函数定义域-值域求法以及分段函数

（一）函数的概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（二）映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

1．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：B→A是从集合B到集合A的映射吗？（三）函数的表示法常用的函数表示法：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

分析：法则f 要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x －1)中2x －1与f(x)中的x 位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。

（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。

）解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1， ∴f(2x －1)的定义域为[0，1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。

答案：－1≤x 2≤1⇒ x 2≤1⇒－1≤x ≤1练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x∵x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}2460|+≤≤x x例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域因为2x －1是R 上的单调递增函数，因此由2x －1， x ∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。

已知f(3x －1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。

[2,25-）（提示：定义域是自变量x 的取值范围）练习：已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是 （ ）Ａ．[]1,1-Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数()11xf x x+=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则（ ） Ａ．AB B = Ｂ．B A ∈Ｃ．AB B =Ｄ． A B =2.值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}.例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f ③ xx y 1+=（记住图像） 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②略③ 当x>0，∴x x y 1+==2)1(2+-xx 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+--==－2)1(2----xx -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数xx y 1+=的图像为： 二次函数在区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∉[3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2∉ [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，min y =-3，m ax y =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a bx 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当a bx 2-=时，其最大值ab ac y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时， 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y =3+√(2－3x)的值域解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的值域为 [)+∞,3 .2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域解： 对称轴 []5,01∈=x[]20,420,54,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 例3 求函数y=4x －√1-3x(x ≤1/3)的值域。