数的定义、定义域、值域等方面对所给结论进行逐一分析判断． 解析 (1)要使f (x )＝ln(x 2－x )有意义，只需x 2－x >0， 解得x >1或x <0.∴函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．(2)对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x －1，x的定义域是R ，所以二者不是同一函数，对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数，对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图像没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图像只有一个交点，即y ＝f (x )的图像与直线x ＝1最多有一个交点，对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是②，③. 答案 (1)C (2)②③函数的三要素是：定义域、值域、对应关系．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应关系是对效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．1．(2015·高考重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1] B ． (－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0，即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案：D2．(2016·安徽宣城一模)函数f (x )＝|x －2|－1x －的定义域是( )A ．[3，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3 D ．(－∞，－3)解析：要使函数有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|－1≥0，x －1>0，x －1≠1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥1或x －2≤－1，x >1，x ≠2.所以x ≥3，即定义域为[3，＋∞)．答案：A 大一轮复习 BSD 数学(文)第二章 基本初等函数、导数及其应用考点二 分段函数及其应用[例2] (2014·高考福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)审题视点 根据所给分段函数解析式，画出函数图像解答．解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0的图像如图所示，由图像知只有D 正确．答案 D对于分段函数应当注意的是分段函数是一个函数，而不是几个函数，其特征在于“分段”，即对应关系在不同的定义区间内各不相同，在解决有关分段函数问题时既要紧扣“分段”这个特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数的几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．1．(2015·高考课标卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋log 2－x ，2x －1，x <1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：∵－2＜1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C. 答案：C2．(2016·陕西榆林一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－x －2， x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤012x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0－x －2≥－1.解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围为[－4,2]． 答案：[－4,2]考点三 函数的表示法[例3] (1)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x(2)(2016·天津模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a <12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在想用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图像大致是( )审题视点 (1)将f (2x )表示出来，与2f (x )作比较． (2)将f (a )用函数表示出来，用函数观点来研究最值． 解析 (1)对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. (2)设AD ＝x ，DC ＝y ，则x ＋y ＝16，S ＝xy ＝x (16－x )＝－(x －8)2＋64(x ≥a )． 当0<a ≤8时，x ＝8使S 取得最大值，且f (a )＝64； 当8<a <12时，x ＝a 使S 取得最大值，且f (a )＝－(a －8)2＋64是一个在区间(8,12)上单调递减的函数，但始终有f (a )>0.故只有C 图像符合，故选C. 答案 (1)C (2)C求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．1．(2016·浙江慈溪、余姚联考)若函数f (x )满足：2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，则f (x )＝________. 解析：用1x替换2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x 中的x ，得到2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x，两个方程联立消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得f (x )＝2x －1x.答案：2x －1x2．(2016·河北唐山统考)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x <0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )解析：当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln(1－x )． 答案：C与函数有关的新定义问题[典例] 设f (x )，g (x )，h (x )是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数(f ∘g )(x ) 和(f ·g )(x )；对任意x ∈R ，(f ∘g )(x )＝f (g (x ))；(f ·g )(x )＝f (x )g (x )．则下列等式恒成立的是( )A ．((f ∘g )·h )(x )＝((f ·h )∘(g ·h ))(x )B ．((f ·g )∘h )(x )＝((f ∘h )·(g ∘h ))(x )C ．((f ∘g )∘h )(x )＝((f ∘h )∘(g ∘h ))(x )D ．((f ·g )·h )(x )＝((f ·h )·(g ·h ))(x )解题指南根据新的定义逐个选项验证其真伪，从而作出判断．解析根据新函数的定义分析如下，A项((f∘g)·h)(x)＝(f∘g)(x)h(x)＝f(g(x))h(x)；((f·h)∘(g·h))(x)＝(f·h)((g·h)(x))＝(f·h)(g(x)h(x))＝f(g(x)h(x))h(g(x)h(x))；等式不恒成立．B项((f·g)∘h)(x)＝(f·g)(h(x))＝f(h(x))g(h(x))；((f∘h)·(g∘h))(x)＝(f∘h)(x)(g∘h)(x)＝f(h(x))g(h(x))；等式恒成立．C项((f∘g)∘h)(x)＝(f∘g)(h(x))＝f(g(h(x)))；((f∘h)∘(g∘h))(x)＝(f∘h)((g∘h)(x))＝(f∘h)(g(h(x)))＝f(h(g(h(x))))；等式不恒成立．D项((f·g)·h)(x)＝(f·g)(x)h(x)＝f(x)g(x)h(x)；((f·h)·(g·h))(x)＝(f·h)(x)(g·h)(x)＝f(x)h(x)g(x)h(x)．等式不恒成立．答案 B阅卷点评本题突破以往给出具体函数解析式的模式，努力让学生打破常规思维，对学生的思维能力提出了更高的要求．创新点评(1)本题为新定义问题，命题背景、题目设置新颖．(2)考查内容创新：本题是将新定义的两个函数用于辨别与之有关的等式是否恒成立问题，主要考查对新定义抽象函数的理解，需要考生有较强的理解能力、推理论证能力和抽象概括能力．备考建议(1)熟练掌握函数有关概念、运算．(2)在新问题面前，要冷静思考，新问题的解决还是要靠“老知识”“老方法”，应该有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们熟知的问题．◆一个关系——函数与映射的关系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．◆两点提醒(1)定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数．如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．课时规范训练[A级基础演练]1．函数y＝x ln(1－x)的定义域为( )A．(0,1) B．[0,1)C．(0,1] D．[0,1]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥01－x ＞0，解得0≤x ＜1，故选B.答案：B2．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x， x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1B ．14 C.12D ．32解析：因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－ 14＝1－12＝12，故f (f (－2))＝12. 答案：C3．(2016·浙江台州调研)若点A (a ，－1)在函数f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，0<x <1x ，x ≥1，的图像上，则a ＝( )A ．1B ．10 C.10D ．110解析：当x ≥1时，y ＝x ≥1，因此点A (a ，－1)在函数y ＝lg x (0<x <1)的图像上，故－1＝lg a ，a ＝110.答案：D4．(2016·青岛一模)函数y ＝f (x )的定义域为[－1,5]，在同一坐标系下，y ＝f (x )与直线x ＝1的交点个数是__________． 解析：由函数定义的唯一性及x ∈[－1,5]，知函数f (x )与x ＝1只有唯一一个交点． 答案：15．(2016·西宁模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x ，πx ＝，x ，则f (f (0))＝________.解析：∵f (0)＝π，f (π)＝3π2－4， ∴f (f (0))＝f (π)＝3π2－4. 答案：3π2－46．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 解析：∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，又∵3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17， ∴a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. 答案：2x ＋77．已知函数y ＝f (x )的图像由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解：根据图像，设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (x ≤1)． ∵点(1,1)，(0,2)在射线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴左侧射线对应函数的解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)； 同理，x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)．再设抛物线对应的二次函数解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)， ∵点(1,1)在抛物线上，∴a ＋2＝1，a ＝－1， ∴1≤x ≤3时，函数的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)，综上，函数的解析式为y ＝⎩⎨⎧－x ＋2，x <1－x 2＋4x －2，1≤x ≤3x －2，x >3.8．(2016·深圳模拟)已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >02－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式． 解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0，当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2，∴g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.[B 级 能力突破]1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2x ＋， x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：由于f (a )＝－3， ①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x＞0， 所以2a －1＝－1无解；②若a ＞1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.答案：A2．(2016·衡水模拟)函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18等于( ) A.34 B ．12 C ．1D ．23解析：∵f (0)＝0，f (1－x )＝1－f (x )，∴f (1)＝1，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12f (1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12，又∵f (1－x )＋f (x )＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝14， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14. ∴14≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18≤14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝14. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝12＋14＝34. 答案：A3．(2015·高考湖北卷)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >00，x ＝0－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ， |x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D. 答案：D4．(2015·高考浙江卷)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析：取特殊值法．取x ＝0，π2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x ＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误； 取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正确． 综上可知，本题选D. 答案：D5．(2016·福州一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－8ax ＋3，x <1，log a x ， x ≥1在x ∈R 内单调递减，则a 的范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，58 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1 解析：要求此函数的两段均为减函数，并且x ＝1时第一段的函数值在第二段的上方或者相等，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥1，0<a <1，2－8a ＋3≥log a 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12，0<a <1，a ≤58，故12≤a ≤58. 答案：C6．(2015·高考浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1x 2＋，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解析：由内到外依次代入计算可得f (f (－3))，在分段函数的两段内分别计算最小值，取二者中较小的为f (x )的最小值． ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0. 当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3<0； 当x <1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0. 所以f (x )的最小值为22－3. 答案：0 22－37．某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药的时间为7∶00，问之后的10小时中应怎样安排服药时间？解：(1)由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤t ≤12，－45t ＋325 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<t ≤8.(2)设第二次服药是在第一次服药后t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12<t 1<8小时，则－45t 1＋325＝4，解得t 1＝3(小时)．因而第二次服药应在10：00.设第三次服药在第一次服药后t 2(3<t 2<8)小时，则此时血液中含药量应为两次服药后的含药量的和． －45t 2＋325－45(t 2－3)＋325＝4， 解得t 2＝7(小时)， 即第三次服药应在14：00.设第四次服药应在第一次服药后t 3小时(t 3>8)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和． －45(t 3－3)＋325＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－45t 3－＋325＝4， 解得t 3＝10.5(小时)>10小时故舍去．第2课时 函数的定义域和值域1．了解定义域、值域是构成函数的要素． 2．会求一些简单函数的定义域和值域．1．函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． 确定函数定义域的原则：(1)当函数y ＝f (x )用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合；(2)当函数y ＝f (x )用图像给出时，函数的定义域是指图像在x 轴上投影所覆盖的实数的集合； (3)当函数y ＝f (x )用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合； (4)当函数y ＝f (x )由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定；(5)当函数y ＝f (x )是由几部分数学式子构成时，函数的定义域就是使各部分式子都有意义的实数的集合． 2．函数的值域(1)函数的值域的定义：在函数y ＝f (x )中与自变量x 的值对应的y 的值叫作函数值，所有函数值的集合，叫作函数的值域．(2)确定函数值域的原则：a.当函数y ＝f (x )用表格给出时，函数的值域是指表格中所有y 值组成的集合．b.当函数y ＝f (x )用图像给出时，函数的值域是指图像上每一个点的纵坐标组成的集合．c.当函数y ＝f (x )用解析式给出时，函数的值域由定义域和解析式确定．(3)求函数值域的方法有：直接法、换元法、配方法、判别式法、几何法、不等式法、单调性法等． [基础自测] 1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |x <1} C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析：由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}，故M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 答案：C 2．函数y ＝1x 2＋2的值域为( ) A ．RB ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≤12 D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪0<y ≤12 解析：∵x 2＋2≥2，∴0<1x 2＋2≤12. 答案：D 3．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：要使函数有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠01＋x >0解得x >－1且x ≠1.答案：C4．(教材改编题)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为________． 解析：∵3x＋1>1且f (x )＝log 2x 为增函数． ∴log 2(3x＋1)>log 21＝0， ∴值域为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)5．(教材改编题)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________． 解析：由x 有意义知x ≥0，又∵y ＝x 2＋3x －5在[0，＋∞)上为增函数， ∴函数y ＝x 2＋3x －5的值域为[－5，＋∞)．答案：[－5，＋∞)考点一 求函数的定义域[例1] (1)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． (2)已知函数f (2x)的定义域是[－1,1]，求f (x )的定义域． 审题视点 (1)使根式和对数式有意义，求x 的范围． (2)明确2x与f (x )中x 的含义，从而构造不等式求解．解析 (1)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧1－2log 6x ≥0x ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧log 6x ≤12＝log 66x ＞0，所以函数的定义域为(0，6]．答案：(0，6](2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x ≤1， ∴12≤2x≤2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.简单函数定义域的类型及求法①已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．②对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．③对抽象函数：(ⅰ)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．(ⅱ)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．1．(2015·德州模拟)求函数f (x )＝12－|x |＋x 2－1＋(x －4)0的定义域为________．解析：要使f (x )有意义，则只需 ⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≠0，x 2－1≥0，x －4≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2，x ≥1或x ≤－1x ≠4.∴x ≥1且x ≠2且x ≠4或x ≤－1且x ≠－2.故函数的定义域为{x |x <－2或－2<x ≤－1或1≤x <2或2<x <4或x >4}． 答案：{x |x <－2或－2<x ≤－1或1≤x <2或2<x <4或x >4} 2．(2016·莱芜模拟)已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝fxlog 12－x的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2 解析：要使函数y ＝fxlog 12－x有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12－x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x≤3，0<2－x <1.⇒32≤x <2.故选B. 答案：B考点二 求函数的值域[例2] 求下列函数的值域： (1)f (x )＝x －3x ＋1； (2)f (x )＝12＋x －x 2；(3)f (x )＝x －1－2x .审题视点 根据各个函数解析式的特点，分别选用不同的方法求解，(1)用分离常数法；(2)用配方法；(3)用换元法或单调性法． 解 (1)(分离常数法)f (x )＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1. 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)(配方法)由于2＋x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94≤94，此时有三种情况，若－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94<0，则y ＜0；若－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94＝0，则y 无意义；若0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94≤94，则y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94≥49.∴函数的值域为(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫49，＋∞.(3)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≤12. 法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≤12.(1)在求函数值域时，若函数解析式中是分式的形式，且分子、分母都是一次的，可考虑用分离常数法；若函数与二次函数有关，可用配方法；若解析式中含有根式，应考虑用换元法或单调性法；若解析式结构与均值不等式有关，可用均值不等式法求解．(2)对于含有根式的函数y ＝ax ＋b ＋dx ＋e (a ，b ，d ，e 均为常数且ad ≠0)，若a 与d 同号，用单调性法求值域较为简单；当a 与d 异号时，一般要用换元法求值域．1．(2016·北京海淀一模)函数y ＝－x 2＋1，－1≤x <2的值域是( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1] C ．[0,1]D ．[1,5)解析：∵y ＝－x 2＋1在(－1,0)上递增，在(0,2)上递减，且x ＝－1时，y ＝0，x ＝0时，y ＝1，x ＝2时，y ＝－3， ∴y ∈(－3,1]，故选B. 答案：B2．求下列函数的值域，并指出函数有无最值． (1)y ＝3x x 2＋4；(2)y ＝x ＋1x＋1(x ≠0)． 解：(1)法一：(判别式法) ∵x ∈R ，y ＝3x x 2＋4，整理得yx 2－3x ＋4y ＝0. 当y ＝0时，x ＝0；当y ≠0时，由Δ≥0⇒－34≤y ≤34，且y ≠0，综上，函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，34. ∴函数有最小值－34，最大值34.法二：(基本不等式法)∵x ＝0时，y ＝0，∴当x ≠0时，|y |＝3|x ||x |2＋4＝3|x |＋4|x |≤34，当且仅当|x |＝4|x |，即x ＝±2时，等号成立．∴－34≤y ≤34.∴函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，34. ∴函数有最小值－34，最大值34.(2)(基本不等式法)由y ＝x ＋1x ＋1(x ≠0)，得y －1＝x ＋1x.∵|x ＋1x |＝|x |＋|1x|≥2|x |·|1x|＝2，∴|y －1|≥2，即y ≤－1或y ≥3. ∴函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． ∴函数既无最大值，又无最小值． 法二：(判别式法)由y ＝x ＋1x＋1，得x 2＋(1－y )x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y )2－4≥0，即(y －1)2≥4. ∴y －1≤－2或y －1≥2.解得y ≤－1或y ≥3. ∴函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． ∴函数既无最大值又无最小值．考点三 与函数定义域、值域有关的参数问题[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，若至少存在一个正实数b ，使得函数f (x )的定义域与值域相同，求实数a 的值． 审题视点 函数f (x )的定义域因a 的取值不同而不同，因此应对a 进行讨论．解 ①若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；②若a >0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b a∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ⊆[0，＋∞)，故D ≠A ，即a >0不符合条件；③若a <0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－b a，由于此时f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝b 2－a ，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 2－a ， 则－b a ＝b2－a ⇒⎩⎨⎧a <0，2－a ＝－a⇒a ＝－4.综上所述：a 的值为0或－4.已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．1．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]D ．(1,3)解析：f (x )的值域为(－1，＋∞)， 由－b 2＋4b －3>－1， 解得2－2<b <2＋ 2. 答案：B2．若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：∵y ＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，∴对一切x ∈R 都有2x 2＋2ax －a ≥1恒成立，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ≤0，即4a 2＋4a ≤0， ∴－1≤a ≤0.答案：[－1,0]忽视定义域优先考虑原则致误[典例] 已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．解题指南 y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域与f (x )的定义域不同，应先求其定义域，再求值域． 规范解答 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为[1,9]，要使[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，3分 ∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1,3].4分 又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3.6分 ∵x ∈[1,3]，∴log 3x ∈[0,1]，8分∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6.10分 ∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为[6,13].12分 错误解答 ∵x ∈[1,9]，∴0≤log 3x ≤2， ∴y 最小值＝6，y 最大值＝22. ∴函数f (x )的值域是[6,22]．错误原因 忽略了对定义域的研究，致使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的讨论范围扩大．备考建议 (1)解答有关函数问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范． (2)对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质．◆一个优先函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识． ◆两个防范(1)如果f (g (x ))的定义域为A ，则函数f (x )的定义域是函数g (x )的值域．(2)函数一定有值域，但不一定有最值，当函数有最值时，求出了函数的值域也就有了函数的最值，但只有函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2016·济南质检)函数y ＝x x －＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x x －x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1x ≥0，所以{x |x ≥1}∪{0}．答案：C2．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：由已知有⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2x －1≠0，得0≤x ＜1，∴定义域为[0,1)． 答案：B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2 B ．2或3 C.2或4D ．±2或4解析：当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝2； 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4. 答案：C 4．函数y ＝1－x 2－3x ＋4＋ln(x ＋1)的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.答案：(－1,1)5．函数y ＝x －x (x ≥0)的值域为________． 解析：y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，∴y max ＝14.故值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，146．函数y ＝f (x )的图像如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________． 解析：由图像知，函数y ＝f (x )的图像包括两部分，一部分是以点(－3,2)和(0,4)为两个端点的一条曲线段，一部分是以(2,1)为起点，到(3,5)结束的曲线段，故其定义域是[－3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]，只与x 的一个值对应的y 值的取值范围是[1,2)∪(4,5]．答案：[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 7．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝1－x －x ； (2)y ＝log 2(x 2－2x ＋1)； (3)解：(1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0.∴0≤x ≤1，函数的定义域为[0,1]． ∵函数y ＝1－x －x 为减函数， 由1≥ x ≥0， 得－1≤－ x ≤0.又0≤ 1－x ≤1，所以－1≤y ≤1. ∴函数的值域为[－1,1]． (2)要使函数有意义， 则x 2－2x ＋1>0，∴x ≠1， 函数的定义域为{x |x ≠1，x ∈R }， ∵x 2－2x ＋1∈(0，＋∞)， ∴函数的值域为R .(3)函数的定义域为{0,1,2,3,4,5}， 函数的值域为{2,3,4,5,6,7}．8．某公司招聘员工，连续招聘三天，应聘人数和录用人数符合函数关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤102x ＋10，10<x ≤100，1.5x ，x >100其中，x 是录用人数，y 是应聘人数．若第一天录用9人，第二天的应聘人数为60，第三天未被录用的人数为120.求这三天参加应聘的总人数和录用的总人数．解：由1<9<10，得第一天应聘人数为4×9＝36. 由4x ＝60，得x ＝15∉[1,10]； 由2x ＋10＝60，得x ＝25∈(10,100]； 由1.5x ＝60，得x ＝40<100. 所以第二天录用人数为25.设第三天录用x 人，则第三天的应聘人数为120＋x . 由4x ＝120＋x ，得x ＝40∉[1,10]； 由2x ＋10＝120＋x ，得x ＝110∉(10,100]； 由1.5x ＝120＋x ，得x ＝240>100. 所以第三天录用240人，应聘人数为360.综上，这三天参加应聘的总人数为36＋60＋360＝456， 录用的总人数为9＋25＋240＝274.[B 级 能力突破]1．函数y ＝16－4x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析：∵16－4x≥0且4x>0，∴0≤16－4x<16， ∴0≤16－4x<4，故选C. 答案：C2．(2014·高考上海卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]解析：∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.答案：D3．(2016·龙岩质检)已知函数f (x )＝log 12(4x －2x ＋1＋1)的值域是[0，＋∞)，则它的定义域可以是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]解析：依题意得0<4x－2x ＋1＋1≤1，即0<(2x－1)2≤1，∴－1<2x －1≤1且2x －1≠0，即0<2x ≤2且2x≠1，∴x ≤1且x ≠0，可排除C 、D ；对于B ，当x ∈(0,1)时，f (x )∈(0，＋∞)，故选A.答案：A4．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b 为整数)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个． 解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，得0≤|x |≤2.满足条件的整数数对有(－2,0)、(－2,1)、(－2,2)、(0,2)、(－1,2)，共5个．答案：55．(2016·北京东城测试)已知定义域为D 的函数y ＝f (x )，若对于任意x ∈D ，存在正数K ，都有|f (x )|≤K |x |成立，那么称函数y ＝f (x )是D 上的“倍约束函数”．已知下列函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4；③f (x )＝x 3－2x 2＋x ；④f (x )＝x 2x 2＋x ＋1(x >0)．其中是“倍约束函数”的是________．(将你认为正确的函数序号都填上)解析：对于①，f (x )＝2x ，|2x |≤K |x |⇒K ≥2，故存在正数K ，对任意x ∈R ，都有|f (x )|≤K |x |成立，故①满足；对于②，如图，由函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4和y ＝K |x |的图像可知，无论K 取何正值，总存在x ∈(0，x 0)不满足不等式成立，故②不满足；对于③，若|f x |x |＝|x 2－2x ＋1|≤K 恒成立，需K ≥|x 2－2x ＋1|max ，但|x 2－2x ＋1|无最大值，故K 不存在，③不满足；对于④，|fx |x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2＋x ＋1|x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x 2＋x ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＋1x ＋1≤13，只需K ≥13即可，故④满足．综上，满足题意的为①④.答案：①④6．设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在[0,3]上的值域为________． 解析：设x 1∈[0,1]，f (x 1)＝x 1＋g (x 1)∈[－2,5]．∵函数g (x )是以1为周期的函数， ∴当x 2∈[1,2]时，f (x 2)＝f (x 1＋1)＝x 1＋1＋g (x 1)∈[－1,6]， 当x 3∈[2,3]时，f (x 3)＝f (x 1＋2)＝x 1＋2＋g (x 1)∈[0,7]． 综上可知，当x ∈[0,3]时，f (x )∈[－2,7]． 答案：[－2,7]7．(创新题)已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )． (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0， ∴2a 2－a －3＝0， ∴a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝8(2a 2－a －3)≤0. ∴－1≤a ≤32.∴a ＋3>0，∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.∴g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4. 第3课时 函数的单调性及最值1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会用函数图像理解和研究函数的性质．1．函数的单调性 (1)增加的、减少的函数(2)单调区间和函数的单调性①如果y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间．②如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y ＝f (x )在这个子集上具有单调性． (3)单调函数如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数． 2．函数的最值 (1)函数的最大值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M . 那么称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)函数的最小值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M . 那么称M 是函数y ＝f (x )的最小值． [基础自测]1．函数f (x )＝|x |和g (x )＝x (2－x )的增区间依次为( ) A ．(－∞，0)，(－∞，1] B ．(－∞，0)，[1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：由图像可知y ＝|x |与y ＝x (2－x )的增区间分别为[0，＋∞)，(－∞，1]，故选C.答案：C2．(教材改编题)函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是( ) A.43，1 B ．1,0 C.43，23 D ．1，23解析：∵f (x )＝2x x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝43，最小值为f (1)＝1.答案：A3．若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．先减后增解析：∵y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上均为减函数，∴a <0，b <0.∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a <0.∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数，故选B.答案：B4．f (x )＝x 2－2x (x ∈[3,4])的单调增区间为________，f (x )max ＝________.解析：f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图像是对称轴为x ＝1，开口向上的抛物线，所以[3,4]为其单调递增区间，f (x )max ＝f (4)＝8. 答案：[3,4] 85．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|x |)>f (2)的实数x 的取值范围是________．解析：由题意得|x |<2解得－2<x <2. 答案：(－2,2)考点一 判断(或证明)函数的单调性[例1] (1)(2014·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)(2)(2016·宜昌模拟)设函数f (x )＝x ＋a x 的图像过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52. ①求实数a 的值；②证明：函数f (x )在(0,1)上是减函数．审题视点 (1)利用函数的单调性或函数的图像逐项验证． (2)利用单调性定义证明．解 (1)A 项，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 项，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C 项，函数y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故错误；D 项，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．(2)①因为函数f (x )＝x ＋a x 的图像过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52， 所以52＝2＋a2.∴a ＝1.②证明：设x 1，x 2是(0,1)内的任意两个实数， 且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝x 1－x 2＋x 2－x 1x 1x 2 ＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2由x 1，x 2∈(0,1)， 得0<x 1x 2<1，x 1x 2－1<0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(0,1)上是减函数． 答案 (1)A判断函数的单调性，常用的方法有图像法、定义法、导数法或利用已知函数的单调性判断．特别要掌握利用定义判断函数单调性这一最基本的方法，必须按“取值—作差—变形—定号—判断”的基本步骤进行，而变形过程常通过因式分解、配方、有理化等手段，直到便于判断差的符号为止．1．(2015·高考湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，得－1<x <1，则函数的定义域为(－1,1)．又∵f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．f ′(x )＝11＋x ＋11－x，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,1)上为增函数．故选A. 答案：A2．判断函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)的单调性． 解：定义域为(－∞ ，－b )∪(－b ，＋∞)． 在定义域内任取x 1<x 2， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1＋b －x 2＋ax 2＋b＝x 1＋a x 2＋b －x 1＋b x 2＋ax1＋b x 2＋b＝b －a x 1－x 2x 1＋bx 2＋b.∵a >b >0，∴b －a <0，x 1－x 2<0，只有当x 1<x 2<－b 或－b <x 1<x 2时，函数才单调． 当x 1<x 2<－b 或－b <x 1<x 2时，f (x 1)－f (x 2)>0. ∴f (x )在(－b ，＋∞)和(－∞，－b )上是减函数．。
2017届高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.13 导数的应用与定积分课时规
第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.13 导数的应用与定积分课时规范训练 理 北师大版[A 级 基础演练]1．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121xd x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e xd x＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)，ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.答案：B2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ， 0≤x ≤390，90 090， x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：∵总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，90 090－100x －20 000，x >390由P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D. 答案：D3．(2016·黄冈模拟)曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2－ln 2B ．4－2ln 2C ．4－ln 2D ．2ln 2解析：y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的面积为如图所示的阴影部分，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2xy ＝x －1得在第一象限的交点为(2,1)，故所求面积为⎠⎛24⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2x d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －2ln x 42＝4－2ln 2. 答案：B4．(2015·高考湖南卷)⎠⎛02(x －1)d x ＝__________.解析：2(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |20＝12×22－2＝0.答案：05．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝x －1x >0.x >0，得x >1，⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x >0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1时取最小值f (1)＝12－ln 1＝12.答案：126．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m ，则当高为____________米时，容器的容积最大．解析：设高为x 米，一边长为(x ＋0.5)米，另一边长为14.8－(4x ＋4x ＋2)＝3.2－2x (米) 则V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )，V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解15x 2－11x －4＝0，得x ＝1，x ＝－415(舍去)．答案：17．(2016·宁夏银川质检)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )的图像在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝x －ax(x >0)， 且f (x )在x ＝2处的切线方程y ＝x ＋b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln 2＝2＋b ，2－a2＝1，解得a ＝2，b ＝－2ln 2.(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，则f ′(x )＝x －a x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立．所以a ≤1.8．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)记一星期多卖商品kx 2件，若记商品在一个星期的获利为f (x )， 则f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)． 又由条件可知24＝k ·22，解得k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)，可得f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12).故，所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品销售利润最大．[B 级 能力突破]1．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：直接求解定积分，再利用方程思想求解． ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f xx 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13.答案：B2．(2015·高考课标卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1解析：∵f (0)＝－1＋a ＜0，∴x 0＝0. 又∵x 0＝0是唯一的使f (x )＜0的整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －≥0，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×－1－1]＋a ＋a ≥0，e 2×1－1－a ＋a ≥0，解得a ≥32e.又∵a ＜1，∴32e ≤a ＜1，经检验a ＝34，符合题意．故选D. 答案：D3．(2016·郑州质检)定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )<f ′(x )·tan x 成立，则( )A.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f (1)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin 1 C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 解析：因为0<x <π2，f (x )<f ′(x )tan x ，所以f ′(x )sin x －f (x )cos x >0，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫f x sin x ′＝f ′x sin x －f x cos x sin 2x >0，所以y ＝f x sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π612<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π332，即3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故选D. 答案：D4．(2016·北京市东城区高三检测)图中阴影部分的面积等于________．解析：所求面积为⎠⎛013x 2d x ＝x 310＝1.答案：15．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销售Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 00(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值． 所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元． 答案：30 23 0006．(2016·大庆质检)已知函数f (x )＝a (x 2－1)－x ln x . (1)若F (x )＝f ′(x )，当a ＝12时，求F (x )的单调区间；(2)当x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝12时，f (x )＝12(x 2－1)－x ln x ，∵F (x )＝f ′(x )＝x －ln x －1.∴F ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令F ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，F ′(x )<0，函数F (x )是减函数；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )>0，函数F (x )是增函数．∴F (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． (2)f ′(x )＝2ax －ln x －1，由(1)知F (x )min ＝F (1)＝0， ①若a >12，则f ′(x )＝(2a －1)x ＋(x －ln x －1)>0，f (x )是增函数；若a ＝12，则f ′(x )＝x －ln x －1≥0.∴当a ≥12时，f (x )≥f (1)＝0，不等式恒成立．②若0<a <12，设h (x )＝2ax －ln x －1，则h ′(x )＝2a －1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，h ′(x )<0，函数h (x )是减函数，则f ′(x )＝h (x )<h (1)＝2a －1<0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上是减函数，这时f (x )<f (1)＝0，不等式不成立．③若a ≤0，则当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上是减函数， 此时f (x )<f (1)＝0，不等式不成立．综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。
2017高考文科数学一轮复习课件：第2章 基本初等函数、导数及其应用 第13讲
令1a－ex＝0，则 x＝ln 1a.
x
－∞，1aln1a
f′(x)
＋
f(x)
↗
11 alna
0 极大值
1aln1a，＋∞
－ ↘
故函数 f(x)的单调递增区间为－∞，ln1a；单调递减区间为
ln1a，＋∞.
第二十一页，编辑于星期六：二十一点 五十一 分。
(2)当 ln1a≥2，即 0<a≤e12时，f(x)max＝f(2)＝2a－e2，
第六页，编辑于星期六：二十一点 五十一分。
解析：设 f′(x)的图象与 x 轴的 4 个交点从左至右依次为 x1、 x2 、 x3、 x4 . 当 x<x1 时，f′(x)>0，f(x)为增函数， 当 x1<x<x2 时，f′(x)<0，f(x)为减函数，则 x＝x1 为极大值 点，同理，x＝x3 为极大值点，x＝x2，x＝x4 为极小值点， 故选 C.
第八页，编辑于星期六：二十一点 五十一分。
3．函数 y＝ln x－x 在 x∈(0，e]上的最大值为( C )
A．e
B．1
C．－1
D．－e
解析：函数 y＝ln x－x 的定义域为(0，＋∞)，
又 y′＝1x－1＝1－x x，
令 y′＝0 得 x＝1，
当 x∈(0，1)时，y′>0，函数单调递增；
当 x∈(1，e)时，y′<0，函数单调递减． 当 x＝1 时，函数取得最大值－1.
第二章 基本初等函数、导数及其应用
第13讲 导数与函数的极值、最值及实际
应用
第一页，编辑于星期六：二十一点 五十一分。
1．函数的极值 函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他 点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 __f′_(x_)_＜__0_，右侧_f_′_(x_)_＞__0_，则点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值 点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
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夯基固源 题组冲关 学科培优
课时规范训练
第11课时 变化率与导数、导数的计算
1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝ 1 x ，y＝x，y＝ x的导数．
3
4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数．
答案：(2，＋∞)
考点一 导数的定义 [例1] 用导数定义，求函数y＝ x在x＝1处的导数．
审题视点 利用导数定义求解．
解
∵f(x)＝ x，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋Δx－1， 1＋Δx－1 1＋Δx2－12 Δy ∴Δx＝ ＝ Δx Δx 1＋Δx＋1 Δx 1 ＝ ＝ . Δx 1＋Δx＋1 1＋Δx＋1 Δy 1 当Δx→0时，Δx→2， 1 ∴f′(1)＝2.
根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的方法是： (1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 (2)求平均变化率Δx＝ ； Δx Δy (3)计算导数f′(x0)＝li m Δx. Δx→0
1 1．用导数定义求函数f(x)＝ 的导数． x ＋2
(5)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x ＝x0处的函数值．
3．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α是实数) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝lnx 导函数 f′(x)＝ 0 f′(x)＝ αxα－1 f′(x)＝ cosx f′(x)＝ －sinx f′(x)＝ axlna f′(x)＝ ex 1 f′(x)＝ xlna f′(x)＝
Δy ＝ lim Δx，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作 Δx→0 fx0＋Δx－fx0 lim Δx f′(x0)＝ Δx→0 .
(1)f(x)在x＝x0处的导数
(2)导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导 数值记作f′(x)：f′(x)＝
fx＋Δx－fx lim Δx Δx→0
求导之前，应利用代数、三角恒等式变形对函数进行化简， 然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；有 的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或 三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用 商的求导法则，减少运算量．
(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导 的基础． (2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导．
1 x
4.导数运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝f′(x)± g′(x)； (2)[f(x)· g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
fx f′xgx－fxg′x (3) (g(x)≠0)． 2 ′＝ g x [ g x ]
2．利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的 导数是奇函数．
证明：法一：设 y＝f(x)是奇函数，即对定义域内的任意 x 都 fx＋Δx－fx 有 f(－x)＝－f(x)，f′(x)＝li m Δx Δx→0 f－x＋Δx－f－x 则 f′(－x)＝li m Δx Δx→0 fx－Δx－fx ＝li m ＝f′(x)． － Δ x Δx→0
设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x3 0)，所
3 2 2 以切线方程为y－x 0 ＝3x 0 (x－x0)，即y＝3x 0 x－2x 3 0 ，又(1,0)在切线
考点二 导数的计算 [例 2] 求下列函数的导数．
(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sin x；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y ln x ＝ 2 ；(5)y＝ln(2x＋5)． x ＋1
审题视点 观察所给的函数形式，化简变形后，利用导数公
式和求导法则求导．
解
(1)法一：∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)
答案：C
3．已知函数y＝f(x)＝2x2图像上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2 Δy ＋Δy)，则Δx等于( A．3＋2Δx C．4＋2Δx ) B．4＋Δx D．3＋Δx
解析：∵Δy＝2(1＋Δx)2－2＝2Δx2＋4Δx，
2 Δx 2Δx ＋4Δx ∴Δy＝ ＝2Δx＋4，故选C. Δx
ln x′x2＋1－ln x· x2＋1′ (4)y′＝ x2＋12 1 2 x x ＋1－2xln x x2＋1－2x2ln x ＝ ＝ . x2＋12 xx2＋12 (5)设y＝ln u，u＝2x＋5，则y′x＝y′u· u′x， 1 2 ∴y′＝ · (2x＋5)′＝ . 2x＋5 2x＋5
因此 f′(x)为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数． 法二：设 y＝f(x)是奇函数，即对定义域内的任意 x 都有 f(－x)＝－f(x)，即 f(x)＝－f(－x)． 因此 f′(x)＝[－f(－x)]′＝－[f(－x)]′＝f′(－x)， 则 f′(x)为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数．
(2)依题意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b， 于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，b＝0， m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1，选C.
答案 (1)C (2)C
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以 下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝ f′(x0)； (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k； (3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需 fx1－fx0 设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝ 求解． x1－x0
答案：(1,1)
导数几何意义应用的易错点 [典例] 15 若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x 和y＝ax ＋ 4 x－
3 2
9都相切，求a的值．
解题指南 因为点(1,0)不在曲线y＝x3上，所以应从设切点入手
15 来求切线方程，再利用切线与曲线y＝ax2＋ 4 x－9相切求a的值．
【规范解答】
＝6x4＋3x3－8x2－4x， ∴y′＝24x3＋9x2－16x－4. 法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′ ＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)· 2 ＝24x3＋9x2－16x－4.
(2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xexln 3＋3xex－2xln 2 ＝(ln 3＋1)· (3e)x－2xln 2.
1 1 － x ＋ 2 ＋ Δ x x＋2 Δy fx＋Δx－fx 解：Δx＝ ＝ Δx Δx x＋2－x＋2＋Δx －1 ＝ ＝ ， Δxx＋2x＋2＋Δx x＋2x＋2＋Δx －1 Δy 1 ∴f′(x)＝li m Δx＝li m ＝－ 2. x ＋ 2 x ＋ 2 ＋ Δ x x ＋ 2 → → Δx 0 Δx 0
解析：∵f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝3. 答案：B
1 2．曲线y＝x －x在点(1,0)处的切线方程为(
2
)
A．3x－y＋3＝0 C．3x－y－3＝0
B．x＋3y－3＝0 D．x＋3y－1＝0
1 解析：∵k＝f′(1)＝2x＋x2＝3， ∴切线方程为y＝3(x－1)，即3x－y－3＝0.
1．(2015· 高考天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)， 其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为 ________．
解析：f′(x)＝aln
1 ＝a(1＋ln x)． x＋x· x
由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
1．(2015· 高考课标卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点 (1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析：∵f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2， ∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)， ∴7－(a＋2)＝3a＋1， 解得a＝1.
答案：1
2．(2015· 高考陕西卷)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y 1 ＝x (x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
解析：y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝ 1 1 1 1，设P(m，n)，y＝ x (x>0)的导数为y′＝－x2(x>0)，曲线y＝ x (x>0) 1 在点P处的切线斜率k2＝－ m2 (m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2 ＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
1．平均变化率及瞬时变化率 Δy (1)f(x)从x1到x2的平均变化率是Δx＝
fx2－fx1 x2－x1 .
Δy (2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 lim Δx Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ＝ lim . Δx→0
2．导数的概念
fx0＋Δx－fx0 lim Δx Δ 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 x→0
审题视点 根据导数的几何意义先对函数求导，针对切点求 切线斜率．
解析 (1)∵直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点
A(1,3)，y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a. 3＝k×1＋1 3 ∴3＝1 ＋a×1＋b， k＝3×12＋a
解得a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.
答案：3
2．(2016· 温州高三月考)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(＋ln x，则f′(1)＝( A．－e C．1 )