函数的值域与最值学案课件
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函数的最值 课件
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 2
1 已知函数 f(x)＝x＋x .
(1)求证：f(x)在[1，＋∞)上是增函数；
证明 设1≤x1＜x2，
x1x2－1 1 1 则 f(x1)－f(x2)＝(x1＋x )－(x2＋x )＝(x1－x2)· x x . 1 2 1 2
∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，
解析答案
1
2
3
Hale Waihona Puke 45 a，a≤b， 5.记 min{a，b}＝ 若 f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则 f(x)的 b，a>b.
最大值为____. 6
解析
x＋2，0≤x≤4 由题意， 知 f(x)＝ ， 作出函数 f(x)的图象如图所示. 10－x，x>4
易知 f(x)max＝f(4)＝6.
∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)的最小值为1.
当x＝－5时，f(x)的最大值为37.
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数.
解 函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴为x＝－a.
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数，
故－a≤－5，或－a≥5.
即实数a的取值范围是{a|a≤－5，或a≥5}.
解析答案
课堂小结 1.函数的最值与值域、单调性之间的联系
1 (1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝ . x 如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.
(2) 若函数f(x) 在闭区间 [a ，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得 .
即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a).
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000， 当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. ∴当x＝300时 ，f(x)max＝25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大， 最大利润为25 000元.
跟踪训练 2
1 已知函数 f(x)＝x＋x .
(1)求证：f(x)在[1，＋∞)上是增函数；
证明 设1≤x1＜x2，
x1x2－1 1 1 则 f(x1)－f(x2)＝(x1＋x )－(x2＋x )＝(x1－x2)· x x . 1 2 1 2
∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，
解析答案
1
2
3
Hale Waihona Puke 45 a，a≤b， 5.记 min{a，b}＝ 若 f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则 f(x)的 b，a>b.
最大值为____. 6
解析
x＋2，0≤x≤4 由题意， 知 f(x)＝ ， 作出函数 f(x)的图象如图所示. 10－x，x>4
易知 f(x)max＝f(4)＝6.
∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)的最小值为1.
当x＝－5时，f(x)的最大值为37.
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数.
解 函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴为x＝－a.
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数，
故－a≤－5，或－a≥5.
即实数a的取值范围是{a|a≤－5，或a≥5}.
解析答案
课堂小结 1.函数的最值与值域、单调性之间的联系
1 (1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝ . x 如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.
(2) 若函数f(x) 在闭区间 [a ，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得 .
即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a).
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000， 当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. ∴当x＝300时 ，f(x)max＝25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大， 最大利润为25 000元.
高考数学一轮总复习第二章函数第5讲函数的值域及最值课件文新人教A版
对于选项
C
，
y
＝
x2
＋
x
＋
1
＝
x＋12
2
＋
3 4
≥
3 4
，
其
值
域
为34，＋∞；ຫໍສະໝຸດ 于选项D，y＝13 x1
中x＋1 1≠0，故 y≠1，
其值域不是(0，＋∞).
第五页，共30页。
4. 函 数 f(x) ＝ － x2 ＋ 2x ＋ 8 在 区 间 [ － 1 ， 4] 上 值 域
为 [0，9]
.
【解析】f(x)＝－x2＋2x＋8＝－(x－1)2＋9，所以 f(x)在 [－1，1]上单调递增，在(1，4]单调递减，所以 f(x)max＝f(1) ＝9，f(x)min＝f(4)＝0，所以值域为[0，9].
第二十四页，共30页。
5.函数 f(x)＝
x2＋x＋4x1＋7的值域为
0，
66
.
【解析】函数 f(x)＝ x2＋x＋4x1＋7的定义域为{x|x≥－1}， 则当 x＝－1 时，f(－1)＝0，
当 x> － 1 时 ， f(x) ＝
x＋1 x2＋4x＋7
＝
（x＋1）2＋x＋2（1 x＋1）＋4＝
x＋1＋x1＋4 1＋2，
∵x＋1＋x＋4 1≥4，当且仅当 x＝1 时等号成立，
∴
x＋1＋x1＋4 1＋2≤
61＝ 66，
故函数 f(x)＝ x2＋x＋4x1＋7的值域为0， 66.
第二十五页，共30页。
6.已知 f(x)＝x3＋3x2＋a(a 为常数)，在[－3，3]上有最小 值 3，那么在[－3，3]上 f(x)的最大值是_5_7__.
第十一页，共30页。
函数的值域及最值复习ppt 人教课标版共32页
课标版
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
人教版高中数学 选择性必修二 A版5.3.2(2)《函数的最值》课件PPT
→−∞
→−∞
lim = lim = +∞
→+∞
∴
→+∞
1
的值域为− ，+∞)
无极大值
第四部分
课程小结
课堂总结
1.知识小结：函数= 在 , 上的最值的定义：
一般地，对于函数 = 的导函数′()=0的解如果
有若干个，比如, , … 此时函数值 , , … .在它
1.设 = − lnx ,求 的极值和最值.
解析: 的定义域为 0, +∞
令 ′() > 0 得 > 1
′()=1
1
−
=
−1
令 ′() < 0 得0< < 1
∴ 的单调递增区间是 1, +∞ ,单调递减区间是(0,1)
跟踪练习
∴ 的极小值为 1 =1 ， 没有极大值.
() = −1 =
11
2
x
= 的极大
值点是-1，极
2
小值点是
3
11
2
，极小值是
=
2
3
−2 =2
=
86
=
27
，
知识梳理
2.函数= 在 , 上的最值的定义：
一般地，对于函数 = 的导函数′()=0的解如果
有若干个，比如, , … 此时函数值 , , … .在它
们左右两边的函数值处于下列两种情况之一：①比
, , …函数值小
②比 , , …函数值大.
知识梳理
(i)如果满足①，则 , ，… 叫做函数 = 的
→−∞
lim = lim = +∞
→+∞
∴
→+∞
1
的值域为− ，+∞)
无极大值
第四部分
课程小结
课堂总结
1.知识小结：函数= 在 , 上的最值的定义：
一般地，对于函数 = 的导函数′()=0的解如果
有若干个，比如, , … 此时函数值 , , … .在它
1.设 = − lnx ,求 的极值和最值.
解析: 的定义域为 0, +∞
令 ′() > 0 得 > 1
′()=1
1
−
=
−1
令 ′() < 0 得0< < 1
∴ 的单调递增区间是 1, +∞ ,单调递减区间是(0,1)
跟踪练习
∴ 的极小值为 1 =1 ， 没有极大值.
() = −1 =
11
2
x
= 的极大
值点是-1，极
2
小值点是
3
11
2
，极小值是
=
2
3
−2 =2
=
86
=
27
，
知识梳理
2.函数= 在 , 上的最值的定义：
一般地，对于函数 = 的导函数′()=0的解如果
有若干个，比如, , … 此时函数值 , , … .在它
们左右两边的函数值处于下列两种情况之一：①比
, , …函数值小
②比 , , …函数值大.
知识梳理
(i)如果满足①，则 , ，… 叫做函数 = 的
2015届高三数学(文)第一轮总复习课件 第11讲 函数的值域与最值
6
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文数
3．已知x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，则2x＋3y2的最小值 为 .
7
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文数
解析：因为x＋2y＝1，x≥0，y≥0， 1 所以0≤2y≤1⇒0≤y≤2， 22 2 2x＋3y ＝3y ＋2－4y＝3(y－3) ＋3，
2 2
1 1 22 2 3 2 所以当y＝2时，(2x＋3y )min＝3×(2－3) ＋3＝4.
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文数
π π (3)令x＝sin t∈[－1,1]，其中t∈[－2，2]， 所以 1－x2＝ 1－sin2t＝cos t， π 所以y＝sin t＋cos t＝ 2sin(t＋4)， π π π π 3 又t∈[－2，2]，则t＋4∈[－4，4π]， π 2 由单位圆知识及函数图象可得sin(t＋4)∈[－ 2 ，1]，故y∈[－1， 2]， 值域为{y|－1≤y≤ 2}，最大值为 2，最小值为－1.
20
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文数
【拓展演练2】 求下列函数的值域： (1)y＝2x2－4x＋1； 1 (2)y＝log2 4－x2； 2x＋1 (3)y＝ x . 2 －1
21
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文数
解析：(1)因为t＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3≥－3， 1 1 所以2 ≥2 ＝8，所以该函数的值域为[8，＋∞)．
t
－3
1 1 (2)因为0<t＝ 4－x ≤2，所以log2t≥log22＝－1，
2
故该函数的值域为[－1，＋∞)． 2x－1＋2 2 (3)y＝ x ＝1＋ x . 2 －1 2 －1 该函数定义域为{x|x≠0，x∈R}，所以－1<2x－1<0或2x －1>0，从而y<－1或y>1， 所以该函数的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
《函数的值域与最值》新课程高中数学高三一轮复习课件
(2)方法一 (单调性法) 1 定义域{x|x≤ 2}， 函数 y＝ x， y＝x－ 1－2x 1 1 1 均在(－∞， ]上递增，故 y≤ － 1－2× ＝ 2 2 2 1 . 2 1 ∴函数的值域为(－∞， ]． 2
方法二
(换元法)
1－t2 令 1－2x＝t，则 t≥0，且 x＝ . 2 1 1 2 ∴y＝－ (t＋1) ＋1≤ (t≥0)， 2 2 1 ∴y∈(－∞，2]． ex－1 1＋y x (3)由 y＝ x 得，e ＝ . e ＋1 1－y 1＋y x ∵e ＞0，即 ＞0，解得－1＜y＜1. 1－y ∴函数的值域为{y|－1＜y＜1}．
g(x)是二次函数，若 f[g(x)]的值域是 ( B．[0，＋∞) D．[1，＋∞) )
[0，＋∞)，则 g(x)的值域是 A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
[解析] ①当|g(x)|≥1，即：g(x)≤－1或 g(x)≥1时f[g(x)]＝g2(x)∈[1，＋∞)． ②当0≤g(x)＜1时，f[g(x)]＝ g(x)∈[0,1)． ∴当g(x)∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)时 f[g(x)]∈[0，＋∞)． [答案] C
思考探究 1 求下列函数的值域 3x＋2 (1)y＝ ； 5－4x (2)y＝2x－ 1－x； 2x (3)y＝ 2 . x ＋x＋1
(1)逆求法：(反函数法) 5y－2 反解得 x＝ ，∴4y＋3≠0， 4y＋3 3 3 ∴y∈(－∞，－ )∪(－ ，＋∞)． 4 4 (2)单调性法： y1＝2x 在 R 上递增， y2＝－ 1－x 在(－∞， 1]上递增， ∴y＝2x－ 1－x 在(－∞，1]上递增， ∴y≤2－0＝2，即：值域为(－∞，2]．
《函数的最值》课件
电路设计
在电子工程中，电路设计是至关重要的环节。电路中的电压、电流和功率等参数需要在一定范围内保持稳定，以 满足电路的正常工作需求。这需要利用函数最值的概念，通过建立数学模型和求解最优化问题，找到最优的电路 参数配置。
在工程设计中的应用
结构设计
在工程设计中，结构设计是至关重要的环节。结构设计需要考虑各种因素，如载荷、材料、工艺等， 以确保结构的强度、刚度和稳定性。这需要利用函数最值的概念，通过建立数学模型和求解最优化问 题，找到最优的结构设计方案。
对于一些函数，其值域可能没有上界或下界，例 如y=x^2在x<0时。
无界函数的最大值和最小值
对于无界函数，其最大值和最小值可能不存在， 或者存在于特定的边界点。
3
无界函数的性质
无界函数的图像通常会呈现出“爆炸”的特性， 即随着x的增大或减小，y的值也会迅速增大或减 小。
函数最值的几何意义
一元函数最值的几何意义
供需平衡
在经济学中，供需关系是决定市场价格的重要因素。生产商 和销售商需要预测市场需求和供应量，以制定合理的价格策 略。这需要利用函数最值的概念，通过分析供需函数，找到 使利润最大化的价格和产量。
在物理中的应用
弹性力学
在物理中，弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变和内部应力的学科。在弹性力学中，物体在不同外力作用 下的形变程度和内部应力分布可以通过函数最值的概念来描述。例如，在求解弹性体的最大形变或最小应变时， 需要用到函数最值的概念。
01
判断导数的正负，确定函数
的单调性
02
03
确定函数的极值点
04
05
比较极值点与区间端点的函 数值，得出最值
利用函数的单调性求最值
确定函数的单调区间
在电子工程中，电路设计是至关重要的环节。电路中的电压、电流和功率等参数需要在一定范围内保持稳定，以 满足电路的正常工作需求。这需要利用函数最值的概念，通过建立数学模型和求解最优化问题，找到最优的电路 参数配置。
在工程设计中的应用
结构设计
在工程设计中，结构设计是至关重要的环节。结构设计需要考虑各种因素，如载荷、材料、工艺等， 以确保结构的强度、刚度和稳定性。这需要利用函数最值的概念，通过建立数学模型和求解最优化问 题，找到最优的结构设计方案。
对于一些函数，其值域可能没有上界或下界，例 如y=x^2在x<0时。
无界函数的最大值和最小值
对于无界函数，其最大值和最小值可能不存在， 或者存在于特定的边界点。
3
无界函数的性质
无界函数的图像通常会呈现出“爆炸”的特性， 即随着x的增大或减小，y的值也会迅速增大或减 小。
函数最值的几何意义
一元函数最值的几何意义
供需平衡
在经济学中，供需关系是决定市场价格的重要因素。生产商 和销售商需要预测市场需求和供应量，以制定合理的价格策 略。这需要利用函数最值的概念，通过分析供需函数，找到 使利润最大化的价格和产量。
在物理中的应用
弹性力学
在物理中，弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变和内部应力的学科。在弹性力学中，物体在不同外力作用 下的形变程度和内部应力分布可以通过函数最值的概念来描述。例如，在求解弹性体的最大形变或最小应变时， 需要用到函数最值的概念。
01
判断导数的正负，确定函数
的单调性
02
03
确定函数的极值点
04
05
比较极值点与区间端点的函 数值，得出最值
利用函数的单调性求最值
确定函数的单调区间
函数的最大(小)值课件
次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在定义域为实数集时适用．
正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知， 当－1≤x<1时，y随x的增大而减小； 当1≤x≤2时，y随x的增大而增大． 并且当x＝－1时，y取最大值3； 当x＝1时，y取最小值－1. 从而知－1≤y≤3， 即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]． 纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．
题型二 利用单调性求函数最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋3(x∈[2，＋∞))． (1)求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围．
思路点拨：本题可先求函数f(x)的单调性，再求最小值．
误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例4】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域． 错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0， 所以y＝(x－1)2－1≥－1. 从而可知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)． 错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二
解：(1)任取 x1，x2∈[2，＋∞)且 x1<x2，f(x)＝x＋3x＋2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x13x2.
∵x1<x2，∴x1－x2<0. ∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－x13x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故 f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴当 x＝2 时，f(x)有最小值，即 f(2)＝121.
正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知， 当－1≤x<1时，y随x的增大而减小； 当1≤x≤2时，y随x的增大而增大． 并且当x＝－1时，y取最大值3； 当x＝1时，y取最小值－1. 从而知－1≤y≤3， 即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]． 纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．
题型二 利用单调性求函数最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋3(x∈[2，＋∞))． (1)求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围．
思路点拨：本题可先求函数f(x)的单调性，再求最小值．
误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例4】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域． 错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0， 所以y＝(x－1)2－1≥－1. 从而可知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)． 错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二
解：(1)任取 x1，x2∈[2，＋∞)且 x1<x2，f(x)＝x＋3x＋2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x13x2.
∵x1<x2，∴x1－x2<0. ∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－x13x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故 f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴当 x＝2 时，f(x)有最小值，即 f(2)＝121.
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D．[0,1]
解析：1＋ x2 ≥1⇒
答案：A
∈(0,1]．
2．函数 y x2 x, x [2，2] 的值域
为
。解析：y源自x1 22
1 4
且x
2,
2
y [6，1] 4
1.求函数
y
1 3
x
的值域.
解析：∵|x|≥0
∴
0＜
1 3
x
≤1
∴值域为(0,1]．
qlmn
2.求函数y sin2 x 4 cos x 1的值域 .
办法是通过添项和减项，在分子中分解出与
分母相同的式子，约分后应用观察法即可得
函数的值域。
f5
6．换元法：
通过换元，将函数化为简单函数，从而求
得原函数的值域。
形如y＝ax＋b±
(a、b、c、d 均
为常数，且a≠0)的函数常用此法求解。
f5
1.函数 y ＝ A．(0,1] C．[0,1)
(x∈R)的值域是( ) B．(0,1)
解析：y＝sin2x＋4cosx＋1＝－cos2x＋4cosx＋2 ＝－(cosx－2)2＋6 由－1≤cosx≤1
∴－3≤cosx－2≤－1 ∴1≤(cosx－2)2≤9 ∴－3≤－(cosx－2)2＋6≤5 ∴－3≤y≤5， ∴值域为[－3,5]．
qlmn
1.（2012青岛模拟）函数 y 16-4x 的值域为（ C ）
k +k =2 k =1
f x =1*x= x +1+x x 0
f(x)显然为增函数
f x f 0 =1 f x1,+
1．求值域无程序化方法，应在熟练掌握 几种基本方法的基础上，对具体的题目作 具体的分析，选择最优的方法解决． 2．求函数的值域不但要重视对应法则的 作用，而且要特别注意定义域对值域的制 约作用．
练习
1. 求函数 y ＝ x – 1 ( x≥3 ) 的值域. 1.[2，＋∞)
zjgcf
2. 求 y 3x2 x 2 的值域. 解： y 3x2 x 2 3(x 1)2 23 23
6 12 12
∴ y 3x2 x 2 的值域为
[ 23 , ) 12
pff
3. 求函数 y＝x＋ 的值域.
；
当a<0时，值域为
.
3．y＝ (k≠0且x≠0)的值域是 {y|y∈R且y≠0．}
4．y＝a x (a>0，且a≠1)的值域是 (0，＋∞) ． 5．y＝loga x ( a >0，且a≠1)的值域是 R . 6．y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的值域分别为 [－1,1] 、 [－1,1] 、R.
均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”。
f5
4．有界性法 直接求函数的值域困难时， 可以利用已学过函数的有界性， 反客为主来确定函数的值域。
f5
5.分离常数法
适用于那些分式形式且分子与分母同为一次
多项式的函数，或能够化成上述形式的函 数，即形如 y ax b 形式的函数，解决的
cx d
解得： 1 < y < 1
故所求函数的值域为 (1,1)
yjxf
5.求函数 y 3x 1 的值域. x2
解：y 3x 1 3(x 2) 7 3 7
x2 x2
x2
∵ 7 0 x2
∴ 3 7 3 x2
∴函数 y 3x 1 的值域为 {y R | y 3}
x2
flcsf
6. 求函数 y 2x 4 1 x 的值域.
A.0, B.0, 4
C.0, 4 D.0, 4
2.（浙江文数11）函数 y
x2 x2
1
(
x
R)的值域是
0,1 .
3.（2012宝鸡模拟）规定符号“*”表示一种两
个正实数之间的运算，即a*b= ab +a+b ，
a,b是正实数，已知1*k=3,则函数f(x)=k*x的值
域是
.
解：由已知 k +1+k=3
1. 求函数 y ＝ x – 1 ( x≥3 ) 的值域. 答案
2. 求函数 y 3x2 x 2 的值域. 答案
3. 求函数 y＝x＋ 的值域. 答案
ex 1
4.
求函数
y ex
1
的值域.
答案
5. 求函数 y 3x 1 的值域. 答案
x2
6. 求函数 y 2x 4 1 x 的值域. 答案
解：当x＞0时,y=x+
4 x ≥2
x 4 =4
x
等号当且仅当x=2时取得.
当x＜0时，y≤-4,
等号当且仅当x=-2时取得.
综上，函数的值域为
（-∞，-4］∪［4，+∞）
bdsf
4.
求函数
y ex ex
1 1
的值域.
解：由原函数式可得：ex =- y+1 y-1
∵ ex 0
∴
y+1 < 0 y-1
解：设 t 1 x t 0 ，则 x 1 t 2
y f (t) 2 (1 t 2 ) 4t 2t 2 4t 2 2(t 1)2 4
t 0
y 4
则函数的值域为（－∞，4 ] hyf
1．直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例、 反比例、一次函数、指数函数、对数函 数等等，其值域可以通过观察直接得到。
学 校：龙 涤 中 学 教 师：纪 伟
● 基础知识 一、函数的值域的定义 在函数y＝f (x)中，与自变量x的值对应的y值叫做 函数值 ，函数值的集合叫做函数的 值域 ．
二、基本初等函数的值域
1．y＝k x＋b(k≠0)的值域为 R.
2．y＝ax2＋b x＋c(a≠0)的值域是
当a>0时，值域为
f5
2．配方法： 配方法是求“二次函数类”值域的基本方
法，形如 y ax2 bx c a 0 或
F(x)＝af 2 (x) bf (x) （c a 0）的函数的
值域问题，均可使用配方法求其值域。
f5
3.不等式法：
利用基本不等式：a＋b≥2
(a、b∈ R+ )
求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意
解析：1＋ x2 ≥1⇒
答案：A
∈(0,1]．
2．函数 y x2 x, x [2，2] 的值域
为
。解析：y源自x1 22
1 4
且x
2,
2
y [6，1] 4
1.求函数
y
1 3
x
的值域.
解析：∵|x|≥0
∴
0＜
1 3
x
≤1
∴值域为(0,1]．
qlmn
2.求函数y sin2 x 4 cos x 1的值域 .
办法是通过添项和减项，在分子中分解出与
分母相同的式子，约分后应用观察法即可得
函数的值域。
f5
6．换元法：
通过换元，将函数化为简单函数，从而求
得原函数的值域。
形如y＝ax＋b±
(a、b、c、d 均
为常数，且a≠0)的函数常用此法求解。
f5
1.函数 y ＝ A．(0,1] C．[0,1)
(x∈R)的值域是( ) B．(0,1)
解析：y＝sin2x＋4cosx＋1＝－cos2x＋4cosx＋2 ＝－(cosx－2)2＋6 由－1≤cosx≤1
∴－3≤cosx－2≤－1 ∴1≤(cosx－2)2≤9 ∴－3≤－(cosx－2)2＋6≤5 ∴－3≤y≤5， ∴值域为[－3,5]．
qlmn
1.（2012青岛模拟）函数 y 16-4x 的值域为（ C ）
k +k =2 k =1
f x =1*x= x +1+x x 0
f(x)显然为增函数
f x f 0 =1 f x1,+
1．求值域无程序化方法，应在熟练掌握 几种基本方法的基础上，对具体的题目作 具体的分析，选择最优的方法解决． 2．求函数的值域不但要重视对应法则的 作用，而且要特别注意定义域对值域的制 约作用．
练习
1. 求函数 y ＝ x – 1 ( x≥3 ) 的值域. 1.[2，＋∞)
zjgcf
2. 求 y 3x2 x 2 的值域. 解： y 3x2 x 2 3(x 1)2 23 23
6 12 12
∴ y 3x2 x 2 的值域为
[ 23 , ) 12
pff
3. 求函数 y＝x＋ 的值域.
；
当a<0时，值域为
.
3．y＝ (k≠0且x≠0)的值域是 {y|y∈R且y≠0．}
4．y＝a x (a>0，且a≠1)的值域是 (0，＋∞) ． 5．y＝loga x ( a >0，且a≠1)的值域是 R . 6．y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的值域分别为 [－1,1] 、 [－1,1] 、R.
均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”。
f5
4．有界性法 直接求函数的值域困难时， 可以利用已学过函数的有界性， 反客为主来确定函数的值域。
f5
5.分离常数法
适用于那些分式形式且分子与分母同为一次
多项式的函数，或能够化成上述形式的函 数，即形如 y ax b 形式的函数，解决的
cx d
解得： 1 < y < 1
故所求函数的值域为 (1,1)
yjxf
5.求函数 y 3x 1 的值域. x2
解：y 3x 1 3(x 2) 7 3 7
x2 x2
x2
∵ 7 0 x2
∴ 3 7 3 x2
∴函数 y 3x 1 的值域为 {y R | y 3}
x2
flcsf
6. 求函数 y 2x 4 1 x 的值域.
A.0, B.0, 4
C.0, 4 D.0, 4
2.（浙江文数11）函数 y
x2 x2
1
(
x
R)的值域是
0,1 .
3.（2012宝鸡模拟）规定符号“*”表示一种两
个正实数之间的运算，即a*b= ab +a+b ，
a,b是正实数，已知1*k=3,则函数f(x)=k*x的值
域是
.
解：由已知 k +1+k=3
1. 求函数 y ＝ x – 1 ( x≥3 ) 的值域. 答案
2. 求函数 y 3x2 x 2 的值域. 答案
3. 求函数 y＝x＋ 的值域. 答案
ex 1
4.
求函数
y ex
1
的值域.
答案
5. 求函数 y 3x 1 的值域. 答案
x2
6. 求函数 y 2x 4 1 x 的值域. 答案
解：当x＞0时,y=x+
4 x ≥2
x 4 =4
x
等号当且仅当x=2时取得.
当x＜0时，y≤-4,
等号当且仅当x=-2时取得.
综上，函数的值域为
（-∞，-4］∪［4，+∞）
bdsf
4.
求函数
y ex ex
1 1
的值域.
解：由原函数式可得：ex =- y+1 y-1
∵ ex 0
∴
y+1 < 0 y-1
解：设 t 1 x t 0 ，则 x 1 t 2
y f (t) 2 (1 t 2 ) 4t 2t 2 4t 2 2(t 1)2 4
t 0
y 4
则函数的值域为（－∞，4 ] hyf
1．直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例、 反比例、一次函数、指数函数、对数函 数等等，其值域可以通过观察直接得到。
学 校：龙 涤 中 学 教 师：纪 伟
● 基础知识 一、函数的值域的定义 在函数y＝f (x)中，与自变量x的值对应的y值叫做 函数值 ，函数值的集合叫做函数的 值域 ．
二、基本初等函数的值域
1．y＝k x＋b(k≠0)的值域为 R.
2．y＝ax2＋b x＋c(a≠0)的值域是
当a>0时，值域为
f5
2．配方法： 配方法是求“二次函数类”值域的基本方
法，形如 y ax2 bx c a 0 或
F(x)＝af 2 (x) bf (x) （c a 0）的函数的
值域问题，均可使用配方法求其值域。
f5
3.不等式法：
利用基本不等式：a＋b≥2
(a、b∈ R+ )
求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意