求函数的定义域和值域的方法

即函数 的值域是{ y| y 2}
③
∵ ∴
即函数的值域是{ y| yR且y1}（此法亦称分离常数法）
④当x>0，∴ = ，
当x<0时， =－
∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）
函数 的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；
② ；③ ；④ ；
解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
解：如图，设AB=2x，则AD= =
∴y=2x + x2=— x2+Lx
由2x＞0
＞0 得0＜x＜
∴所求的函数为y=— x2+Lx（0＜x＜ ）
22X
A 2222222 B
2x 2X
D
2X
求 函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
（2）已知函数f（x）的定义域为〔1，4〕，求函数y=f（x+m）—f（x—m）（m＞0）的定义域。
解：（1）要使函数有意义，须满足：ax—3≥0
∴（ⅰ）当a＞0时原函数的定义域为｛x︱x≥ ｝
（ⅱ）当a＜0时原函数的定义域为｛x︱x≤ ｝
（ⅲ）当a=0时ax—3≥0的解集为空集，即原函数的定义域为空集
（2）是已知f〔g（x）〕的定义域，求f（x）的定义域。其解法是：已知f〔g（x）〕的定义域为〔a，b〕，求f（x）的定义域的方法为：由a≤x≤b，求g（x）的值域，即得f（x）的定义域。
（3）是（1）的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。
（4）与（2）相似。
解：（1）令-2≤X2—1≤2得-1≤X2≤3，即0≤X2≤3，从而- ≤x≤
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值.
②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为来自的讨论例3．求函数 的值域
方法一：去分母得(y1) +(y+5)x6y6=0①
当y1时∵xR∴△=(y+5) +4(y1)×6(y+1) 0
例题一求下列函数的定义域：
（1） y=（ —2）0+㏒（x—2）x2（2）y=lgtanx+
解：（1）欲使函数有意义，须满足
—2≠0
x—1≥0
x—2＞0 解得：x＞2 且 x≠3 ，x≠5
x—2≠1 ∴函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞）
x≠0
（2）由已知须满足
tanx﹥0解得： ﹤x﹤ （k∈z）
作业：求函数y= 值域
解：∵ ，
∴函数的定义域R，原式可化为 ,
整理得 ，
若y=1,即2x=0,则x=0；
若y 1,∵ R，即有 0，
∴ ,解得 且y 1.
综上：函数是值域是{y| }.
三、练习：
1 ；
解：∵x 0， ，∴y 11.
另外，此题利用基本不等式解更简捷：
2
∵2 -4x+3>0恒成立(为什么？)，
∴函数的定义域为R，
∴原函数可化为2y -4yx+3y-5=0，由判别式 0，
即16 -4×2y(3y-5)=-8 +40y 0(y 0),
解得0 y 5，又∵y 0,∴0<y 5.
如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx，｛x︱x∈R且 x≠ ，k∈z｝和余切函数y=cotx，｛x︱x∈R且 x≠ ，k∈z｝等。
（2）已知函数y=f（2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f（x）的定义域。
（3）已知函数f（x）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f（x+1）—f（x2-1）的定义域。
（4）已知函数y=f（tan2x）的定义域为〔0， 〕，求函数f（x）的定义域。
分析：（1）是已知f（x）的定义域，求f〔g（x）〕的定义域。其解法是：已知f（x）的定义域为〔a，b〕，求f〔g（x）〕的定义域是解a≤g（x）≤b，即得所求的定义域。
∴函数y=f（x2-1）的定义域为〔- ， 〕。
（2）∵y=f（2x+4）的定义域为〔0，1〕，指在y=f（2x+4）中x∈〔0，1〕，令t=2x+4，x∈〔0，1〕，则t∈〔4，6〕，即在f（t）中，t∈〔4，6〕∴f（x）的定义域为〔4，6〕。
（3）由-1≤x+1≤2
-1≤X2—1≤2得- ≤x≤1
反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；
二次函数 的定义域为R，
当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }.
例1．求下列函数的值域
①y=3x+2(-1 x 1)② ③ ④
解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，
∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]
②∵ ∴
解：求函数的定义域的常用方法
函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。
一，已知函数解析式求函数的定义域
∴函数y=f（x+1）—f（x2-1）的定义域为〔- ，1〕。
（4）y=f（tan2x）中x∈〔0， 〕，∴2x∈〔0， 〕∴tan2x∈〔0，1〕∴函数f（x）的定义域为〔0，1〕。
三，含有字母参数的函数求定义域
对于含有字母参数的函数求其定义域必须对字母参数进行分类讨论。
例题三（1）求函数y= （a∈R）的定义域
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y -3}.
②∵顶点横坐标2 [3,4]，
当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到.
3求函数的值域
① ；②
解：①令 0,则 ,
原式可化为 ,
∵u 0，∴y ，∴函数的值域是（- ， ].
②解：令t=4x 0得0 x 4
在此区间内(4x ) =4，(4x ) =0
∴函数 的值域是{ y| 0 y 2}
小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.
4．换元法
例4．求函数 的值域
解：设 则t 0x=1
代入得
∵t 0∴y 4
5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ].如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.
由此得(5y+1) 0
检验 时 （代入①求根）
∵2定义域{ x| x2且x3}∴
再检验y=1代入①求得x=2∴y1
综上所述，函数 的值域为{ y| y1且y }
方法二：把已知函数化为函数 (x2)
由此可得y1
∵x=2时 即
∴函数 的值域为{ y| y1且y }
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
x≠ -4﹤x﹤4
16—x2﹥0
∴函数的定义域为（- ， ）∪（0， ）∪（ ，4）
二，复合函数求定义域
求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。
例题二（1）已知函数f（x）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f（x2-1）的定义域。
（2）解：令1≤x+m≤4①
1≤x—m≤4②
由①得1—m≤x≤4—m
由②得1+m≤x≤4+m
当0＜m＜ 时定义域为〔1+ m，4—m〕
当m= 时定义域为｛x︱x= ｝
四，由实际意义确定的函数求定义域