第08讲 函数的单调性(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第8讲：函数的单调性

一、课程标准

1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义

2.掌握求函数的单调性的方法·

3.能处理函数的最值问题。

二、基础知识回顾

1. 函数单调性的定义

(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．

(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．

2. 函数单调性的图像特征

对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．

3. 复合函数的单调性

对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．

4. 函数单调性的常用结论

(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，f（x1）－f（x2）

x1－x2>0⇔f(x)在D上是增函数；

f()x1－f()x2

x1－x2<0⇔f(x)在D上是减函数．

(2)对勾函数y＝x＋a

x(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为(－a，0)和(0，a)．

(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”

5.常用结论

1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：

(1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；

(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反；

(3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1

f （x ）的单调性相反；

(4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．

2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则

(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）

x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；

(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）

x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．

三、自主热身、归纳总结

1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )

A ．递减函数

B ．递增函数

C ．先递减再递增函数

D ．先递增再递减函数

2、函数y ＝1

x －1在[2，3]上的最小值为( )

A ．2 B.12

C.13 D ．－12

3、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )

A. y ＝1

f （x ）在R 上为减函数

B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数

C. y ＝－1

f （x ）在R 上为增函数

D. y ＝－f (x )在R 上为减函数

4、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是(

)

A ．

B ．

C ．

D ．

5、已知函数2()361f x x x =--，则( )

A ．函数()f x 有两个不同的零点

B ．函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增

C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则3a =

D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则13

a =

6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ．

7、已知f(x)＝x x －a (x≠a)，若a ＞0且f(x)在(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．

8、函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．

三、例题选讲

考点一 函数的单调区间

例1、求下列函数的单调区间

(1)y ＝－x 2＋2|x|＋1；

(2)f(x)＝x 2－2x －3；

（3）212

log (32)y x x =-+

变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )

A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞

B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2

D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)

变式2、已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( )

A.(－∞，－1]

B.[－1，＋∞)

C.[－1，1)

D.(－3，－1]

变式3、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.

方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：

(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；

(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解；

(3)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

考点二 复合函数的单调区间

例2、（2019·黑龙江大庆实验中学模拟）函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )

A ．(－∞，－2)

B ．(－∞，1)