微专题30函数的单调性答案
高中数学：函数的单调性练习及答案
高中数学：函数的单调性练习及答案函数的单调性的概念1.如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是（）A.>0B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0C.若x1<x2，则f（a）<f（x1）<f（x2）<f（b）D.>02.在下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2）的是（）A.f（x）＝x2B.f（x）＝C.f（x）＝|x|D.f（x）＝2x＋13.下列说法中正确的有（）①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f（x1）<f（x2），则y＝f（x）在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－在定义域上是增函数；④函数y＝的单调减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）.A.0个B.1个C.2个D.3个4.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（）A.若f（x）为增函数，g（x）为增函数，则f（x）＋g（x）为增函数B.若f（x）为减函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为减函数C.若f（x）为增函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为增函数D.若f（x）为减函数，g（x）为增函数，则f（x）－g（x）为减函数5.下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），则下列关于函数f（x）的说法错误的是（）A.函数在区间[－5，－3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[－5,5]上没有单调性函数的单调性的判定与证明6.在下面的四个选项所给的区间中，函数f（x）＝x2－1不是减函数的是（）A.（－∞，－2）B.（－2，－1）C.（－1,1）D.（－∞，0）7.已知函数f（x）在R上是增函数，则下列说法正确的是（）A.y＝－f（x）在R上是减函数B.y＝在R上是减函数C.y＝[f（x）]2在R上是增函数D.y＝af（x）（a为实数）在R上是增函数8.下列函数中在区间（－∞，0）上单调递增，且在区间（0，＋∞）上单调递减的函数为（）A.y＝B.y＝C.y＝x2D.y＝x39.若函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增10.对于函数f（x）＝x2＋|x－a|＋1（a∈R），下列结论中正确的是（）A.当a≥0时，f（x）在（－∞，0）上单调递减B.当a≤0时，f（x）在（－∞，0）上单调递减C.当a≥时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增D.当a≤时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增11.函数y＝f（x）对于任意x，y∈R，有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，当x＞0时，f（x）＞1，且f （3）＝4，则（）A.f（x）在R上是减函数，且f（1）＝3B.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝3C.f（x）在R上是减函数，且f（1）＝2D.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝212.已知f（x）是定义在R上的增函数，给出下列结论：①y＝[f（x）]2是增函数；②y＝是减函数；③y ＝－f（x）是减函数；④y＝|f（x）|是增函数，其中错误的结论是________.13.证明f（x）＝在其定义域上是增函数.（1）求m的值；14.已知函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），且当x>0时，0<f（x）<1.求证：f（x）在R上是减函数.15.已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数.16.已知函数f（x）的定义域为R，且对m，n∈R，恒有f（m＋n）＝f（m）＋f（n）－1，且f（－）＝0，当x>－时，f（x）>0.（1）求证：f（x）是R上的增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.求函数的单调区间17.函数y＝的单调递增区间是（）A.（－∞，－3]B.C.（－∞，1）D.18.函数y＝x2＋x＋1（x∈R）的递减区间是（）A.[－，＋∞）B.[－1，＋∞）C.（－∞，－]D.（－∞，＋∞）19.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？20.求下列函数的单调区间.（1）f（x）＝（x∈[－2,4]）；（2）y＝.函数单调性的应用21.若函数f（x）＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为（）A.[，）B.（0，）C.[，＋∞）D.（－∞，]∪[，＋∞）22.若函数f（x）＝ax2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（）A.0＜a≤B.0≤a≤C.0＜a＜D.a＞23.若函数f（x）＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A.（－∞，40]B.[40,64]C.（－∞，40]∪[64，＋∞）D.[64，＋∞）24.函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数.若f（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（）A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]25.设奇函数f（x）在[－1,1]上是增函数，且f（－1）＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]满足f（x）≤t2－2at＋1，则t的取值范围是（）A.－2≤t≤2B.－≤t≤C.t≥2或t≤－2或t＝0D.t≥或t≤－或t＝026.已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有（）A.f（a）＋f（b）>－f（a）－f（b）B.f（a）＋f（b）<－f（a）－f（b）C.f（a）＋f（b）>f（－a）＋f（－b）D.f（a）＋f（b）<f（－a）＋f（－b）27.如果f（x）＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f（3＋t）＝f（3－t），那么（）A.f（3）<f（1）<f（6）B.f（1）<f（3）<f（6）C.f（3）<f（6）<f（1）D.f（6）<f（3）<f（1）28.设函数f（x）的定义域是（0，＋∞），且对任意正实数x，y都有f（xy）＝f（x）＋f（y）恒成立，已知f（2）＝1，且x>1时，f（x）>0.（1）求f（）的值；（2）判断y＝f（x）在（0，＋∞）上的单调性并给出证明；（3）解不等式f（2x）>f（8x－6）－1.答案1.如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是（）A.>0B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0C.若x1<x2，则f（a）<f（x1）<f（x2）<f（b）D.>0【答案】C【解析】因为f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），x1－x2与f（x1）－f（x2）的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f（a）≤f（x1）<f（x2）≤f（b）.2.在下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2）的是（）A.f（x）＝x2B.f（x）＝C.f（x）＝|x|D.f（x）＝2x＋1【答案】B3.下列说法中正确的有（）①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f（x1）<f（x2），则y＝f（x）在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－在定义域上是增函数；④函数y＝的单调减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】A【解析】函数的单调性是指定义在区间I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，①不对；②y＝x2，当x≥0时是增函数，当x<0时是减函数，从而y＝x2在其整个定义域上不具有单调性；③y＝－在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5，而f（－3）>f（5）；④y＝的单调递减区间不是（－∞，0）∪（0，＋∞），而是（－∞，0）和（0，＋∞），注意写法.4.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（）A.若f（x）为增函数，g（x）为增函数，则f（x）＋g（x）为增函数B.若f（x）为减函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为减函数C.若f（x）为增函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为增函数D.若f（x）为减函数，g（x）为增函数，则f（x）－g（x）为减函数【答案】C【解析】∵若f（x）为增函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）的增减性不确定.例如：f（x）＝x＋2为R上的增函数，当g（x）＝－x时，则f（x）＋g（x）＝x＋2为增函数；当g（x）＝－3x，则f（x）＋g（x）＝－2x＋2在R上为减函数，∴不能确定.5.下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），则下列关于函数f（x）的说法错误的是（）A.函数在区间[－5，－3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[－5,5]上没有单调性【答案】C【解析】若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，故选C.函数的单调性的判定与证明6.在下面的四个选项所给的区间中，函数f（x）＝x2－1不是减函数的是（）A.（－∞，－2）B.（－2，－1）C.（－1,1）D.（－∞，0）【答案】C【解析】函数f（x）＝x2－1为二次函数，单调减区间为（－∞，0]，而（－1,1）不是（－∞，0]的子集，故选C.7.已知函数f（x）在R上是增函数，则下列说法正确的是（）A.y＝－f（x）在R上是减函数B.y＝在R上是减函数C.y＝[f（x）]2在R上是增函数D.y＝af（x）（a为实数）在R上是增函数【答案】A【解析】设x1<x2，因为函数f（x）在R上是增函数，故必有f（x1）<f（x2）.所以－f（x1）>－f（x2），A选项一定成立.其余三项不一定成立，如当f（x）＝x时，B、C不成立，当a<0时，D不成立.8.下列函数中在区间（－∞，0）上单调递增，且在区间（0，＋∞）上单调递减的函数为（）A.y＝B.y＝C.y＝x2D.y＝x3【答案】A【解析】对于函数y＝，令y＝f（x）＝，任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝>0即f（x1）>f（x2），所以函数y＝在区间（0，＋∞）上单调递减.同理可得函数y＝在区间（－∞，0）上单调递增；易知函数y＝在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是单调递减；易知函数y＝x2在区间（－∞，0）上单调递减，在区间（0，＋∞）上单调递增；对于函数y＝x3，令y＝f（x）＝x3，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝（x1－x2）（＋x1x2＋）<0，即f（x1）<f（x2），故函数y＝x3在（－∞，＋∞）上单调递增.9.若函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增【答案】B【解析】由于函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上均为减函数，故a<0，b<0，故二次函数f（x）＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为x＝－<0，故函数f（x）＝ax2＋bx在（0，＋∞）上单调递减.10.对于函数f（x）＝x2＋|x－a|＋1（a∈R），下列结论中正确的是（）A.当a≥0时，f（x）在（－∞，0）上单调递减B.当a≤0时，f（x）在（－∞，0）上单调递减C.当a≥时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增D.当a≤时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增【答案】A【解析】因为f（x）＝所以当a≥0时，则0≤a，又0<，所以f（x）在区间（－∞，0）上单调递减.11.函数y＝f（x）对于任意x，y∈R，有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，当x＞0时，f（x）＞1，且f （3）＝4，则（）A.f（x）在R上是减函数，且f（1）＝3B.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝3C.f（x）在R上是减函数，且f（1）＝2D.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝2【答案】D【解析】设任意x1，x2∈R，x1＜x2，f（x2）－f（x1）＝f（（x2－x1）＋x1）－f（x1）＝f（x2－x1）＋f（x1）－1－f（x1）＝f（x2－x1）－1.∵x2－x1＞0，又已知当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x2－x1）＞1.∴f（x2）－f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2）.∴f（x）在R上是增函数.∵f（3）＝f（1＋2）＝f（1）＋f（2）－1＝f（1）＋[f（1）＋f（1）－1]－1＝3f（1）－2＝4，∴f（1）＝2.12.已知f（x）是定义在R上的增函数，给出下列结论：①y＝[f（x）]2是增函数；②y＝是减函数；③y ＝－f（x）是减函数；④y＝|f（x）|是增函数，其中错误的结论是________.【答案】①②④13.证明f（x）＝在其定义域上是增函数.【答案】证明f（x）＝的定义域为[0，＋∞）.设x1，x2是定义域[0，＋∞）上的任意两个实数，且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝＝.∵0≤x1<x2，∴x1－x2<0，＋>0，∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），∴f（x）＝在它的定义域[0，＋∞）上是增函数.14.已知函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），且当x>0时，0<f（x）<1.求证：f（x）在R上是减函数.【答案】∵对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），令m＝1，n＝0，可得f（1）＝f（1）·f （0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0，∴f（0）＝1.令m＝x＜0，n＝－x＞0，则f（m＋n）＝f（0）＝f（－x）·f（x）＝1，∴f（x）f（－x）＝1，又∵－x＞0时，0＜f（－x）＜1，∴f（x）＝＞1.∴对任意实数x，f（x）恒大于0.设任意x1<x2，则x2－x1>0，∴0<f（x2－x1）<1，∴f（x2）－f（x1）＝f[（x2－x1）＋x1]－f（x1）＝f（x2－x1）f（x1）－f（x1）＝f（x1）[f（x2－x1）－1]<0，∴f（x）在R上是减函数.15.已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数.【答案】方法一设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2.令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0.f（x1）－f（x2）＝f（x＋y）－f（y）＝f（x）＋f（y）－1－f（y）＝f（x）－1.∵x>0，∴f（x）>1，f （x）－1>0，∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）.∴函数f（x）在R上是增函数.方法二设x1>x2，则x1－x2>0，从而f（x1－x2）>1，即f（x1－x2）－1>0.f（x1）＝f[x2＋（x1－x2）]＝f（x2）＋f（x1－x2）－1>f（x2），故f（x）在R上是增函数.16.已知函数f（x）的定义域为R，且对m，n∈R，恒有f（m＋n）＝f（m）＋f（n）－1，且f（－）＝0，当x>－时，f（x）>0.（1）求证：f（x）是R上的增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.【答案】（1）任取x1，x2∈R，且设x1<x2，则x2－x1－>－.由题意，得f（x2－x1－）>0.∵f（x2）－f（x1）＝f[（x2－x1）＋x1]－f（x1）＝f（x2－x1）＋f（x1）－1－f（x1）＝f（x2－x1）－1＝f（x2－x1）＋f（－）－1＝f[（x2－x1）－]＝f（x2－x1－）>0，∴f（x2）>f（x1），∴f（x）是R上的增函数.（2）举例为f（x）＝2x＋1，验证过程如下：f（x）＝2x＋1，其定义域显然为R，对x1，x2∈R，f（x1＋x2）＝2（x1＋x2）＋1，f（x1）＋f（x2）－1＝2x1＋1＋2x2＋1－1＝2（x1＋x2）＋1，∴f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）－1，当x＝－时，f＝2×＋1＝－1＋1＝0.当x>－时，f（x）＝2x＋1>2×＋1＝0，即f（x）>0成立.求函数的单调区间17.函数y＝的单调递增区间是（）A.（－∞，－3]B.C.（－∞，1）D.【答案】B【解析】函数由t＝2x－3与y＝复合而成，故要利用复合函数单调性的有关规律来求.首先由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在（－∞，＋∞）上单调递增，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是.18.函数y＝x2＋x＋1（x∈R）的递减区间是（）A.[－，＋∞）B.[－1，＋∞）C.（－∞，－]D.（－∞，＋∞）【答案】C【解析】y＝x2＋x＋1＝（x＋）2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧函数单调递减，∴当x≤－时，函数y＝x2＋x＋1单调递减.19.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【答案】y＝f（x）的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f（x）在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数.20.求下列函数的单调区间.（1）f（x）＝（x∈[－2,4]）；（2）y＝.【答案】（1）已知函数的定义域为4－x≥0，即（－∞，4]，而[－2,4]为其定义域的子区间，又y＝与y＝4－x在[－2,4]上的单调性相同，且均为减函数，故[－2,4]为函数的单调递减区间.（2）函数y＝的定义域为（－∞，－1）∪（－1，＋∞），∵函数y＝在（－∞，－1）上是减函数，在（－1，＋∞）上是减函数，∴函数y＝的单调递减区间是（－∞，－1）（－1，＋∞）.函数单调性的应用21.若函数f（x）＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为（）A.[，）B.（0，）C.[，＋∞）D.（－∞，]∪[，＋∞）【答案】A【解析】要使f（x）在R上是减函数，需满足：解得≤a＜.22.若函数f（x）＝ax2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（）A.0＜a≤B.0≤a≤C.0＜a＜D.a＞【答案】B【解析】当a≠0时，函数f（x）的对称轴为x＝－，∵f（x）在（－∞，4]上为减函数，∴图象开口朝上，a＞0且－≥4，得0＜a≤.当a＝0时，f（x）＝－2x＋2，显然在（－∞，4]上为减函数.综上知，0≤a≤.23.若函数f（x）＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A.（－∞，40]B.[40,64]C.（－∞，40]∪[64，＋∞）D.[64，＋∞）【答案】C【解析】只需f（x）＝4x2－kx－8的对称轴x＝相对应的值在区间[5,8]外面，即≤5或≥8，∴k≤40或k≥64.24.函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数.若f（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（）A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]【答案】D【解析】∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）.∵f（1）＝－1，∴f（－1）＝－f（1）＝1.故由－1≤f（x－2）≤1，得f（1）≤f（x－2）≤f（－1）.又f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D.25.设奇函数f（x）在[－1,1]上是增函数，且f（－1）＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]满足f（x）≤t2－2at＋1，则t的取值范围是（）A.－2≤t≤2B.－≤t≤C.t≥2或t≤－2或t＝0D.t≥或t≤－或t＝0【答案】C【解析】由题意，得f（－1）＝－f（1）＝－1，f（1）＝1.又∵f（x）在[－1,1]上是增函数，∴当a∈[－1,1]时，有f（x）≤f（1）＝1，∴t2－2at＋1≥1在a∈[－1,1]时恒成立，得t≥2或t≤－2或t＝0.26.已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有（）A.f（a）＋f（b）>－f（a）－f（b）B.f（a）＋f（b）<－f（a）－f（b）C.f（a）＋f（b）>f（－a）＋f（－b）D.f（a）＋f（b）<f（－a）＋f（－b）【答案】C【解析】∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，∵f（x）在R上是增函数，∴f（a）>f（－b），f（b）>f（－a），∴f（a）＋f（b）>f（－a）＋f（－b）.27.如果f（x）＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f（3＋t）＝f（3－t），那么（）A.f（3）<f（1）<f（6）B.f（1）<f（3）<f（6）C.f（3）<f（6）<f（1）D.f（6）<f（3）<f（1）【答案】A【解析】由于f（x）是二次函数，其函数图象为开口向上的抛物线，f（3＋t）＝f（3－t），∴抛物线的对称轴为x＝3，且[3，＋∞）为函数的增区间，由f（1）＝f（3－2）＝f（3＋2）＝f（5），又∵3<5<6，∴f（3）<f（5）<f（6），故选A.28.设函数f（x）的定义域是（0，＋∞），且对任意正实数x，y都有f（xy）＝f（x）＋f（y）恒成立，已知f（2）＝1，且x>1时，f（x）>0.（1）求f（）的值；（2）判断y＝f（x）在（0，＋∞）上的单调性并给出证明；（3）解不等式f（2x）>f（8x－6）－1.【答案】（1）对于任意正实数x，y都有f（xy）＝f（x）＋f（y），∴当x＝y＝1时，有f（1）＝f（1）＋f（1），∴f（1）＝0.当x＝2，y＝时，有f（2×）＝f（2）＋f（），即f（2）＋f（）＝0，又f（2）＝1，∴f（）＝－1.（2）y＝f（x）在（0，＋∞）上为单调增函数，证明如下：设0<x1<x2，则f（x1）＋f（）＝f（x2），即f（x2）－f（x1）＝f（）.因为>1，故f（）>0，即f（x2）>f（x1），故f（x）在（0，＋∞）上为单调增函数.（3）由（1）知，f（）＝－1，∴f（8x－6）－1＝f（8x－6）＋f（）＝f（（8x－6））＝f（4x－3），∴f（2x）>f（4x－3），∵f（x）在定义域（0，＋∞）上为增函数，∴解得解集为{x|<x<}.。
函数的单调性的判断与证明练习题含答案
函数的单调性的判断与证明练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列函数中，在其定义域上为增函数的是( ) A.y =x 4B.y =2−xC.y =x +cos xD.y =−x 122. 下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的是( ) A.y =x 3+1 B.y =x +1xC.y =−1xD.y =x|x|3. 下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( ) A.f (x )=−2x +1 B.f (x )=1x C.f (x )=lg (x −1) D.f (x )=x 24. 已知函数f(x)=3x −(13)x ，则f(x)( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数5. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为( ) A.y =2x B.y =−2x 2C.y =1xD.y =x6. 已知函数f(x)=3x −(13)x，则f(x)（ ） A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数 D.是偶函数，且在R 上是减函数7. 已知函数f (x )={x 2−ax,x ≥2,a x−1−2,x <2满足对于任意实数x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0成立，那么a 的取值范围是( )A.(1,4]B.(1,+∞)C.(1,2]D.[2,4]8. 给定下列函数，其中在区间(0,1)上单调递增的函数是（ ） A.y =−12x 2B.y =|x 2−2x|C.y =(12)x+1D.y =x +1x9. 函数f (x )=e x +e −xe x −e −x 的部分图象大致是( )A. B.C. D.10. 已知函数f (x )={−x 2−4x,x ≥0,x 2−4x,x <0,若f (2−t )>f (t )，则实数t 的取值范围是( )A.(−∞,1)∪(2,+∞)B.(1,2)C.(−∞,1)D.(1,+∞)11. 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f (x )，且f (1)=1，函数f (x +1)的图象关于点(−1,0)中心对称，对于任意x 1,x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，都有x 12019 f (x 1)−x 22019 f (x 2)x 1−x 2>0成立．则f(x)≤1x 2019的解集为( )A.[−1,1]B.(−∞,−1]∪[1,+∞)C.(−∞,−1]∪(0,1]D.(−2019,2019)12. 定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足：①对于任意的x ，y ∈(0,+∞)，都有f (x ⋅y )=f (x )+f (y )；②当x >1时，f (x )>0；③f(√6)=1，则关于x 的不等式f (x )−f (15−x )≥2的解集是( ) A.[2，3]B.[−√2，−1]∪[0，√2]C.[√2，+∞)D.(0，2]13. 函数f(x)=|x−3|的单调递增区间是________.14. 若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________.15. 已知f(x)=x2+(b−2)x是定义在R上的偶函数，则实数b=________，此函数f(x)的单调增区间为________．16. 已知函数g(x)=x3+5x，若g(2a−1)+g(a+4)<0，则实数a的取值范围为________.17. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[−1.08]=−2，定义函数{x}=x−[x]．给出下列四个命题：①函数{x}的定义域为R，值域是[0,1]；有无数个解；②方程{x}=12③函数{x}是奇函数；④函数{x}是增函数．正确命题的序号是________.18. 若函数f(x)=kx2+(k−1)x+2是偶函数，则f(x)的递减区间是________．19. 已知函数，若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是________.20. 已知f(x)=2x.x2+1(1)判断f(x)在[−1, 1]的单调性，并用定义加以证明；(2)求函f(x)在[−1, 1]的最值.21. 已知函数f(x)=−2x+1是定义在R上的奇函数．2x+a(1)求实数a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并利用定义证明．22. 已知f(x)=x，x∈(−2,2).x2+4(1)用定义证明函数f(x)在(−2,2)上为增函数；(3)若f(a+2)>f(2a−1)，求实数a的取值范围．+m(m∈R)是奇函数．23. 已知函数f(x)=12x+1(1)求实数m的值；(2)判断f(x)的单调性（不用证明）；(3)求不等式f(x2−x)+f(−2)<0的解集．24. 已知a>0，函数f(x)=1．1+a⋅3x(1)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明；(2)设g(x)=f(x)f(−x)，若对任意x∈[−1,1]，g(x)≥f(2)恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析函数的单调性的判断与证明练习题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ） 1.【答案】 C【考点】函数单调性的判断与证明 利用导数研究函数的单调性【解析】利用常见的幂函数，指数函数分析选项ABD 中函数的单调性，利用导数研究C 中函数的单调性即可得到答案. 【解答】解：A ，函数y =x 4在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，不满足题意； B ，y =2−x=(12)x在定义域内单调递减，不满足题意；C ，∵ 函数y =x +cos x 的定义域为R ，且y ′=1−sin x ≥0， ∴ 函数y =x +cos x 在其定义域上单调递增，满足题意；D ，y =−x 12在定义域内单调递减，不符合题意. 故选C . 2. 【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明 函数奇偶性的判断【解析】利用函数奇偶性，单调性，逐项判定得解. 【解答】解：对于A ，设f (x )=x 3+1，f(−x)=−x 3+1≠−f (x )，不是奇函数，故不符合题意；对于B ，由题设知函数为奇函数，在(−1,0)，(0,1)单调递减，在(−∞,−1)，(1,+∞)单调递增，故不符合题意；对于C ，函数为奇函数，在(−∞,0)，(0,+∞)分别单调递增，故不符合题意； 对于D ，y =x |x |={x 2,x ≥0,−x 2,x <0,可得函数为奇函数，且在定义域单调递增，故符合题意. 故选D . 3.【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明【解析】对于A:f (x )=−2x +1在定义域上单调递减，不符合题意； 对于B:f (x )=1x 函数在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，不符合题意；对于C:f (x )=lg (x −1)，定义域为(1,+∞)，不符合题意；对于D:f (x )=x 2，函数在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，满足条件． 故选：D . 【解答】解：对于A ，f (x )=−2x +1在定义域上单调递减，不符合题意； 对于B ，f (x )=1x 函数在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，不符合题意；对于C ，f (x )=lg (x −1)，定义域为(1,+∞)，不符合题意；对于D ，f (x )=x 2，函数在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，满足条件． 故选D . 4.【答案】 B【考点】函数单调性的判断与证明 函数奇偶性的判断【解析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性. 【解答】解：易知函数f(x)的定义域为R ， f(−x)=(13)x−3x =−f(x)，所以为奇函数.因为y =(13)x 在R 上是减函数， 所以y =−(13)x 在R 上是增函数，又y =3x 在R 上是增函数，所以函数f(x)=3x−(13)x在R 上是增函数. 故选B . 5.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据奇偶性及单调性，首先判断奇偶性，再判断单调性即可. 【解答】解：对于A ，函数y =2x 为非奇非偶函数，故A 不满足题意； 对于B ，函数y =−2x 2为偶函数，故B 不满足题意；对于C ，函数y =1x 为奇函数，在(−∞,0)，(0,+∞)上为减函数，故C 不满足题意；对于D ，函数y =x 为奇函数，且在R 上是增函数，故D 满足题意. 故选D . 6. 【答案】 A【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为f(x)=3x−(13)x，且定义域为R ，所以f(−x)=3−x −(13)−x =(13)x −3x =−[3x −(13)x]=−f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y =3x 在R 上是增函数，y =(13)x在R 上是减函数，所以f(x)=3x−(13)x在R 上是增函数．故选A ． 7. 【答案】 C【考点】函数单调性的判断与证明 分段函数的应用 【解析】由已知可得函数f (x )是定义在R 上的增函数，则{a2≤2,a >1,4−2a ≥a −2,解得a 的取值范围．【解答】解：∵ 对于任意实数x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0成立，故函数f (x )是定义在R 上的增函数， 则{a 2≤2,a >1,4−2a ≥a −2,解得a ∈(1,2].故选C ． 8.【答案】 B【考点】函数单调性的判断与证明 【解析】此题暂无解析 【解答】解：对于A ，y =−12x 2为二次函数，其图像的开口向下，对称轴是直线x =0， 所以y =−12x 2在区间(0,1)上单调递减；对于B ，当x ∈(0,1)时，y =|x 2−2x|=−x 2+2x ，因为抛物线y =−x 2+2x 的对称轴是直线x =1，且开口向下，所以函数y =|x 2−2x|在区间(0,1)上单调递增； 对于C ，y =(12)x+1=12⋅(12)x，因为0<12<1，所以函数y =(12)x+1在区间(0,1)上单调递减；对于D ，y =x +1x ≥2，当且仅当x =1时等号成立，所以由对勾函数的性质知函数y =x +1x 在区间(0,1)上单调递减． 故选B ． 9.【答案】 A【考点】函数奇偶性的判断 函数图象的作法 函数单调性的判断与证明【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知函数的定义域为{x|x ≠0}，定义域关于原点对称， 由于f (x )+f (−x )=e x +e −xe x −e −x +e −x +e xe −x −e x =e x +e −x −e −x −e −xe x −e −x=0，即f (−x )=−f (x )，所以y =e x +e −xe x −e −x 是奇函数，排除选项B ； 因为y =e x +e −x e x −e −x=1+2(e x )2−1=1+2(e 2)x −1在(0,+∞)上为减函数，排除选项D ；当x =1时，f (1)=1+2e 2−1>0，排除选项C ．故选A ．10.【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明 函数单调性的性质【解析】 【解答】解：根据题意知，函数f (x )={−x 2−4x,x ≥0,x 2−4x,x <0,当x ≥0时，f (x )=−x 2−4x =−(x +2)2+4，则函数f (x )在[0,+∞)上单调递减，有f (x )≤f (0)=0. 当x <0时，f (x )=x 2−4x =(x −2)2−4，则函数f (x )在(−∞,0)上单调递减，有f (x )>f (0)=0. 综上可得函数f (x )在R 上为减函数. 若f (2−t )>f (t )，则2−t <t ，解得t >1，即实数t 的取值范围为(1,+∞)． 故选D . 11.【答案】 C【考点】函数单调性的性质 函数奇偶性的判断 函数奇偶性的性质 函数单调性的判断与证明【解析】首先确定函数f (x )的奇偶性，再构造新函数g(x)=x 2019f(x)，并确定奇偶性及单调性，即可解出不等式. 【解答】解：由于f(x +1)的图象关于点(−1,0)中心对称， 则f (x )的图象关于点(0,0)中心对称， 即函数f (x )在定义域上为奇函数， 令g (x )=x 2019f (x )，则g (−x )=(−x )2019f (−x )=x 2019f (x )=g (x )， 所以g (x )为偶函数，又x 1,x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2， 都有x 12019f (x 1)−x 22019f (x 2)x 1−x 2>0，即可得函数g (x )在(0,+∞)为增函数， 由奇偶性与单调性的关系可得： 函数g (x )在(−∞,0)为增函数， 又g (1)=12019×f (1)=1，g (−1)=(−1)2019×f (−1)=−1×[−f (1)]=1 由f(x)≤1x 2019，当x >0时，x 2019f(x)≤1=g (1)， 所以0<x ≤1；当x <0时，x 2019f(x)≥1=g (−1)， 所以x ≤−1.综上可得：x∈(−∞,−1]∪(0,1].故选C.12.【答案】A【考点】函数新定义问题抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】证明函数单调递增，f(6)=f(√6)+f(√6)=2，变换不等式为f(x)≥f(65−x)，利用函数单调性解得答案．【解答】解：设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)=f(x2x1⋅x1)−f(x1)=f(x2x1)>0，即函数在(0，+∞)上单调递增．∵ f(√6)=1，∴ f(6)=f(√6)+f(√6)=2．∵ f(x)−f(15−x)≥2，∴ f(x)≥f(15−x )+f(6)=f(65−x)，故满足{x>0，65−x>0，x≥65−x，解得x∈[2，3]．故选A．二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）13.【答案】[3,+∞)【考点】函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】讨论去绝对值，即可得到函数，从而确定单调性.【解答】解：当x≥3时，f(x)=x−3，此时f(x)为增函数；当x<3时，f(x)=−(x−3)=−x+3，此时f(x)为减函数，所以f(x)的单调增区间为[3,+∞).故答案为：[3,+∞).14.【答案】[18,13) 【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明 对数函数的单调性与特殊点 【解析】根据分段函数的单调性可得{3a −1<03a −1)×1+4a ≥−a a >0×1+4a ≥−a ，解不等式组即可求解． 【解答】由题意知，{3a −1<03a −1)×1+4a ≥−a a >0×1+4a ≥−a解得{a <13a ≥8a >0，所以a ∈[18,13)故答案为：[18,13)15.【答案】 2,(0, +∞) 【考点】 偶函数函数单调性的判断与证明【解析】f(x)＝x 2+(b −2)x 是定义在R 上的偶函数，对称轴为y 轴，进而求解． 【解答】解：f(x)=x 2+(b −2)x 是定义在R 上的偶函数， 对称轴为y 轴，则b =2，于是f(x)=x 2，单调增区间为(0, +∞)． 故答案为：2；(0, +∞). 16.【答案】 a <−1 【考点】函数奇偶性的性质 函数奇偶性的判断 函数单调性的判断与证明 函数的单调性及单调区间 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵g(−x)=−x3−5x=−g(x)，∴函数g(x)是奇函数，且函数在R上单调递增，∴原不等式可化为g(a+4)<−g(2a−1)=g(1−2a)，∴a+4<1−2a，解得a<−1.故答案为：a<−1.17.【答案】②【考点】函数的值域及其求法函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识逐一对四个命题进行正误判断. 【解答】解：①函数{x}的定义域是R，但是0≤x−[x]<1，故函数{x}的值域为[0,1)，故①错误；，②∵{x}=x−[x]=12∴x=[x]+1，2∴x=1.5，2.5，3.5，⋯，应为无数多个，故②正确；③∵函数{x}的定义域是R，而{−x}=−x−[−x]≠−{x}，{−x}=−x−[−x]≠{x}，∴函数{x}是非奇非偶函数，故③错误；④函数{x}在每一个单调区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，故④错误．综上所述，②正确.故答案为：②．18.【答案】(−∞, 0]【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】根据偶函数的性质求出k值，再根据二次函数的图象即可求出其单调减区间．【解答】解：因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)．即kx2−(k−1)x+2=kx2+(k−1)x+2，所以2(k−1)x=0，所以k=1．则f(x)=x2+2，其递减区间为(−∞, 0]．故答案为：(−∞, 0]．19.【答案】加加加(−∞,−1]【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质函数的图象【解析】可先将f(x+m)+mf(x)<0采用代入法转化为常规表达式，采用分类讨论去绝对值的方式，来进一步探讨不等式是否成立，进一步确定参数m的范围【解答】f(x+m)+mf(x)<0可等价转化为(x+m)|x+m|+m|x|<0对任意x≥1恒成立，当m≥0时，不等式转化为(x+m)2+mx2<0对任意x≥1恒成立，显然无解；当me(−1,0)时，不等式转化为(x+n)2+mx2<0，即(m+1)x2−2mx+m2<0，显然当x→+y时不成立；当m=−1时，(x+m)|x+m|+mx||x|<0⇔(x−1)2−x2<0，即1−2x<0对任意x≥1恒成立，经检验，恒成立；当m<−1时，(x+m)||+m||+mx||x|<0⇔(x+m)|(−m)|+mx2对任意x≥1恒成立尚需进一步讨论，当1<x<−m时，不等式等价于−(x−m)2+nx2<0即(m−1)x2−2mx−m2<0Δ=4m2+4m2(m−1)=4m3<0，令y=(m−1)x2−2mx−m2，函数开口向下，则(m−1)x2−2mx−m2<0恒成立；当x>−m时，(x+m)|x+m|+m|x|<0⇔(xxm)2mx0，即(m+1)2−2mx+m2< 0此时对应的对称轴为x=−mm+1<1，又−mn+1<−m，则y=(m+1)x2−2mx+m2在区间[−m,+∞]为减区间，即y=(m−1)x2−2mx+m2≤y(−n)=m3<0恒成立；综上所述，当m∈(−∞,−1]时，对任意x≥1，有f(x+m)+nf(x)<0恒成立故答案为：(−∞,−1]三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）20.【答案】解：(1)函数f(x)在[−1.1]上单调递增；证明如下：设任意−1<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=2x1x12+1−2x2x22+1=2x1x22+2x1−2x2x12−2x2(x12+1)(x22+1)=2(x1−x2)(1−x1x2)(x12+1)(x22+1)<0，故函数f(x)在[−1.1]上单调递增；(2)由(1)的结论，f(x)在区间[−1，1]上单调递增，则f(x)的最大值f(1)=1，最小值f(−1)=−1.【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）由（1）根据函数的单调性即可解答．【解答】解：(1)函数f(x)在[−1.1]上单调递增；证明如下： 设任意−1<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1x 12+1−2x2x 22+1=2x 1x 22+2x 1−2x 2x 12−2x 2(x 12+1)(x 22+1)=2(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 12+1)(x 22+1)<0，故函数f(x)在[−1.1]上单调递增；(2)由(1)的结论， f (x )在区间[−1，1]上单调递增，则f (x )的最大值f(1)=1，最小值f (−1)=−1. 21. 【答案】 解：(1)f (−x )=−2−x +12−x +a=2x −1a⋅2x +1，由f (−x )=−f (x )得： 2x −1a⋅2x +1=−−2x +12x +a⇒2x +a =a ⋅2x +1，解得a =1．验证，当a =1时，f (x )=−2x +12x +1，f (−x )=−2−x +12−x +1=2x −12x +1=−f (x )满足题意,∴ a =1．(2)f (x )为减函数. 证明：由(1)知f (x )=−2x +12x +1=22x +1−1，在R 上任取两个不相等的实数x 1，x 2，且x 1<x 2， f(x 1)−f(x 2)=22x 1+1−22x 2+1=2×2x 2−2x 1(2x 1+1)⋅(2x 2+1).由y =2x 为R 上的增函数，x 1<x 2，2x 2>2x 1， ∴ 2x 2−2x 1>0，(2x 1+1)⋅(2x 2+1)>0， 则f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )为减函数． 【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明 【解析】 无 无 【解答】 解：(1)f (−x )=−2−x +12−x +a=2x −1a⋅2x +1，由f (−x )=−f (x )得： 2x −1a⋅2x +1=−−2x +12x +a⇒2x +a =a ⋅2x +1，解得a =1．验证，当a =1时，f (x )=−2x +12x +1，f (−x )=−2−x +12−x +1=2x −12x +1=−f (x )满足题意,∴ a =1．(2)f (x )为减函数. 证明：由(1)知f (x )=−2x +12x +1=22x +1−1，在R 上任取两个不相等的实数x 1，x 2，且x 1<x 2， f(x 1)−f(x 2)=22x 1+1−22x 2+1=2×2x 2−2x 1(2x 1+1)⋅(2x 2+1).由y =2x 为R 上的增函数，x 1<x 2，2x 2>2x 1， ∴ 2x 2−2x 1>0，(2x 1+1)⋅(2x 2+1)>0， 则f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )为减函数． 22.【答案】(1)证明：任取x 1，x 2∈(−2,2)，且x 1<x 2，所以f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x2x 22+4=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4).因为−2<x 1<x 2<2，所以x 2−x 1>0，x 1x 2−4<0，则f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 所以函数f(x)在(−2,2)上为增函数.(2)解：由(1)知，f(x)在(−2,2)上单调递增，又f(a +2)>f(2a −1),所以{−2<a +2<2，−2<2a −1<2，a +2>2a −1，解得{−4<a <0,−12<a <32,a <3,即−12<a <0，所以a 的取值范围是(−12,0). 【考点】函数单调性的判断与证明 函数单调性的性质【解析】(2)根据函数的单调性的定义，采用作差法判断−2<x 1<x 2<2时f(x 1)−f(x 2)的符号，即可证明.(3)根据(2)中的结论得到关于a 的不等式组，求解即可. 【解答】(1)证明：任取x 1，x 2∈(−2,2)，且x 1<x 2，所以f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x2x 22+4=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4).因为−2<x 1<x 2<2，所以x 2−x 1>0，x 1x 2−4<0，则f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 所以函数f(x)在(−2,2)上为增函数.(2)解：由(1)知，f(x)在(−2,2)上单调递增，又f(a +2)>f(2a −1),所以{−2<a +2<2，−2<2a −1<2，a +2>2a −1，解得{−4<a <0,−12<a <32,a <3,即−12<a <0，所以a 的取值范围是(−12,0).23. 【答案】 解：(1)由f (x )=12x +1+m 的定义域为R ，可得f (0)=12+m =0，可得m =−12． 经验证，m =−12符合题意． ∴ m =−12，f (x )=12x +1−12.(2)∵ y =2x 为增函数，∴ y =2x +1为增函数，且2x +1>1， 所以y =12x +1为减函数，可得f (x )=12x +1−12在R 上为减函数． (3)由f(x 2−x)+f(−2)<0，可得f(x 2−x)<−f(−2)， 即f(x 2−x)<f(2)，由f (x )=12x +1−12在R 上为减函数，所以x 2−x >2，即x 2−x −2>0，所以x <−1或x >2， 故解集为(−∞, −1)∪(2, +∞)． 【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明 函数单调性的性质【解析】（1）根据函数奇偶性的性质，利用f(0)＝0进行求解即可． （2）根据函数单调的性质进行判断即可．（3）根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可． 【解答】解：(1)由f (x )=12x +1+m 的定义域为R ，可得f (0)=12+m =0，可得m =−12． 经验证，m =−12符合题意．∴ m =−12，f (x )=12x +1−12.(2)∵ y =2x 为增函数，∴ y =2x +1为增函数，且2x +1>1， 所以y =12x +1为减函数，可得f (x )=12x +1−12在R 上为减函数．(3)由f(x 2−x)+f(−2)<0，可得f(x 2−x)<−f(−2)， 即f(x 2−x)<f(2)，由f (x )=12x +1−12在R 上为减函数，所以x 2−x >2，即x 2−x −2>0，所以x <−1或x >2， 故解集为(−∞, −1)∪(2, +∞)． 24.【答案】(1)证明：当a >0时，f(x)在R 上单调递减． 任取x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=a(3x 2−3x 1)(1+a⋅3x 1)(1+a⋅3x 2)，由于x 1<x 2，所以3x 2−3x 1>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，故f(x)在R 上单调递减． (2)解：依题意，g(x)=11+a⋅3x ⋅11+a⋅3−x =1a(3x +13x )+a 2+1(x ∈[−1,1])．令t =3x ，t ∈[13,3]，所以y =t +1t 在[13,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增， 且当t =13和t =3时，y =103，而当t =1时，y =2，所以y =t +1t∈[2,103]．因为a >0，所以a(3x +13x )+a 2+1≤103a +a 2+1，故g(x)=1a(3x +13x )+a 2+1≥1103a+a 2+1．因为对任意x ∈[−1,1]，g(x)≥f(2)=19a+1恒成立， 所以1103a+a 2+1≥19a+1，即103a +a 2+1≤9a +1， 化简得a 2−173a ≤0，解得0<a ≤173，故a 的取值范围是(0,173]．【考点】函数单调性的判断与证明 函数恒成立问题 【解析】【解答】(1)证明：当a >0时，f(x)在R 上单调递减． 任取x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=a(3x 2−3x 1)(1+a⋅3x 1)(1+a⋅3x 2)， 由于x 1<x 2，所以3x 2−3x 1>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，故f(x)在R 上单调递减． (2)解：依题意，g(x)=11+a⋅3x ⋅11+a⋅3−x =1a(3x +13x )+a 2+1(x ∈[−1,1])．令t =3x ，t ∈[13,3]，所以y =t +1t 在[13,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增， 且当t =13和t =3时，y =103，而当t =1时，y =2，所以y =t +1t ∈[2,103]． 因为a >0， 所以a(3x +13x )+a 2+1≤103a +a 2+1，故g(x)=1a(3x +13x )+a 2+1≥1103a+a 2+1．因为对任意x ∈[−1,1]，g(x)≥f(2)=19a+1恒成立， 所以1103a+a 2+1≥19a+1，即103a +a 2+1≤9a +1， 化简得a 2−173a ≤0，解得0<a ≤173，故a 的取值范围是(0,173]．。
函数的单调性及答案
函数单调性一．单调性的定义及证明1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是（ ）A.f(x 1)－f(x 2)x 1－x 2>0 B ．(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]＞0C ．f(a)＜f(x 1)＜f(x 2)＜f(b) D.x 1－x 2f(x 1)－f(x 2)>03．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，且a ＋b>0，则有( ) A ．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b) B ．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b) C ．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) D ．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)4.已知函数f （x ）=2﹣．判断函数f （x ）在区间（﹣∞，0）上的单调性并用定义证明5.判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．6. 证明函数f (x )＝2x －1x在(－∞，0)上是增函数．7.判定函数2()((1,1))1axf x x x =∈--的单调性。
8.试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性．二．常见函数的单调性1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则 ( )A ．k ＞12B ．k ＜12C ．k ＞－12D ．k ＜－123．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是 ( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减4. 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．5．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5)6．若y ＝ax ，y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是__________函数．(选填“增”减 ）7．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞三．单调性的应用1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞) 2．如果函数y=（2a ﹣1）x+b 在R 上是增函数，则a 的取值范围是3．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]4．已知函数f （x ）=，则它们的单调增区间是5．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于( )A ．－7B ．1C ．17D ．256．若函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是… ( )A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥3 7．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是( ) A ．{m|0≤m ≤14} B ．{m|0<m ≤14} C ．{m|0≤m<14} D ．{m|0<m<14}8.f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，若f （x ）＞f （2﹣x ），则x 的取值范围是 ．9．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是______．10.(1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )<f (m 2)的实数m 的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. 11．函数f (x )=22++x ax 在区间(－∞，－2)上单调递减，则实数a 的取值范围（ ） A ．(0，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 13．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．14．已知函数f(x)＝kx 2－4x －8在[5,20]上是单调函数，求实数k 的取值范围．15．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．2516．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x )（ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 17．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (918．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)19.已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)20．若函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为___四．复合函数单调性1．求函数f (x )＝x 2＋x －6的单调区间．2.讨论函数y =的单调性．五．利用单调性求最值1．已知函数在区间[1，3]上的最大值为A ，最小值为B ，则A+B=（ ）A ．B ．C ．2D ．2．已知函数（x ∈[2，6]）则f （x ）的最大值与最小值的和为（ ）A ．3B ．2.4C ．4.2D ．43．函数y=的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 4．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 212≤x ≤11x1＜x ≤2，求f (x )的最大值_______ 最小值_______6．函数f （x ）的图象如图所示，则最大、最小值分别为（ ）A ．f （），f （﹣）B ．f （0），f （）C ．f （0），f （﹣）D ．f （0），f （3）7．求二次函数y=﹣2x 2﹣x+1在[﹣3，1]的最大值 最小值 ．8．函数f(x)＝x 2－4x ＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2,4]C ．(－∞，2]D ．[0,2] 9．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________． 10．(1)函数f (x )＝1x －1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． (2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝__________.11．已知函数f(x)＝x －1x ＋1（1）求证：函数在),0(+∞∈x 上为增函数 （2）求函数在)3,1(∈x 上的最大值和最小值．12．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．六．单调性综合题型1．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．2.已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0， f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．3．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域．函数单调性七．单调性的定义及证明1. A2. C3.C ∵a ＋b>0，∴a>－b ，b>－a.由函数的单调性可知，f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)．两式相加得C 正确．4. 4. 【解答】解：（1）证明：对于函数f （x ）=2﹣，令x 1＜x 2＜0， 由于f （x 1）﹣f （x 2）=﹣+=，而由题设可得x 1•x 2＞0，x 1﹣x 2＜0，∴＜0，即f （x 1）＜f （x 2），故函数f （x ）在区间（﹣∞，0）上单调递增．5. 解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----，由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)．故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．6. 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2.则f (x 1)＝2x 1－1x 1，f (x 2)＝2x 2－1x 2，f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 2 ＝2(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2 由于x 1<x 2<0，所以x 1－x 2<0,2＋1x 1x 2>0，因此f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在(－∞，0)上是增函数． 7.【答案】0a >时，为减函数0a <，为增函数 【解析】1212122212,()()12ax ax x x f x f x x x <-=---222212121121()/(1)(1)a x x x x x x x =--+- 222112120,10,(1)(1)0x x x x x x ->+>--> 22211212()(1)/(1)(1)0x x x x x x -+-->时，12()()0f x f x ->为减函数，0a <，为增函数8.[解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0，＋∞)内任取1x ，2x ，令12x x <，那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >.故当)12,x x ∈+∞时，()()12f x f x <，即函数在)+∞上单调递增．当(12,x x ∈时，()()12f x f x >，即函数在(上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(,-∞单调递增，在()上单调递减． 综上，函数f (x )在(,-∞和)+∞上单调递增，在()和(上单调递减．八．常见函数的单调性1. C2. D3. C4. D5. B6. 减7. C8.A9.A九．单调性的应用1. A2.（，+∞） ．3. 答案：D 解析:f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.4. （﹣∞，﹣1]和[1，+∞） ．5.D6. A7. A 当m ＝0时，y ＝x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，符合题意；当m<0时，－12m >0，显然不合题意；当m>0时，由－12m ≤－2，得m ≤14，即0<m ≤14. 综上可知0≤m ≤148. 【解答】解：由于f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调增函数， 则f （x ）＞f （2﹣x ）， 等价为，解得，即有1＜x ＜2．则解集为（1，2）．9. 解析：由题意知f (m )>f (n )；⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0.故－1<x <1且x ≠0.答案：> (－1,0)∪(0,1)10. (1)∵f (x )在R 上为增函数，∴2－m <m 2.∴m 2＋m －2>0.∴m >1或m <－2.(2)由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －a ，x <－a2，2x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，故3＝－a 2，解得a ＝－6. 11. C11. 解析：设x 1>x 2>－2，则f (x 1)>f (x 2)，而f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1x 1＋2x 2＋2＝x 1－x 22a －1x 1＋2x 2＋2>0，则2a －1>0.得a >12.12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞13.∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m ＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，14. ．解：因为自变量最高次数项的系数含有变量，所以应分类讨论． (1)当k ＝0时，f(x)＝－4x －8，它是[5,20]上的单调减函数．(2)当k ≠0时，有下列两种情形：①k>0时，当2k ≥20，即0<k ≤110，f(x)在[5,20]上是减函数；当2k ≤5，即k ≥25时，f(x)在[5,20]上是增函数．②k<0时，当2k ≥20时，不等式无解；当2k ≤5，即k<0时，f(x)在[5,20]上是减函数．综上可知，实数k 的取值范围是(－∞，110]∪[25，＋∞)15. D 16. A 17.C 18.C19.解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．20.f (a 2－a ＋1)≤f (34)十．复合函数单调性1.解：设u ＝x 2＋x －6，y ＝u .由x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.结合二次函数的图象可知，函数u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．又∵函数y ＝u 是递增的，∴函数f (x )＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的． 2.【解析】定义域2230x x +-≥()()130x x -+≥ 3x ≤-，1x ≥ ()222314x x x +-=+-1x <-时减函数，1x >-是增函数是增函数，所以y 和底数单调性相同，结合定义域 所以增区间()1,+∞，减区间(),3-∞-十一．利用单调性求最值1.【解答】解：易知函数在区间[1，3]上是减函数，f （1）==2；f （3）=；故A+B=2+=；故选D ． 2.解：∵函数（x ∈[2，6]），∴根据图象可判断单调递减，f （2）=2，f （6）=，f （x ）的最大值与最小值的和为2.4；3. x ＜1时，y ＜4；x ≥1时，y ≤5，∴函数y=的最大值是5，故选：C4.A5.解：当－12≤x ≤1时，由f (x )＝x 2，得f (x )最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝0；当1＜x ≤2时，由f (x )＝1x ，得f (2)≤f (x )＜f (1)，即12≤f (x )＜1.综上f (x )max ＝1，f (x )min ＝0.6.C7.﹣148.B f(x)＝(x －2)2＋1，最小值1为x ＝2时取得，最大值5为x ＝0,4时取得，∴m 的取值为[2,4]．9.答案：1511010.解析：(1)∵f ′(x )＝－1x －12<0，∴f (x )在[2,3]上为减函数，∴f (x )min＝f (3)＝13－1＝12，f (x )max ＝12－1＝1. (2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，所以⎩⎨⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f 22，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.11．解：（1）f(x)＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1. 设x 1，x 2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝1－2x 1＋1－1＋2x 2＋1＝2x 2＋1－2x 1＋1＝2(x 1＋1)－2(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1).由1≤x 1<x 2≤3，得x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．所以，函数f(x)＝x －1x ＋1是区间[1,3]上的增函数． （2）函数f(x)＝x －1x ＋1在区间[1,3]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x ＝1时取得最小值，最小值是0，在x ＝3时取得最大值，最大值是12.12.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x -- =(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27．(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．十二．单调性综合题型1.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x2.解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ， 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 解：(1)∵当x >0，y >0时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )， ∴令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0. (2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，∵x 2>x 1>0.∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0.∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)， ∵f (4)＝2，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫164＝f (16)－f (4)，∴f (16)＝2f (4)＝4，∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]．。
函数单调性答案
第2讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件.①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值例题1．设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为()．A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)答案 C2．(2011·湖南)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )． A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]D ．(1,3)解析 函数f (x )的值域是(－1，＋∞)，要使得f (a )＝g (b )，必须使得－x 2＋4x －3＞－1.即x 2－4x ＋2＜0，解得2－2＜x ＜2＋ 2. 答案 B3．(2012·保定一中质检)已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )． A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由已知条件：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，不等式等价于⎩⎨⎧|x |<1，x ≠0，解得－1<x <1，且x ≠0.答案 C 4．(2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______．解析 要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1＞0，即x ＞－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x ＞－12时，u ＝2x ＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 5．若x ＞0，则x ＋2x 的最小值为________． 解析 ∵x ＞0，则x ＋2x ≥2x ·2x ＝2 2当且仅当x ＝2x ，即x ＝ 2时，等号成立，因此x ＋2x 的最小值为2 2. 答案 2 2考向一 函数的单调性的判断【例1】►试讨论函数f (x )＝xx 2＋1的单调性．解 法一 f (x )的定义域为R ，在定义域内任取x 1＜x 2， 都有f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(x 21＋1)(x 22＋1)， 其中x 1－x 2＜0，x 21＋1＞0，x 22＋1＞0.①当x 1，x 2∈(－1,1)时，即|x 1|＜1，|x 2|＜1，∴|x 1x 2|＜1，则x 1x 2＜1,1－x 1x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )为增函数． ②当x 1，x 2∈(－∞，－1]或[1，＋∞)时， 1－x 1x 2＜0，f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )为减函数．综上所述，f (x )在[－1,1]上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数． 法二 ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋1′＝x 2＋1－x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2(x 2＋1)2＝1－x 2(x 2＋1)2，∴由f ′(x )＞0解得－1＜x ＜1.由f ′(x )＜0解得x ＜－1或x ＞1，∴f (x )在[－1,1]上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数． 【训练1】 讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝ax －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝ax 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．考向二 利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)【例2】►已知函数f (x )＝x 2＋ax (a >0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．解 法一 设2<x 1<x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－ax 1x 2<0恒成立．即当2<x 1<x 2时，x 1x 2>a 恒成立．又x 1x 2>4，则0<a ≤4.法二 f (x )＝x ＋a x ，f ′(x )＝1－ax 2＞0得f (x )的递增区间是(－∞，－a )，(a ，＋∞)，根据已知条件a ≤2，解得0<a ≤4.【训练2】 函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3 解析 y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，需⎩⎨⎧a －3<0，a ＋2≤－1，即⎩⎨⎧a <3，a ≤－3，∴a ≤－3. 答案 C考向三 利用函数的单调性求最值【例3】►已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明 法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有 f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数． 法二 设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0， ∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.【训练3】 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x＞1时，f (x )＜0. (1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解 (1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在[0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.如何解不等式恒成立问题【示例】►(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a恒成立，求a 的取值范围．[解答示范] ∵f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，∴此二次函数图象的对称轴为x ＝a (1分) (1)当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.(3分)要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ， 解得a ≥－3，即－3≤a ＜－1.(6分)(2)当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.(8分) 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2－a 2≥a (10分)解得－2≤a ≤1，即－1≤a ≤1.(11分) 综上所述，实数a 的取值范围为[－3,1](12分)【试一试】 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围________． 解析 法一 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0可化为：m <－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，又函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(1,2)上递增，则f (x )>－5， 则m ≤－5.。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。
(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。
(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。
3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。
二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，试讨论是否存在，使得.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）先求出导数为二次函数，对和进行分类讨论，根据导数的正负求出函数的单调区间；（2）由作差法将等式进行因式分解，得到，于是将问题转化为方程在上有解，并求出该方程的两根，并判定其中一根在区间上，并由以及确定满足条件时的取值范围，然后取相应的补集作为满足条件时的取值范围.（1），方程的判别式为，①当时，，则，此时在上是增函数；②当时，方程的两根分别为，，解不等式，解得或，解不等式，解得，此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；综上所述，当时，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2），若存在，使得，必须在上有解，，，方程的两根为，，，，依题意，，即，，即，又由得，故欲使满足题意的存在，则，所以，当时，存在唯一满足，当时，不存在满足.【考点】本题以三次函数为考查形式，考查利用导数求函数的单调区间，从中渗透了利用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题，并考查了利用作差法求解不等式的问题，综合性强，属于难题.2.函数的单调递减区间是________.【答案】【解析】因为函数定义域为所以当，单调减，函数单调减，当，单调增，函数单调增，故函数的单调递减区间是【考点】复合函数单调区间3.已知函数f(x)＝x＋(x≠0，a∈R)．(1)当a＝4时，证明：函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）(－∞，4]．【解析】解：f′(x)＝1－＝.(1)证明：当a＝4时，∵x∈[2，＋∞)，∴x2－4≥0，∴f′(x)≥0，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增．(2)若f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤x2在[2，＋∞)上恒成立，∴a≤4，∴实数a的取值范围为(－∞，4]．4.如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A),要求PM＝PN＝MN＝2(单位:千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．【答案】设计∠AMN为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小【解析】设∠AMN＝θ，在△AMN中，．因为MN＝2,所以AM＝sin(120°－θ) ．在△APM中,cos∠AMP＝cos(60°＋θ).AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°θ) cos(60°＋θ)＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4＝[1－cos (2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4＝[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋＝－sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)．当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值.答:设计∠AMN为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．5.如果函数在上的最大值和最小值分别为、，那么.根据这一结论求出的取值范围（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】函数在区间上最大值为1，最小值为，即，所以，，即取值范围为，选B.【考点】新定义概念与函数的最值.6.若不等式对任意不大于1的实数x和大于1的正整数n都成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，即即∴，令由于，故在上为减函数，故，∴即可，故选．【考点】对数式的运算、恒成立问题、函数单调性.7.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是奇函数，所以选项A不正确；因为是偶函数，其单调递增区间是，所以选项B不正确；是偶函数，在上单调递减，所以选项C不正大确；因为是偶函数，且在区间上为增函数，所以选项D正确.【考点】1、三角函数的图象和性质；2、三角函数的诱导公式.8.（2013•湖北）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g （x）单调递减．∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．∵，f′（x1）=lnx1+1﹣2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1﹣2ax2=0．且f（x1）=x1（lnx1﹣ax1）=x1（2ax1﹣1﹣ax1）=x1（ax1﹣1）＜x1（﹣ax1）=＜0，f（x2）=x2（lnx2﹣ax2）=x2（ax2﹣1）＞=﹣．（）．故选D．9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋≤2f(1)，则a的取值范围是 ()A．[1,2]B．C．D．(0,2]【答案】C【解析】由题意知a>0，又＝log2a－1＝－log2a.∵f(x)是R上的偶函数，∴f(log2a)＝f(－log2a)＝．∵f(log2a)＋≤2f(1)，∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又因f(x)在[0，＋∞)上递增．∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1，∴a∈，选C10.已知函数，，．（1）若，试判断并用定义证明函数的单调性；（2）当时，求证函数存在反函数．【答案】（1）增函数；（2）参考解析【解析】（1）当时，，.通过函数的单调性的定义可证得函数，单调递增.（2）由，所以将x的区间分为两类即和.所以函数.由（1）可得函数是递增函数.应用单调性的定义同样可得函数是递增.根据反函数的定义可得函数存在反函数.试题解析：(1)判断：若，函数在上是增函数.证明：当时，，在上是增函数.2分在区间上任取，设，所以，即在上是增函数.6分(2)因为，所以8分当时，在上是增函数，9分证明：当时，在上是增函数（过程略）11分在在上也是增函数，当时，上是增函数12分所以任意一个，均能找到唯一的和它对应，所以时，存在反函数14分【考点】1.函数的单调性.2.函数单调性的定义.3.反函数的概念.11.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值；（3）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数求函数的极值与最值等基础知识，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，将代入，先得到的解析式，对求导，将代入中，得到切线的斜率，将代入到中得到切点的纵坐标，最后利用点斜式写出切线方程；第二问，对求导，在定义域内，利用为单调递增函数，为单调递减函数，判断函数的单调性，利用函数的单调性判断函数的极值点位置；第三问，结合第二问的结论，讨论与的大小，分和两种情况，通过判断的单调性最值，画出的简图，看与是否有公共点，从而求出a的取值范围.试题解析：（1），且．又，．在点处的切线方程为：，即．4分（2）的定义域为，，令得．当时，，是增函数；当时，，是减函数；在处取得极大值，即．8分（3）（i）当，即时，由（Ⅱ）知在上是增函数，在上是减函数，当时，取得最大值，即．又当时，，当时，，当时，，所以，的图像与的图像在上有公共点，等价于，解得，又因为，所以．（ii）当，即时，在上是增函数，在上的最大值为，原问题等价于，解得，又无解综上，的取值范围是．14分【考点】1.导数的运算；2.利用导数求曲线的切线；3.利用导数求函数的极值与最值.12.已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵===，故是偶函数，当≥0时，=是增函数，故≥=1，由偶函数图像关于轴对称知，在（-∞，0）是减函数，值域为（1，+∞），作出函数与y=k，由图可知，当关于的方程有两个不同的实根时，则实数的取值范围是，故选B.【考点】1.函数的奇偶性、单调性、值域；2.数形结合思想.13.设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“有界泛函”．现在给出如下个函数：①；②；③；④；⑤是上的奇函数，且满足对一切，均有．其中属于“有界泛函”的函数是（填上所有正确的序号）【答案】②③④⑤【解析】根据题意，要满足“有界泛函”的定义，必须存在常数，使得的图像不在的图像的上方，我们结合定义及函数解析式或图象特征来判断.对于①，，当时，故不选①；对于②，函数的定义域为，，故②正确；对于③，时由有，故，故③正确；对于④，，故④正确；对于⑤，令，则，已知式化为，显然也符合定义.【考点】1、函数的定义；2、函数的图像与最值.14.已知是的一个零点，，则 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，函数在是单调减函数，所以，当是的一个零点时，在的两侧，函数值异号；如果，应有，故选C.【考点】函数零点存在定理，函数的单调性.15.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是() A．f(2.5)<f(1)<f(3.5)B．f(2.5)>f(1)>f(3.5)C．f(3.5)>f(2.5)>f(1)D．f(1)>f(3.5)>f(2.5)【答案】B【解析】因为函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,所以直线x=2是对称轴,在(2,4)上为减函数,则f(2.5)>f(1)>f(3.5).故选B.16.函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知即，恒成立，故，即，则.又函数在单调递增，所以.即解得或.故选．【考点】函数的奇偶性、单调性，一元二次不等式的解法17.函数y＝(x－3)|x|的单调递减区间是________．【答案】【解析】y＝(x－3)|x|＝画图可知单调递减区间是.18.函数y=1-的最大值与最小值的和为.【解析】令f(x)=,则f(x)为奇函数, 故f(x)max +f(x)min =0, ∴y max +y min =2.19. 已知函数y=x 2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m 的取值范围是( ) A ．[1,+∞) B ．[0,2] C ．[1,2] D ．(-∞,2]【答案】C【解析】y=(x-1)2+2,由x 2-2x+3=3得x=0或x=2,∴1≤m≤2,故选C.20. 若关于x 的不等式x 2-4x≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立,则实数m 的取值范围是 . 【答案】m≤-3【解析】∵函数y=x 2-4x=(x-2)2-4在[0,1]上单调递减,∴y min =-3. 由题意,得-3≥m,即m≤-3.21. 已知函数f(x)对于任意x,y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-. (1)求证:f(x)在R 上是减函数.(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.【答案】(1)见解析 (2) 最大值为2,最小值为-2【解析】(1)方法一:∵函数f(x)对于任意x,y ∈R 总有f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令x=y=0,得f(0)=0. 再令y=-x,得f(-x)=-f(x).在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0, f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(x 1-x 2). 又∵x>0时,f(x)<0,而x 1-x 2>0, ∴f(x 1-x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2).因此f(x)在R 上是减函数. 方法二:设x 1>x 2, 则f(x 1)-f(x 2) =f(x 1-x 2+x 2)-f(x 2) =f(x 1-x 2)+f(x 2)-f(x 2) =f(x 1-x 2).又∵x>0时,f(x)<0,而x 1-x 2>0, ∴f(x 1-x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2),∴f(x)在R 上为减函数. (2)∵f(x)在R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3). 而f(3)="3f(1)=-2,f" (-3)=-f(3)=2.∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.22. 已知f (x )是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( )． A ．af (b )≤bf (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤f (b ) D ．bf (b )≤f (a )【解析】因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，所以′＝≤≤0，则函数在(0，＋∞)上单调递减．由于0<a<b，则，即af(b)≤bf(a)23.定义在R上的函数，满足，则的取值范围是 .【答案】或．【解析】因为函数是偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，由，得，解得或．【考点】函数的奇偶性，与函数的单调性．24.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是__________.A．B．C．D．【答案】C【解析】由奇函数和偶函数的概念可证A，B是奇函数，故排除，C,D是偶函数，但D在上单调递增，故选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性.25.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，，且，则不等式的解集是( ）A．(－3，0)∪(3，+∞)B．(－3，0)∪(0，3)C．(－∞，－3)∪(3，+∞)D．(－∞，－3)∪(0，3)【答案】D【解析】构造函数，故当时，，所以函数在递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，则是奇函数，所以函数在递增，且，所以的解集是.【考点】1、函数的奇偶性；2、导数在单调性上的应用；3、函数的图象.26.函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数，例如，函数是单函数．下列命题：①函数是单函数；②指数函数是单函数；③若为单函数，且，则；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)【答案】②③④【解析】这类问题，就是要读懂新定义的知识，能用我们已学的知识理解新知识，并加以应用.如①中，但，故不是单函数；②指数函数是单调函数，，是单函数，②正确；③若为单函数，则命题“且，则”与命题“若且时总有”是互为逆否命题，同为真，③正确；对④来讲，根据单调函数的定义，时一定有（或），故时总有，因此④正确.故正确的有②③④．【考点】理解新知识，函数的单调性．27.已知函数.(I)若函数为奇函数，求实数的值；(II)若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．【答案】（I）(II)【解析】（Ⅰ）根据是奇函数，得到恒等式，对一切恒成立，即得.（Ⅱ）由均有，即成立，转化成对恒成立，即所以.只需求在的最小值.试题解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以，即所以，对一切恒成立，所以 4分（Ⅱ）因为均有，即成立，所以对恒成立， 8分所以.因为在上单调递增，所以所以 12分【考点】函数的奇偶性，函数的单调性、最值.28.已知集合，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则可为奇函数；④若，则对任意不等实数，总有成立．其中所有正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号）【答案】②③【解析】①中，令，则，，所以，不成立，不正确；②由得，，成立，所以②正确；由②为奇函数可知，③若，则可为奇函数，正确；由②可知，时是增函数，不成立；时，是减函数，成立，所以，④不正确.故答案为②③.【考点】新定义函数，函数的单调性、奇偶性.29.已知函数f(x)＝＋x，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0，则a的取值范围是_____【答案】或【解析】∵==，∴是奇函数，又时，递增，故时，递增，所以，∴，解得，或.【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、一元二次不等式.30.函数是上的奇函数，、，，则的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于函数是上的奇函数，则有，令，则有，于是有，、，，则函数在上单调递减，不等式等价于，则有，解得，故选C.【考点】1.函数的奇偶性与单调性；2.函数不等式31.已知，函数若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】注意分析两段函数的图象.注意到是周期为4的周期函数，且为奇函数，其在是单调增函数，所以，为使，只需，所以，；时，的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，当时，其最小值为1，满足，故实数的取值范围为，选D.【考点】分段函数，函数的单调性.32.若，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由幂函数的单调性得，解得，故选D．【考点】1．幂函数的单调性；2．一元二次不等式的解法．33.定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，令得为偶函数，是周期为2的周期函数．画出函数及的图像，可知当过点时，函数及的图像恰有两个交点，从而函数在上恰有两个零点，由得，时，函数在上至少有三个零点，故选B．【考点】1．函数的性质（周期性、对称性、奇偶性）；2．函数的零点；3．参数取值范围问题．34.若在上是减函数，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】在上恒成立，即，，所以.【考点】1.恒成立问题；2.导数判函数单调性.35.若函数在区间，0)内单调递增，则取值范围是( )A．[，1)B．[，1)C．，D．(1，)【答案】B【解析】函数的定义域满足>0,∵x<0,∴<0=>,设y=,y'=-a=0,x=,y'>0,x<,y'<0,x>,∴ x∈(,)时,y为增函数,x∈(,)时,y为减函数,∵x∈,0)时,为增函数,∴0<<1且<,>0,∴<a<1.【考点】复合函数的单调性以及函数单调性与导数的关系.36.函数（且）的图象经过点，函数（且）的图象经过点，则下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知条件，把点的坐标代入对应的函数解析式，求出a=、b=2，从而可得结论．解：∵函数y=logx（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，-1），a∴log2=-1，得到a=，由于函数y=b x（b＞0且b≠1）的图象经过点（1，2），故有b1=2，即ab=2．故有 b＞a＞0，故有，故选C.【考点】指数对数函数的单调性点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，指数函数的单调性和特殊点，求出a=、b=2，是解题的关键，属于中档题．37.函数的图象上关于原点对称的点有对.【答案】3【解析】在y轴右侧作出函数与的图象，它们由三个交点，∴函数的图象上关于原点对称的点有3对。
函数的单调性 含答案
知识点一：函数单调性定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
知识点二：函数单调性证明方法定义法:利用增减函数的定义证明。
在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x1、x2∈D,使x1＜x2 ;②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。
求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。
③下明确结论。
⑵转化为求商比较证明程序:①设任意的x1 、x2 ∈D,使x1＜x2;②求商—变形—判断小于或大于1;此为关键步骤,变形要注意“因式分解”。
求商:; 变形:化简、因式分解; 判断:小于或大于1。
③下明确结论,要注意商的分母的正负。
例：根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．知识点三：函数单调性的运用(1)比较大小①比较函数值大小:若函数y=f(x)在区间D上是递增函数,且x1＜x2 ,则 f(x1 ) ＜f(x2 );若函数y=f(x)在区间D上是递减函数,且x1＜x2 , 则f(x1 )＞f(x2 )。
②比较自变量值大小:若函数y=f(x)在区间D上是递增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ),则x1＜x2 ;若函数y=f(x)在区间D上是递减函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ),则x1 >x2 。
求值域、极值、最值①求值域:若函数y=f(x)在定义域(a,b)上递增,则函数值域为(f(a),f(b));若函数y=f(x)在定义域(a,b)上递减,则函数值域为(f(b),f(a))。
(精华)函数的单调性经典题型归纳总结讲义老师版(含答案)
课时一：函数的单调性一、单调性定义1、图形描述：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递减函数。
2、定量描述对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当___1x <2x 时____，都有_____1()f x <)(2x f ,______则说)(x f 在区间D 上是增函数；（2）若当____1x <2x 时_____，都有___)(1x f >)(2x f ,_______则说)(x f 在区间D 上是减函数。
3、单调性与单调区间若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）____单调性____，这一区间叫做函数)(x f 的____单调区间____。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。
有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当[)0,x ∈+∞时是增函数，当(],0x ∈-∞时是减函数。
而有的函数在整个定义域上都是单调的。
2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。
二、常见函数的单调性 （1）一次函数：)0(,≠+=k b kx y{上单调递增时，函数在上单调递减时，函数在R k R k 00><（2）反比例函数：xk y ={）上单调递减，），（，时，函数在（）上单调递增，），（，时，函数在（∞+∞>∞+∞<00-000-0k k（3）一元二次函数：)0(,2≠++=a c bx ax y上单减，时，在（]2--0aba ∞>上单增在),2[+∞-ab上单增，时，在（]2--0aba ∞<上单减在),2[+∞-ab（4）对勾函数：xa x y +=上单增，时，在),[],a --(0+∞∞>a a上单减在),0(),0,(a a -三、证明函数单调性步骤：⑴设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <； ⑵作差：)()(21x f x f -； ⑶变形：（如因式分解、配方等）；⑷定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或； ⑸根据定义下结论。
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微专题30
例题1
答案：(1){x|x ＞1，或x ＜－4}；
(2)－2.
解析：∵f(x)是定义域为R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，令x ＝0，得f (0)＝0，k －1＝0，k ＝1.
(1)∵f (1)＞0，∴a －1a
＞0，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，f (x )＝a x －a －x ，∵f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a ＞0，∴f (x )在R 上为增函数(令解析：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(ax 2－ax 1)＋])1()1[(21x x a a -，因为a ＞1，则ax 2－ax 1＞0，21)1()1(x
x a a -＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，则f (x )在R 上为单调增函数)．因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0可化为f (x 2＋2x )＞f (4－x )，又f (x )在R 上为单调增函数，所以x 2＋2x ＞4－x ，解得x ＜－4，或x ＞1，所以不等式的解集为{x |x ＞1，或x ＜－4}．
(2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12
(舍去)，∴g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t ＝2x －2－x (x ≥1)，则t ＝2x －2－x (x ≥1)为增函数，
即t ≥21－2－1＝32
.所以g (x )＝h (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2≥－2(当t ＝2， x ＝log 2(1＋2)时取等号)．则g (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2.
例题2 答案：22. 解析：因为函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R )，所以4是函数f (x )的周期．则f (15)＝
f (4×4－1)＝f (－1)＝|211|+-＝12，所以f (f (15))＝f )2
1(＝cos π4＝22. 变式联想
变式1
答案：(1)略；
(2)⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2；(3)当⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2时，D ＝R ； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2时，D ＝(0，＋∞)，或D ＝)7
5log ,(2-∞. 解析：(1)证明：当a ＝b ＝1时，f (x )＝1－2x 1＋2x ＋1
，f (－1)＝14，f (1)＝－15，所以f (－1)≠－f (1)，则f (x )不是奇函数．
(2)f (x )是奇函数时，f (－x )＝－f (x )，即－2－
x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a 2x ＋1＋b
对定义域内任意实数x 都成立，即(2a －b )·22x ＋(2ab －4)·2x ＋(2a －b )＝0，对定义域内任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0所以⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.经检验都符合题意． (3)当⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2时，f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，因为2x ＞0，所以2x ＋1＞1，0＜12x ＋1＜1，所以－12＜f (x )＜12而c 2－3c ＋3＝⎝⎛⎭⎫c －322＋34≥34
对任何实数c 成立；所以可取D ＝R 对任何x 、c 属于D ，都有f (x )＜c 2－3c ＋3成立，当⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2时，f (x )＝－2x －12x ＋1－2＝－12＋11－2x (x ≠0)，所以当x ＞0时，f (x )＜－12；当x ＜0时，f (x )＞12
①因此取D ＝(0，＋∞)，对任何x 、c 属于D ，都有f (x )＜c 2－3c ＋3成立．
②当c ＜0时，c 2－3c ＋3＞3，解不等式－12＋11－2x ≤3得：x ≤log 257
. 所以取D ＝)75log ,(2-∞，对任何属于D 的x 、c ，都有f (x )＜c 2－3c ＋3成立．综上，当⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2时，D ＝R ； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2时，D ＝(0，＋∞)，或D ＝)7
5log ,(2-∞ 说明：单调性与奇偶性之间体现了函数性质的局部与整体的关系，这两个性质常“结伴而行”，给问题解决带来了灵活与简便；除了掌握函数单调性、奇偶性的定义外，利用它们解不等式、求参数的值(范围)是常见的题型；另外，奇偶性作为函数的一个整体性质，将问题转化为恒成立问题或者通过列举反例得出结论是两个惯用的解题策略．
变式2
答案：516
. 解析：因为f(x)是以4为周期的奇函数，所以f )4
29(＝ f )438(-＝f )43(-＝－f )43(＝－34)4
31(-＝－316。
f )641(＝f )678(-＝f )67(-＝－f )67(＝－sin 76π＝12，所以，f )429(＋f )6
41(＝－316＋12＝516. 说明：在模考和高考题中，函数的周期性既可以单独考查(如2016、2018江苏卷)，也可以与其他性质(单调性、奇偶性等)一道进行综合考查(2018全国Ⅱ卷)；对于利用周期性求
函数值的问题，一般是借助周期性将所要求的未知区间的函数值等价转化为已知区间上的函数值，在此过程中，有时还要灵活地运用函数的奇偶性，化未知为已知是问题解决永远不变的真理．
串讲激活
串讲1
答案：(3，4]．
解析：f(x)为定义域上的增函数，设任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，因为f(xy)＝f(x)
＋f(y)，所以f(xy)－f(x)＝f(y)，取xy ＝x 2，x ＝x 1，则y ＝x 2x 1，即f(x 2)－f(x 1)＝f )(1
2x x ，因为x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，所以x 2x 1
＞1，又当x ＞1时，f(x)＞0恒成立，所以f(x 2)－f(x 1)＝f )(1
2x x ＞0即f(x 1)＜f(x 2)，所以f(x)是(0，＋∞)上的增函数．因为2＝f(2)＋f(2)＝f(4)，f(x)＋f(x －3)≤2可转换为f(x(x －3))≤f(4)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －3＞0x （x －3）≤4，
，解得3＜x ≤4，所以x 的取值范围为(3，4]．
串讲2 答案：)21,0(.
解析：作出函数f(x)＝|2
12|2+-x x ，x ∈[0，3)的图象，可见f(0)＝12，当x ＝1时，f(x)极大＝12，f(3)＝72
，方程f(x)－a ＝0在[－3，4]上
有10个零点，即函数y ＝f(x)与直线y ＝a 在[－3，4]上有10个公共点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y ＝a 与函数f(x)＝|212|2+-x x ，x ∈[0，3)的公共点数为4，则有a ∈)21,0(.
新题在线
答案：{m|m>4－22}．
解析：因为函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，且f (－x )在区间(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝0，则f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0.所以f (x )<0的解集为{x |x <－1，或0<x <1}．则 N ＝]2,0[|{π
∈x m ， }g （x ）<－1，或0<g （x ）<1，
所以M ∩N ＝}1)(]2,0[|{-<∈x g x m ，π即M ∩N ＝}1)(]2,0[|{-<∈x g x m ，π
，g (x )＝cos 2x ＋m sin x －2m <－1恒成立．令t ＝sin x ＝[0，1]，则t 2－mt ＋2m －2>0对t ∈[0，1]恒成立，
所以m >max 2)22(t t --，令2－t ＝λ∈[1，2]，所以2－t 22－t ＝4－)2(λ
λ+≤4－22(λ＝2时取等号)，则m >4－22，所以M ∩N ＝{m |m >4－22}．。