函数的定义域和值域 PPT

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可以互相讨论下，但要小声点
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分析 f(x2)中的x2与f(x)中的x取相同范
围的值． f(x2)的自变量为x.
解 (1)∵f(x)的定义域是[0,1]， ∴要使f(x2)有意义，则必有0≤x2≤1，解得－ 1≤x≤1， ∴f(x2)的定义域为[－1,1]． (2)由0≤x2－1≤1，得1≤x2≤2， ∴f(x2－1)的定义域为[－ 2 ，－1]∪[1， 2 ]．
规律总结 若已知f(x)的定义域求复合函数f[φ(x)]的 定义域，可将f(x)的定义域写成关于x的不等式，然后 将x换成中间变量φ(x)，再解不等式即可得到f[φ(x)]的 定义域；若已知复合函数f[g(x)]的定义域求f(x)的定 义域，可令t＝g(x)，由x的范围求出t的范围，再以x 换t即得f(x)的定义域，就是求g(x)的值域．
(3)由 25 x 2 0 , cos x 0 ,
得
5 x5,
2k x2k .kZ
2
2
∴函数的定义域为 ∪ ∪ .
5,
3 2
, 2 2
3 2
,5
规律总结 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域 的依据是基本代数式有意义． (2)求函数定义域往往归纳为解不等式组问题，在解 不等式组时要细心，取交集可借助数轴，并且要注 意端点值或边界值． (3)定义域必须用集合或区间表示．
x 1或 x1.
∴函数的定义域为
(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1,2)∪(2，＋∞)．
(2)由
4x 3 4x 3
0, 1
5 x 4 0
得
x x
x
数的定义域为 ∪ ∪ . 3， 1 4 2
1 ，4 2 5
4 ， 5
变式训练1
下列函数中，与函数y＝
1 x
有相同
定义域的是( )
A．f(x)＝lnx B．f(x)＝ 1
x
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ex
【解析】
y＝
1 x
的定义域为{x|x＞0}，
故选A.
【答案】 A
已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求下 列函数的定义域． (1)f(x2); (2)f(x2－1)．
∴当t＝0时，F(x)min＝0；当t＝1时，F(x)max＝3.
∴F(x)的值域为[0,3]．
【解析】 由9－x2＞0，得－3＜x＜3，
A＝(－3,3)， 由0＜9－x2≤9，得y≤2，B＝(－∞，2]， ∴A∩B＝(－3,2]．
【答案】 (－3,2]
函数的定义域和值域是函数的基本要素，要优先考虑 函数的定义域，不能忽视． 1．求函数的定义域一般有三种类型：第一种是给出 函数解析式求其定义域，此时即求使解析式有意义的 自变量的取值集合；第二种是不给出函数f(x)的解析 式，而由f(x)的定义域求复合函数f[g(x)]的定义域，此 时运用处理复合函数问题的通法——换元法；第三种 是应用性问题中求函数的定义域，此时除考虑函数解 析式有意义外，还应考虑所给问题的实际意义对自变 量的制约．
t
，t∈
1 2
,
3
，
∴当t∈
1 2
,1
时，F(x)是减函数，2≤F(x)≤
；5
2
当t∈[1,3]时，F(x)是增函数，2≤F(x)≤ 1.0
∴F(x)的值域为
2，10 3
.
3
规律总结 求函数值域的基本方法有配方法、 不等式法、单调性法、数形结合等，了解每 种方法的适用范围，根据函数类型适当选择 灵活运用各种方法．
变式训练２设f(x)＝lg 2 x ，则f x ＋f 2 的定
2 x
2
x
义域为( )
A．(－4,0)∪(0,4) B．(－4，－1)∪(1,4) C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－4，－2)∪(2,4)
【解析】 由 2 x ＞0，得(x＋2)(x－2)＜0，
2 x
即－2＜x＜2.
∴
2 x2, 2
⇒
2
22 x
1＜x＜4，
4 x 4 , ⇒－4＜x＜－1或 x1或 x 1
∴函数定义域为(－4，－1)∪(1,4)．
【答案】 B
求函数的值域
(1)求函数y＝2－ 4xx2 的值域；
(求2)函若数函F数(xy)＝＝ff((xx))的＋值f 1域x 是的值12 ,3域 ．，
2 sin x
【答案】 C
综合运用
(12分)已知集合A＝[－2，a](a＞－2)，定义 域为A的函数f(x)＝x2的值域为B；定义域为A 的函数g(x)＝2x＋3的值域为C.是否存在实数 a，使得B是C的子集？如果存在，求出a的取 值范围；如果不存在，说明理由．
分析 探索性问题按存在求解，g(x)值
2．求函数值域的方法 ①配方法(二次函数)； ②单调性法(能判断单调性)； ③换元法(t换元与三角换元)； ④不等式法(利用基本不等式)； ⑤有界性法(主要是三角函数)； ⑥数形结合法； ⑦导数法．
已知f(x)＝log3x,1≤x≤9，求函数F(x)＝ f(x2)＋[f(x)]2的值域．
错解 F(x)＝log3x2＋(log3x)2＝(log3x)2＋2log3x， 令log3x＝t，则0≤t≤3，F(x)＝t2＋2t＝(t＋1)2－1， ∴当t＝0时，F(x)min＝0；当t＝3时，F(x)max＝15. ∴F(x)值域为[0,15]．
分析 (1)形如二次三项式ax2＋bx＋c形式用配方法． (2)运用函数的单调性求值域．
解 (1)y＝2－ 4xx2 ＝2－ x224 ，其定义域为
{x|0≤x≤4}，而0≤ x22≤24，
∴0≤y≤2，∴函数值域为[0,2]．
(2)令f(x)＝t，则F(x)＝t＋1
∴F′(x)＝1－ t1.2
第二节 函数的定义域、值域
求函数的定义域
求下列函数的定义域．
(1)y＝ 1
2 x
＋ x2 1 ；
(2)y＝ x 2 ＋(5x－4)0；
lg 4 x 3
(3)y＝ 25x2 ＋lgcosx.
分析 依据解析式的限制条件，列 出不等式组求解．
解
(1)由
2 x 0,
得
x 2,
x2 1 0,
错解分析 上述解法忽视了F(x)的定义域，
由
1 x 2 9,
1 x9,
得1≤x≤3所以F(x)的定义域为[1,3]．
1 x2 9,
正解 由
得1≤x≤3.
∴F(x)＝(lo g13xx)29＋, 2log3x,1≤x≤3.
令log3x＝t，则0≤t≤1，F(x)＝t2＋2t＝(t＋1)2－1，
域确定，f(x)的值域不确定，须讨论．
解 当x∈[－2，a]时，由于g(x)＝2x＋3，
所以函数g(x)的值域为C＝[－1,2a＋3].2分
①当－2<a≤0时，B＝[a2,4]．由于B⊆C， 则2a＋3≥4，此时a≥ 不12 成立；5分 ②当0<a≤2时，B＝[0,4]．由于B⊆C， 则2a＋3≥4，此时a≥ ，12 所以 ≤12 a≤2；8分 ③当a＞2时，B＝[0，a2]．由于B⊆C，
变式训练３ 函数f(x)＝ sin x 的值域是( )
2 sin x
A.
0 ，1 2
B.
，
1 3
∪[1，＋∞)
C.
1 3
,1
D．R
【解析】
∵f(x)＝－1＋2
sin x sin
x，－1≤sinx≤1，
∴1≤2－sinx≤3，∴ ≤2
3
∴f(x)∈
1 3
,1
.
sin≤x2，
则2a＋3≥a2，此时－1≤a≤3，解得2＜a≤3. 11分
综上，满足条件的a的取值范围为
1 2
≤a≤3. 12分
规律总结 分类讨论问题，首先搞清讨论的标准 是什么，做到不重不漏，条理清楚．最后，注意 结果是取并还是取交．
变式训练４ 函数y＝log3(9－x2)的定义域为A， 值域为B，则A∩B＝________.