L08_24Continuity证明连续的四则运算连续的合成函数pdf
连续函数的四则运算
定理6 最大值和最小值定理 定理 一定有最大值和最小值. 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值 定理7 定理 有界性定理 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界 一定在该区间上有界. 证 设函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 于是存在 m 、 上连续,
推论1在闭区间上连续的函数 推论 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值 之间的任何值. M 与最小值 m 之间的任何值.
例 5 证明方程 x 3 4 x 2 + 1 = 0 在区间 (0, 1) 内至 少有一个实根 . 证 令 f ( x) = x 3 4 x 2 + 1 , 则 f ( x ) 在 [0, 1] 上连续 . 又 f (0) = 1 > 0 , f (1) = 2 < 0 , 由零点定理 , ξ ∈ (0, 1) , 使 f (ξ ) = 0 , 即 根ξ . 完
1 ln(1 + x ) 解 lim = lim ln(1 + x ) x x →0 x →0 x
1 x = ln lim(1 + x ) x →0
= ln e = 1 .
完
例
求 lim cos( x + 1
x →∞ x →∞
x) .
解 lim cos( x + 1
x)
( x + 1 x )( x + 1 + x ) = cos lim x →∞ x +1+ x
3 sin x
1 2x = lim (1 + 2 x ) x →0
= e6 .
完
三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续 的; 指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1) 在 ( ∞ ,+∞ ) 内单调 且连续; 且连续 对数函数 y = log a x (a > 0, a ≠ 1) 在 (0,+∞ ) 内单 调且连续; 调且连续
连续函数的运算
y f x
第19讲 连续函数的运算——连续函数的运算法则
由连续函数复合运算法则知，极限运算与连续函数运算可以交
换顺序，即
→
→
注：由复合函数的求极限法则，即使
极限
→
存在，且 在
成立.
在 处不连续，只要 处连续，上述结论依然
例如，
→
→
第19讲 连续函数的运算——连续函数的运算法则
幂指函数： 若有
一切初等函数在 定义区间内 连续
定义域？
若初等函数
在区间 内有定义，则它在该区间内连续.
例如，
的定义域是离散点
所以该函数没有连续点.
第19讲 连续函数的运算——初等函数的连续性
例2问函数 例3求函数
在哪些点处连续？
4 无穷间断点 2
跳跃间断点
的连续区间与间断点，-2 并指出间断点的类型.
-1 -2
-4
1
2
3
第19讲 连续函数的运算——初等函数的连续性
连续函数与数列极限的关系
函数
在 连续的充要条件是：
均有
.
递推数列极限的存在性
数列 ：
如果极限
→ →
存在，且
→
是否收敛？
？
→
在 处连续，则
→
第19讲 连续函数的运算——压缩映像原理
定理4 设函数
连续，若存在常数
∆
等在其
基本初等函数包括下面五种函数：
(1)幂函数：
( 为常数)；
(2)指数函数：
( 为常数,
(3)对数函数：
( 为常数,
(4)三角函数：
(5)反三角函数：
)； )；
《连续函数的性质》课件
《连续函数的性质》PPT课件将帮助你了解连续函数的定义、基本性质、中值 定理及其应用、极限与连续函数的关系，以及连续函数在各个领域的应用。
什么是连续函数
连续函数是一种在数学上具有特殊性质的函数，其定义表明了它在数学中的重要地位。连续函数的图像通常具 有平滑的曲线。
连续函数的基本性质
连续函数的零点及其应用
连续函数的零点是指函数与x轴的交点，具有重要的应用价值。
极限与连续函数的关系
极限的定义及其性质
极限是连续函数研究中的基本 概念之一，通过极限可以更深 入地理解连续函数。
连续函数与无穷大的 性质
连续函数在无穷大的情况下也 保持连续性，并展现出独特的 性质。
连续函数与无穷小的 性质
连续函数在无穷小的情况下也 保持连续性，并具有一些特殊 的性质。
连续函数的应用
1
连续函数在物理学、工程学、经济学等领域的应用
连续函数在各个领域中都有广泛的应用，例
连续函数在计算机科学中扮演重要角色，如信号处理、图像处理和模拟仿真等领 域。
四则运算
连续函数可以进行加、减、 乘、除等基本的数学运算， 保持函数的连续性。
复合运算及其性质
连续函数可以进行复合运算， 从而构建更复杂的函数。
配合极限的连续函数的 性质
连续函数可以与极限一起使 用，使得函数的性质更具深 度。
连续函数的中值定理及其应用
微积分中的中值定理
中值定理是微积分中的重要定理，通过研究连续函数的中值可以得到有用的结果。
总结与思考
连续函数的特点和应 用
连续函数具有连续性、平滑性 等特点，并广泛应用于各个学 科领域。
连续函数的研究方向
未来的研究可以探索连续函数 在更高维度、更复杂情况下的 性质及应用。
1-23连续函数的运算
连续函数的运算及其基本性质1.连续函数的四则运算设函数f (x )、g (x ), f i (x ) 在点x 0 处连续, , )(=)(lim 00x f x f x x →则),,2,1()(=)(lim 00n x f x f i i x x →即,)(=)(lim 00x g x g x x →)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ±=±→(1)有限个在点x 0 处连续函数的和仍是一个在点x 0 处连续的函数. 即)()()( )]()()([lim 00201210x f x f x f x f x f x f n n x x +++=+++→)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x =→(2) 有限个在点x 0 处连续的函数之积仍是一个在点x 0 处的连续函数.即)()()()]()()([lim 00201210x f x f x f x f x f x f n n x x =→()0)( )()()(lim )(lim )()(lim 00000≠==→→→x g x g x f x g x f x g x f x x x x x x (3) 两个在点x 0 处连续函数的商, 当分母不为零时, 仍是一个在点x 0处连续函数. 即则函数、设),()()(I C x g x f ∈)},(),({min =)(1x g x f x h Ix ∈)}(),({max =)(2x g x f x h Ix ∈. 内连续在区间I,2|)()(|)()()(1x g x f x g x f x h --+=由,2|)()(|)()()(2x g x f x g x f x h -++=.,立即可证法则运用连续函数四则运算 例1证反函数的连续性Oxyy = f －1(x ) 的图形只是y = f (x ) 的图形绕直线y = x 翻转180º而成, 故单调性连续性仍保持.从几何上看:x =f －1(y )与y =f (x )的图形相同,连续性保持.从而, 单调性、)(1y f x -=)(x f y =)(1x f y -=设函数y = f (x ) 在区间I 上严格单调增加(减少) 且连续,则其反函数)(=1y f x 在相应的区间I*={y |y =f (x ),x I }上严格单调增加(减少)且连续.(反函数连续性定理)定理1xy2π-2π1-1O增加单调 ) ]1 ,1[ (arcsin -∈=C x y 2π-2πxy1-1O增加单调 ) ]2,2[ (sin ππ-∈=C x y 例2设函数u = ϕ(x ) 在点x 0 处连续, 且u 0=ϕ(x 0),函数y =f (u )在u 0处连续.若复合函数y =f (ϕ(x ))在U(x 0) 内则y = f (ϕ(x )) 在x 0 点处连续.有定义,(复合函数连续性定理)定理2在定理2的条件下,))(lim (=))((lim 00x h f x h f x x x x →→在定理2 的条件下, 极限符号可与连续函数符号交换顺序.推论x x x x e e 202sin lim sin 0=lim →→1==0e 求x x e 2sin 0lim →例3解求x x x x sin ln lim 0→y = ln u 在其定义域内连续,,0=sin =处无定义在点 x x x u ,1=sin lim 0 x x x →但故=sin ln lim 0x x x →0=1ln =]sin lim [ln 0 xx x →（y = ln u 在u = 1 处连续）例4解函数g(x)h(x)称为幂指函数,它的定义域一般应要求g(x)>0.当g(x) 与h(x) 均为连续函数, 且g(x) > 0时, 幂指函数g(x)h(x) 也是连续函数.四.初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内是连续的.初等函数在其有定义的区间内连续.求x x x x arctan )2ln(+lim 21→=arctan )2ln(+lim 21x x x x →π4=1arctan )12ln(+12连续性给极限运算带来很大方便.例5解,+)2(+2lim =)(2连续性讨论函数n nn n x x x f ∞→ .0,≥x 其中有时当,210≤≤x 1)002()2(202=++→++n n n x x 有时当,2<<21x x x x x x x x n n n n n n 2)010(221)2(22)2(202=++→⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++例6解有时当，x ∞≤+<2202222)100(122)2(2x x x x x x x n nn n n n =++→+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⎪⎩⎪⎨⎧+<<<=∞≤≤≤x x x /x x x f 222122/101)(2 ,, , 故由于初等函数在其有定义的区间内是连续的,.)+,2(),,21(),21,0[)(,内是连续的在所以∞2x f, 1=)(lim 21x f x →又, 1=)(lim +21x f x →, 4=)(lim 2x f x →, 4=)(lim +2x f x →, 1=)21(f , 4=)2(f . ) )+,0[()(,∞∈C x f 从而。
叙述与证明二元连续函数的四则运算法则
叙述与证明二元连续函数的四则运算法则二元连续函数的四则运算法则是指对于任意两个连续函数$f(x)$和$g(x)$，它们的加、减、乘、除四则运算仍然是连续函数。
具体地，加法运算规定为$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$，减法运算规定为$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$，乘法运算规定为$(ftimes g)(x)=f(x)times g(x)$，而除法运算则要求除数$g(x)$在定义域内不为$0$，并且规定为$left(frac{f}{g}right)(x)=frac{f(x)}{g(x)}$。
为了证明这些运算仍然是连续函数，我们需要利用连续函数的定义和基本性质，下面分别进行叙述和证明。
1. 连续函数的定义如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值等于$f(x_0)$，即$limlimits_{xto x_0}f(x)=f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。
2. 连续函数的基本性质（1）连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数。
（2）有限个连续函数的复合仍然是连续函数。
（3）连续函数在闭区间上取到最大值和最小值。
3. 叙述与证明四则运算法则（1）加法运算的叙述对于任意两个连续函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和$f(x)+g(x)$仍然是连续函数。
证明：由连续函数的定义可知，对于任意$varepsilon>0$，存在$delta_1>0$和$delta_2>0$，使得当$|x-x_0|<delta_1$时，有$|f(x)-f(x_0)|<frac{varepsilon}{2}$，当$|x-x_0|<delta_2$时，有$|g(x)-g(x_0)|<frac{varepsilon}{2}$。
取$delta=min{delta_1,delta_2}$，则当$|x-x_0|<delta$时，有begin{aligned}|(f+g)(x)-(f+g)(x_0)|&=|f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)|&=|(f(x)-f(x_0))+(g(x)-g(x_0))|&leq|f(x)-f(x_0)|+|g(x)-g(x_0)|&<frac{varepsilon}{2}+frac{varepsilon}{2} &=varepsilonend{aligned}因此，函数$f+g$在点$x_0$处连续，证毕。
连续函数的四则运算法则
连续函数的四则运算法则1.加法运算：对于两个连续函数f(某)和g(某)的加法运算，结果为h(某)=f(某)+g(某)。
根据连续函数的定义，若f(某)和g(某)在某一点某0连续，那么h(某)=f(某)+g(某)在某0也连续。
2.减法运算：对于两个连续函数f(某)和g(某)的减法运算，结果为h(某)=f(某)-g(某)。
根据连续函数的定义，若f(某)和g(某)在某一点某0连续，那么h(某)=f(某)-g(某)在某0也连续。
3.乘法运算：对于两个连续函数f(某)和g(某)的乘法运算，结果为h(某)=f(某)·g(某)。
在乘法运算中，连续函数的连续性不一定成立，因此需要额外的条件。
若f(某)和g(某)在某一点某0连续，且至少其中一个函数在某0不为零，则h(某)=f(某)·g(某)在某0连续。
4.除法运算：对于两个连续函数f(某)和g(某)的除法运算，结果为h(某)=f(某)/g(某)。
在除法运算中，需要满足除数g(某)不等于零，并且在整个定义域上g(某)都连续。
根据连续函数的定义，若f(某)和g(某)在某一点某0连续，且g(某0)不等于零，则h(某)=f(某)/g(某)在某0也连续。
需要注意的是，在使用连续函数的四则运算法则时，还需要考虑定义域的交集。
即，结果函数h(某)的定义域应为f(某)和g(某)的定义域的交集。
此外，还需要注意特殊情况。
例如，在乘法运算中，当f(某)和g(某)同时为零时，结果是一个不连续的函数。
在除法运算中，如果在某些点上g(某)为零，则应将这些点从结果函数的定义域中排除。
综上所述，连续函数的四则运算法则是在满足一定条件下对连续函数进行加、减、乘、除运算的规则。
根据定义域和函数值的连续性，可以确定结果函数的连续性。
连续函数运算法则
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连续函数的图像具有局部性质，即函数在某一点的性质可以通过 其附近的点的性质来推断。例如，如果函数在某一点连续，则在 该点的附近，函数的值也会接近于该点的函数值。
02
连续函数四则运算法则
加法运算法则
若函数$f(x)$和$g(x)$在点$x_0$连续，则它们的和$f(x) + g(x)$也在点$x_0$连续。
连续函数运算法则
目录
• 连续函数基本概念与性质 • 连续函数四则运算法则 • 复合函数连续性判定与运算法则 • 初等函数连续性分析与运算法则 • 分段函数连续性判定与运算法则 • 总结回顾与质
连续函数定义及性质
定义
若函数在某点的极限值等于该点的函数值，则称函数在该点连续；若函数在其定义域内每一点都连续，则称该 函数为连续函数。
混淆极限与连续
虽然连续函数在某点的极限值等 于函数值，但并不意味着极限存 在的函数在该点一定连续。
忽视中间值定理的
条件
中间值定理要求函数在闭区间上 连续，且区间端点的函数值不相 等。若忽视这些条件，可能导致 错误的结论。
拓展延伸：非标准分析视角下连续性探讨
非标准分析简介
非标准分析是一种数学分析方法，通过引入无穷小和无穷大等概念，对实数系进行扩展，从而更深入地研究函数的连 续性等性质。
在分段点处，若左右导数存在且相等 ，则函数在该点可导；否则，函数在 该点不可导。
设分段函数$f(x) = begin{cases} x^2, & x leq 1 2x, & x > 1 end{cases}$， 则$f'(x) = begin{cases} 2x, & x leq 1 2, & x > 1 end{cases}$，在$x=1$处， 左右导数存在且相等，因此$f(x)$在 $x=1$处可导。
高等数学19连续函数的运算与初等函数的连续性
（复合函数的极限运算法则）
设 g(x)
u
, lim x x0
g( x)
a
,x
o
U
(
x0 )
时
g( x). 又 lim f (u) A，则有lim f [g( x)] lim f (u)
ua
x x0
ua
定理3 若 lim g( x) a, u g( x), f (u)在a 连续 x x0
f (x) g( x)
(g( x0 ) 0)
在 x0 也连续
证 lim f ( x) f ( x0 ), x x0
lim
x x0
g(x)
g( x0 )
lim x x0
f (x) g(x)
lim
x x0
f
(
x
)
lim
x x0
g( x)
f ( x0 ) g( x0 ).
故 tan x, cot x, sec x, csc x
在定义域内也连续
即 三角函数在其定义域内连续.
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 单调连续的函数 有单调连续的反函数.
例如,
y
sin
x在[
,
]上 单调增加且连续
22
故 y arcsin x 在[1,1]上也是 单调增加且连续
所以，反三角函数在 其定义域内连续.
x x0
ua
x x0
意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
可视为
例如,
求
lim
x
sin
1
1 x x
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lim(x→3)f(x)=3, lim(x→3)g(x)=0 and lim(x→c)h(x)=-2,
Compute lim(x→3)[3+g(x)/(f(x)-h(x))]=?
pf:Q:你要用定義還定理？A:定理，利用極限的四則運算。
∵ lim(x→3)3=3 and lim(x→3)g(x)=0∴ lim(x→3)[3+g(x)]=3+0=3
∵ lim (x→3)f(x)=3, lim(x→3)h(x)=-2∴ lim(x→3) [f(x)-h(x)]=3-(-2)=5 ∵ 5≠0 分母的極限不為0∴ lim(x→3)[3+g(x)/(f(x)-h(x))]=3/5
§ 2.4 Continuity
Let f:I→ℝ b e a function, where I ∈ ℝ.考慮此函數在f 的圖形。
若函數y=f(x)的圖形，在(c,f(c))上不斷時，在數學上我們就說此函數f(x)在c 點連續(continuous)=cont. 。
否則為，不連續(not continuous)=discontinuous。
在數學上By the way~原始是出自於圖形，當你講圖形的時候，圖形上是兩個座標(x,y)，換成函數來講的時候，你只管說函數只管定義域，它的取值是對應域，在c 點是連續的，f 在c 點連續。
口語：若函數y=f(x)在(c,f(c))不斷時，則函數f 在c 點就在連續
x
y
Question:如何不透過畫圖形，而能過確定函數在某點c連不連續？
圖形上已有抽象概念，找到數學的建模。
你在圖形上看到什麼？也就是在靠近c 附近的點在c有沒有黏上去，一個是逼近c，一個是黏上去，也就是逼近c的極限值要等於函數值。
圖形在c點不斷時，表現出lim(x→c)f(x)=f(c)
Def:f is cont.at c if lim(x→c)f(x)=f(c).Otherwise f is discontinuous.
如果該點的極限值等於該點的函數值，則f在c點就連續。
如果該點的極限值不等於該點的函數值，則f在c點就不連續。
Q:等號不成立有兩種狀況？A:1.極限不存在2.極限值不等於函數值
Def:Let f:I→ℝbe a function f is cont. on I,if f is cont.at every point of I.
如果在整個區間上的每一點都連續，則函數在定義域上連續。
Question:哪些函數會連續呢？
Ans:在該點函數值等於極限值。
○1Polynomials are cont. on ℝ.
○2Rations function are cont.on their domain.定義域
○3|x| is cont. on ℝ.
○4√is cont on R+={x∈ℝ| x>0}。
R-={x∈ℝ| x<0}
如果隨便給你一個函數，問你是否連續？檢驗該函數在該點的極限值有沒有等於該點極限值，也就是就是要去算極限，我們不喜歡用的定義算極限，我們喜歡用定理算極限，也就是極限的四則運算。
Q:連續用極限來定的，極限有四則運算。
連續有沒有四則運算？A:有
Thm:(連續函數的四則運算)
If f and g are cont.at c,then
Q:在這個地方討論單點還整個區間？A:單點，因為整個區間由單點組成。
○1f+g is cont.at c.
○2α+g is cont.at c.
○3f×g is cont.at c.
○4If g(c)≠0,then f/g is cont.at c.
pf.從所求想起。
By the way~(f⋅g)=f(x)g(x)
○3To shat that lim(x→c)f(x)g(x)=f(c)g(c)函數在該點極限值等於該點函數值∵f is cont. at c∴lim(x→c)f(x)=f(c)從已知推得該點極限值等於該點函數值∵g is cont. at c∴lim(x→c)g(x)=g(c)從已知推得該點極限值等於該點函數值⇒lim(x→c)(f(x)g(x))=f(c)g(c)f與g極限存在，相乘的極限存在等於極限相乘⇒fg is cont. at c.從連續的定義，推得f(x)g(x)在c點連續。
e.g. Let F(x)=3|x|+(x3-x)/(x2-5x+6)+4.
Show that lim(x→0)F(x)=4?用連續算極限，算連續有1.定義、2.定理。
∵0-0+6≠0 ∴(x3-x)/(x2-5x+6) is defined at 0.因為分母不為0
⇒it is cont. at 0.
∵3|x| and 4 are cont. at 0. ∴F is cont. at 0.根據定理
⇒lim(x→c)F(x)=F(0)=0+0+4=4
現在算極限有三種方法1.用定義、2.用定理、3.用連續
Q:兩個函數除了四則運算還能做怎樣運算？A:合成函數
Q 合成函數造出來的多還是四則運算？
A:合成函數，數學上真正造出大量函數的是合成函數
兩個函數不一定能做合成。
合成函數的定義f→g 。
f:I→ℝ、g:I 1→ℝ。
x →f(x)=g(f(x)) 取決g(x)有沒有定義在在f(x)上，也就是f(x)落不落在g(x)定義域 f(x)定義域只能少，因為要滿足g(x)，最好狀況是全部滿足。
Thm: If f is cont. at c and
g is cont. at f(c), then g(f(x)) is cont. at g(f(c)). Next time 證明它~ g。
f(x)=g(f(x))=(g。
f)f(x)。