实用下料问题 - 同济大学数学系

实用下料问题一．问题的重述“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。

现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜m i W w L l i i ,,1,, =<<. m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。

这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。

特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。

一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。

其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。

因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。

此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。

因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小。

现在我们要为某企业考虑下面两个问题。

1．建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一(略)，其中 i l 为需求零件的长度，i n 为需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是100块 ，要求在4天内完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48；要求不迟于6天完成的零件标号(i )为:4,11,24,29,32,38,40,46,50。

2．立二维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题.制定出在企业生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料块数和所需下料方式数.这个问题的单一原材料的长度为 3000mm,宽度为100mm, 需要完成一项有43种不同长度和宽度零件的下料任务. 具体数据见表二(略)，其中 i i i n w l ,,分别为需求零件的长度、宽度和数量. 切割时的锯缝可以是直的也可以是弯的，切割所引起的锯缝损耗忽略不计.据估计，该企业每天最大下料能力是20块要求在4天内完成的零件标号(i)为: 3,7,9,12,15, 18, 20, 25, 28, 36.二．问题的分析在生产实践中，经常会遇到如钢材、木材等条型材的下料问题，即如何根据原材料的长度、零件的尺寸以及需求量确定出使原材料消耗最少的最优下料方案。

本题要求：在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小。

对于一维下料问题，首先我们必须找出全部可行的下料方式；然后才能确定下料方式作为决策变量和形式约束条件的结构系数，这样才能建立优化决策模型，通过计算机编程计算得到我们所需要的最优下料方案。

考虑到这里是单一原材料下料问题，这大大减少了下料方式；但由于零件的种类有53种之多，因此下料方式仍然很多，计算量很大，所以在建立优化模型的基础上，我们需要找到比较合适的算法来解决这类实际问题。

近年来，国内外关于这方面的研究比较活跃，并涌现出了不少近似算法，如Gilmore与Gomory用线性规划建立的一刀切问题的数学模型；Dyckhoff提出的线性规划方法以及Sarker提出的动态规划方法等。

由于下料问题属于布局问题，不同于一般的数值性优化,近年又出现应用遗传算法来求解下料优化问题。

我们力图建立一种实用的模型——多目标整数规划模型[1] [2][7]，并提出一种新的优化思想方法——启发式多层次逐层优化方法，解决此问题；同时与其他的求解方法进行比较。

对于二维下料问题，我们采用分类层次分析法；由于原材料的长度为3000mm，宽度为100mm，而43种零件的长度最小的为155mm，这样就不会出现零件的长边在原材料的宽边上切割的情况，也就是说零件的长边都是顺着原材料的长边切割的。

考虑到零件的宽有20，30，35，50（mm）这4种规格，为了尽量节省材料，我们应该使原材料在宽边上尽量利用完全，这样只有几种宽边完全利用的组合方式（5种），分别为：50-50，50-30-20， 30-30-20-20，35-35-30，20-20-20-20-20。

我们把零件按宽边的规格分为4类（20，30，35，50），对每一类都可按问题一的处理一维下料问题的方式找最优的方案，然后再把他们按上述的几种方式进行组合，以求得最优解。

三．问题的假设1．对于第一问的假设：1）在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm；2）企业每天的最大下料能力为100块；3）考虑下料方式的数量对总损耗的影响，下料方式越少则原材料总损耗越小；4）对于剩余长度为)5yx mm的材料，可以通过细微调整锯缝的位置锯得长度为x mm的零件；≤+y0(≤2．对于第二问的假设：1）切割所引起的锯缝损耗忽略不计；2）切割时锯缝可以是直的也可以是弯的，但要求转弯为直角； 3）企业每天最大的下料能力是20块； 4）原材料和零件都是长方形。

四．符号说明L ——原材料的长度（L =3000mm ） W ——原材料的宽度（W =100mm ） N ——所用的原材料总数量 K ——所采用的下料方式总数量i l ——第i 号零件的长度L l i ≤（单位：mm ，53,,2,1 =i ） i w ——第i 号零件的宽度W w i ≤ i n ——第i 号零件的需求量ij a ——第j 种下料方式中切割第i 号零件的数量 j x ——按第j 种下料方式切割的原材料的数量 j c ——按第j 种下料方式切割的废料长度（mm ） 1G ——第一问中要求在4天内完成的零件号的集合 {}48362825201815129751，，，，，，，，，，=G2G ——第一问中要求在不迟于6天完成的零件号的集合 {}50,46,40,38,32,29,24,11,42=G3G ——第二问中要求在4天内完成的零件号的集合{}36,28,25,20,18,15,12,9,7,33=G五．模型的建立与求解1．对问题一的解决：此问要求：在4天内完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48；不迟于6天完成的零件标号(i )为:4,11,24,29,32,38,40,46,50。

而该企业每天最大下料能力是100块，我们要制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案，同时要求等额完成任务，我们的目标是要尽可能节省材料，尽可能用少的下料方式。

为此我们建立多目标整数规划模型：（首先我们约定：0ˆ0=）∑=jj x MinN , ∑=jjj x x MinK （1）..T S ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥⨯≤⨯≤==∀<+-∀≤-+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∈∈∈∈≤≤==，且为整数，且为整数，，，006100)(4100)(53,2,1)(min )5(5)5(212111531531531j ij G G i j G G i ijjij G i j G i ij j ij j i j ij i i i i ij i i ij x a a x a a x a i n x a j l l a L j L l a注：1.我们有：若采用了第j 种下料方式，则j x 为大于0的整数，因此1=jj x x ；若没有采用第j 种下料方式，则j x 为0，如上定义可得：000==j jx x ，这样∑=j jj x x K 即表示了所用的下料方式数量；2．约束中第一条是：考虑了锯缝时，原材料长度L 对下料方式的限制，即对于任意一种下料方式，所得到的零件总长度与锯缝总长度之和要小于等于L ；3．约束中第二条是：考虑了锯缝时，对于每一种下料方式的废料长度要小于零件的最小长度； 4．约束中第三条是：为了满足题中要求的等额完成任务的限制条件；5．约束中第四条是：为了满足在企业每天生产能力是100块时，要求在4天内完成零件集合1G 的条件，其中∑∈1G i ijjij ax a 表示第j 种下料方式中所切割的第i 种零件数占这种下料方式中所切割的零件集合1G 中零件数的权数，因此∑∑∑∈∈11)(G i jG i ijjij ax a 表示了完成零件集合1G 所用的原材料数，又由于在4天内要完成零件集合1G ，故上述所算出的所用的原材料数要小于等于4100⨯，注意若01=∑∈G i ij a ，即表示第j 种下料方式中没有切割到零件集合1G 中的零件，因此：1,0G i a ij ∈∀=，这样按照注释1中的约定0ˆ00=，可知正好表示：这种下料方式不产生集合1G 中的零件，故而这条约束很完善；6．约束中第五条和第四条的解释类似；约束中第六条和第七条表示ij a 和j x 要取整数。

对于废料的度量：由于存在锯缝为5mm ，对任何一种可行的下料方式()j j j a a a 5321,,, ，则其满足条件L l ai i ij≤-+∑=5)5(531，所以如果单纯的用∑=+-531)5(i i ij l a L 来度量此种下料方式的废料是不对的，这可能取到负值；实际上，又由于对问题一有假设4，我们可以知道：对所有满足0)5(531≤+-∑=i i ij l a L 的下料方式来说，废料都为0；故而我们可以得到废料的度量方式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤+-+-=∑∑∑===时，当时，当0)5(00)5()5(531531531i iij i i ij i i ij j l a L l a L l a L c 经过数学处理，得到：2)5()5(531531⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∑∑==i i ij i i ij j l a L l a L c因此废料总量为：∑=jj j x c C废弃率定义为：∑∑∑==jj jj j jj x x c x C q 3000/3000/利用率定义为：∑∑∑-=-=-=jj jj j jj x x c x C q p 3000/13000/11对于此模型（即（1）式）的求解比较困难，我们需要首先分解此模型，然后创建适应的优化算法解决此问题：()j j j a a a 5321,,, 表第j 种下料方式1）当前最优的下料方式的模型：多层整数线性规划模型a)当01>∑∈G i i n 时，求最优的一种下料方式的数学模型为：∑==531i i i l a MaxS （2）..T S⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤-+∑∑∈=1531105)5(ga n a L l a G i i i i i i i ，且为整数 其中()5321,,,a a a 表一种下料方式，1g 为努力程度，定义为某种下料方式中含有集合1G 中零件的个数，从中我们可以看出1g 越大零件集合1G 完成得越快；b) 当01=∑∈G i i n 且02>∑∈G i i n 时，求最优的一种下料方式的数学模型为：∑==531i i i l a MaxS （3）..T S⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤-+∑∑∈=2531205)5(ga n a L l a G i i i i i i i ，且为整数 2g 为努力程度，类似1g 的定义和理解；c) 当01=∑∈G i i n 且02=∑∈G i i n 时，求最优的一种下料方式的数学模型为：∑==531i i i l a MaxS （4）..T S⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+∑=，且为整数i i i i i n a Ll a 05)5(531这三个模型都是整数线性规划问题，可以用分支定界法求解，亦可用lingo 直接编程（见附录程2序九），可以很快计算得结果；也可以用matlab7.0[3]编程算得。