2015届高考数学总复习第二章函数与导数第2课时函数的定义域和值域教学案(含最新模拟、试题改编)

第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域第三章(对应学生用书(文)、(理)9～10页)1. (必修1P 27练习6改编)函数f(x)＝x ＋1＋12－x的定义域为________． 答案：{x|x ≥－1且x ≠2}2. (必修1P 27练习7改编)函数f(x)＝(x －1)2－1，x ∈{－1，0，1，2，3}的值域是________． 答案：{－1，0，3}解析：f(－1)＝f(3)＝3，f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝－1，则所求函数f(x)的值域为{－1，0，3}．3. (必修1P 31习题3改编)函数f(x)＝2x5x ＋1的值域为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ≠25解析：由题可得f(x)＝2x 5x ＋1＝25－25（5x ＋1）.∵ 5x ＋1≠0，∴ f(x)≠25，∴ 值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ≠25.4. (原创)下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________．(填序号) ① f(x)＝x 0，g(x)＝1x ；② f(x)＝xx，g(x)＝x ； ③ f(x)＝x 2，g(x)＝(x)4；④ f(x)＝|x|，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x<0.答案：④解析：两个函数是否为同一函数，主要是考查函数三要素是否相同，而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的，故只须判断定义域和对应法则是否相同，④符合．5. (必修1P 36习题13改编)已知函数f(x)＝x 2－2x ，x ∈[a ，b]的值域为[－1，3]，则b －a 的取值范围是________．答案：[2，4]解析：f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，因为x ∈[a ，b]的值域为[－1，3]，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3；当b ＝3时，－1≤a ≤1，所以b －a ∈[2，4]．1. 函数的定义域(1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合． (2) 求定义域的步骤① 写出使函数式有意义的不等式(组)． ② 解不等式组．③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零．② 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R ．④ y ＝a x ，y ＝sinx ，y ＝cosx ，定义域均为R ． ⑤ y ＝tanx 的定义域为{x|x ≠k π＋π2，k ∈Z }．⑥ 函数f(x)＝x a 的定义域为{x|x ≠0}． 2. 函数的值域(1) 在函数y ＝f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2) 基本初等函数的值域① y ＝kx ＋b(k ≠0)的值域是R ．② y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac －b 24a，＋∞)；当a<0时，值域为⎝⎛⎤－∞，4ac －b 24a ．③ y ＝kx(k ≠0)的值域为{y|y ≠0}．④ y ＝a x (a>0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤ y ＝log a x(a>0且a ≠1)的值域是R ． ⑥ y ＝sinx ，y ＝cosx 的值域是[－1，1]． ⑦ y ＝tanx 的值域是R ． 3. 最大(小)值一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1) 对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；(2) 存在x 0∈I ，使得f(x 0)＝M ，那么称M 是函数y ＝f(x)的最大(小)值． [备课札记]题型1 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： (1) y ＝12－|x|＋lg(3x ＋1)； (2) y ＝4－x 2ln （x ＋1）.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|≠0，3x ＋1>0⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－2且x ≠2，x>－13，解得x>－13且x ≠2，所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x>－13且x ≠2. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧ln （x ＋1）≠0，4－x 2≥0⎩⎪⎨⎪⎧x>－1且x ≠0，－2≤x ≤2， 解得－1<x<0或0<x ≤2，所求函数的定义域为(－1，0)∪(0，2]． 变式训练(1) 求函数y ＝（x ＋1）0|x|－x的定义域；(2) 若函数y ＝f(x)的定义域是[0，2]，求函数g(x)＝f （2x ）x －1的定义域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x<0， 所以x<－1或－1<x<0，即定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x<1，即定义域是[0，1)．题型2 求函数的值域 例2 求下列函数的值域： (1) y ＝x －3x －2；(2) y ＝x 2－2x －3，x ∈(－1，4]； (3) y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3，5]； (4) y ＝x 2－4x ＋5x －1(x>1)．解：(1) (换元法)设3x －2＝t ，t ≥0，则y ＝13(t 2＋2)－t ＝13⎝⎛⎭⎫t －322－112，当t ＝32时，y 有最小值－112，故所求函数的值域为⎣⎡⎭⎫－112，＋∞. (2) (配方法)配方，得y ＝(x －1)2－4，因为x ∈(－1，4]，结合图象知，所求函数的值域为[－4，5]．(3) (解法1)由y ＝2x －1x ＋1＝2－3x ＋1，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以y max＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤54，32. (解法2)由y ＝2x －1x ＋1，得x ＝1＋y2－y. 因为x ∈[3，5]，所以3≤1＋y 2－y ≤5，解得54≤y ≤32，即所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤54，32.(4) (基本不等式法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1(t>0)，所以y ＝（t ＋1）2－4（t ＋1）＋5t ＝t 2－2t ＋2t ＝t ＋2t －2(t>0)．因为t ＋2t≥2t·2t＝22，当且仅当t ＝2，即x ＝2＋1时，等号成立， 故所求函数的值域为[22－2，＋∞)． 备选变式（教师专享） 求下列函数的值域： (1) f(x)＝1－x ＋x ＋3；(2) g(x)＝x 2－9x 2－7x ＋12；(3) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，解得－3≤x ≤1.∴ f ()x ＝1－x ＋x ＋3的定义域是[]－3，1. ∵ y ≥0，∴ y 2＝4＋2()1－x ()x ＋3，即y 2＝4＋2－()x ＋12＋4()－3≤x ≤1.令t ()x ＝－()x ＋12＋4()－3≤x ≤1.∵ x ∈[]－3，1，由t ()－3＝0，t ()－1＝4，t ()1＝0， ∴ 0≤t ≤4，从而y 2∈[]4，8，即y ∈[]2，22， ∴ 函数f ()x 的值域是[]2，22.(2) g ()x ＝x 2－9x 2－7x ＋12＝()x ＋3()x －3()x －3()x －4＝x ＋3x －4＝1＋7x －4()x ≠3且x ≠4. ∵ x ≠3且x ≠4，∴ g ()x ≠1且g ()x ≠－6.∴ 函数g ()x 的值域是()－∞，－6∪()－6，1∪()1，＋∞. (3) 函数的定义域为{x|x>0且x ≠1}． 当x>1时，log 3x>0，y ＝log 3x ＋log x 3－1 ≥2log 3x ·log x 3－1＝1；当0<x<1时，log 3x<0，y ＝log 3x ＋log x 3－1 ＝－[(－log 3x)＋(－log x 3)]≤－2－1＝－3. 所以函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 题型3 函数值域和最值的应用例3 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6. (1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域． 解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)， 即f min (x)＝0，∴ 4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，∴ a ＝－1或32.(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0， ∴ －1≤a ≤32，∴ g(a)＝2－a|a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a ≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32.当－1≤a ≤1，g(a)＝a 2－a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋74， ∴ g(a)∈⎣⎡⎦⎤74，4；当1<a ≤32，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋94，∴ g(a)∈⎣⎡⎭⎫54，2.∴ 函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎡⎦⎤54，4.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝1－2a x －a 2x (a>1)． (1) 求函数f(x)的值域；(2) 若x ∈[－2，1]时，函数f(x)的最小值是－7，求a 的值及函数f(x)的最大值． 解：(1) 由题意，知f(x)＝2－(1＋a x )2，因为a x >0，所以f(x)<2－1＝1，所以函数f(x)的值域为(－∞，1)．(2) 因为a>1，所以当x ∈[－2，1]时，a －2≤a x ≤a ，于是f min (x)＝2－(a ＋1)2＝－7，所以a ＝2，此时，函数f(x)的最大值为2－(2－2＋1)2＝716.1. (2013·大纲)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为________． 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－12 解析：由－1<2x ＋1<0，得－1<x<－12，所以函数f(2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎫－1，－12. 2. (2013·山东)函数f(x)＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________． 答案：(－3，0]解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，所以－3<x ≤0，即定义域为(－3，0]．3. (2013·北京)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x<1的值域为________．答案：(－∞，2)解析：当x ≥1时，log 12x ≤log 121＝0，即f(x)≤0；当x<1时，0<2x <21，即0<f(x)<2，所以函数f(x)的值域为(－∞，2)．4. (2013·徐州三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x<1，2x ＋12，x ≥1，若a>b ≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫54，3解析：画出分段函数的图象，从图象可知，12≤b<1，1≤a<log 252，f(a)＝f(b)，得bf(a)＝bf(b)＝b(b ＋2)＝(b ＋1)2－1在⎣⎡⎭⎫12，1上单调增，故bf(a)的取值范围是⎣⎡⎭⎫54，3.1. 设函数g(x)＝x 2－2(x ∈R )，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f(x)的值域是________． 答案：⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析：由题意f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜g （x ），x 2－x －2，x ≥g （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），x 2－x －2，x ≥g （x ），x ∈（－1，2），下面分段求值域，再取并集． 2. 已知二次函数f(x)＝ax 2－x ＋c(x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________．答案：10解析：由二次函数的值域是[0，＋∞)，可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有a ＞0，4ac －14a ＝0，从而c ＝14a ＞0.又c ＋2a ＋a ＋2c＝⎝⎛⎭⎫2a ＋8a ＋⎝⎛⎭⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10，当且仅当⎩⎨⎧2a＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号，故所求的最小值为10.3. 已知函数f(x)＝log 13(－|x|＋3)的定义域是[a ，b](a 、b ∈Z )，值域是[－1，0]，则满足条件的整数对(a ，b)有________对．答案：5解析：由f(x)＝log 13(－|x|＋3)的值域是[－1，0]，易知t(x)＝|x|的值域是[0，2]，∵ 定义域是[a ，b](a 、b ∈Z )，∴ 符合条件的(a ，b)有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个． 4. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx(a 、b 为常数，且a ≠0)满足条件：f(x －1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x 有等根．(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在实数m 、n(m ＜n)，使f(x)定义域和值域分别为[m ，n]和[4m ，4n]？如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由．解：(1) f(x)＝－x 2＋2x.(2) 由f(x)＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，知f max (x)＝1，∴ 4n ≤1，即n ≤14＜1.故f(x)在[m ，n]上为增函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝4m ，f （n ）＝4n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0， ∴ 存在m ＝－1，n ＝0，满足条件．1. 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等，理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”，但在具体的解题中要与初等方法密切配合．请使用课时训练（A）第2课时（见活页）.[备课札记]。