对数函数的定义域值域
对数函数单调区间和值域
y t 4t 3 2 (t 2) 1，t [0,2], y [1,3],
2
函数的值域为[1,3]。
小结：
题型一、形如y log a f ( x)的单调性。 (1)求定义域。 (2)同增异减的原理。
题型二、形如y loga f ( x)的值域。 换元法：令t f ( x) (注意元的范围)。
解: y=log 2t在(0, )上单调递增，
a 0
变式训练
1、求函数y log0.5 ( x 4 x 3)的单调
2
区间。
2、函数y log 2 ( x ax 2)在(,1)上
2
单调递减，求a的取值范围。
1、求函数y log 0.5 ( x 4 x 3)的
增函数
减函数
练一练
1、比较大小（用“>”“<”或“=”）号填空。
（1） log0.7 1.6 （2）
＞
log0.7 1.8
同底直接利用单 调性进行比较
log4 1
＝
log0.4 1
log0.9 0.8
不同底，找中间 桥梁
（3） log3 0.9
＜
2、函数 y
1 A、 ) [0, 3
log 1 (1 3 x) 的定义域是（ A ）
3
1 1 D、 , ) ( ( B、 , ) C、 , 0] ( 3 3
新授课1、求对数型函数的单调区间题型
例 、函数y log2 ( x 4x 3)的单调区间。 1
2
解：令y log2 u, u 0, u x 4x 3，
2
u x2 4x 3 y
x x 2、求y log 2 log 2 , x [1, 4]的值域。 2 8
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版函数是一个数学概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
函数解析式则用代数表达式的形式表示函数的输入和输出之间的关系。
定义域是函数中所有可能的输入值的集合，而值域是函数中所有可能的输出值的集合。
常见的函数解析式包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面将逐个介绍这些函数解析式的定义域和值域的求法。
1. 线性函数：线性函数的一般形式是y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数的定义域是实数集，即(-∞, +∞)，而值域也是实数集。
2. 二次函数：二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。
对于一般的二次函数，定义域是实数集，即(-∞, +∞)。
值域则取决于二次函数的开口方向和开口点的位置。
-当a>0时，二次函数的开口向上，值域为[y0,+∞)，其中y0是二次函数的最小值。
-当a<0时，二次函数的开口向下，值域为(-∞,y0]，其中y0是二次函数的最大值。
3.指数函数：指数函数的一般形式是y=a^x，其中a是大于0且不等于1的常数。
指数函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a>1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a=1时，指数函数的值域为{1}。
4. 对数函数：对数函数的一般形式是y=log_a(x)，其中a是大于0且不等于1的常数。
对数函数的定义域是正实数集，即(0, +∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
-当a>1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
5.三角函数：常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于具体的三角函数类型。
-正弦函数的值域为[-1,1]。
-余弦函数的值域为[-1,1]。
对数函数的定义域值域定点课件
定义域是函数自变量 可以取值的范围，而 值域是函数因变量取 值的范围。
对数函数的值域特点
对于任意实数x，都有唯一一个以x为底数的对 数值，记作log(x)。
当底数a的取值范围为(0,1)时，log(x)为负无穷大； 当底数a的取值范围为(1,∞)时，log(x)为正无穷大。
对数函数的值域为实数集。
对数函数的应用实例解析
信号处理
在信号处理领域，对数函数被用 于将非线性信号转换为线性信号 ，使得信号的幅度差异能够在同 一比例尺下表示。
统计分析
在统计分析中，对数函数被用于 转换数据，使得不同尺度的数据 能够在同一尺度上进行比较和分 析。
THANKS。
对数函数的性质分析
对数函数是单调递增函数
01
当底数a>1时，函数随着x的增大而增大；当0<a<1时，函数随
着x的增大而减小。
对数函数是定义域上的凸函数
02
对于定义域中的任意x，都有$y=log_a(x)$，且当x>1时，$y$
随x的增大而增大；当0<x<1时，$y$随x的增大而减小。
对数函数与指数函数互为反函数
03
$y=log_a(x)$与$y=a^x$互为反函数，它们的图像关于直线
y=x对称。
与其他函数的比较
01
02
03
与一次函数相比
对数函数图像不是直线， 而是呈现出曲线形式。
与二次函数相比
对数函数图像没有二次函 数图像的拐点，但具有单 调性。
与指数函数相比
指数函数的底数可以取任 意正实数，而对数函数的 底数必须大于0且不等于1 。
对数函数是非奇非偶函数，这 是因为对于任意的实数$x$和 $y$，都有$log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)$，因此无 法满足奇函数或偶函数的定义 。
幂函数指数函数与对数函数的性质与计算
幂函数指数函数与对数函数的性质与计算幂函数、指数函数与对数函数是数学中常见的函数类型，它们具有一些独特的性质以及特定的计算方式。
在本文中，我们将探讨这些函数的基本概念、性质以及如何进行计算。
一、幂函数的性质与计算幂函数是形如y=x^n的函数，其中n为实数。
幂函数的性质如下：1. 幂函数的定义域为实数集R，值域则取决于n的值。
- 当n为正奇数时，f(x)为增函数，值域为R+（正实数集）；- 当n为正偶数时，f(x)为非负且有最小值0，值域为[0, +∞)；- 当n为负数时，f(x)有正负之分，值域为R+和R-（负实数集），且在不同的定义域上具有不同的增减性；- 当n为0时，0的0次方没有定义。
2. 幂函数的图像特点：- 当n为正数时，随着x的增大，函数值也随之增大，图像呈现递增趋势；- 当n为负数时，随着x的增大，函数值递减，图像呈现递减趋势。
3. 幂函数的计算方法：- 幂函数的运算法则遵循指数运算法则，如x^m * x^n = x^(m+n)，x^m / x^n = x^(m-n)，(x^m)^n = x^(m*n)等。
二、指数函数的性质与计算指数函数是形如y=a^x的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。
指数函数的性质如下：1. 指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
2. 指数函数以a为底，随着自变量x的增大，函数值呈现指数增长的特征。
3. 指数函数的计算方法：- 当a为正数时，指数函数的运算法则与幂函数相似，如a^m *a^n = a^(m+n)，a^m / a^n = a^(m-n)等。
- 当a为负数时，指数函数的运算方法可以通过转化为幂函数的形式进行计算。
三、对数函数的性质与计算对数函数是指数函数的逆运算，以b为底，记作y=logₐx。
对数函数的性质如下：1. 对数函数的定义域为正实数集R+，值域为实数集R。
2. 对数函数以b为底，将正实数x映射到实数y，即b^y=x。
3. 对数函数的计算方法主要包括：- 同底数的对数乘法法则：logₐ(x * y) = logₐx + logₐy；- 同底数的对数除法法则：logₐ(x / y) = logₐx - logₐy；- 对数的换底公式：logₐx = log_bx / log_ba，其中a、b为正实数且a≠1，b≠1。
对数函数关系
对数函数关系
对数函数是一种重要的数学函数，它描述了一种由指数增长或衰减产生的关系。
对数函数的基础定义是：y=logb(x)，其中b称为底数，x为真数，y为对数。
对数函数的特性有：对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集；对于同一底数的对数函数，它们的图像是关于直线y=x对称的；对于不同底数的对数函数，它们的图像呈现出不同的特征。
对数函数还有一些重要的性质，如：对数函数的对数乘积等于对数的和；对数函数的对数商等于对数的差；对数函数的对数幂等于幂的对数乘以指数。
在实际应用中，对数函数常常用来描述一些指数增长或衰减的现象，如人口增长、细胞分裂、放射性衰变等。
- 1 -。
高中数学必修一课件：2.2.2 对数函数及其性质(二)
loga M loga N loga MN
判断对数函数奇偶性: f ( x) f ( x) 0或f ( x) f ( x) 0
(2) g ( x) lg
解：
x 1 x
2
x2 1 x
2 2
定义域为 R
2 lg ( x ) 1 x lg g ( x) g ( x)
3 2
3
u g ( x) x ax a 在 (, 1 3)上是减函数,
2 且当 x (, 1 3) 时, g ( x) x ax a 0
2 f ( x ) log x 0 a 1 时, a 4x 3
在 (3, ) 上递减, 在 (, 1) 上递增
2 f ( x ) log ( x ax a) 在区间 (, 1 3) 6 、若 2
上是增函数, 求 a 的取值范围?
解： 由于 y log 2 u 在 (0, )上是减函数, 则
解之，得函数定义域为
1 3 {x | x 2且x 1且x } 2 2
2 y log ( x 4 x 7) 的值域？ 2：求 3, 定义域： R 值域：
{x | x R且x 2} 值域： R 定义域：
2″
y log 2 ( x 2 4 x 4)
求 a的取值范围？
二次项系数 是否为0?
解得 0 a 1
故函数定义域为R时, 0 a 1.
改变条件为：
3′已知函数 若 值域 为 值域 y lg(ax2 2ax 1)， 求 a 的取值范围？
R
解： (1) a 0 时， y lg 1 ,此时不 × 满足题设条件 ； (2) a 0 时，设 u ax2 2ax 1, 因为函数 y的值域是R, 则 a 0 解得 a 1 4a2 4a 0
对数函数的图像与性质
log53 < log55 =1
得:log 35
>
log 53
> 0 log 20.8 < 0 得:log 32 > log 20.8
方 法
当底数不相同，真数也不相同时，
常需引入中间值 或 (各种变形式）.
0 1
例
比较大小：
11
1） log64
<
1 log 4 6
log74
方法
当底数不相
同，真数相 同时，写成 倒数形式比 较大小
< >
1
1
② log0.53
<
1
③ log67
④ log0.60.1
>1 <0 >
0
⑤ log35.1
>0 <
0
⑥ log0.12
⑦ log20.8
⑧ log0.20.6
例.比较大小
(1） log35
10
> log 3
5
(2） log32
> log 0.8
2
解:
① 因为log35 > log33 =1 ② 因为log 32
(0,+) R 过点（1，0） 在(0,+)上是减函数
性
特殊 点
非奇非偶函数 无最值
非奇非偶函数 无最值
当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0.
质
单调 当x>1时,y>0; 性当0<x<1时,y<0.
例2 比较下列各组数中两个值的大小：
⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )
对数函数与指数函数的基本概念与性质
对数函数与指数函数的基本概念与性质一、对数函数的基本概念与性质对数函数是指数函数的逆运算，用来描述指数运算的反向过程。
对数函数的基本概念与性质如下：1. 对数的定义对于任意正数a（a>0）且a≠1，对数函数y=logₐx表示以a为底数，x为真数的对数，其中x是正数。
对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。
2. 对数的性质（1）对数的底数必须是正数且不等于1，即a>0且a≠1。
（2）对数的真数必须是正数，即x>0。
（3）对数函数的图像是一条曲线，称为对数曲线。
（4）对数函数的图像在x轴上有一个垂直渐近线，即x=0，对应于logₐ1=0。
（5）对数函数的图像在y轴上有一个水平渐近线，即y=0，对应于logₐa=1。
3. 对数函数的性质（1）对数函数的单调性：当0<a<1时，对数函数是递减的；当a>1时，对数函数是递增的。
（2）对数函数的奇偶性：当a>1时，对数函数是奇函数；当0<a<1时，对数函数是偶函数。
（3）对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集，即x>0。
（4）对数函数的值域：对数函数的值域是实数集。
二、指数函数的基本概念与性质指数函数是以一个固定的正数为底数，自变量为指数的函数。
指数函数的基本概念与性质如下：1. 指数的定义指数函数y=aˣ表示以a为底数，x为指数的指数函数，其中a是正数且a≠1，x是实数。
指数函数的定义域是实数集，值域是正实数集。
2. 指数的性质（1）指数的底数必须是正数且不等于1，即a>0且a≠1。
（2）指数函数的图像是一条曲线，称为指数曲线。
（3）指数函数的图像在x轴上有一个水平渐近线，即y=0，对应于a⁰=1。
（4）指数函数的图像在y轴上有一个垂直渐近线，即x=0，对应于1ˣ=1。
3. 指数函数的性质（1）指数函数的单调性：当0<a<1时，指数函数是递减的；当a>1时，指数函数是递增的。
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【例1】求下列函数的定义域
(1) y log2 (4 x) (2) y loga x 1(a 0且a 1) (3) y log2 x ( x 3)
2.对数函数的值域
（利用对数函数的图像或者单调性）
【例2】求下列函数的值域。
2 3
【例4】求函数y (log2 x) 2 log2 x 1, x [1,8]的值域。
2
总结：
• 对数函数的定义域，值域 • 含对数的复合函数的定义域，单调区间， 值域
作业：
• 教学案变式训练
(1) y log2 x
(2) y log2 x ( x 1)
(3) y log2 x (0 x 1)
3.对数函数与二次函数的复合函数问题。
【例3】求下列函数的定义域，单调区间及值域。
(1) y log2 ( x 2 x 5)
2
(2) y log1 ( x 4 x 5)
复习回顾
1.对数函数的定义：y l Nhomakorabeaga x(a 0且a 1)
2.对数函数的图像性质：
对数函数y=logax的图像性质 a>1 0<a<1
图
像 定义域 值域 定点 单调性 奇偶性
（0，+ ∞ ） R （1，0）
单调递增 非奇非偶
单调递减 非奇非偶
1、对数函数的定义域
求对数函数的定义域的两个要点：