第2节 与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系
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【解析】∵PA,PB是⊙O的切线， ∴∠PAO=∠PBO=90°,
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切线的判定
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切线的性质
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圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系是几何学中重要的概念之一，它描述了两个圆在平面上的相对位置和可能的相交形态。
根据圆与圆之间的位置关系，我们可以将其分为三种基本情况：相离、相切和相交。
一、相离的情况
当两个圆的距离大于它们的半径之和时，称它们为相离的圆。
在这种情况下，两个圆不会有任何交点，它们完全没有重叠的部分。
图示如下：
(图示相离的圆)
二、相切的情况
当两个圆的距离等于它们的半径之和时，称它们为相切的圆。
在这种情况下，两个圆只有一个公共的切点。
它们在这个切点相交，其他部分完全分离。
图示如下：
(图示相切的圆)
三、相交的情况
当两个圆的距离小于它们的半径之和时，称它们为相交的圆。
在这种情况下，两个圆有两个公共的交点，并且它们部分重叠。
相交的情况又可以分为内含和交叉两种特殊情况。
1. 内含的情况
当一个圆完全包含在另一个圆内部时，称它们为内含的圆。
在这种情况下，内含的圆与外部的圆相切于内部圆的边界上的一点。
图示如下：
(图示内含的圆)
2. 交叉的情况
当两个圆的内部有交集，但没有一个圆完全包含另一个圆时，称它们为交叉的圆。
在这种情况下，两个圆有两个公共的交点，并且它们部分重叠。
图示如下：
(图示交叉的圆)
综上所述，圆与圆的位置关系可以通过它们的相对位置和交集情况来判断。
相离、相切和相交是基本的分类，而相交的情况又可细分为内含和交叉两种特殊情况。
理解和熟练应用这些概念，有助于我们在解决几何问题时准确地判断和描述圆与圆之间的位置关系。
(完)。
第1部分 第6章 第2节 与圆有关的位置关系
解点与圆、直线与圆的位置关系的问题时，未充
分考虑多种情况，出现漏解现象
一个点到圆的最小距离为 6cm，最大距离为 9cm，则该
圆的半径为(
)
A．1.5cm
B．7.5cm
C．1.5cm 或 7.5cm
D．3cm 或 15cm
【错解】 A 【错因剖析】 对于这样的无图题，容易忽视多种情况，只画出 一个相应的图形，造成漏解． 【正解】 C
圆与圆的位置关系(拓展) 1．圆与圆位置关系的判断 设两圆半径分别为 R 和 r，圆心距为 O1O2＝d.两圆外离⇔d＞R＋r； 两圆外切⇔d＝R＋r；两圆相交⇔R－r＜d＜R＋r(R≥r)；两圆内切⇔d ＝R－r(R＞r)；两圆内含⇔0≤d＜R－r(R＞r)． 2．两圆相切、相交的有关性质 (1)相切两圆的连心线必经过⑯ 切点 ． (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦．
点与圆、直线与圆的位置关系 1．点和圆的位置关系：如图，如果圆的半径是 r， 点到圆心的距离为 d，那么点在圆外⇔① d>r ，如点 A；点在圆上⇔② d＝r ，如点 B；点在圆内⇔③ d<r ， 如点 C.
2．直线与圆的位置关系
位置关系
相离
示意图
d 与 r 的关系 d④ > r
交点的个数
没有交点
D．8 步
【解析】根据勾股定理得：斜边为 82＋152＝17，则该直角三角形 能容纳的圆形(内切圆)半径 r＝8＋152－17＝3(步)．
点与圆、直线与圆的位置关系(冷考) (注：安徽中考近五年未单独考查)
切线的判定与性质(常考) 1．(2018 安徽，12，5 分)如图，菱形 ABOC 的边 AB，
【解析】A 项：∵弦 PB 是⊙O 的直径时最长，此时∠BCP＝∠BAP ＝90°，∴∠ACP＝∠CAP＝30°，∴△APC 是等腰三角形．B 项： 若点 P 与点 B 不重合，当△APC 是等腰三角形时，△BPA≌△BPC， ∴∠BAP＝∠BCP＝90°，∠BPA＝∠BPC，∴PB 是⊙O 的直径，又 ∵∠BPA＝∠BPC 且 AP＝CP，∴PB⊥AC，即 PO⊥AC，若点 P 与点 B 重合，由于△ABC 是等边三角形，∴BO⊥AC，即 PO⊥AC.C 项： 当点 P 与点 B 重合时满足 PO⊥AC，但此时∠ACP＝60°.D 项：当 ∠ACP＝30°时，则∠BCP＝90°或∠PBC＝90°，∴△BPC 一定是 直角三角形．
与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系知识要点透析知识点一、点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有知识点二、圆的确定已知圆心和半径可以确定圆，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.1．不在同一直线上的三个点确定一个圆. 2．经过三角形三个顶点可以作一个圆.3．用反证法证明命题的一般步骤为：(1) 假设命题的结论不成立；(2) 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.知识点三、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O 到直线的距离为d，那么2．直线与圆的位置关系的判定和性质．知识点四、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.知识点五、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.知识点六、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.(3) 三角形的外心与内心的区别：1．圆与圆的五种位置关系的定义2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)3．两圆相切的性质：若两圆相切，则切点一定在连心线上.规律方法指导1．首先要掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的得出过程，结合相应图形得出各位置关系下的d与r(R与r)之间的关系；2．理解好切线的性质及判定，总结出判定切线常添加的辅助线：(1)过圆心作切线的垂线；(2)作出过切点的半径；3．每个知识点只有在真正理解的基础上才能够掌握并灵活应用.经典例题透析类型一：判断直线和圆的位置关系1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米；(2)r=2.4厘米；(3)r=3厘米．类型二、运用切线的性质定理解题2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．类型三、切线的判定3．如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切.【变式1】已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD 是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【变式2】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆切于点E．求证：CD与小圆相切．4．△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，且∠DCB=∠A，求证：CD是⊙O的切线.方法一：可利用直径所对圆周角是直角.方法二：可采用圆周角定理.【变式】如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.类型四、切线长定理的应用5．已知，如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若AB=7，AC=8，BC=9，求AD、BE、CF的长.【变式1】已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.(1)若∠P=70°，求∠DOE的度数；(2)若PA=4cm，求△PDE的周长.总结升华：此题的解答中推出两个重要结论：(1)；(2)△PDE的周长=PA+PB=2PA.【变式2】已知：如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC的内切圆⊙O的半径r.总结升华：通过此题的求解过程，总结如下结论：在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=a，AC=b，AB=c，三角形内切圆半径为r这均是计算直角三角形内切圆半径的重要结论.【变式3】已知：如图，△ABC的内切圆⊙O切边AB、BC、AC于点D、E、F，且∠A=50°，求∠DEF的度数.方法一：先求圆心角，再由切线的性质方法二：可由切线长定理和内心性质求解.总结升华：事实上，在此求解过程中可以得到如下结论：(1)(2)类型五、两圆的位置关系6．已知相交两圆的半径分别为，圆心距为d，试求d的整数值.【变式1】已知两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，且满足，试确定这两圆的位置关系.想一想，若两圆内切，圆心距为3cm，其中一个圆的半径为5cm，则另一个圆的半径为_____.【变式2】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，，AD、BC的长是方程x2-20x+75=0的两根，以D为圆心，AD长为半径的圆，和以C为圆心，BC长为半径的圆之间有怎样的位置关系？思路点拨：问题转化为比较AD+BC与DC之间的大小关系.7．如图，在长为25cm，宽为18cm的矩形ABCD中截下一个最大的⊙O2后，若想在剩余的材料中再截去一个最大的⊙O1，试求⊙O1的半径.【变式1】如图，要想在半径为R的圆铁片内剪下四个相等的圆片，那么其半径r的最大值是多少？思路点拨：欲使四个相等的圆片最大，只要使这相邻小圆片分别两两外切，且都内切于已知圆.想一想，若还要在剩下的空余剪下五个小圆(如图)，半径最大值是多少？提示：2r小=AC-2r=(2R-2r)-2r=2R-4r .【变式2】已知：如图所示，半圆O的直径为2R，分别以AO、OB为直径在半圆O内分别作半圆C和半圆F，若⊙D与⊙O内切，且分别与⊙C、⊙F外切，试求⊙D的半径r.8．已知：如图，两圆相交于A、B点，割线BEF与割线ACD互相平行，试比较线段EF与CD的大小，并证明.基础达标一、选择题1．已知如图所示，等边△ABC的边长为2cm，下列以A为圆心的各圆中，半径是3cm的圆是( )2．已知两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则这两圆的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.外离3．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长为3，以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定4．如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为( )A.70°B.90°C.60°D.45°5．I为△ABC的内心，如果∠ABC+∠ACB=100°，那么∠BIC等于( )A.80°B.100°C.130°D.160°6．如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=( )A．60°B．75°C．105°D．120°二、填空题7．如图所示，O为△ABC的外心，若∠BAC=70°，则∠OBC=________.8．如图所示，PA与PB分别切⊙O于A、B两点，C是上任意一点，过C作⊙O 的切线，交PA及PB于D、E两点，若PA=PB=5cm，则△PDE的周长是_______cm.9．如图所示，△ABC的内切圆⊙O切AC、AB、BC分别为D、E、F，若AB=9，AC=7，CD=2，则BC=______.10．如图所示，两圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，则O1O2所在的直线是公共弦AB 的________．11．已知两圆直径为3+t，3-t，若它们圆心距为t，则两圆的位置关系是______.12．⊙O的半径为6cm，P是⊙O外一点，且OP=10cm，则当⊙P的半径为_______时，两圆相切.13. 两圆半径之比为3: 5，外切时圆心距等于24cm，则两圆内切时的圆心距d=_______. 能力提升1．图中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB=2，半圆O的半径为2，则BC的长为( )A．2B．1 C．1.5D．0.52．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与轴相切于点Q，与轴交于M(0，2)，N(0，8)两点，则点P的坐标是( )A．B．C．D．3．如图，是⊙O的直径，点在的延长线上，过点作⊙O的切线，切点为，若，则______．4．如图，⊙O1和⊙O2相交于A，B，且AO1和AO2分别是两圆的切线，A为切点，若⊙O1的半径r1=3cm，⊙O2的半径为r2=4cm，则弦AB=___cm.5．两圆的圆心距d=8，两圆的半径长是方程x2-7x+12=0的两根，则这两个圆的位置关系是______.6．如图所示，在△ABC中，点O是△ABC的内心，∠A=70°，求∠BOC的度数.(1)变式一:在△ABC中，点O是△ABC的外心，∠A=70°，求∠BOC的度数.(2)变式二:如图所示，在△ABC中，⊙O与AB、BC、AC所截得的线段DE=FG=MN，∠A= 70°，求∠BOC的度数.7．如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为的中点，OE 交BC于F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD，求证：AD是⊙O的切线.8．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，I为它的内心，BI的延长线交AC于D点，过A、B、D三点作⊙O，交BC于E点，求证：BC=BD+AD.。
数学教案-圆和圆的位置关系
数学教案-圆和圆的位置关系篇一：圆和圆的位置关系说明圆和圆的位置关系教案说明一、课题名称本课属新人教版九年级上册第24章第二节《与原有关的位置关系》第二课之圆和圆的位置关系。
二、教学目的(一)教学知识点1．理解圆与圆之间的几种位置关系．2．理解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联络．(二)才能训练要求1. 经历探究两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探究才能．2．通过平移实验直观地探究圆和圆的位置关系，开展学生的识图才能和动手操作才能．(三)情感与价值观要求1．通过探究圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探究与制造，感受数学的严谨性以及数学结论确实定性．2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，开展形象思维。
三、课型本课属探究课。
四、课时圆和圆的位置关系共计一课时五、教学重点探究圆与圆之间的几种位置关系，理解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联络．六、教学难点探究两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．七、教学过程教师借助多媒体讲解与学生合作交流探究法Ⅰ．创设征询题情境，引入新课Ⅱ．新课讲解（一）、想一想（二）、探究圆和圆的位置关系我总结出共有五种位置关系，如以下图：(1)外离：两个圆没有公共点，同时每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部（三）、例题讲解两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如以下图(点O，O＇是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．1、想一想如图(1)，⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗？假设是，它的对称轴是什么？切点与对称轴有什么位置关系？假设⊙O1与⊙O2内切呢？〔如图(2)〕2、议一议投影片设两圆的半径分别为R和r．(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的间隔(简称圆心距)d与R和r具有如何样的关系？反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？(2)当两圆内切时(R＞r)，圆心距d与R和r具有如何样的关系？反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗？3、随堂练习八、作业安排习题3．9，重点检验学生对本章圆和圆的五种位置关系的掌握情况。
人教版中考数学考点系统复习 第六章 圆 第二节 与圆有关的位置关系
【分层分析】第一步，连接 OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠∠CACD，
进而得到B︵D＝BC︵DC；第二步：根据垂径定理得到
AD OD⊥BBCC；第三步：根据
平行线的性质得到 OD⊥DDFF，即可得到 DF 与⊙O 相切．
证明：连接 OD.∵∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，∴∠BAD＝∠CAD，∴B︵D＝
求线段长的问题时，因题图中多含直角三角形，因此可以考虑从以下方 面来找突破口：(1)勾股定理；(2)锐角三角函数；(3)相似三角形． 若题中含有 30°，45°，60°或者三角函数值时，常考虑用三角函数求 解，若不含，常考虑用相似三角形求解．
解：∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△AEC， ∴AABE＝BEDC，∴126 3＝4BD7，∴BD＝2 321.
55
1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F. 求证：EF 是⊙O 的切线．
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AED，∴∠ADE＝∠PAE.
(2)若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE；
证明：由(1)知∠ADE＝∠PAE＝30°， ∵∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°－∠ADE＝60°. ∵∠AED＝∠PAE＋∠APE， ∴∠APE＝∠PAE＝30°，∴AE＝PE.
(3)若 PE＝4，CD＝6，求 CE 的长．
以点 B 为圆心，BA 长为半径作⊙B，交 BD 于点 E. (1)试判断 CD 与⊙B 的位置关系，并说明理由； 【分层分析】过点 B 作 BF⊥CD 于点 F，由 AD∥BC 可得∠ADB＝∠∠CCBBDD， 由 CB＝CD 可得∠CDB＝∠∠CCBBDD，∴∠ADB＝∠∠C CDDB，B 因而利用角平分线性 质可得证，也可证△BDA≌△BDF 得出结论．
中考数学 考点系统复习 第六章 圆 第二节 与圆有关的位置关系
点 C，过点 A 作 AD∥OB 交⊙O 于点 D，连接 CD.若∠B＝50°，则∠OCD
为
( B)
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
5．(2021·贺州)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，点 O 在 AB
上，OB＝2，以 OB 为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，交 BC 于点 E，CE 的长
∴CE＝DH＝2 5，∠DEC＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC＝2CE＝4 5，
BC 5 ∵sin∠BAC＝AB＝ 3 ， ∴AB＝12， 即半圆的直径为 12.
12．(2020·宜宾)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上异于 A，B 的 一点，连接 BC 并延长至点 D，使 CD＝BC，连接 AD 交⊙O 于点 E，连接 BE. (1)求证：△ABD 是等腰三角形； (2)连接 OC 并延长，与以 B 为切点的切线交于点 F，若 AB＝4，CF＝1，求 DE 的长．
为
( B)
A.12
2 B.3
2 C. 2
D．1
6．(2021·泰安)如图，在△ABC 中，AB＝6，以点 A 为圆心，3 为半径的
圆与边 BC 相切于点 D，与 AC，AB 分别交于点 E 和点 G，F 是优弧 GE 上一
点，∠CDE＝18°，则∠GFE 的度数是
( B)
A．50°
B．48°
C．45°
连接 EM，过点 M 作 MH⊥EF 于 H，则 EF＝2EH，
在 Rt△EHM 中，EM＝4，MH＝3， 根据勾股定理得 EH＝ EM2－MH2＝ 42－32＝ 7， ∴弦长 n＝EF＝2EH＝2 7.
形内一点，连接 CF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点 E 是 AD 边上一动点，连接 EB，EF，则 EB＋EF 长度的最小值为_33－133－3 .
24.2与圆有关的位置关系
第二十四章圆第10课时§24.2与圆有关的的位置关系点和圆的位置关系是圆的位置关系中的第一种基本的位置关系，是学习后两种位置关系的基础。
包括三种位置关系即点在圆上、点在圆内、点在圆外。
直线和圆的位置关系是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面的圆与圆的位置关系作了铺垫．起着承上启下的作用．本节主要学习（1）直线和圆相交、相切、相离的有关概念（2）直线和圆三种位置关系的判定与性质（3）相关应用。
有以下三个目标：a. 理解直线和圆相交、相切、相离的有关概念b. 直线和圆三种位置关系的判定与性质c. 能运用以上知识解决相关问题本节教材是本单元的第三节，从知识结构来看，它是直线与圆位置关系的延续，从解决问题的思想方法来看，它反映了事物内部的量变与质变。
通过这些对学生进行辩证唯物主义世界观的教育。
所以这一节无论从知识性还是思想性来讲，在初中几何教学中都占有重要的地位。
使学生了解圆与圆位置关系的意义，熟悉性质判定。
点击一：点和圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：设点到圆心O 的距离为d，圆的半径为r，点在圆的外部：点到圆心的距离大于半径,d>r；点在圆上：点到圆心的距离等于半径,d=r；点在圆的内部：点到圆心的距离小于半径,d<r。
圆心是圆内一个特殊点，到圆上各点的距离等相等，而除圆心外，圆内各点与圆上各点的距离都有最大值和最小值。
要作一个圆经过A、B、C三点（A、B、C三点不在同一条直线上），就要确定一个点，使它到这三个点的距离相等，到A、B两点的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，两垂直平分线的交点到A、B、C三点得距离相等，此交点即为所求作的圆心。
因为两直线相交只有一个交点，所以过不再同一直线上的三点A、B、C只能确定一个圆。
三角形的外接圆和三角形的外心：过三角形三个顶点可以画一个圆并且只能画一个圆，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形，三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。