奥林匹克数学·抽屉原则训练第一讲
高中竞赛辅导讲义抽屉原理
抽屉原理“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet ）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。
这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。
这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。
抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。
抽屉原理的几种常见形式：【1】把m 个元素分成n 类，当|n m ，则至少有一类中含有至少m n 个元素；当|n m 时，则至少有一类中含有至少[]1mn +个元素。
【2】把m 个元素分成n 类，则至少有一类中含有至多[]mn 个元素。
【3】把无穷多个元素分成有限类，则必存在一类含有无穷多个元素。
【4】把121n m m m ++++ 个元素分成n 类，则必存在一个(1)i i n ≤≤，在第i 类中至少含有1i m +个元素。
【5】把121n m m m +++- 个元素分成n 类，则必存在一个(1)i i n ≤≤，在第i 类中至多含有1i m -个元素。
用抽屉原理解题有两个难点，其一是根据题目条件，经过分析，要想到问题应该可以利用抽屉原理解决；其二是怎样构造抽屉，其实构造抽屉的技巧性很强，这正是利用抽屉原理解题的魅力所在。
常用的构造抽屉的方法有：利用余数分类，划分集合，分割区间，分割图形，利用染色等。
例题：1.任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数。
2. ,,,a b c d 为四个任意给定的整数，求证：以下六个差数,,,,,b a c a d a c b d b d c ------的乘积一定可以被12整除。
3.从1～25这25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有偶两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。
4.已知正整数012,,,,n a a a a 满足0122n a a a a n <<<<< ，证明：一定可以从中选出3个不同的数，使得其中两个数之和，等于第三数。
奥数抽屉原理PPT课件
2021/3/7
CHENLI
1
导入课题如果把3个苹果放进2个抽屉里，有 几种不同的方法？
无论怎样放，
苹果个 数
3
3
3
3 至少有一个抽
抽屉一 0
1
2
3
屉里有两个或
抽屉二 3
2
1
方法
一
二
三
0 四
两个以上苹果。
假设结论不成立，那么每个抽屉最多有一个
苹果，那么两个抽屉最多共有两个苹果，这
与3个苹果矛盾。
2021/3/7
CHENLI
19
通过今天的学习 你有什么收获？
2021/3/7
CHENLI
20
个以上。
苹果数÷抽屉（n)=商(k)……余数,只要余数不是0， 无202论1/3/7余数是几，都将余C数HEN看LI 成1，商+1=最小数 10
做一做：8只鸽子飞回3个鸽舍里，至少有 （ ）只鸽子要飞进同一个鸽舍里。
为什么？
如果每个鸽舍里飞进2只鸽子，最多飞进6只鸽子， 剩下的2只还要分别飞进2个鸽舍里，所以至少有3只鸽子 要飞进同一个鸽舍里。
2021/3/7
CHENLI
6
最先发现这些规律的人是谁呢？他就是德 国数学家“狄里克雷”，后来人们为了纪念他 从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规 律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又 把它叫做“鸽巢原 理”，还把它叫做 “抽屉 原理”。
2021/3/7
CHENLI
7
什么是抽屉原理和鸽巢原理呢？
2021/3/7
CHENLI
17
练习4、一付扑克牌共有54张（包括 大、小王），问至少要取多少张，才 能保证其中必有4种花色？
小学奥数教案——抽屉原理（解析版）
小学奥数教案——抽屉原理（解析版）第一篇：小学奥数教案——抽屉原理(解析版)教案抽屉原理一本讲学习目标初步抽屉原理的方法和心得。
二概念解析把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.由此得到：抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。
如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理.不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。
比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、…等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。
应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。
三例题讲解例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。
《抽屉原理》第-课PPT课件
有限制条件的抽屉原理证明
有限制条件的抽屉原理是指在某些特 定条件下，抽屉原理仍然成立。例如 ，当容器的形状、大小、质量等因素 受到限制时，抽屉原理仍然适用。
证明方法：根据具体条件，通过数学 推导和逻辑推理，证明在满足特定条 件下，抽屉原理仍然成立。
抽屉原理的推广证明
抽屉原理的推广是指将抽屉原理应用到更广泛的领域和问题中，例如集合论、概 率论、组合数学等。
有n个人和n把椅子（n>3），将它们 随机就座。求证：至少有两把椅子被 两个人同时坐。
5
有100枚硬币，将它们放入10个盒子 里，每个盒子至少放10枚硬币。求证： 至少有一个盒子里放了10枚硬币。
05 总结与思考
CHAPTER
抽屉原理的重要性和意义
数学基础
抽屉原理是组合数学中的 基础原理，对于理解许多 数学概念和证明许多数学 定理具有重要意义。
《抽屉原理》第-课ppt课件
目录
CONTENTS
• 抽屉原理简介 • 抽屉原理的应用 • 抽屉原理的证明 • 抽屉原理的练习题 • 总结与思考
01 抽屉原理简介
CHAPTER
抽屉原理的定义
抽屉原理
如果n+1个物体要放入n个抽屉中 ，那么至少有一个抽屉包含两个 或两个以上的物体。
数学表达
如果将m个物体放入n个抽屉中 （m>n），那么至少有一个抽屉包 含多于一个物体。
进阶练习题
01
02
03
总结词
考察较复杂情况下的抽屉 原理应用
3
有100个苹果和91个抽屉， 要将苹果放入抽屉中，至 少有一个抽屉里放了多少 个苹果？
4
有1000只鸽子飞过天空， 它们要飞进100个鸽笼里， 至少有一个鸽笼里飞进了 几只鸽子？
高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座10抽屉原则
比赛讲座 10--抽屉原则大家知道，两个抽屉要搁置三只苹果，那么必定有两只苹果放在同一个抽屉里，更一般地说，只需被搁置的苹果数比抽屉数量大，就必定会有两只或更多只的苹果放进同一个抽屉，可不要小瞧这一简单事实，它包含着一个重要而又十分基本的原则——抽屉原则 .1．抽屉原则有几种最常有的形式原则 1 假如把 n+k(k ≥1) 个物体放进 n 只抽屉里，则起码有一只抽屉要放进两个或更多个物体：原则自己十分浅易，为了加深对它的认识，我们仍是运用反证法赐予证明；假如每个抽屉至多只好放进一个物体，那么物体的总数至多是 n，而不是题设的 n+k(k ≥1) ，这不可以能 .原则虽简单 . 奇妙地运用原则却可十分便利地解决一些看上去相当复杂、甚至感觉无从下手的老是，比方说，我们能够断言在我国起码有两个人出生的时间相差不超出4秒钟，这是个惊人的结论，该是经过好多人的艰辛劳动，统计所得的吧！不，只须我们稍着手算一下：不如假定人的寿命不超出 4 万天（约 110 岁，超出这个年纪数的人为数甚少），则10 亿人口安排在8 亿 6 千 4 百万个“抽屉”里，依据原则1，即知结论成立 .下边我们再举一个例子：例 1 少儿园买来了许多白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不论如何精选，在任意七个小朋友中总有两个相互选的玩具都同样，试说明道理 .解从三种玩具中精选两件，搭配方式只好是下边六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）把每种搭配方式看作一个抽屉，把7 个小朋友看作物体，那么依据原则1，起码有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，起码两人精选玩具采纳同一搭配方式，选的玩具同样 .原 2 假如把 mn+k(k≥1) 个物体放 n 个抽，起码有一个抽至多放 m+1个物体 . 明同原相仿 . 若每个抽至多放 m个物体 , 那么 n 个抽至多放 mn个物体 , 与不符，故不可以能 .原 1 可看作原 2 的物例（ m=1）例 2 正方体各面上涂上色或色的油漆（每面只涂一种色），明正方体必定有三个面色同样 .明把两种色看作两个抽，把正方体六个面看作物体，那么 6=2×2+2，依据原二，起码有三个面涂上同样的色 .例 3 把 1 到 10 的自然数成一个圈，明必定存在在个相的数，它的和数大于 17.明如 12-1 ， a1，a2， a3，⋯， a9，a10分代表不超 10 的十个自然数，它成一个圈，三个相的数的成是（ a1， a2， a3），（ a2，a3， a4），（ a3，a4，a5），⋯ , （ a9，a10， a1） , （ a10，a1，a2）共十 . 把它看作十个抽，每个抽的物体数是a1+a2+a3，a2+a3+a4， a3+a4+a5，⋯a9+a10+a1， a10+a1+a2, 因为（a1 +a2+a3）+（ a2 +a3+a4）+⋯+（ a9+a10+a1） +（ a10+a1+a2）=3(a 1+a2+⋯+a9+a10)=3×(1+2+⋯+9+10)依据原 2, 起码有一个括内的三数和许多于17, 即起码有三个相的数的和不小于17.原 1、原 2 可到期更一般形式：原 3 把 m1+m2+⋯+m n+k(k ≥1) 个物体放入n 个抽里，那么或在第一个抽里起码放入 m1+1 个物体，或在第二个抽里起码放入 m2+1 个物体，⋯⋯，或在第 n 个抽里起码放入 m n+1 个物体 .m2明假定第一个抽放入物体的数不超 m1个，第二个抽放入物体的数不超个，⋯⋯，第 n个抽放入物体的个数不超 m n，那么放入全部抽的物体数不超 m1+m2+⋯+m n个，与矛盾 .例 4 有袜 2 双，白袜 3 双，黑袜 4 双，黄袜 5 双，袜 6 双（每双袜子包装在一同）若拿出9 双，明此中必有黑袜或黄袜 2 双 .4 双，根证明除可能拿出红袜、白袜 3 双外 . 还起码从其余三种颜色的袜子里拿出据原理 3，必在黑袜或黄袜、蓝袜里取 2 双.上边数例论证的仿佛都是“存在”、“总有”、“起码有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用. 需要说明的是，运用抽屉原则不过必定了“存在”、“总有”、“起码有”，却不可以切实地指出哪个抽屉里存在多少.2．制造抽屉是运用原则的一大重点第一要指出的是，关于同一问题，常可依照状况，从不一样角度设计抽屉，进而致使不一样的制造抽屉的方式 .例 5 在边长为 1 的正方形内，任意给定13 个点，试证：此中必有 4 个点，以此 4点为极点的四边开面积不超出（假定四点在向来线上组成面积为零的四边形）.证明如图 12-2 把正方形分红四个同样的小正方形.因 13=3×4+1，依据原则2，总有 4 点落在同一个小正方形内（或界限上），以此4点为极点的四边形的面积不超出小正方形的面积，也就不超出整个正方形面积的.事实上，因为解决问题的中心在于将正方形切割成四个面积相等的部分，所以还能够把正方形按图 12-3 （此处无图）所示的形式切割 .合理地制造抽屉一定成立在充足考虑问题自己特色的基础上.例 6 在一条笔挺的马路旁种树，从起点起，每隔一米种一棵树，假如把三块“爱惜树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不论如何挂，起码有两棵挂牌的树之间的距离是偶数（以米为单位），这是为何？解如 12-4 （挂牌的三棵挨次 A、B、C.AB=a， BC=b，若 a、 b 中有一偶数，命得 . 否 a、b 均奇数， AC=a+b偶数，命得 .下边我一个角度考：每棵上上，于是两棵之的距离就是差，由于的只好奇数和偶数两，那么挂牌的三棵起码有两个同奇数或偶数，它的差必偶数，得 .后一明十分奇妙，通，将两距离化差 . 种化的思想方法是一种特别重要的数学方法例 7 从自然数 1，2，3，⋯ 99， 100 100 个数中任意拿出 51 个数来，求：此中必定有两个数，，它中的一个是另一个的倍数 .剖析法制造抽：（1）不超 50 个；（ 2）每个抽的里的数（除有的一个外），此中一个数是另一个数的倍数，一个自然数的想法是从数的因数表示形式下手.解第一个抽里放数：23456 1，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2；第二个抽放数：2345 3，3×2，3×2，3×2，3×2，3×2；第三个抽里放数：234 5，5×2，5×2，5×2，5×2；⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二十五个抽里放数：49，49×2；第二十六个抽里放数：51.⋯⋯⋯⋯⋯⋯第五十个抽里放数：99.那么任意拿出 51 个数中，必有两个数同属一个抽，此中一个数是另一个数的倍数 .制造抽并不是是一帆的，有要制造整、改.例8任意定7 个不一样的自然数，求此中必有两个整数，其和或差是10 的倍数 .剖析注意到些数以 10 的余数即个位数字，以 0， 1，⋯， 9 准制造 10 个抽，以 [0] ，[1] ，⋯， [9]. 如有两数落入同一抽，其差是 10 的倍数，不过有 7 个自然数，似不便运用抽原，再作整： [6] ， [7] ， [8] ，[9] 四个抽分与 [4] ， [3] ，[2] ，[1] 归并，可保起码有一个抽里有两个数，它的和或差是 10的倍数.3．复的频频地运用抽原，将复化.例 9 以（ x，y，z）表示三元有序整数，此中三元整数中，起码有两个三元数，它的偶数 .x、y、z 整数，：在任意七个x、 y、 z 元中有两都是奇数或都是剖析七个三元素 A1（x1，y1，z1）、 A2（x2，y2，z2）、⋯、 A7（ x7， y7，z7）.在逐渐探究，从 x 元开始，由抽原， x1， x2，⋯， x7七个数中，必然有四个数拥有同样的奇偶性，不如四个数是 x1，x2，x3，x4且偶数，接着集中考A1、A2、A3、A4四数的 y 元，若比方 y1，y2，y3，y4中有两个是偶数，已，否至多有一个是偶数，比方 y4是偶数，我再来集中考 A1、A2、A3的z 元.在 z1，z2，z3中，由抽原必有两个数拥有同样的奇偶性，如 z1、z2，无它是奇数，是偶数，都已获得明 .下边介一个有名.例 10 任 6 人，此中必有 3 人，他相互或都不.剖析用 A、B、C、 D、 E、 F 表示 6 个人，第一以 A 中心考，他与此外五个人B、C、D、E、F 只有两种可能的关系：或不，那么由抽原，他必然与此中某三人或不，不如 A B、C、D 三人，当 B、 C、D 三人都互不，得；当 B、C、D 三人中有两人，如 B、 C ， A、B、C相互，也得 .本例和上例都采纳了舍去保存、化繁、逐渐小考范的方法.例 11a，b，c，d 四个任意定的整数，求：以下六个差数b-a ， c-a ， d-a ， c-b ，d-b ，d-c的乘必定能够被12整除.明把 6 个差数的乘以下分两步行 .p，我必且只明： 3 与4 都能够整除p，第一步，把 a，b， c， d 按以 3 除数的余数来分，的只有三个，故知a，b，c，d 中起码有 2 个除以 3 的余数同样，比如，不如 a，b， 3 可整除 b-a ，进而 3 可整除 p.第二步，再把 a，b，c，d 按以 4 除数的余数来分，种至多只有四个，假如a，b，c，d 中有二数除以 4 的余数同样，那么与第一步似，我立刻可作出 4 可整除 p 的 .a，b， c， d 四数除以 4 的余数不一样，由此推知，a， b， c，d 之中必有二个奇数（不如 a，b），也必有二个偶数（c， d）， b-a 偶数， d-c 也是偶数，故 4 可整除 (b-a)(d-c)，自然也可得出 4 可整除 p.假如能一步灵巧运用原，不制造抽，依据的特色，制造出放抽的物体，更可收到意想不到的成效 .例 12 求：从任意 n 个自然数 a1，a2，⋯，a n中能够找到若干个数，使它的和是 n 的倍数 .剖析以 0， 1，⋯， n-1 即被 n 除的余数分制造抽的合理的，但把什么的数作抽里的物体呢？扣住“和”，结构以下和数：S1=a1,212S =a +a ,S=a1 +a2+a3 ,⋯⋯⋯⋯n12nS =a +a +⋯+a，此中任意两个和数之差仍和数，若他之中有一是n 的倍数，得，否至罕有两个数被 n 除余数同样，它的差即它中若干数（包含 1 个）的和是 n 的倍数，同得 .例子 3（北京 1990 年高一） 910 瓶、墨水，排成130 行，每行 7 瓶，明：不怎摆列，墨水瓶的色序次必然出下述两种状况之一种：（1）起码有三行完整同样；（2）起码有两（四行）每的两行完整同样 .解 910 瓶、墨水排成 130 行，每行 7 瓶，一行来，每个地点上有两种可能，所以，一行的、墨水排法有 27=128 种，每一种不一样排法一种“行式”，共有 128 种行式 .有 130 行，在此中任取129 行，依抽原知，必有两行A、B 行式同样 .除 A、B 外余下 128 行，如有一行 P 与 A 行式同样，知足（ 1）起码有三行 A、B、P完整同样，若在 128 行中直一行 5A行或同样，那么 128 行至多有 127 种行式，依抽原，必有两行 C、 D 拥有同样行式，便找到了（ A、B），（ C、D）两（四行），且两两行完整同样 .十二1．一个球运在 15 分内将球投圈 20 次，明有某一分他起码投两次 .2．有黑、白、黄筷子各 8 只，不用眼睛看，任意地拿出筷子来，使得起码有两双筷子不一样色，那么起码要拿出多少只筷子才能做到？3．明：在 1， 2，3，⋯， 10 十个数中任取六个数，那么六个数中能够找到两个数，此中一个是另一个的倍数 .4．明：任意 502 个整数中，必有两个整数的和或差是998 的倍数 .5．任意写一个由数字 1，2，3 成的 30 位数，从 30 位数任意截取相三位，可得一个三位数，明：在从各个不一样地点上截得的三位数中起码有两个相等.6．明：把任意 10 个自然数用适合的运算符接起来，运算的果能被 1890整除 .7．七条直两两订交，所得的角中起码有一个角小于26°.8．用 2 种色涂 3 行 9 列共 27 个小方格，明：不如何涂色，此中必起码有两列，它的涂色方式同样 .9．用 2 种色涂 5×5共 25 个小方格，明：必有一个四角同色的矩形出.10．求存在形如11⋯11 的一个数，此数是 1987的倍数 .十二1．15 分里在每一分看作一个抽，20 次投看作20 个物体，依据原理一即得 .2.起码要取１１只筷子．因１１只筷子中必有一双筷子同色，不如它是黄色，黑色或白色的筷子起码有３只，此中必有一双同色，即黑色或白色，故取１１只筷子足以保成功．但少于１１只不可以，如取１０只筷子，可能出８只黄色，黑白各一只，不合要求．３．将１０个数分红５：（１，７），（２，６），（３，９），（４，８），（５，１０）．任取六个数必有两个落入同一，而同二数中一数是另一数的倍数．４．每个整数被９９８除，余数必是０，１，２，⋯，９９７中的一个．把９９８个余数制造（０），（１，９９７），（２，９９６），⋯，（４９７，５０１），（４９８），（４９９），（５００）共５０１个抽，把５０２个整数按被９９８除的余数大小分放入上述抽，必有两数入同一抽．若余数同样，那么它的差是９９８的倍数，否和９９８的倍数．５．从各样地点上截得的三位数有２８个，但由１，２，３成的不一样三位数有３×３×３＝２７个，故有两个截得的三位数同样．６．１８９０＝２×３×５×７×９．将１０个数ｘ１，ｘ２，⋯，ｘ９，ｘ１０．１０个数中起码有两个被９除余数同样，ｘ１，ｘ２ｘ１－ｘ２可被９整除．同剩下８个数中有两个数的差可被７整除，ｘ３－ｘ４，剩下６个数中有两个数的差可被５整除，ｘ５－ｘ６，剩下４个数中有两个数的差可被３整除，ｘ７－ｘ８．剩下两数ｘ９，ｘ１０，如有一数偶数，ｘ９，ｘ１０可被２整除，否ｘ９－ｘ１０可被２整除．故乘（ｘ１－ｘ２）（ｘ３－ｘ４）（ｘ５－ｘ６）（ｘ７－ｘ８）ｘ９·ｘ１０与（ｘ１－ｘ２）（ｘ３－ｘ４）（ｘ５－ｘ６）（ｘ７－ｘ８）（ｘ９－ｘ１０）两者之一必可被１８９０整除．７．任一点Ｐ，Ｐ点分作各的平行，它把一周角分红１４个相互相的角，此中起码有一个角小于２６°．８．用两种色涂１×３的小方格共有８种方法．有９列，由抽原，必有两列涂法一．９．两种色、，观察第一行的涂色．必有三格同色，不如色，且在左三列．观察左三列，若下边四行中某一行有两格同色，出四角同色矩形，否每行可能一格染色，进而四行中必有二行左三列中有两列同染色，进而获得四角同色的矩形．１０．考１，１１，⋯共１９８７个数，此中必有一个是１９８７的倍数，否必有两数被１９８７除余数同样，其差ｉ是１９８７的倍数．但１０与１９８７没有除１外的因数，故是１９８７倍数致矛盾．。
小学奥数--抽屉原理
⼩学奥数--抽屉原理⼩学奥数--抽屉原理抽屉原理(⼀)解题要点:要从最不利情况考虑，准确地建⽴抽屉和确定元素的总个数(如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，⾄少有⼀个抽屉中放的苹果不少于2个。
道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相⽭盾，因此⾄少有⼀个抽屉中放的苹果不少于2个。
同样，有5只鸽⼦飞进4个鸽笼⾥，那么⼀定有⼀个鸽笼⾄少飞进了2只鸽⼦。
以上两个简单的例⼦所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。
抽屉原理1:将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么⾄少有⼀个抽屉中的物品不少于2件。
说明这个原理是不难的。
假定这n个抽屉中，每⼀个抽屉内的物品都不到2件，那么每⼀个抽屉中的物品或者是⼀件，或者没有。
这样，n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相⽭盾，所以前⾯假定“这n 个抽屉中，每⼀个抽屉内的物品都不到2件”不能成⽴，从⽽抽屉原理1成⽴。
从最不利原则也可以说明抽屉原理1。
为了使抽屉中的物品不少于2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放⼊1件物品，共放⼊n 件物品，此时再放⼊1件物品，⽆论放⼊哪个抽屉，都⾄少有1个抽屉不少于2件物品。
这就说明了抽屉原理1。
例1 某幼⼉园有367名1996年出⽣的⼩朋友，是否有⽣⽇相同的⼩朋友,分析与解:1996年是闰年，这年应有366天。
把366天看作366个抽屉，将367名⼩朋友看作367个物品。
这样，把367个物品放进366个抽屉⾥，⾄少有⼀个抽屉⾥不⽌放⼀个物品。
因此⾄少有2名⼩朋友的⽣⽇相同。
例2在任意的四个⾃然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除, 分析与解:因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。
我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。
⼀个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”⾥。
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：第十四讲 抽屉原则(一)(无答案)全国通用
第十四讲抽屉原则（一）一、什么是抽屉原则我们先看下面一副妙趣横生的漫画。
这幅画出于一位数学家之手，它曾刊登在一种著名数学杂志的封面上，画里表示三只鸽子要进两个鸽巢。
想一想，可能会产生什么样的结果呢？要么两只鸽子进了一个巢，而另外一只鸽子进了另一个巢；要么三只鸽子都进了一个巢。
这两种情况可用一句话表示：一定有一个巢里有两只或两只以上的鸽子。
虽然哪个巢里至少有两只鸽子我们无法断定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一个巢，其中进来了两只或两只以上的鸽子。
如果我们把上面问题中的数字作一下改变，例如不是三只鸽子进两个巢，而是十只鸽子进九个巢，那么结果怎样呢？我们不难理解，这十只鸽子不管以怎样的方式进巢（假定每一个巢都相当大，可以容纳全部鸽子），仍然是一定有一个巢里至少有两只鸽子。
上面推理的正确性是显而易见的，就连小学生也是完全能够接受的。
怎样把这一问题推广到更一般的形式，从而得出某种基本原理来呢？我们先看以下两点：（1）如果将鸽子换成苹果、糖果、书本或数，同时将鸽巢相应地换成抽屉、小孩、学生或数的集合，仍然可以得到相同的结论。
这就是说，上面推理的正确性与具体事物没有关系。
如果我们把一切可以与鸽子互换的事物叫作元素，而把一切与鸽巢互换的事物叫作集合，那么上述结论就可以这样叙述：十个元素以任意的方式分到九个集合之中，一定有一个集合中至少有两个元素。
（2）鸽子与鸽巢的数目也是无关紧要的，只要鸽子数比鸽巢数多，推理照样成立。
通过这两点分析，我们可以把上面问题中所包含的基本原理写成下面的一般形式：原则1 如果把多于 n 个的元素按任一确定的方式分成 n 个集合，那么一定有一个集合中至少含有两个元素。
也许是由于上面那幅漫画的缘故，有人把这一原则称作鸽巢原则。
又有人把鸽子进入鸽巢比作苹果放进抽屉里，所以通常也称作抽屉原则。
以下我们采用抽屉原则这一称呼。
初看起来，有人会觉得这一原则太简单了，简直平淡无奇。
然而正是这样一些平凡朴素的原则，在初等数学乃至高等数学中，有着许多应用。
小学奥数—抽屉原理讲解
小学奥数－抽屉原理（一）抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。
例1五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。
已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。
问：至少有几名学生的成绩相同？【分析与解答】关键是构造合适的抽屉。
既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。
除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个不同分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。
44÷21= 2……2，根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。
例2夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。
规定每人必须参加一项或两项活动。
那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？【分析与解答】本题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”，所以应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品。
营员数已经有了，现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。
因为“每人必须参加一项或两项活动”，共有3项活动，所以只参加一项活动的有3种情况，参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况，所以共有3+3=6（个）抽屉。
2000÷6=333……2，根据抽屉原理2，至少有一个抽屉中有333+1=334（件）物品，即至少有334名营员参加的活动项目是相同的。
例3把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？【分析与解答】这道题一下子不容易理解，我们将它变变形式。
因为是把书分给学生，所以学生是抽屉，书是物品。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抽屉原则训练
班级______姓名______得分______
1．画图说明，把4支铅笔放入3个笔盒内，共有______种不同的放
法，各种放法中总有______个笔盒内铅笔的支数不少于2支。那么把n+1
件物品放入n个抽屉内，总有一个抽屉内的物品不少于______件。
2．把 5个棋子放入下图中四个每条边长为“1”的小三角形内，那
么一定有一个小三角形内至少有______个棋子，两棋子的距离一定小于
______。
3．在一条1米长的线段上的任意六个点，试证明这六个点中至少有
两个点的距离不大于20厘米。
4．学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗，试证明
不管怎样插至少有两面彩旗之间的距离不大于10米。
5．跳绳练习中，一分钟至少跳多少次才能保证某一秒钟内至少跳了
两次？
6．一只鱼缸有很多条鱼共有五个品种，问至少捞出多少条鱼，才能
保证有五条相同品种的鱼？
7．有甲、乙两种不同的书各若干本，每个同学至少借一本，至多借
二本，（同样的书最多借一本）只要有几个同学借书，就可保证有两人借
的书完全相同。
8．篮子里有苹果、梨、桃子和桔子，如果每个小朋友都从中任意拿
两个水果，问至少有多少个小朋友才能保证至少有两个小朋友拿的水果完
全一样？
9．六个小朋友每人至少有一本书，一共有20本书，试证明至少有两
个小朋友有相同数量的书。
10．用红、黄两种颜色将2×5的矩形的小方格随意涂色，每个小方
格涂一种颜色，证明必有两列它们的小方格中涂的颜色完全相同。
11．10双不同尺码的鞋子堆在一起，若随意地取出鞋来，并使其至
少有两只鞋可以配成一双，试问需取出多少双鞋就能保证成功？
12．某次会议有10位代表参加，每位代表至少认识其余9位中的一
位，试说明这10位代表中，至少有2位认识人的个数相同？
13．布袋中装有塑料数字1、2、3各若干个，每次任选6个数字相加，
至少选多少次才能保证有两个相加的和相等。