对数函数定义域及值域对数函数定义域及值域
对数函数知识点(一)
对数函数知识点(一)对数函数定义对数函数是指满足以下条件的函数： - 底数为正实数且不等于1；- 函数定义域为实数集合中大于0的数； - 函数值域为实数集合。
常见的对数函数1.自然对数函数–底数为常数e（自然对数的底数），记作ln(x)或logₑ(x)。
–特点：以常数e为底的对数函数，在微积分中有广泛的应用。
2.以10为底的常用对数函数–底数为常数10，记作log₁₀(x)或log(x)。
–特点：以10为底的对数函数，在计算中常常用到。
对数函数的性质1.定义域和值域–自然对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
–以10为底的常用对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
2.基本性质–对数函数的图像总是位于一、二象限。
–对数函数的图像与直线y=x关于y=x对称。
3.特殊值–自然对数函数ln(x)当x=1时，ln(1)=0。
–以10为底的常用对数函数log(x)当x=1时，log(1)=0。
4.对数函数的性质–对数函数有唯一的反函数即指数函数。
–对数函数满足对数运算法则，如log(xy)=log(x)+log(y)。
5.对数函数的性质与图像–对数函数的图像有一个特点，就是随着自变量x的增大，函数值增长缓慢，近似于直线y=0。
–对数函数在x>1时，图像急剧上升；在0<x<1时，图像急剧下降。
应用领域•对数函数在科学计算、金融领域、生物学及工程学中有广泛的应用。
•对数函数常常用于解决指数增长与衰减问题、复杂的计算问题、百分比增长问题等。
以上为对数函数的相关知识点和详解。
对数函数作为数学中重要的函数之一，在各个领域中都有广泛的应用。
希望通过本文的介绍，能够对对数函数有更深入的了解。
对数函数的性质和图像对数函数的性质1.指数和对数的关系–对数函数是指数函数的反函数。
对于正实数a和b，有以下关系：logₐ(b) = x if and only if aˣ = b。
–例如，log₂(8) = 3，因为2³ = 8。
对数函数及其性质
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a
解析 a＝log3π＞1，b＝12log23，则12＜b＜1，
c＝12log32＜12，
∴a＞b＞c.
跟踪训练 1 求下列函数的定义域： (1)y＝log3(1－x)；(2)y＝log12x；(3)y＝log71－13x；
(4)y＝ log3x.
解 (1)由 1－x>0 得 x<1，∴所求函数定义域为{x|x<1}； (2)由 log2x≠0，得 x≠1，又 x>0， ∴所求函数定义域为{x|x>0 且 x≠1}；
730 1
P
，都
有唯一确定的年代 t 与它对应，
2
所以，t 是 P 的函数.
问题 2
在问题
1
中，t＝ log 5
730 1
P就是一个对数函数，据此，
2
你能归纳出这类函数的定义吗？
答 一般地，我们把函数 y＝loga x(a>0，且 a≠1)叫做对数 函数，其中 x 是自变量，定义域为 x∈(0，＋∞)．
3
说明前者在(0，＋∞)上是增函数，后者在(0，＋∞)上是
减函数．
问题 3 你能根据函数 y＝log3x 及 y＝log1x 的性质，归纳出 3 函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的性质吗？
答 函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值 域为 R，过定点(1,0)，当 a＞1 时，在(0，＋∞)上是增函数， 当 0＜a＜1 时，在(0，＋∞)上是减函数．
问题 3 判断一个函数是不是对数函数的依据是什么？ 答 对数函数的定义与指数函数类似，只有满足函数解析 式右边的系数为 1，底数为大于 0 且不等于 1 的常数，真数 仅有自变量 x 这三个条件，才是对数函数．如：y＝logax2； y＝loga(4－x) ；y＝2logax 都不是对数函数．
对数函数图象及性质——定义域、值域
1 f ( x ) log 2 x
x [1,2]
2 f ( x ) log a x
2 3
x [1,2]
(3) y log 1 ( x 4 x 5)
• 【例】 已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2 ＋f(x2)的最大值，及y取最大值时x的值． • 思路分析：要求函数y＝[f(x)]2 ＋f(x2)的最大值，要 做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定 义域．
• 由于对数函数y＝logax的图象和性质与底数a 的取值范围密切相关．当a>1时，函数y＝ logax在定义域内为单调增函数，当0<a<1时， 函数y＝logax在定义域内为单调减函数，因此 当题目条件中所给的对数函数的底数含有参 数时，常依底数的取值范围为分类标准进行 分类讨论求解．
思考题：1、若函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域是实数集R， 求实数a的取值范围。 2、若函数y=lg(ax2+ax+1)的值域为R， 则实数 a的取值范围。 解:1 ∵ y=lg(ax2+ax+1)的定义域是R ∴ 在R上ax2+ax+1>0恒成立, ∴ a=0 a>0 ⊿=a2-4a<0
答案：D
• 练习2．函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在[2,3] 上的最大值为1，则a＝________. • 解析：当a>1时，f(x)的最大值是f(3)＝1， • 则loga3＝1，∴a＝3>1. • ∴a＝3符合题意； • 当0<a<1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，则loga2 ＝1，∴a＝2>1.∴a＝2不合题意． • 答案：3
对数函数的定义域值域定点课件
定义域是函数自变量 可以取值的范围，而 值域是函数因变量取 值的范围。
对数函数的值域特点
对于任意实数x，都有唯一一个以x为底数的对 数值，记作log(x)。
当底数a的取值范围为(0,1)时，log(x)为负无穷大； 当底数a的取值范围为(1,∞)时，log(x)为正无穷大。
对数函数的值域为实数集。
对数函数的应用实例解析
信号处理
在信号处理领域，对数函数被用 于将非线性信号转换为线性信号 ，使得信号的幅度差异能够在同 一比例尺下表示。
统计分析
在统计分析中，对数函数被用于 转换数据，使得不同尺度的数据 能够在同一尺度上进行比较和分 析。
THANKS。
对数函数的性质分析
对数函数是单调递增函数
01
当底数a>1时，函数随着x的增大而增大；当0<a<1时，函数随
着x的增大而减小。
对数函数是定义域上的凸函数
02
对于定义域中的任意x，都有$y=log_a(x)$，且当x>1时，$y$
随x的增大而增大；当0<x<1时，$y$随x的增大而减小。
对数函数与指数函数互为反函数
03
$y=log_a(x)$与$y=a^x$互为反函数，它们的图像关于直线
y=x对称。
与其他函数的比较
01
02
03
与一次函数相比
对数函数图像不是直线， 而是呈现出曲线形式。
与二次函数相比
对数函数图像没有二次函 数图像的拐点，但具有单 调性。
与指数函数相比
指数函数的底数可以取任 意正实数，而对数函数的 底数必须大于0且不等于1 。
对数函数是非奇非偶函数，这 是因为对于任意的实数$x$和 $y$，都有$log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)$，因此无 法满足奇函数或偶函数的定义 。
高三：对数与对数函数
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3. 则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是
则f(a2)＋f(b2)＝________. 解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2 ＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2. 答案：2
1.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在
无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
1 4 3 1 ＝ ×(5lg 2－2lg 7)－ × lg 2＋ (lg 5＋2lg 7) 2 3 2 2 5 1 ＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋ lg 5＋lg 7 2 2 1 1 1 1 ＝ lg 2＋ lg 5＝ lg(2×5)＝ . 2 2 2 2
(2)由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m， 1 1 ∴a＋b＝logm2＋logm5＝logm10. 1 1 ∵a＋b＝2， ∴logm10＝2，即 m2＝10. 解得 m＝ 10(∵m>0)．
A.0，
(
B. 2 ，1 2
)
2 2
C．(1， 2)
D．( 2，2)
[自主解答]
(1)由1－x>0，知x<1，排除选项A、
B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t 为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.
对数函数及其性质知识点总结经典讲义
对数函数及其性质知识点总结经典讲义对数函数是指以一些正数b为底的函数，表示为logb(x)，其中x为自变量，b为底数。
对数函数是指数函数的逆运算，可以用于解决指数方程和指数不等式问题。
对数函数的一些重要性质如下：1.对数函数的定义域是正实数集R+。
2.对数函数的值域是实数集R。
3.对数函数的自变量必须大于0，即x>0。
4.底数b必须大于0且不等于1，即b>0，b≠15.对数函数的图像在直线y=x左侧，与x轴交于点(1,0)。
6. 对数函数是单调递增函数，即当自变量x1 > x2时，有logb(x1) > logb(x2)。
7. 对数函数的特殊值：logb(1) = 0，logb(b) = 18. 对数函数的运算规则：logb(x·y) = logb(x) + logb(y)，logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，logb(x^n) = n·logb(x)，其中x、y 为正实数，n为任意实数。
9. 对数函数的函数性质：logb(1/x) = -logb(x)，logb√x =(1/2)·logb(x)。
10. 对数函数的性质：logb(m/n) = logb(m) - logb(n)，logb(m^n) = n·logb(m)，logb(m) = (logc(m))/(logc(b))，其中b、c为正实数，m、n为正实数。
11. 对数函数的解析式：logb(x) = logc(x)/logc(b)，其中c为任意正实数，c ≠ 112. 对数函数的性质：logb(x) = 1/(logx(b))。
13. 对数函数与指数函数的关系：y = logb(x)是函数y = b^x的反函数，两者互为反函数。
对数函数在数学、科学和工程等领域中具有广泛的应用。
它可以用于求解指数方程和指数不等式，简化复杂的计算和求解过程。
在数学中，对数函数是指数函数的重要补充，它们互为反函数，可以相互转化，应用更加灵活。
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法函数的定义域和值域是数学中的重要概念，它们描述了函数的输入和输出的范围。
在不同的数学领域和实际应用中，求解函数的定义域和值域有不同的方法和技巧。
函数的定义域是指函数中自变量的取值范围。
换句话说，定义域是使函数有意义的输入值的集合。
下面介绍一些常用方法来求解函数的定义域：1.分式函数：分式函数的定义域通常要求分母不等于零，因此我们需要找到分母为零的点，并将其排除。
求解分母为零的方程，得到函数的定义域。
2.平方根函数：平方根函数的定义域要求根号内的值大于等于零。
因此，需要将根号内的表达式>=0，并求解方程，得到函数的定义域。
3.指数函数和对数函数：指数函数的定义域通常为全体实数，而对数函数的定义域要求基数和真数都大于零。
因此，对于指数函数，不存在特定的求解方法；而对于对数函数，需要使基数和真数大于零，并求解相应的方程。
4.复合函数：复合函数的定义域由内层函数和外层函数的定义域共同确定。
首先求解内层函数的定义域，将其结果作为外层函数的自变量的定义域。
注意需要将两个函数的定义域进行交集运算，得到复合函数的定义域。
5.根式函数：根式函数的定义域需要满足根号内的表达式大于等于零。
求解根号内的方程，得到函数的定义域。
函数的值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
下面介绍一些常用方法来求解函数的值域：1.分析法：通过分析函数的特点、性质和图像，推断出函数的值域。
例如，通过观察函数的单调性、奇偶性、对称性、极值等特点，可以确定函数的值域的范围。
2.等式法：通过解方程求函数的值域。
将函数的表达式等于一个未知数，解方程得到未知数的取值范围，即为函数的值域。
3.代数运算法：通过对函数进行代数运算，得到函数的值域。
例如，对于一次函数，通过对其进行线性变换和平移，可以推导出函数的值域的范围。
4.图像法：通过绘制函数的图像，观察函数的上下界，以及是否存在水平渐近线和垂直渐近线，可以推断出函数的值域。
对数函数求导公式大全
对数函数求导公式大全对数函数是高中数学学科中的常见函数之一、在微积分中，对数函数求导是基础的求导技巧，掌握对数函数的求导公式对于解题和理解函数的性质非常重要。
下面将列举常见的对数函数及其求导公式。
一、自然对数函数（ln x）自然对数函数是以自然数e为底数的对数函数，记作ln x。
自然对数函数的导函数是它自身的倒数，即ln'(x) = 1/x。
用数学符号表示如下：d/dx (ln x) = 1/x二、以a为底的对数函数（logₐx）以a为底的对数函数记作logₐx。
其中，a>0且a≠1，而x>0。
以a 为底的对数函数的导函数与自然对数函数类似，只是需要应用换底公式，用数学符号表示如下：d/dx (logₐx) = 1/(xlna)三、对数函数的换底公式当我们需要对以a为底的对数函数求导时，可以利用换底公式进行计算。
换底公式是指我们可以将以一个底数为a的对数转换成以另一个底数为b的对数，并通过求导公式计算导数。
具体换底公式如下：logₐx = log_bx / log_ba四、对数函数的求导法则对于一些复合函数，我们可以利用链式法则来求导。
对数函数的求导法则包括以下几种情况：1. 形式为ln(u)的函数：如果函数y = ln(u)，其中u是关于x的函数，那么其导数可以用链式法则表示为：dy/dx = 1/u * du/dx2. 形式为logₐ(u)的函数：如果函数y = logₐ(u)，其中u是关于x 的函数，那么其导数可以用链式法则表示为：dy/dx = 1/(u ln a) * du/dx3. 形式为ln，u，的函数：如果函数y = ln，u，其中u是关于x的函数，那么其导数可以用链式法则表示为：dy/dx = 1/u * du/dx (u>0)1/u * du/dx (u<0)需要注意的是，当u为负数时，对数函数是没有定义的，因此负数的对数函数的导数也是没有定义的。