【复习参考】高三数学(理)考点巩固训练14 导数、导数的计算
2021高考数学一轮复习课后限时集训14导数的概念及运算理
课后限时集训14导数的概念及运算 建议用时：45分钟一、选择题1．函数y ＝ln(2x 2＋1)的导数是( ) A.12x 2＋1B.4x2x 2＋1C.4x2x 2＋1ln 10D.42x 2＋1log 2eB [y ′＝12x 2＋1·4x ＝4x2x 2＋1，故选B.]2．(2019·成都模拟)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋lnx (其中e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝( )A ．1B ．－1C ．－eD ．－e －1D [由已知得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，令x ＝e ，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，则f ′(e)＝－1e.故选D.]3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．1秒末和2秒末C ．4秒末D ．2秒末和4秒末D [∵s ′(t )＝t 2－6t ＋8，由导数的定义可知v ＝s ′(t )，令s ′(t )＝0，得t ＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.]4．(2019·贵阳模拟)曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x －e B ．y ＝－2x －e C ．y ＝2x ＋eD ．y ＝－x －1A [对y ＝x ln x 求导可得y ′＝ln x ＋1，则曲线在点(e ，e)处的切线斜率为ln e ＋1＝2，因此切线方程为y －e ＝2(x －e)，即y ＝2x －e.故选A.]5．已知直线y ＝ax 是曲线y ＝ln x 的切线，则实数a ＝( )A.12 B.12eC.1eD.1e2 C [设切点坐标为(x 0，ln x 0)，由y ＝ln x 的导函数为y ′＝1x知切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝x x 0＋ln x 0－1.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1x 0，ln x 0－1＝0，解得a ＝1e.故选C.]二、填空题6.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．x －y －2＝0 [根据导数的几何意义及图像可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.]7．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． (－∞，0) [由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0，即a ＝－13x3(x ＞0)，故a ∈(－∞，0)．]8．设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为______．(1，－1)或(－1,1) [由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0，又切线方程为x ＋y ＝0，所以x 0≠0，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1，x 0＋x 30＋ax 20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2，所以当⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，a ＝－2时，点P 的坐标为(1，－1)；当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2时，点P 的坐标为(－1,1)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 10．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图像为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．[解] (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由已知(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝xD [因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0，因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.]2．曲线y ＝e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A ．92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2D [易知曲线y ＝e x 在点(4，e 2)处的切线斜率存在，设其为k .∵y ′＝12e x ，∴k ＝12e＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.]3．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝e x的切线，则b ＝________. 0或1 [设直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2的切点为(x 1，y 1)，与曲线y ＝e x的切点为(x 2，y 2)，y ＝ln x ＋2的导数为y ′＝1x ，y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，可得k ＝e x2＝1x 1.又由k＝y 2－y 1x 2－x 1＝e x2－ln x 1－2x 2－x 1，消去x 2，可得(1＋ln x 1)(x 1－1)＝0，则x 1＝1e或x 1＝1，则直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2的切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1或(1,2)，与曲线y ＝e x 的切点为(1，e)或(0,1)，所以k ＝e －11－1e＝e 或k ＝1－20－1＝1，则切线方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1，可得b ＝0或1.]4．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又因为f ′(x )＝a ＋b x2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，所以切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x＝2x 0，所以切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.1．定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )＝[f ′(x )]′.定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )＞0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数．已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [因为f (x )＝x 3－32x 2＋1，所以f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3， 令f ″(x )＞0得x ＞12，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.]2．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，且在x ＝0处的切线的斜率为－3.(1)求f (x )的解析式；(2)若过点A (2，m )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′－1＝3a －2b ＋c ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，3a ＋c ＝0.又f ′(0)＝－3， 所以c ＝－3，所以a ＝1， 所以f (x )＝x 3－3x . (2)设切点为(x 0，x 30－3x 0)， 因为f ′(x )＝3x 2－3， 所以f ′(x 0)＝3x 20－3，所以切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)．又切线过点A(2，m)，所以m－(x30－3x0)＝(3x20－3)(2－x0)，所以m＝－2x30＋6x20－6，令g(x)＝－2x3＋6x2－6，则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)，由g′(x)＝0得x＝0或x＝2，g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2，画出草图知，当－6＜m＜2时，g(x)＝－2x3＋6x2－6有三个解，所以m的取值范围是(－6,2)．。
高三数学导数的复习知识点
高三数学导数的复习知识点导数是高中数学中的一个重要知识点，它不仅在数学中有广泛的应用，还在其他科学领域中有着重要的作用。
本文将对高三数学导数的复习知识点进行详细介绍，帮助同学们巩固和加深对导数的理解。
一、导数的概念和定义导数是函数在某一点上的变化率，表示函数曲线在该点上的切线斜率。
导数的定义是函数在一点处的极限值，用极限的方式来表示变化率。
在数学符号上，函数f(x)在x=a处的导数记作f'(a)，可以用极限的形式表示为：f'(a)=lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)二、导数的基本性质1. 常数函数的导数为0。
即若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数。
若f(x)=x^n，其中n为正整数，则f'(x)=n*x^(n-1)。
3. 指数函数的导数。
若f(x)=e^x，其中e为自然对数的底，则f'(x)=e^x。
4. 对数函数的导数。
若f(x)=ln(x)，则f'(x)=1/x。
5. 三角函数的导数。
- sin(x)的导数为cos(x)。
- cos(x)的导数为-sin(x)。
- tan(x)的导数为sec^2(x)。
三、导数的运算法则1. 常数倍法则。
若f(x)可导，c为常数，则(cf(x))' = cf'(x)。
2. 和差法则。
若f(x)和g(x)都可导，则(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)。
3. 乘法法则。
若f(x)和g(x)都可导，则(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) +f(x)*g'(x)。
4. 商法则。
若f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))' =(f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/(g(x))^2。
5. 复合函数法则。
若y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)都可导，则y'=f'(g(x)) * g'(x)。
2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：导数的计算(含答案)
《导数的计算》考查内容：主要涉及导数的运算 注意：复合函数求导一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数()ln 2cos f x x =+的导数为（ ） A ．1sin 2x - B ．sin x - C ．sin xD ．1sin 2x + 2．函数()sin f x x 的导数为（ ）A ．()'sin cos f x x x =+B ．()'sin cos f x x x =C ．()'cos f x x =D ．()'cos f x x =3．函数ln x y e x =的导数是（ ） A ．1ln x x e x ⎛⎫+⎪⎝⎭B ．()ln xx x e +C ．1xe xD ．1ln x x+4．已知函数()sin f x a x b =+的导函数为()f x '，若13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，则a =（ ） A ．4B ．2C ．1D ．125．下列求导运算正确的是（ ）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e xx'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-6．下列对函数求导运算正确的是（ ）A ．2sin cos sin x x x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．11ln x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()sin cos x x '=-7．已知()()231f x x xf '=+，则()1f '=（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-28．已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =( ) A ．e -B ．eC ．1-D ．19．已知函数33()1xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+-- 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知()0112nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，其中01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则123452345a a a a a ++++=（ ）A ．405B ．810C ．324D ．64811．函数()y f x =在R 上可导,且()()2'213f x x f x =-⋅-,则()()11f f '+=( ) A ．0B ．1C ．-1D ．不确定12．下列式子不．正确的是 ( ) A ．()23cos 6sin x x x x '+=- B ．()1ln 22ln 2xxx x'-=-C ．()2sin 22cos 2x x '= D ．2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭二．填空题 13．函数sin xy x=的导数为_____________________； 14．()(2019ln )f x x x =+，若0()2020f x '=，则0x =_____．15．已知函数()()()()123f x x x x x =---，则()0f '=________． 16．设函数()f x 满足()()2311f x x f x '=++，则()3f 的值为______.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求下列函数的导数． （1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x =+；（3）cos x xy e=；18．求下列函数的导数（1）3235y x x =+-；（2）sin y x x =+（3）sin x y x=；（4）21sin x y x -=19．求下列函数的导数：（1）sin xy e x = ；（2）y ＝2311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（3）sin cos 22x y x x =-；20．求下列函数的导数（1）2sin 3y x x x =++； （2）2(ln sin )y x x x =+；（3） 221xy x =+ ； （4）41(13)y x =-.21．求下列函数的导数. （1）()ln x f x x =（2）()()239f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ （3）()()2ln 51xf x x =+-22．求出下列函数的导数．（1）tan xy e x ＝（2）()3ln 45y x +＝（3）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（4）y ＝sin nx x（5）()5221x y e x ++﹣＝《导数的计算》解析1.【解析】因为常数的导数为0，cos x 的导数为sin x -， 所以()'sin f x x =-.故选：B.2.【解析】由()sin f x x =得，()'''1sin (sin )sin cos cos 2f x x x x x x =⋅+=+=， 故选：C3.【解析】因为函数ln xy ex =，所以11ln ln x xx y e x ee x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭.故选：A 4.【解析】由题意知：()cos f x a x '=.因为13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以cos 13a π=，解得2a =.故选：B.5.【解析】因为2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错；因为21(log )ln 2x x '=，故B 正确；因为(3)3ln3xx '=，故C 错；因为22(cos )2cos sin x x x x x x '=-，故D 错．6.【解析】对于A 选项，2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 选项错误.对于B 选项，1ln ln x x =-，所以()11ln ln x x x '⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，故B 选项正确. 对于C 选项，cos 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 选项错误.对于D 选项，()sin cos x x '=，故D 选项错误.故选：B7.【解析】函数()()231f x x xf '=+，则()()231f x x f ''=+，令1x =代入上式可得()()1231f f ''=+，解得()11f '=-.故选：C8.【解析】由题得111()2(),()2(),()f x f e f e f e f e x e e '''''=+∴=+∴=-， 所以1()2()ln 2()11f e ef e e e e=+=⨯+'-=-.故选：C.9.【解析】因为33()1x f x x e =++，()333()131x xx f x x e x ee --=+-=-++，所以()()3f x f x -+=.又因为223()3(1)xxe f x x e -'=++， ()222233()33(1)()(1)x x x x e e f x x f x x e e ----'-=+-=+'=++ 所以()f x '为偶函数. 所以(2020)(2020)(2019)(2019)3f f f f ''+-+--=. 故选：C10.【解析】令1x =可得()0112nn a a a +=++⋅⋅⋅+， 由题意可得()12243n+=，解得5n =， 所以()5501512x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，两边同时求导得()44125101225x a a x a x ⋅+=++⋅⋅⋅+， 令1x =可得()4125101225a a a ⋅+=++⋅⋅⋅+， 所以412525103810a a a ++⋅⋅⋅+=⨯=.故选：B.11.【解析】()()2'213f x x f x =-⋅-，得()()'41f x x f '=-，()()()'21411=2,()223f f f f x x x ''∴=-=--，，(1)3,(1)(1)1f f f '=-∴+=-.故选:C12.【解析】对于选项C ，(2sin 2)2cos 2(2)4cos 2x x x x ''=⋅=，C 错误 故选C13.【解析】22sin cos sin cos sin x x x x x x xy y x x x'⨯--=∴== 14.【解析】由题意，函数()(2019ln )f x x x =+，可得()2020ln f x x '=+， 因为0()2020f x '=，可得02020ln 2020x +=，即0ln 0x =，解得01x =.15.【解析】令()()()()123x x g x x --=-，所以()()f x xg x =，所以()()()'g x g f x x x ='+，所以()()()()()()00102030006g g f '+⋅='---==-.故答案为：6-.16.【解析】由()()2311f x x f x '=++，得''()23(1)f x x f =+，令1x =，则''(1)23(1)f f =+，解得'(1)1f =-，所以()231=-+f x x x ，令3x =，则(3)9911f =-+=，解得(3)1f =，故答案为：117.【解析】（1）y′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x)′＝2xsin x ＋x 2cos x.（2）21111ln (ln )''''⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x x x x（3）2cos (cos )cos ()sin cos e ()x x x x x x x e x e x x y e e ''''-+⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭18.【解析】（1）236y xx '=+；（2）sin cos y x x x '=+；（3）2cos sin x x xy x -'=；（4）()()222sin 1cos sin x x x x y x---'=.19.【解析】（1）y ′＝(e x )′sinx ＋e x (sinx )′＝e x sinx ＋e x cosx ..（2）因为y ＝x 3＋21x＋1，所以y ′＝3x 2－32x . （3）因为y ＝x －12sinx ，所以y ′＝1－12cosx .20.【解析】（1）因为2sin 3y x xx =++，所以cos 321cos 61y x x x x '=+⨯+=++；（2）因为2(ln sin )y x x x =+，所以()()()22ln sin ln sin y x x x x x x '''=+++，化简可得，()212ln sin cos y x x x x x x ⎛⎫'=+++ ⎪⎝⎭22ln 2sin cos x x x x x x x =+++；（3）因为221xy x =+，由基本初等函数的导数公式和运算法则可得， ()()()()222221211x x x x y x''+-+'=+()()22221221x x xx+-⋅=+()()222211x x-=+；（4）因为41(13)y x =-，所以()()()()4513134133y x x x --''⎡⎤'=--=--⨯-⎣⎦化简可得，()51213y x -'=-.21.【解析】（1）()'''22(ln )ln ()1ln x x x x xf x x x ⋅-⋅-==； （2）()()''239f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()'239x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭2222233272()(9)(1)2639x x x x x x x x =-+++=-++++=222736x x++；（3）()()''12ln 25151xf x x x =+⨯-=-52ln 251x x +-. 22.【解析】（1）由tan xy ex =，则()''2'tan tan t cos ()an xx xxe y e x e x e x x+==+， 即'2tan cos x x ey e x x=+（2）由3ln 45y x +=（），则'1245y x =+（3）由2323111y x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭﹣，则'2332x y x =-，（4）由sin n x y x =，则'1cos sin n x x n x y x +-=，（5）由()5221x y e x +=+﹣，则()4'29221()x y x x e +=+﹣﹣．。
(完整版)高三复习导数专题
导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 2、导数的公式： 0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nxx （R n ∈） xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+ （ 0a > ，0b >） 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：()k f x'=（2）导数的物理意义：()v s t'=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；()0()b]f x f x'≥⇔在[a,上递增()0()b]f x f x'≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性；()f x c≠（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。
高三数学理科导数巩固训练
高三数学理科导数复习资料一、已知函数单调性，求参数的取值范围 类型1．参数放在函数表达式上例１．设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.,3)()1(-∞=基础训练：.)().2(;)().1(1,1)1(32)(.123的极值讨论的单调区间求其中设函数x f x f a x a x x f ≥+--=类型2．参数放在区间边界上例２．已知函数)(,0)(23x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点)2,1(-P ,若曲线)(x f y =在点P处的切线与直线 452的夹角为x y =且切线的倾斜角为钝角.(1) 求)(x f 的表达式(2) 若)(x f 在区间[]1,12+-m m 上递增,求m 的取值范围.基础训练：.,]1,[)(,73)(.223的取值范围求上单调递增在若已知函数a a a x f xxx f +-+=二、已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型１．参数放在不等式上例3.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f(1) 求b a 、的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求c 的取值范围． 基础训练：__________)(]2,1[,522)(.323的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x xx x f >-∈+--=类型2．参数放在区间上例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=235)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在3=x 处有极值.（１） 求)(x f 的解析式.（２） 当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围.基础训练：.___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-三、知函数图象的交点情况，求参数的取值范围． 例5.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值(1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 基础训练：轴仅有一个交点与曲线在什么范围内取值时当的极值求函数为实数设x x f y a x f a x x x x f a )(,)2()()1()(,.523=+--=四、开放型的问题，求参数的取值范围。
高考导数知识点复习
高考导数知识点复习导数是高中数学中一个重要的概念，它在微积分中扮演着至关重要的角色。
在高考中，导数相关的知识点经常会出现在选择题和解答题中。
因此，为了帮助大家复习导数知识点，本文将围绕导数的定义、性质和常用求导法则展开讲解。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数的瞬时速度。
数学上，我们可以用极限的概念来定义导数。
设函数y=f(x)，在点x=a处可导，那么函数在该点处的导数记为f'(a)，它等于极限lim(x->a)[f(x)-f(a)]/(x-a)。
二、导数的性质1. 可导必连续：如果函数在某一点可导，那么它一定在该点处连续。
2. 可导函数的和、差函数的导数：设函数f(x)和g(x)都在点x=a处可导，那么其和函数(f+g)(x)和差函数(f-g)(x)在该点处可导，且有(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)和(f-g)'(a)=f'(a)-g'(a)。
3. 导数与乘法规则：设函数f(x)和g(x)都在点x=a处可导，那么其乘积函数(fg)(x)在该点处可导，且有(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)。
4. 导数与除法规则：设函数f(x)和g(x)都在点x=a处可导，且g(a)≠0，那么其商函数(f/g)(x)在该点处可导，且有(f/g)'(a)=[f'(a)g(a)-f(a)g'(a)]/[g(a)]^2。
三、常用求导法则1. 幂函数求导法则：设常数n为任意实数，函数f(x)=x^n，在定义域内可导。
其导函数f'(x)=nx^n-1。
2. 基本初等函数求导法则：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等基本初等函数都有相应的求导法则。
3. 符号函数求导法则：设函数f(x)=|x|，在0点处不可导，但在0点的左右导数分别为-1和1。
高三导数知识点总结
高三导数知识点总结一、导数的概念和计算方法导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
在高三阶段，导数是数学学习的重点之一。
在学习导数之前，我们首先需要了解导数的概念和计算方法。
导数的定义可以通过极限的概念得到：对于函数y=f(x)，在点x 处的导数可以表示为f'(x)=lim△x→0[f(x+△x)-f(x)]/△x。
这个定义表示了当△x趋向于0时，函数f(x)在x处的变化率。
导数也可以理解为函数的瞬时变化率。
计算导数的常用方法有：基本函数求导法、常数因子法、和差法、乘积法、商法、函数的复合法等。
在运用这些求导法则时，我们需要熟练掌握各种函数的导函数。
二、基本函数的导函数在高三阶段，我们主要接触到的基本函数有常数函数、幂函数、指数函数和对数函数。
下面我们将介绍这些函数的导函数。
1. 常数函数的导函数：常数函数f(x)=c（其中c为常数）的导函数为0，即f'(x)=0。
2. 幂函数的导函数：幂函数f(x)=x^n（其中n为常数）的导函数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导函数：指数函数f(x)=a^x（其中a>0且a≠1）的导函数为f'(x)=a^xlna。
4. 对数函数的导函数：对数函数f(x)=log_a(x)（其中a>0且a≠1）的导函数为f'(x)=1/(xlna)。
通过掌握基本函数的导函数，我们可以在求解导数时使用这些导函数的性质，简化计算过程。
三、导数的应用导数是高三阶段数学学习中重要的工具，它广泛应用于各个领域。
在这一部分，我们将介绍导数在函数的极值、函数的图像、函数的变化趋势等方面的应用。
1. 导数与函数的极值通过导数，我们可以研究函数在不同点上的极值问题。
函数的极大值和极小值处的导数都等于0或不存在。
因此，我们可以通过求导数，找到函数的极值点，并通过求导数的二阶导数判断函数在极值点处的性质。
2. 导数与函数的图像函数的导数可以揭示函数图像的许多特征。
2023年高考数学一轮总复习第14讲：导数的概念与运算
2023年高考数学一轮总复习第14讲：导数的概念与运算【教材回扣】1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx→0ΔyΔx ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作________，即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数，记作f ′(x )或y ′.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝________．3．基本初等函数的导数运算基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝________f (x )＝x α(α∈Q *)f ′(x )＝________f (x )＝sin x f ′(x )＝________f (x )＝cos x f ′(x )＝________f (x )＝e x f ′(x )＝________f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝________f (x )＝ln x f ′(x )＝________f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝□10________4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝□11________________；(2)[f (x )g (x )]′＝□12________________；(3)f (x )g (x )′＝□13________________(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝□14________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()2．导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同．()3．曲线f (x )＝x 3在原点(0,0)处的切线方程为y ＝0.()4．函数f (x )＝ln(1－x )的导数是f ′(x )＝11－x.()题组二教材改编1．(多选题)下列导数运算正确的是()A ．(x n e x )′＝nx n －1e x ＋x n e x′＝2x ＋1－x22x ＋12x ＋1＝3x ＋22(2x ＋1)2x ＋1′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x ＋sin x )(sin x ＋cos x )2＝cos x －sin x sin x ＋cos xD ．[(3x ＋1)2ln(3x )]′＝[(3x ＋1)2]′ln(3x )＋(3x ＋1)2·(ln 3x )′＝6(3x ＋1)ln(3x )＋(3x ＋1)2x2．曲线y ＝x 2＋3x在点(1,4)处的切线方程为________．3．已知函数f (x )满足f (x )＝f x －cos x ，则f ________.题组三易错自纠1．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是()2．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于()A.193 B.163C.133 D.1033．(一题两空)已知函数f (x )＝(bx －1)e x ＋a (a ，b ∈R )．若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ，则a ，b 的值分别为a ＝________，b ＝________.题型一导数的运算[例1](1)函数f (x )＝2x ＋1的导函数f ′(x )＝()A ．22x ＋1 B.22x ＋1C.122x ＋1D.12x ＋1(2)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)等于()A.92B.94C.174D.178(3)[2021·山东师大附中模拟]设f (x )＝a e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e，则a ＋b ＝________.[听课记录]类题通法(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的求导，这样可以减少运算，提高运算速度减少差错．(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.巩固训练1：(1)已知f (x )＝－2cos f ′(x )＝________.(2)设f ′(x )是函数f (x )＝cos xex ＋x 的导函数，则f ′(0)的值为________．(3)若函数f (x )＝e ax＋ln(x ＋1)，f ′(0)＝4，则a ＝________.题型二导数的几何意义高频考点角度|求切线方程[例2][2021·山东新高考质量测评联考]设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －1)x ，(x ∈R )为奇函数，则曲线y ＝f (x )x2在点(1,0)处的切线方程为()A ．y ＝－2x ＋2B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝2x －2D ．y ＝x －1[听课记录]类题通法求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.巩固训练2：[2020·全国卷Ⅰ]函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为()A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1角度|求切点坐标[例3]设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为()A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)[听课记录]类题通法求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式，求出切点的纵坐标.巩固训练3：设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋aex 的导数是f ′(x )，且f ′(x )是偶函数．若曲线y＝f (x )的一条切线的斜率是52，则切点的横坐标为________．角度|求参数的值(或范围)[例4]函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)[听课记录]类题通法利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒](1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)切点既在切线上，又在曲线上.巩固训练4：直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于()A ．2B ．－1C ．1D ．－2角度|两曲线的公切线问题[例5]若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.[听课记录]类题通法解决公切线问题的思路分别设出两切线的切点坐标，然后求导得到切线的斜率，则求得两条切线方程，接着让两切线方程的斜率和截距分别相等，得到两个关于切点的方程组，解方程组即可.巩固训练5：已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为________．[预测1]核心素养——逻辑推理若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是()－12，＋∞ B.－12，＋∞C ，＋∞D ．[0，＋∞)[预测2]新题型——一题两空已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x 3－3x 2＋a ，则f (－2)＝________；曲线y ＝f (x )在点(－2，f (－2))处的切线方程为________________．状元笔记明晰求切线方程中“在”与“过”的不同求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，应先设切点，求切点坐标．[典例]若存在过点O(0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值为________．【解析】易知点O(0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上．(1)当O(0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x.＝2x ＝x 2＋a得x 2－2x ＋a ＝0.依题意，Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x.＝－14x ，＝x 2＋a得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.【答案】1或1642023年高考数学一轮总复习第14讲：导数的概念与运算答案[教材回扣]□1f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0□2f ′(x 0)□30□4αx α－1□5cos x □6－sin x □7e x □8a x ln a □91x□101x ln a□11f ′(x )±g ′(x )□12f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )□13f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2□14y ′u ·u ′x [题组练透]题组一1．× 2.× 3.√ 4.×题组二1．答案：AD2．解析：∵y ′＝2x －3x 2，∴y ′|x ＝1＝2－3＝－1.∴所求切线方程为：y －4＝－(x －1)，即x ＋y －5＝0.答案：x ＋y －5＝03．解析：∵f (x )＝fsin x －cos x ，∴f ′(x )＝fcos x ＋sin x ，∴f＝fcos π4＋sinπ4，即f＝22，∴f＝221－22＝2＋1.答案：2＋1题组三1．解析：由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C ；又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B ，故选D.答案：D2．解析：f ′(x )＝3ax 2＋6x ，又f ′(－1)＝4，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.故选D.答案：D3．解析：∵f (x )＝(bx －1)e x ＋a ∴f ′(x )＝e x (bx ＋b －1)又f ′(0)＝1，f (0)＝0∴f ′(0)＝b －1＝1，－1＋a ＝0解得a ＝1，b ＝2.答案：12课堂题型讲解题型一例1解析：(1)∵f (x )＝2x ＋1＝(2x ＋1)12，∴f ′(x )＝12(2x ＋1)－12×2＝(2x ＋1)－12＝12x ＋1.故选D.(2)f ′(x )＝4x －3f ′(2)＋1x ，∴f ′(2)＝4×2－3f ′(2)＋12，∴f ′(2)＝178.故选D.(3)f ′(x )＝a e x ＋b x，（1）＝a e ＋b ＝e ，（－1）＝a e －1－b ＝1e ，＝1，＝0，∴a ＋b ＝1.答案：(1)D (2)D (3)1巩固训练1解析：(1)f (x )＝sin x2cos＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x ，∴f ′(x )＝－12cos x .(2)f ′(x )＝（－sin x ）e x －cos x ·e x（e x ）2＋1＝－sin x －cos xe x＋1，∴f ′(0)＝－1＋1＝0.(3)f ′(x )＝a e ax ＋1x ＋1，∴f ′(0)＝a ＋1＝4，∴a ＝3.答案：(1)－12cos x (2)0(3)3题型二例2解析：由题意知a ＝0，∴y ＝f （x ）x 2＝x 3－x x2＝x －1x ，∴y ′＝1＋1x 2，∴y ′|x ＝1＝2，故所求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2.故选C.答案：C巩固训练2解析：f ′(x )＝4x 3－6x 2，则f ′(1)＝－2，易知f (1)＝－1，由点斜式可得函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选B.答案：B例3解析：f ′(x )＝(x 3＋ax 2)′＝3x 2＋2ax ，由题意得f ′(x 0)＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，x 20＋2ax 0＝－1，①0＋x 30＋ax 20＝0，②由①知x 0≠0，故②可化为1＋x 20＋ax 0＝0，所以ax 0＝－1－x 20代入①得3x 20＋2(－1－x 20)＝－1，即x 20＝1，解得x 0＝±1.当x 0＝1时，a ＝－2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝－1；当x 0＝－1时，a ＝2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝1，所以点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).故选D.答案：D巩固训练3解析：∵f ′(x )＝e x －a e x ，且f ′(x )是偶函数，∴e －x －a e－x ＝e x －a e x ，得a ＝－1.设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e x 0＋1e x 0＝52，解得x 0＝ln 2或x 0＝－ln 2.答案：±ln 2例4解析：函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x.因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2).故选B.答案：B巩固训练4解析：依题意知y ′＝3x 2＋a 3＋a ＋b ＝3，×12＋a ＝k ，＋1＝3，＝－1，＝3，＝2.所以2a＋b ＝1，故选C.答案：C例5解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln (x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln (x 2＋1)).则切线方程分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln (x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，依题意，＝1x 2＋1，x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 2巩固训练5解析：设l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，e x 1)，与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，ln x 2＋2).因f ′(x )＝e x ，g ′(x )＝1x ，所以l ：y ＝e x 1·x －x 1·e x 1＋e x 1y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1.x 1＝1x 21－x 1）e x 1＝ln x 2＋11＝0，2＝1，1＝1，2＝1e．∴切线方程为y ＝x ＋1或y ＝e x .答案：y ＝e x 或y ＝x ＋1高考命题预测预测1解析：f′(x)＝1x＋2ax＝2ax2＋1x(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－1x2(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞).故选D.答案：D预测2解析：f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝a＝0，故a＝0，f(－2)＝－f(2)＝－(16－12)＝－4，当x<0时，－x>0，故f(－x)＝－2x3－3x2.f(x)＝－f(－x)＝2x3＋3x2，f′(x)＝6x2＋6x，f′(－2)＝12，故切线方程为：y＝12(x＋2)－4，即12x－y＋20＝0.答案：－412x－y＋20＝0。
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考点巩固训练14 导数、导数的计算
一、选择题
1．已知函数f (x )＝3x ＋1，则f (1－Δx )－f (1)Δx
当Δx 趋向于0时的极限值为( )． A ．－13 B ．13
C ．23
D ．0 2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12
，则切点的横坐标为( )． A ．3 B ．2
C ．1
D ．12
3．已知奇函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上的解析式为f (x )＝x 2＋x ，则切点横坐标为1的切线方程是( )．
A ．x ＋y ＋1＝0
B ．x ＋y －1＝0
C ．3x －y －1＝0
D ．3x －y ＋1＝0
4．(2013重庆模拟)函数y ＝cos(1＋x 2)的导数是( )．
A ．2x sin(1＋x 2)
B ．－sin(1＋x 2)
C ．－2x sin(1＋x 2)
D ．2cos(1＋x 2)
5．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( )．
A ．12
B ．1
C ．32
D ．2 6．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为
⎣⎡⎦
⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )． A ．⎣
⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．⎣⎡⎦⎤12，1
7．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )．
A ．0
B ．26
C ．29
D ．212
二、填空题
8．(课标全国高考)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________．
9．若函数f (x )＝13
x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝__________． 10．若θ为曲线y ＝x 3＋3x 2＋ax ＋2的切线的倾斜角，且所有θ组成的集合为⎣⎡⎭⎫π4，π2，则
实数a 的值为__________．
三、解答题
11．求下列函数的导数．
(1)y ＝x tan x ；(2)y ＝1x ＋2x 2＋1x 3； (3)y ＝sin x x
；(4)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)． 12．设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，
求实数a，b的值．
参考答案
一、选择题
1．A
2．A 解析：∵y ′＝x 2－3x
(x ＞0)， 又k ＝12
， ∴x 2－3x ＝12
，∴x ＝3． 3．B 解析：在[0，＋∞)上，
由函数y ＝f (x )为奇函数，
得f (x )＝－x 2＋x ，切点为(1,0)，
∵y ′＝－2x ＋1，∴y ′|x ＝1＝－1，
故切线方程为y ＝－(x －1)，
即x ＋y －1＝0．
4．C
5．D 解析：(1，f (1))在直线x －2y ＋1＝0上，所以1－2f (1)＋1＝0，∴f (1)＝1．
又∵f ′(1)＝12
， ∴f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×12
＝2． 6．A 解析：设点P 的横坐标是m ，则曲线在点P 处的切线的斜率等于y ′|x ＝m ＝2m ＋2，
由于该切线的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，因此有0≤2m ＋2≤1，由此解得－1≤m ≤－12
． 7．D 解析：∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，
∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′
＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，
∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…· (－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212．
二、填空题
8．4x －y －3＝0 解析：因为y ′＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝4(x －1)，化为一般式方程为4x －y －3＝0．
9．6 解析：∵f (x )＝13
x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5， ∴f ′(x )＝x 2－2f ′(－1)·x ＋1，
将x ＝－1代入上式得f ′(－1)＝1＋2f ′(－1)＋1，
∴f ′(－1)＝－2，再令x ＝1，得f ′(1)＝6．
10．4 解析：设切线的斜率为k ，
则k ＝y ′＝3x 2＋6x ＋a ，
又∵k ＝tan θ，θ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2，
∴k ∈[1，＋∞)．
又k ＝3(x ＋1)2＋a －3，
∴当x ＝－1时，k 取最小值为a －3＝1．
∴a ＝4．
三、解答题
11．解：(1)y ′＝(x ·tan x )′
＝x ′tan x ＋x (tan x )′
＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭
⎫sin x cos x ′ ＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x
＝tan x ＋
x cos 2x
． (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＋⎝⎛⎭⎫2x 2′＋⎝⎛⎭⎫1x 3′
＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′
＝－x －2－4x －3－3x －4
＝－1x 2－4x 3－3x 4． (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′
＝(sin x )′·x －sin x ·(x )′x 2 ＝x cos x －sin x x 2
． (4)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋
3)＝3x 2＋12x ＋11．
12．解：∵f (x )过点P (1,0)，
∴f (1)＝1＋a ＝0，解得a ＝－1．
f ′(x )＝1＋2ax ＋b x ＝1－2x ＋b x
． ∵f ′(1)＝2，
∴f ′(1)＝1－2＋b ＝2，解得b ＝3．
∴a ＝－1，b ＝3．。