对数函数单调区间和值域
对数函数
C）
y
y = logb x y = log a x
O
A.0 < a < b < 1 < c < d
B .0 < b < a < 1 < d < c
x y = logd x
y = logc x
C .0 < d < c < 1 < b < a
D .0 < a < b < 1 < d < c
比较下列各组数中两个值的大小： 例2比较下列各组数中两个值的大小： 比较下列各组数中两个值的大小
o
1
7
x
∴ log 2 7 ＞ log 5 7
（5）log 6 7 与 log 7 6 ） 解：∵ log 67 ＞log 66= 1 且log 76＜log 77= 1 ＜ ∴ log 6 7 ＞ log 7 6 （6） log 3π 与 log 20.8 ） 解：∵ log 3π＞log 31= 0 ＞ 且 log 2 0 . 8 ＜ log 2 1 = 0 ∴ log 3 π ＞ log 2 0 . 8
(4) 0<x<1时, y>0; 时 x>1时, y<0 时
在 上是减函数 (5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数 上是增函数 (6) 非奇非偶 (6) 非奇非偶
的取值变化图象如何变化？有规律吗？ 的取值变化图象如何变化？有规律吗？
y 规律： 规律：在第一 2 x 象限内， 象限内，图象 1 按逆时针方向 1 1 42 越靠近y轴， 0 越靠近 轴 1 2 3 4 底数越小！ 底数越小！ -1 -2
注: （5）（ ）是利用对数函数的增减性比较两个对 ）（6） ）（ 数的大小. 当不能直接进行比较时,可在两个对数中间 数的大小 当不能直接进行比较时 可在两个对数中间 个已知数(如 或 等 间接比较上述两个对数的 插入一 个已知数 如1或0等),间接比较上述两个对数的 大小. 大小
对数函数的定义与性质
对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指可以将正实数映射到实数集上的函数。
常用的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。
自然对数函数以数学常数e为底的对数函数，通常以ln(x)表示，其中x为正实数。
常用对数函数以10为底的对数函数，通常以log(x)表示，其中x为正实数。
2. 性质2.1 对数函数的定义域和值域自然对数函数ln(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
常用对数函数log(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
2.2 对数函数的性质（1）对数函数的图像：自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)的图像都是单调递增的曲线。
（2）基本性质：对数函数具有以下基本性质：•ln(1) = 0，即自然对数函数ln(x)在x=1处的函数值为0。
•ln(e) = 1，即自然对数函数ln(x)在x=e处的函数值为1。
•log(1) = 0，即常用对数函数log(x)在x=1处的函数值为0。
•log(10) = 1，即常用对数函数log(x)在x=10处的函数值为1。
（3）对数函数的性质：对数函数具有以下性质：•ln(x y) = ln(x) + ln(y)，即自然对数函数ln(x y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的和。
•ln(x/y) = ln(x) - ln(y)，即自然对数函数ln(x/y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的差。
•ln(x^n) = n * ln(x)，即自然对数函数ln(x^n)等于n乘以自然对数函数ln(x)。
•log(x y) = log(x) + log(y)，即常用对数函数log(x y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的和。
•log(x/y) = log(x) - log(y)，即常用对数函数log(x/y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的差。
•log(x^n) = n * log(x)，即常用对数函数log(x^n)等于n乘以常用对数函数log(x)。
对数函数单调区间和值域
y t 4t 3 2 (t 2) 1，t [0,2], y [1,3],
2
函数的值域为[1,3]。
小结：
题型一、形如y log a f ( x)的单调性。 (1)求定义域。 (2)同增异减的原理。
题型二、形如y loga f ( x)的值域。 换元法：令t f ( x) (注意元的范围)。
解: y=log 2t在(0, )上单调递增，
a 0
变式训练
1、求函数y log0.5 ( x 4 x 3)的单调
2
区间。
2、函数y log 2 ( x ax 2)在(,1)上
2
单调递减，求a的取值范围。
1、求函数y log 0.5 ( x 4 x 3)的
增函数
减函数
练一练
1、比较大小（用“>”“<”或“=”）号填空。
（1） log0.7 1.6 （2）
＞
log0.7 1.8
同底直接利用单 调性进行比较
log4 1
＝
log0.4 1
log0.9 0.8
不同底，找中间 桥梁
（3） log3 0.9
＜
2、函数 y
1 A、 ) [0, 3
log 1 (1 3 x) 的定义域是（ A ）
3
1 1 D、 , ) ( ( B、 , ) C、 , 0] ( 3 3
新授课1、求对数型函数的单调区间题型
例 、函数y log2 ( x 4x 3)的单调区间。 1
2
解：令y log2 u, u 0, u x 4x 3，
2
u x2 4x 3 y
x x 2、求y log 2 log 2 , x [1, 4]的值域。 2 8
对数函数及其性质
在对金融风险进行评估时，对数函数也起着重要作用。例如 ，在计算投资组合的风险时，可以使用对数函数来简化计算 过程。
利用对数函数解决物理问题
声波传播
在物理学中，声波的传播距离与时间的关系可以使用对数函数来表示。在声 音传播过程中，声波的强度会逐渐减弱，而对数函数可以描述这种衰减现象 。
电路分析
VS
对数公式
loga(xy) = loga(x) + loga(y)， loga(x/y) = loga(x) - loga(y)，换底公式 ：logb(x) = logc(x) / logc(b)
对数函数的基本性质
定义域
x>0
值域
y∈R
函数图像
在直角坐标系中，以直线y = loga(x)为渐近线的双曲线
02
化学领域
物理领域
在物理领域中，对数函数被广泛应 用于声学、光学、电磁学等领域。
在化学中，对数函数被用于描述 化学反应速率与反应物浓度的关 系等。
04 生物学领域
在生物学中，对数函数被用于描述 生物种群增长等。
04
复合对数函数及其性质
复合对数函数的定义和公式
定义
$log_{a}(b\cdot c) = log_{a}(b) + log_{a}(c)$
换底公式的证明
设$x=\log_a(b)$，则$a^x=b$，将等式两边同时取以$c$为底的对数，有 $x\log_c(a)=\log_c(b)$，即$\log_c(b)/\log_c(a)=x=\log_a(b)$。
换底公式的基本应用
1 2
将不同底的对数化为同底的对数
利用换底公式，可以将不同底的对数化为同底 的对数，以便进行计算和比较。
对数函数的定义与性质
对数函数的定义与性质一、引言对数函数作为高等数学中的重要概念之一，具有广泛的应用。
本文将对对数函数的定义和性质进行详细的说明。
二、对数函数的定义对数函数是指满足某些特定条件的函数，它与指数函数是互为逆运算的关系。
对数函数的定义如下：对于任意正实数x和正实数a（a≠1），满足a^x=x的函数y=loga(x)称为以a为底的对数函数。
三、对数函数的性质1. 定义域与值域对数函数的定义域为正实数集(0, +∞)，值域为实数集(-∞, +∞)。
2. 单调性当底数a>1时，对数函数随着自变量的增大而增大；当0<a<1时，对数函数随着自变量的增大而减小。
3. 对数函数的图像对数函数的图像在底数a>1时，为增长趋向正无穷的曲线；在0<a<1时，为递减趋向于负无穷的曲线；而对于特殊的底数a=1，对数函数为常值函数y=0。
4. 对数函数的性质（1）对数函数满足对数的加法公式：loga(MN) = logaM + logaN。
（2）对数函数满足对数的减法公式：loga(M/N) = logaM - logaN。
（3）对数函数满足对数的幂公式：loga(M^p) = p*logaM。
（4）对数函数满足换底公式：logaM = logbM/logba。
（5）特别地，当底数为自然对数e时，称其为自然对数函数，记为ln(x)，其中ln(x)=logex。
四、对数函数的应用对数函数在实际问题中有着广泛的应用，以下列举几个例子：1. 财务学中，对数函数常用于复利计算和利率转换。
2. 物理学中，对数函数常用于描述指数衰减和增长的过程。
3. 统计学中，对数函数常用于处理大数据和缩小数据的范围。
4. 信息论中，对数函数常用于测量信息的度量。
五、总结对数函数是一种重要的数学函数，在数学和实际应用中都起着重要的作用。
通过本文的介绍，我们对对数函数的定义和性质进行了详细的阐述，希望读者能够对对数函数有更深入的理解和应用。
对数单调性、奇偶性
a>1 0<a<1
图
像
定义域 值域 定点 单调性 奇偶性
（0，+ ∞ ） R （1，0）
单调递增 非奇非偶
单调递减 非奇非偶
四、对数类型函数单调性的判断
2、求（ f x）＝log0.2 （2x－）的单区间。 1
说明：利用对数函数性质判断函数单调性时 ，首先要考察函数的定义域，再利用复合函 数单调性的判断方法来求单调区间。
1 x 1 x f ( x) f ( x) log 1 log 1 1 x 1 x 4 4 1 x 1 x log 1 0 log 1 1 4 4 1 x 1 x 所以,函数 y = f(x)是定义在 (1, 1) 上的奇函数.
2
2
五、奇偶性
1、判断下列函数的奇偶性： 2 (1) f ( x) log 1 1 4 1 x 解： 回忆：用定义判断函数奇偶性的步骤：
① 先求 f(x)定义域，看是否关于原点对称； • 判断 f(-x)= - f(x) 或 f(-x)= f(x)是否恒成立，得出结论.
1 x 先变形为 f ( x) log 1 定义域为 (1, 1) 4 1 x 1 x 奇函数 f ( x) logx 解： 变形为 f ( x) log 1 定义域为 (1, 1) 4 1 x 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么
lg x 1 x x 1 x
lg 1 0
所以,函数 y = g(x)是奇函数.
f ( x) 的单调性?
解： 定义域为 {x | x 3或 x 1} 令 u x2 4 x 3 ( x 2)2 1 在 (3, ) 上递增 在 (, 1)上递减 由于 y log 1 u 为减函数,有
对数函数求值域的方法
对数函数求值域的方法在数学中，对数（logarithm）函数是一类特殊的函数，用来把乘法问题转换成加法问题。
它有一个别名叫“对数关系”，指的是一个数是另一个数的多少次方。
它可以用来求 log N，即以 N 为底数的对数值。
此外，它还可以用来求值域，即在特定的区间内的值的范围。
一般来说，求值域的方法可以分两类：一类是给定对数函数的值，求对数函数的定义域；另一类是给定对数函数的定义域，求对数函数的值。
具体来说，求一个对数函数的值域，可以用下面四步简单的步骤来实现：第一步：设定一个想要求的值域x，它的区间为[a, b]（a < b）。
第二步：把x的定义域映射到定义域中x的取值，使得对数函数取值y在[a, b]之间。
第三步：求出x的定义域中x的取值集合。
第四步：将x的取值集合映射到值域[a, b]之间，即求出x的值域。
具体来说，假如给定一个值域x，它的区间为[a, b]，且已知原函数可以表示成y=f（x），那么根据上面的定义，对数函数可以表示成y=logf（x），因此，只要把x的定义域映射成适当的取值集合，便可以求出x的值域。
例如，已知f（x）=2^x，值域x的定义域为[0,3]，则可以将[0,3]映射到x的取值集合{0,1,2,3}；这四个取值都可以被2^x映射，因此，x的值域可以表示成[log2^0, log2^3]，即[0,3]。
这样，我们就可以求出x值域为[0,3]的对数函数求值域的方法了。
此外，还有另一种求值域的方法，即给定对数函数的定义域，求对数函数的值。
具体来说，假如给定一个定义域[a, b]，且已知函数可以表示成y=f（x），那么根据上面的定义，对数函数可以表示成y=logf（x），则可以求出定义域[a, b]之间的对数函数值。
例如，已知f（x）=2^x，定义域x的定义域为[1,4]，则可以将[1,4]映射到x的取值集合{1,2,3,4}；这四个取值都可以被2^x映射，因此，x的值域可以表示成[log2^1, log2^4]，即[1,4]。
对数与对数函数
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa 就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象Oxyy = l o g x a ><a <a111( ))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是1 11111 1xxxxy y y yOO OOABC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f－1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.（2004年天津，5）若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42 B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是yyO x yO x yABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B.答案：C9.（2004年湖南，理3）设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1Oxy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f（x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47.（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.（2004年苏州市模拟题）已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169. 小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
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t R,
y t 4t 3 (t 2) 1, t R,
2 2
y 1, 值域为[1, )。
例4、求函数y (log 2 x) 4log 2 x 3的值域。
2
小结：对于y a(log m x) b(log m x) c, c D
新授课1、求对数型函数的单调区间题型
例1、函数y log 2 ( x 4 x 3)的单调区间。
2
小结：形如y log a f ( x)的单调性。 (1)求定义域。 (2)同增异减的原理。
例2、当函数y log 2 (3 2ax)在[1, 2]上 单调递增，求a的取值范围。
新授课1、求对数型函数的单调区间题型
例1、函数y log 2 ( x 4 x 3)的单调区间。
2
解：令y log 2 t , t 0, t x 4 x 3，
2
t x2 4 x 3 y
3 2 0 1 3 x
y
y log 2 t
x
0
1
单调增区间为(3, ), 减区间为(,1)。
对数函数的单调区间和值域
本溪高级中学高一数学组：刘娟 2012.10.30
对数函数
底数
y
y log a x(a 0, 且a 1)
a 1
1
o x
0 a 1
y 1 x
图像
o
y log a x(a 1)
y log a x(0 a 1)
定义域
值域 固定点 单调性
(0, )
2
的值域的求法。
(1)令t log m x, 求出t在x D的取值范围E。
(2)题目转化为求y at bt c, t E时的值
2
域，此时利用y at bt c的性质求解。
2
1、求函数y log 0.5 (3 2 x x )的值域。
2
解: 3 2 x x 0, x (3,1)， 2 令t 3 2 x x
2
( x 1) 4, x (3,1)，
2
t (0, 4]， y log 0.5 t, t (0, 4]，
y 4
y 2，
函数的值域为[2, )。
0 -2
x
x x 2、求y log 2 log 2 , x [1, 4]的值域。 2 8 解： y (log 2 x 1)(log 2 x 3)
2、函数y log 2 ( x ax 2)在(,1)上
2
单调递减，求a的取值范围。
1、求函数y log 0.5 ( x 4 x 3)的单调区间。
2
解： x 4 x 3 0，
2
函数的定义域为(1,3)，
令u x 4 x 3 ( x 2) 1，
2 2
u x 2 4 x 3在(1, 2)上单调递增， 在(2,3)上单调递减，
y log 0.5 u在(0, )上单调递减，
y log 0.5 ( x 4 x 3)单调递减区间
2
为(1,2)，单调递增区间为(2,3)。
1、求函数y log 0.5 ( x 4 x 3)的
例3、求函数y log 0.5 (4 x )的值域。
2
解 4 x 0,函数的定义域为R，
2
令t 4 x , t [4, )，
2
y 2，
y log 0.5 t , t [4, )，
y 4 0 -2
函数的值域是(, 2]。
新授课2、求对数型函数的值域题型
例3、求函数y log 0.5 (4 x )的值域。
2
小结：对于y log a f ( x)的值域的求法 :
(1)先求函数的定义域D。
(2)令t f ( x), 求出t在x D的取值范围E。
(3)题目转化为求y log a t , t E时的值域， 此时利用对数函数的单调性求解。
2
函数的定义域是(,1) (3, )，
令u=x 4 x 3, 在(,1)上单调递减，
2
在(3, )上单调递增，
y log 2 u在(0, )上单调递增，
y log 2 ( x 4 x 3)单调减区间为
2
(-,1)，单调增区间为(3,+)。
跟踪练习
1、求函数y log 0.5 (3 2 x x )的值域。
2
x x 2、求y log 2 log 2 , x [1, 4]的值域。 2 8
例4、求函数y (log 2 x) 4log 2 x 3的值域。
2
解： 函数的定义域为(0,+),
令t log 2 x, x (0, ),
2
单调区间。
解：令y log 2 t , t 0, t x 4 x 3,
2
y
y log 2 t
x
y 1 3
0
-3
2
x
0
1
t x2 4x 3
单调增区间为(1, 2), 减区间为(2,3)。
2、函数y log 2 ( x ax 2)在(,1)上
＜
2、函数 y
1 A、 ) [0, 3log 1Βιβλιοθήκη (1 3x) 的定义域是（ A ）
3
1 1 ( ( B、 , ) C、 , 0] D、 , ) ( 3 3
新授课1、求对数型函数的单调区间题型
例1、求函数y log 2 ( x 4 x 3)单调区间。
2
解： x 4 x 3 0，
2
的值域。 换元法：令t log m x (注意元的范围)。
作业： 作业：
小结：
题型一、形如y log a f ( x)的单调性。 (1)求定义域。 (2)同增异减的原理。
题型二、形如y log a f ( x )的值域。 换元法：令t f ( x) (注意元的范围)。
题型三、形如y a (log m x ) b(log m x ) c, x D
t 3 2ax在[1, 2]单调递增，
且t>0,在x [1, 2]上恒成立。
2 a 0 , 3 2 a 0
解: y=log 2t在(0, )上单调递增，
a 0
变式训练
1、求函数y log 0.5 ( x 4 x 3)的单调
2
区间。
2
单调递减，求a的取值范围。
解： y=log 2t在(0, )上单调递增， t x ax 2在( ,1)单调递减，
2
且t>0,在x (-,1)上恒成立。
a 1 2 1 a 2 0
2 a 3
x
a 2
新授课2、求对数型函数的值域题型
R
(1,0) 即无论a取何值，当x 1时, y 0
增函数
减函数
练一练
1、比较大小（用“>”“<”或“=”）号填空。
（1） log0.7 1.6 （2）
＞
log0.7 1.8
同底直接利用单 调性进行比较
log 4 1
＝
log0.4 1
log0.9 0.8
不同底，找中间 桥梁
（3） log 3 0.9
(log 2 x) 4log 2 x 3, x [1, 4]，
2
令t log 2 x, x [1, 4], t [0, 2]，
y t 4t 3 2 (t 2) 1，t [0, 2], y [1,3],
2
函数的值域为[1,3]。